2.3.1有理数的乘法法则 课件（共26张PPT）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.3.1 有理数的乘法法则
授课人：[您的姓名]
授课班级：[具体班级]
日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
理解有理数乘法法则的推导过程，掌握有理数乘法法则的内容。
能够熟练运用有理数乘法法则进行有理数乘法运算，准确确定积的符号和绝对值。
了解多个有理数相乘时积的符号确定方法，会进行多个有理数的乘法运算。
通过探索有理数乘法法则的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，提升归纳总结与逻辑推理能力。
幻灯片 3：复习回顾 - 有理数的加法法则
同号两数相加：
取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+3)+(+5)=+(3 + 5)=8，(-2)+(-7)=-(2 + 7)= -9。
异号两数相加：
绝对值相等时和为 0，如 (+5)+(-5)=0；
绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：(+7)+(-3)=+(7 - 3)=4，(-8)+(+3)=-(8 - 3)= -5。
一个数同 0 相加：仍得这个数。例如：0+(+9)=9，(-4)+0=-4。
思考：有理数的乘法运算是否也有类似规律？如何确定积的符号和大小？
幻灯片 4：情境引入 - 蜗牛爬行问题
假设蜗牛在一条直线上爬行，规定向右为正方向，向左为负方向，现在的位置记为 0 点。
蜗牛以每分钟 2cm 的速度向右爬行，3 分钟后它在什么位置？
分析：向右爬行速度为正，时间也为正，其位置变化为 (+2)×(+3)。
计算：因为 2×3 = 6，且方向向右为正，所以 (+2)×(+3)= +6，即 3 分钟后蜗牛在 0 点右侧 6cm 处。
蜗牛以每分钟 2cm 的速度向左爬行，3 分钟后它在什么位置？
分析：向左爬行速度为负，时间为正，其位置变化为 (-2)×(+3)。
计算：蜗牛每分钟向左移动 2cm，3 分钟就向左移动了 2×3 = 6cm，方向向左为负，所以 (-2)×(+3)= -6，即 3 分钟后蜗牛在 0 点左侧 6cm 处。
思考：若时间为负数，如蜗牛以一定速度爬行，在过去的若干分钟前它的位置又该如何计算？这就涉及到有理数乘法中更全面的规则。
幻灯片 5：有理数乘法法则探索（一） - 正数 × 正数、负数 × 正数
正数 × 正数：
举例：3×4，从乘法的本质 “几个相同加数的和” 来理解，3×4 表示 4 个 3 相加，即 3 + 3 + 3 + 3 = 12。从数轴角度看，以原点为起点，每次向右移动 3 个单位长度，移动 4 次，最终到达 12 的位置。所以 3×4 = 12，一般地，正数 × 正数，结果为正数，积的绝对值等于两个因数绝对值的乘积。
负数 × 正数：
例如 (-3)×4，从实际意义理解，可看作蜗牛以每分钟 3cm 的速度向左爬行（速度为负），4 分钟后它的位置变化。相当于 4 个 (-3) 相加，即 (-3)+(-3)+(-3)+(-3)= -12。从数轴角度，以原点为起点，每次向左移动 3 个单位长度，移动 4 次，到达 - 12 的位置。所以 (-3)×4 = -12，一般地，负数 × 正数，结果为负数，积的绝对值等于两个因数绝对值的乘积。
总结：两数相乘，当一个因数为正数，另一个因数为正数时，积为正数；当一个因数为负数，另一个因数为正数时，积为负数，且积的绝对值都等于两个因数绝对值的乘积。
幻灯片 6：有理数乘法法则探索（二） - 正数 × 负数、负数 × 负数
正数 × 负数：
以 3×(-4) 为例，因为乘法满足交换律（后续会深入学习，这里简单提及，如 2×3 = 3×2），所以 3×(-4)=(-4)×3。由前面负数 × 正数的结论可知 (-4)×3 = -12，所以 3×(-4)= -12。从实际意义看，若规定收入为正，支出为负，每天支出 4 元（-4），3 天后总的支出情况就是 3×(-4)，结果为 - 12 元。一般地，正数 × 负数，结果为负数，积的绝对值等于两个因数绝对值的乘积。
负数 × 负数：
看 (-3)×(-4)，假设现在蜗牛在 0 点位置，它之前是以每分钟 3cm 的速度向左爬行（速度为负），但我们考虑的是过去的 4 分钟（时间为负），那么它相对 0 点的位置变化就是 (-3)×(-4)。从数轴上逆向思考，以原点为起点，过去每次向左移动 3 个单位长度（负方向），现在考虑过去 4 次（时间为负），相当于方向变为向右移动，所以会到达 12 的位置。也可以从乘法运算的一致性角度理解，因为 (-3)×4 = -12，那么要使乘法对加法的分配律在有理数范围内成立，(-3)×(-4) 就应该等于 12。例如：(-3)×[4+( -4)] = (-3)×4 + (-3)×(-4)，左边 (-3)×[4+( -4)] = (-3)×0 = 0，右边 (-3)×4 = -12，所以 (-3)×(-4) 必须为 12 才能使等式成立。一般地，负数 × 负数，结果为正数，积的绝对值等于两个因数绝对值的乘积。
幻灯片 7：有理数乘法法则总结
文字表述：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0。
符号表述：
若 a＞0，b＞0，则 a×b＞0，且 a×b = |a|×|b|；
若 a＜0，b＜0，则 a×b＞0，且 a×b = |a|×|b|；
若 a＞0，b＜0，则 a×b＜0，且 a×b = -(|a|×|b|)；
若 a＜0，b＞0，则 a×b＜0，且 a×b = -(|a|×|b|)；
若 a = 0 或 b = 0，则 a×b = 0。
强调：在进行有理数乘法运算时，先确定积的符号，再计算积的绝对值。
幻灯片 8：典型例题 1 - 有理数乘法运算
例题：计算下列各题
(-5)×7
分析：两数相乘，-5 为负，7 为正，异号得负，再把绝对值相乘，| -5|×|7| = 5×7 = 35。
解答：(-5)×7 = -35。
(-6)×(-8)
分析：两数都为负，同号得正，然后计算绝对值相乘，| -6|×| -8| = 6×8 = 48。
解答：(-6)×(-8)=48。
\(\frac{2}{3}\)×(-\(\frac{9}{4}\))
分析：\(\frac{2}{3}\)为正，-\(\frac{9}{4}\)为负，异号得负，计算绝对值相乘，|\(\frac{2}{3}\)|×| -\(\frac{9}{4}\)| = \(\frac{2}{3}\)×\(\frac{9}{4}\) = \(\frac{3}{2}\)。
解答：\(\frac{2}{3}\)×(-\(\frac{9}{4}\))= -\(\frac{3}{2}\)。
0×(-100)
分析：任何数与 0 相乘，积都为 0。
解答：0×(-100)=0。
幻灯片 9：典型例题 2 - 有理数乘法的实际应用
例题：某冷冻厂的一个冷库现在的室温是 - 2℃，现有一批食品需要在 - 28℃下冷藏，如果每小时能降温 4℃，问几小时后能降到所要求的温度？
分析：
首先计算需要降低的温度，用目标温度减去现有的室温，即 (-28)-(-2)= -28 + 2 = -26℃。
已知每小时降温 4℃，设 x 小时后能降到要求温度，那么降低的温度就是 4x℃，这里 4 是正数，x 是我们要求的时间（正数），它们的乘积 4x 应该等于需要降低的温度 - 26℃，即 4x = -26，可转化为 x = (-26)÷4，也可从乘法角度理解为 (-4)×x = -26，求 x。
解答：
需要降低的温度为：(-28)-(-2)= -26℃。
每小时降温 4℃，设需要 x 小时，可列方程 (-4)×x = -26。
根据有理数乘法法则，因为积为负，一个因数为负，所以另一个因数 x 为正，且 | -4|×|x| = 26，即 4x = 26，解得 x = 6.5 小时。
答：6.5 小时后能降到所要求的温度。
幻灯片 10：多个有理数相乘
情况一：有一个因数为 0：
举例：3×(-2)×0×5，因为任何数与 0 相乘都得 0，所以不管其他因数是什么，整个式子的结果为 0。
结论：几个数相乘，只要有一个因数为 0，积就为 0。
情况二：因数都不为 0：
例如 (-2)×(-3)×(-4)，先确定符号，负因数有 3 个（奇数个），根据多个有理数相乘，负因数的个数是奇数时，积为负数，再计算绝对值相乘，| -2|×| -3|×| -4| = 2×3×4 = 24，所以 (-2)×(-3)×(-4)= -24。
又如 (-2)×3×(-4)，负因数有 2 个（偶数个），积为正数，| -2|×|3|×| -4| = 2×3×4 = 24，所以 (-2)×3×(-4)=24。
结论：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，并把绝对值相乘。
幻灯片 11：典型例题 3 - 多个有理数相乘运算
例题：计算下列各题
(-2)×3×(-5)×(-4)
分析：负因数有 3 个（奇数个），积为负，再计算绝对值相乘，| -2|×|3|×| -5|×| -4| = 2×3×5×4 = 120。
解答：(-2)×3×(-5)×(-4)= -120。
\(\frac{1}{2}\)×(-\(\frac{2}{3}\))×(-\(\frac{3}{4}\))×(-\(\frac{4}{5}\))
分析：负因数有 3 个（奇数个），积为负，计算绝对值相乘，|\(\frac{1}{2}\)|×| -\(\frac{2}{3}\)|×| -\(\frac{3}{4}\)|×| -\(\frac{4}{5}\)| = \(\frac{1}{2}\)×\(\frac{2}{3}\)×\(\frac{3}{4}\)×\(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)。
解答：\(\frac{1}{2}\)×(-\(\frac{2}{3}\))×(-\(\frac{3}{4}\))×(-\(\frac{4}{5}\))= -\(\frac{1}{5}\)。
(-1)×(-2)×(-3)×0×(-4)
分析：因为有一个因数为 0，所以积为 0。
解答：(-1)×(-2)×(-3)×0×(-4)=0。
幻灯片 12：课堂练习 1 - 有理数乘法基础运算
计算：
(-3)×8 =
(-4)×(-9) =
\(\frac{3}{5}\)×(-\(\frac{5}{6}\)) =
0×(-7)=
填空：
若 a×b＞0，则 a、b 的符号（ ）（填 “相同” 或 “不同”）。
若 a×b＜0，且 a＞0，则 b（ ）0（填 “＞”“＜” 或 “=”）。
答案：
-24；36； -\(\frac{1}{2}\)；0。
相同；＜。
幻灯片 13：课堂练习 2 - 综合应用
已知 | a| = 3，|b| = 2，且 a＞0，b＜0，求 a×b 的值。
分析：由 | a| = 3 且 a＞0，得 a = 3；由 | b| = 2 且 b＜0，得 b = -2。
解答：a×b = 3×(-2)= -6。
某商店以每件 20 元的价格购进一批商品，若每件商品售价 a 元，则每天可卖出 (800 - 10a) 件。如果商店计划每天恰好盈利 8000 元，那么每件商品的售价应定为多少元？
分析：根据利润 = （售价 - 进价）× 销售量，可列出方程 (a - 20)(800 - 10a)=8000。
解答：
展开方程得 800a - 10a - 16000 + 200a = 8000。
整理得 - 10a + 1000a - 24000 = 0，两边同时除以 - 10 得 a - 100a + 2400 = 0。
因式分解得 (a - 40)(a - 60)=0，解得 a = 40 或 a = 60。
答：每件商品的售价应定为 40 元或 60 元。
幻灯片 14：课堂小结
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积为 0。
多个有理数相乘：有一个因数为 0 时，积为 0；因数都不为 0 时，负因数个数为偶数，积为正，负因数个数为奇数，积为负，再把绝对值相乘。
运算步骤：先确定积的符号，再计算积的绝对值。
数学思想：从特殊到一般、从具体到抽象，利用实际情境和数轴等工具理解法则推导过程，体会数学知识的逻辑性与连贯性。
幻灯片 15：作业布置
教材对应练习题，完成有理数乘法的计算题目，包括两数相乘和多个有理数相乘。
已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值为 2，求 m - (a + b + cd) m + (a + b) + (-cd) 的值。
某公司去年 1 - 3 月平均每月亏损 1.5 万元，4 - 6 月平均每月盈利 2 万元，7 - 9 月平均每月盈利 1.7 万元，10 - 12 月平均每月亏损 2.3 万元。这个公司去年总的盈亏情况如何？
2024北师大版数学七年级上册
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2.3.1有理数的乘法法则
第二章 有理数及其运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解有理数的乘法法则。
2. 能熟练运用乘法法则进行有理数的乘法运算。
3. 理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数。
4. 经历有理数乘法法则的推导过程，用分类讨论的思想归纳出两数相乘的法则，感悟乘法运算的重要性。
重点：两个有理数相乘的符号法则及运算步骤。
难点：能通过观察给定的乘法算式，找出并概括算式的
规律。
小学已经学过正数与正数的乘法、正数与零的乘法，那么引入负数之后，怎样进行有理数的乘法运算？有理数的乘法运算有几种情况？
（1）计算：(-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5)；
（2）猜想 (-5)×5 的结果是多少？
（3）有理数加减运算中的关键问题是什么？
（4）猜想：有理数的乘法的关键问题是什么？
-25
-25
有理数的乘法法则
1
问题1：观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？
自主探究
3×3＝____；
3×2＝____；
3×1＝____；
3×0＝____。
9
6
3
0
(1) 四个算式有什么共同点？
(2) 其他两个数有什么变化规律？
等式左边都有一个乘数 3
随着后一乘数逐次递减 1，积逐次递减 3。
乘数
乘数
积
3×(-1)＝ ，3×(-2)＝ ，
3×(-3)＝ ，3×(-4)＝ 。
问题2：你能写出下列结果吗？
-3
-6
-9
思考：从符号和绝对值两个角度观察上述 4 个算式，你能说说它们的共性吗？你能发现什么规律？
正数乘正数，积是正数；正数乘负数，积是负数，积的绝对值等于各乘数绝对值的积。
-12
(-3)×4＝ ，(-3)×3＝ ，
(-3)×2＝ ，(-3)×1＝ .
问题3：利用上面的结论计算下面算式，你能发现其中的规律吗？
-12
-9
-6
-3
随着后一乘数逐次递减 1，积逐次递加 3.
(-3)×0＝ .
议一议：要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
(-3)×(-1)＝ ，(-3)×(-2)＝ ，
(-3)×(-3)＝ ，(-3)×(-4)＝ 。
3
6
9
12
0
你还有其他计算方法计算 3×(-4) 和 (-3)×(-4) 吗？
思考交流
请你仿照上面的方法说明 (-2)×(-5) = 10。
(-3)×(-4) + (-3)×4 = (-3)×[(-4) + 4] = (-3)×0 = 0。
(-3)×(-4) = -[(-3)×4] = 12。
(-3)×4 = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12。
(-2)×(-5) + 2×(-5) = (-5)×[(-2) + 2] = (-5)×0 = 0。
(-2)×(-5) = -[2×(-5)] = 10。
2×(-5) = (-5) + (-5) = -10。
归纳总结
再写一些算式进行计算。你能发现什么规律？与同伴交流。
有理数的乘法法则
同号两数
异号两数
与零的运算
两数相乘，同号得正
任何数与 0 相乘，积仍为 0
异号得负，并把绝对值相乘
例1 计算：（1）6×(-1)； （2）(-4)×5；
（3）(-5)×(-7)； （4） 。
典例精析
解：（1）6×(-1) = -(1×6) = -6；
（2）(-4)×5 = -(4×5) = -20；
（3）(-5)×(-7) = +(5×7) = 35；
（4） 。
思考：类比有理数加法的运算步骤，应用有理数乘法法则进行计算时，应按照怎样的顺序进行计算
总结
有理数相乘，可以先确定__________，再确定__________.
积的符号
积的绝对值
归纳总结
1. 计算：
练一练
(1) 8×(－1)；
积是负数
负数×正数
－8
积是正数
负数×负数
积是正数
负数×负数
1
(2) ；
(3)
倒 数
2
合作探究
探究：观察下列式子，结果有什么共同特点？
乘积都为 1
如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。
定义总结
。
典例精析
例2 (深圳校考) 下列互为倒数的是 ( )
B
思考：数 a (a≠0) 的倒数是什么
例3 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高 1 km，气温的变化量为 -6 ℃。攀登 3 km 后，气温有什么变化？
解：(-6)×3 = -18 (℃)。
答：攀登 3 km 后，气温下降了 18 ℃。
有理数的乘法的应用
3
2. 商店降价销售某种商品，每件降 5 元，售出 60 件后，与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？
解：(-5)×60 = -300 (元).
答：销售额减少 300 元.
练一练
知识点1 有理数的乘法法则
1.计算：
（1） ___ ____；
（2）__ __ ____；
（3）___ ____；
（4） ___。
5
10
-
56
0
2.［2024吉林中考］若的运算结果为正数，则 内的数字可以
为( )
C
A.2 B.1 C.0 D.
3.计算 的结果是( )
C
A. B.10 C. D.5
4.（12分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式 。
知识点2 倒数
5.因为,所以5的倒数是__；因为,所以 的倒数
是____。
6.下列互为倒数的是( )
A
A.3和 B.和2 C.3和 D.和
7.若,互为倒数，且满足，则 的值为( )
C
A. B. C.2 D.4
8. 若有理数的相反数是10，则 的倒数是( )
D
A.10 B. C. D.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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