2.3.3有理数的除法 课件（共20张PPT）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

(共20张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.3.3 有理数的除法
授课人：[您的姓名]
授课班级：[具体班级]
日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
理解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则。
能熟练运用有理数除法法则进行有理数除法运算，准确确定商的符号和绝对值。
学会将有理数除法转化为乘法进行计算，体会转化思想在数学中的应用。
掌握多个有理数除法运算的方法，以及分数化简的技巧。
幻灯片 3：复习回顾 - 有理数乘法法则及运算律
乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与 0 相乘，积为 0。
乘法运算律：
交换律：\(a b = b a\)
结合律：\((a b) c = a (b c)\)
分配律：\(a (b + c)=a b + a c\)
倒数概念：乘积是 1 的两个数互为倒数。例如：2 的倒数是\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{3}{4}\)的倒数是\(-\frac{4}{3}\)，0 没有倒数。
思考：乘法与除法是互逆运算，那么有理数的除法该如何计算？
幻灯片 4：情境引入 - 平均分问题
把 12 个苹果平均分给 3 个小朋友，每个小朋友分得几个？列式：\(12 ·3 = 4\)。
若将 - 12 个苹果（表示亏损 12 元）平均分摊给 3 个合伙人，每个合伙人承担多少元？列式：\((-12) ·3\)。
因为\(3 (-4)=-12\)，所以\((-12) ·3=-4\)。
若将 12 个苹果平均分给 - 3 个虚拟对象（表示反向分配），结果如何？列式：\(12 ·(-3)\)。
因为\((-3) (-4)=12\)，所以\(12 ·(-3)=-4\)。
若将 - 12 个苹果平均分给 - 3 个虚拟对象，结果如何？列式：\((-12) ·(-3)\)。
因为\((-3) 4=-12\)，所以\((-12) ·(-3)=4\)。
观察上述算式，你能发现有理数除法的符号规律吗？
幻灯片 5：有理数除法法则（一）
文字表述：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
符号表述：
若\(a\)、\(b\)同号（\(a>0,b>0\)或\(a<0,b<0\)），则\(a ·b = +(\vert a\vert ·\vert b\vert)\)。
若\(a\)、\(b\)异号（\(a>0,b<0\)或\(a<0,b>0\)），则\(a ·b = -(\vert a\vert ·\vert b\vert)\)。
若\(a = 0\)且\(b 0\)，则\(0 ·b = 0\)。
注意事项：
0 不能作除数，因为任何数同 0 相乘都得 0，不存在一个数与 0 相乘得非零数。
除法运算的结果叫做商，商的符号由被除数和除数的符号决定，商的绝对值是被除数绝对值除以除数绝对值的结果。
幻灯片 6：典型例题 1 - 运用法则（一）计算
例题：计算下列各题
\((-18) ·6\)
分析：被除数 - 18 为负，除数 6 为正，异号得负，绝对值相除\(\vert -18\vert ·\vert6\vert = 18 ·6 = 3\)。
解答：\((-18) ·6=-3\)。
\((-25) ·(-5)\)
分析：被除数和除数都为负，同号得正，绝对值相除\(\vert -25\vert ·\vert -5\vert = 25 ·5 = 5\)。
解答：\((-25) ·(-5)=5\)。
\(0 ·(-9)\)
分析：0 除以任何不等于 0 的数都得 0。
解答：\(0 ·(-9)=0\)。
\(\frac{3}{4} ·(-\frac{3}{2})\)
分析：被除数为正，除数为负，异号得负，绝对值相除\(\vert\frac{3}{4}\vert ·\vert-\frac{3}{2}\vert=\frac{3}{4} ·\frac{3}{2}=\frac{3}{4} \frac{2}{3}=\frac{1}{2}\)。
解答：\(\frac{3}{4} ·(-\frac{3}{2})=-\frac{1}{2}\)。
幻灯片 7：有理数除法法则（二） - 转化为乘法
理论依据：除法是乘法的逆运算，且除以一个数等于乘这个数的倒数。
文字表述：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。
符号表述：若\(a\)、\(b\)为有理数且\(b 0\)，则\(a ·b = a \frac{1}{b}\)。
示例：
\(8 ·(-4)=8 (-\frac{1}{4})=-2\)（因为 - 4 的倒数是\(-\frac{1}{4}\)）。
\((-15) ·(-\frac{3}{5})=(-15) (-\frac{5}{3})=25\)（因为\(-\frac{3}{5}\)的倒数是\(-\frac{5}{3}\)）。
优势：对于分数除法，转化为乘法后可利用约分简化计算；对于多个数的除法，转化为乘法后可运用乘法运算律简便计算。
幻灯片 8：典型例题 2 - 运用法则（二）计算
例题：计算下列各题
\((-12) ·(-\frac{1}{3}) ·(-4)\)
分析：先将除法转化为乘法，\(-\frac{1}{3}\)的倒数是\(-3\)，\(-4\)的倒数是\(-\frac{1}{4}\)。
解答：\((-12) ·(-\frac{1}{3}) ·(-4)=(-12) (-3) (-\frac{1}{4})=36 (-\frac{1}{4})=-9\)。
\((-\frac{3}{5}) ·(-\frac{3}{25}) (-\frac{1}{5})\)
分析：\(-\frac{3}{25}\)的倒数是\(-\frac{25}{3}\)，按从左到右顺序计算。
解答：\((-\frac{3}{5}) ·(-\frac{3}{25}) (-\frac{1}{5})=(-\frac{3}{5}) (-\frac{25}{3}) (-\frac{1}{5})=5 (-\frac{1}{5})=-1\)。
\(0.25 ·(-\frac{1}{2}) (-1.2)\)
分析：0.25 化为分数是\(\frac{1}{4}\)，\(-\frac{1}{2}\)的倒数是\(-2\)，转化为乘法计算。
解答：\(0.25 ·(-\frac{1}{2}) (-1.2)=\frac{1}{4} (-2) (-1.2)=(-\frac{1}{2}) (-1.2)=0.6\)。
幻灯片 9：分数的化简
分数与除法的关系：分数可以看作分子除以分母，即\(\frac{a}{b}=a ·b\)（\(b 0\)）。
符号法则：分数的分子、分母和分数线前面的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。即\(\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}\)，\(\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}\)。
化简方法：
先确定分数的符号，再将分子、分母化为正数进行约分。
示例：\(\frac{-12}{-18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\)；\(\frac{-24}{36}=-\frac{24}{36}=-\frac{2}{3}\)。
幻灯片 10：典型例题 3 - 分数化简与实际应用
例题：化简下列分数
\(\frac{-36}{9}=(-36) ·9=-4\)
\(\frac{-54}{-6}=54 ·6=9\)
\(\frac{0}{-7}=0\)
例题：某公司去年 1 - 3 月平均每月亏损 1.5 万元，4 - 6 月平均每月盈利 2 万元，7 - 9 月平均每月盈利 1.7 万元，10 - 12 月平均每月亏损 2.3 万元。该公司去年平均每月的盈亏情况如何？
分析：先计算去年总的盈亏金额，再除以 12 得到平均每月盈亏情况。
解答：
总盈亏：\((-1.5) 3 + 2 3 + 1.7 3 + (-2.3) 3\)
提取公因式 3：\(3 [(-1.5) + 2 + 1.7 + (-2.3)]=3 (-0.1)=-0.3\)（万元）
平均每月盈亏：\(-0.3 ·12=-0.025\)（万元），即平均每月亏损 0.025 万元。
幻灯片 11：多个有理数除法运算
运算顺序：从左到右依次计算，有括号的先算括号内的。
符号确定：
当除数和被除数中负号的个数为偶数时，商为正；
当负号的个数为奇数时，商为负；
商的绝对值为各数绝对值的商。
示例：\((-16) ·(-2) ·(-4)=8 ·(-4)=-2\)（负号个数为 3，奇数，商为负）。
幻灯片 12：课堂练习 1 - 有理数除法基础运算
计算：
\((-24) ·(-6)=\)______（答案：4）
\(18 ·(-3)=\)______（答案：-6）
\(0 ·(-8)=\)______（答案：0）
\(-\frac{3}{4} ·\frac{9}{16}=\)______（答案：\(-\frac{4}{3}\)）
化简分数：
\(\frac{-45}{-15}=\)______（答案：3）
\(\frac{72}{-18}=\)______（答案：-4）
幻灯片 13：课堂练习 2 - 综合应用
计算：\((-18) ·2 (-\frac{1}{3}) ·(-3)\)
解答：\((-18) ·2 (-\frac{1}{3}) ·(-3)=(-9) (-\frac{1}{3}) ·(-3)=3 ·(-3)=-1\)
已知\(a = -4\)，\(b = \frac{1}{2}\)，\(c = -3\)，求\(a ·b c\)的值。
解答：\(a ·b c=(-4) ·\frac{1}{2} (-3)=(-4) 2 (-3)=(-8) (-3)=24\)
幻灯片 14：课堂小结
有理数除法法则：
法则一：同号得正，异号得负，绝对值相除；0 除以非 0 数得 0。
法则二：除以非 0 数等于乘这个数的倒数（\(a ·b = a \frac{1}{b},b 0\)）。
运算技巧：
分数除法转化为乘法后约分计算更简便。
多个数除法从左到右依次计算，注意符号变化。
分数化简时，改变分子、分母、分数线前任意两个符号，值不变。
核心思想：转化思想（除法转化为乘法），类比思想（与乘法法则类比学习）。
幻灯片 15：作业布置
教材对应练习题，完成有理数除法的计算和分数化简题目。
计算：\((-2\frac{1}{2}) ·(-5) (-3\frac{1}{3})\)
某商店 5 天的利润情况如下：+200 元，-150 元，+300 元，-100 元，+50 元。这 5 天平均每天的利润是多少元？
思考：若\(a\)、\(b\)互为相反数（\(a 0\)），\(c\)、\(d\)互为倒数，求\(\frac{a + b}{c} ·d\)的值。
2024北师大版数学七年级上册
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2.3.3有理数的除法
第二章 有理数及其运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算。
2. 经历有理数除法法则的探索过程，会进行有理数的除法运算。
3. 通过有理数除法法则的导出及运用，让学生体会转化思想，培养学生运用数学思想指导数学思维活动的能力。
重点：能正确运用法则进行有理数的除法运算。
难点：理解商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系。
1. 有理数乘法的运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
2. 前面我们学习了有理数的乘法，那么自然会想到有理数的除法，如何进行有理数的除法运算呢？
3. 回忆小学里乘法与除法互为逆运算，那么被除数、除数、商之间有何关系？
有理数的除法及分数化简
1
_____×(-4)＝8
_____×(-3)＝-12
_____×(-2)＝1
自主探究
(-2)
除法是乘法的逆运算
8÷(-4)＝_____；
(-12)÷(-3)＝_____.
1÷(-2)＝_____.
-2
4
1. 填空：
4
思考：观察上述式子，你能发现除法跟乘法的关系吗？
×(-25) =____，
有理数的除法法则
2
6×(-3) =____，
3×(-9) =____，
0×(－2) =____，
(-27)÷(-9) =____，
(-18)÷6 =____，
0÷(-2) =____.
观察右侧算式，两个有理数相除时：
商的符号如何确定
商的绝对值如何确定
5
-27
-18
0
-25
3
0
-3
根据“除法是乘法的逆运算”，计算下列各式：
自主探究
5÷ =____，
归纳总结
两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 。
0 除以任何非 0 的数都得 。
注意：0 不能作除数。
正
负
相除
0
例1 计算：(1) (-36)÷9；
典例精析
解：(1) (-36)÷9 = -(36÷9) = -4；
(2) 12÷ ；
(3) (-0.75)÷0.25；
(4) (-12)÷ ÷(-100)。
(2) 12÷ = -(12÷ ) = -48；
(3) (-0.75)÷0.25 = -(0.75÷0.25) = -3；
(4) (-12)÷ ÷(-100) = +(12÷ )÷(-100)
= 144÷(-100) = -(144÷100) = -1.44。
尝试交流
比较下列各组的计算结果，你能得出什么结论？
换一些算式再试一试，并与同伴进行交流。
（1） 与 ；
（2） 与 ；
（3） 与 。
=
=
=
倒数
定义总结
用字母表示为：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
除法统一成乘法了！
例2 计算：
(1) ； (2) 。
解：(1) ；
(2)
。
1. 计算：
(2) 原式 =
(1) (内蒙古校考)
解：(1) 原式 =
= 3.
带分数和小数可化为分数计算
知识点1 有理数的除法法则（一）
1.［教材 尝试·交流变式］计算：
（1）__ ___ ____;
（2）_______ ___;
（3）__ _____ ____;
（4） ___。
-
6
63
9
-
0.15
0
2.计算 的结果是( )
B
A.2 B. C. D.
3.（12分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式 。
知识点2 一个数的倒数
4. 的倒数是( )
D
A. B.4 C. D.
5.（8分）求下列各数的倒数：
（1） ；
解： 。
（2）1.2；
解： 。
（3） ；
解： 。
（4） 。
解： 。
0 除以任何一个________的数，都得_______
除以一个__________的数，等于乘这个数的________
两数相除，同号得_____，异号得____，并把________相除
有理数除法法则
正
倒数
负
绝对值
非 0
0
不等于 0
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！