2.5.1有理数的混合运算 课件（共26张PPT）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.5.1 有理数的混合运算
授课人：[您的姓名]
授课班级：[具体班级]
日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
掌握有理数混合运算的顺序，明确先算什么、再算什么、最后算什么。
能熟练进行有理数的混合运算，准确处理符号和运算步骤。
学会运用运算律简化混合运算过程，提高运算效率。
培养严谨的计算习惯，避免因运算顺序错误导致的计算失误。
幻灯片 3：复习回顾 - 已学运算及法则
有理数的加法：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值；一个数加 0 仍得原数。
有理数的减法：减去一个数等于加这个数的相反数，即\(a - b = a + (-b)\)。
有理数的乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘 0 得 0。
有理数的除法：同号得正，异号得负，绝对值相除；除以一个数等于乘它的倒数（除数不为 0）。
有理数的乘方：求 n 个相同因数的积的运算，正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正。
思考：当一个算式中同时出现多种运算时，该按什么顺序计算？
幻灯片 4：有理数混合运算的顺序
基本顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。
同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次进行。
如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。
记忆口诀：“先乘方，后乘除，最后加减；有括号，先括号；同级算，从左起”。
示例解析：对于算式\(3 + 2^2 (-\frac{1}{5})\)，先算乘方\(2^2 = 4\)，再算乘法\(4 (-\frac{1}{5})=-\frac{4}{5}\)，最后算加法\(3 + (-\frac{4}{5})=\frac{11}{5}\)。
幻灯片 5：典型例题 1 - 含乘方的混合运算
例题：计算\(18 - 6 ·(-2) (-\frac{1}{3})^2\)
分析运算顺序：
第一步：算乘方\((-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\)。
第二步：算乘除，从左到右依次计算，先算除法\(6 ·(-2)=-3\)，再算乘法\(-3 \frac{1}{9}=-\frac{1}{3}\)。
第三步：算加减\(18 - (-\frac{1}{3})=18 + \frac{1}{3}=18\frac{1}{3}\)。
解答过程：\(
\begin{align*}
&18 - 6 ·(-2) (-\frac{1}{3})^2\\
=&18 - 6 ·(-2) \frac{1}{9}\\
=&18 - (-3) \frac{1}{9}\\
=&18 - (-\frac{1}{3})\\
=&18 + \frac{1}{3}\\
=&18\frac{1}{3}
\end{align*}
\)
幻灯片 6：典型例题 2 - 含括号的混合运算
例题：计算\(-1^4 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [2 - (-3)^2]\)
分析运算顺序：
第一步：算乘方\(-1^4=-1\)，\((-3)^2 = 9\)。
第二步：算小括号里的\(1 - 0.5 = 0.5=\frac{1}{2}\)，中括号里的\(2 - 9=-7\)。
第三步：算乘法\(\frac{1}{2} \frac{1}{3} (-7)=-\frac{7}{6}\)。
第四步：算减法\(-1 - (-\frac{7}{6})=-1 + \frac{7}{6}=\frac{1}{6}\)。
解答过程：\(
\begin{align*}
&-1^4 - (1 - 0.5) \frac{1}{3} [2 - (-3)^2]\\
=&-1 - 0.5 \frac{1}{3} [2 - 9]\\
=&-1 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} (-7)\\
=&-1 - (-\frac{7}{6})\\
=&-1 + \frac{7}{6}\\
=&\frac{1}{6}
\end{align*}
\)
幻灯片 7：运用运算律简化混合运算
适用场景：当算式中存在可以凑整、抵消或简化计算的项时，可运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律简化运算。
示例：计算\(25 \frac{3}{4} - (-25) \frac{1}{2} + 25 (-\frac{1}{4})\)
分析：各项都含有因数 25，可运用乘法分配律提取公因式。
解答：\(
\begin{align*}
&25 \frac{3}{4} - (-25) \frac{1}{2} + 25 (-\frac{1}{4})\\
=&25 \frac{3}{4} + 25 \frac{1}{2} + 25 (-\frac{1}{4})\\
=&25 (\frac{3}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4})\\
=&25 (1)\\
=&25
\end{align*}
\)
幻灯片 8：典型例题 3 - 运用运算律简化计算
例题：计算\((\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2}) 12\)
分析：12 是 4、6、2 的公倍数，运用乘法分配律可消除分母，简化计算。
解答过程：\(
\begin{align*}
&(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2}) 12\\
=&\frac{1}{4} 12 + \frac{1}{6} 12 - \frac{1}{2} 12\\
=&3 + 2 - 6\\
=&-1
\end{align*}
\)
幻灯片 9：混合运算中的常见错误及规避
符号错误：
错误示例：\(-2^2 = 4\)（正确应为\(-4\)）；\((-2) 3 - (-2) 5 = -6 - 10 = -16\)（正确应为\(-6 + 10 = 4\)）。
规避方法：牢记乘方符号规则，减法转化为加法时注意符号变化，每一步运算都明确符号。
运算顺序错误：
错误示例：\(3 + 2 5 = 5 5 = 25\)（正确应为\(3 + 10 = 13\)）；\(10 ·2 5 = 10 ·10 = 1\)（正确应为\(5 5 = 25\)）。
规避方法：严格按照 “先乘方，再乘除，最后加减” 的顺序计算，同级运算从左到右依次进行。
括号处理错误：
错误示例：\(2 (3 + 4) = 2 3 + 4 = 10\)（正确应为\(6 + 8 = 14\)）。
规避方法：运用分配律时，确保括号内每一项都与括号外的数相乘。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础混合运算
计算：
\(3^2 - 50 ·2^2 \frac{1}{10} + 1\)
解答：\(
\begin{align*}
&3^2 - 50 ·2^2 \frac{1}{10} + 1\\
=&9 - 50 ·4 \frac{1}{10} + 1\\
=&9 - \frac{50}{4} \frac{1}{10} + 1\\
=&9 - \frac{5}{4} + 1\\
=&10 - 1.25\\
=&8.75
\end{align*}
\)
\(-2 (-3)^2 ·(-\frac{1}{2}) + (-1)^5\)
解答：\(
\begin{align*}
&-2 (-3)^2 ·(-\frac{1}{2}) + (-1)^5\\
=&-2 9 (-2) + (-1)\\
=&-18 (-2) - 1\\
=&36 - 1\\
=&35
\end{align*}
\)
幻灯片 11：课堂练习 2 - 含括号与运算律的混合运算
计算：
\(18 - (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) (-24)\)
解答：\(
\begin{align*}
&18 - (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) (-24)\\
=&18 - [(-\frac{1}{2}) (-24) + \frac{1}{3} (-24)]\\
=&18 - [12 - 8]\\
=&18 - 4\\
=&14
\end{align*}
\)
\((-\frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5}{6}) (-36) + (-2)^3\)
解答：\(
\begin{align*}
&(-\frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5}{6}) (-36) + (-2)^3\\
=&(-\frac{1}{3}) (-36) + \frac{3}{4} (-36) - \frac{5}{6} (-36) + (-8)\\
=&12 - 27 + 30 - 8\\
=&(12 + 30) - (27 + 8)\\
=&42 - 35\\
=&7
\end{align*}
\)
幻灯片 12：混合运算的步骤总结
观察算式：识别算式中包含的运算类型（乘方、乘除、加减）和括号类型。
确定顺序：根据混合运算顺序，明确先算哪部分，再算哪部分。
分步计算：按照顺序逐步计算，每一步只处理一种运算，确保每一步结果正确。
检查验证：计算完成后，反向检查运算顺序、符号和数值是否正确，或用不同方法验算。
幻灯片 13：实际应用 - 混合运算解决问题
例题：某商店一周的利润情况如下：周一盈利 120 元，周二亏损 50 元，周三盈利 80 元，周四盈利 20 元，周五亏损 30 元，周六盈利 100 元，周日亏损 10 元。求这家商店这一周的总利润。
分析：盈利记为正，亏损记为负，总利润为一周每天利润的和。
解答：\(
\begin{align*}
&120 + (-50) + 80 + 20 + (-30) + 100 + (-10)\\
=&120 - 50 + 80 + 20 - 30 + 100 - 10\\
=&(120 + 80 + 20 + 100) + (-50 - 30 - 10)\\
=&320 - 90\\
=&230
\end{align*}
\)
答：这家商店这一周的总利润为 230 元。
幻灯片 14：课堂小结
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右。
简化技巧：合理运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算过程。
注意事项：
准确处理符号，尤其是负号在乘方、乘除和加减中的变化。
避免跳过步骤，分步计算可减少错误。
计算后及时检查，确保每一步运算正确。
核心思想：程序化思想（按固定顺序分步运算），转化思想（减法转加法，除法转乘法）。
幻灯片 15：作业布置
教材对应练习题，完成不同类型的有理数混合运算题目。
计算：
\(2^3 - 12 ·(-2 + 12 ·3)\)
\(-1^2 - (1 - 0.4) ·\frac{1}{3} [(-2)^2 - 6]\)
某水库的水位在一周内的变化情况如下（上升记为正，下降记为负）：+0.1 米，-0.2 米，+0.5 米，-0.3 米，0 米，-0.1 米，+0.2 米。若初始水位为 12 米，求一周后水库的水位。
思考：如何快速判断一个有理数混合运算算式的运算顺序？举例说明。
2024北师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.5.1有理数的混合运算
第二章 有理数及其运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解并熟练掌握有理数的混合运算的顺序，并会进行简单有理数的混合运算.
2. 经历有理数的混合运算的一般顺序的探究过程，从中锻炼学生的综合运算能力和解决问题的能力。通过小组合作，体验与他人合作的精神以及认识到学习数学的乐趣，增加学习数学的兴趣。
重点：应用有理数的混合运算的法则进行运算。
难点：熟练并且正确的运用有理数混合运算法则进行运
算。
中的每个“□”内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果.
有个写运算符号的游戏：在“4□50□2□ - 1”
2
小优同学
我的结果是 .
但是怎么计算呢？
有理数的混合运算顺序
1
自主探究
加
除
乘方
乘
减
运算
结果
和
商
幂
积
差
第一级运算
第二级运算
第三级运算
运算顺序：
高级到低级，同级从左到右.
思考： 包含了哪些运算？
自主探究
＝4 + 1－1
＝4
添加括号
结果还是一样的吗？
归纳总结
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号依次进行.
2. 同级运算，从左到右进行；
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
典例精析
例1 计算：
在运算过程中，一定要注意符号运算不要出错.
解法一：
解法二：
点拨：在运算过程中，巧用运算律，可简化计算
例2 计算：
总结：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
ab＝ba，a(bc)＝(ab)c，a(b＋c)＝ab＋ac
游戏活动
24 点游戏规则：
“从一副扑克牌 (去掉大、小王) 中任意抽取 4 张，根据牌面上的数字进行混合运算 (每张牌必须用到，且只能用一次)，使得运算结果为 24 或－24. 其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J、Q、K 分别代表 11、12、13”.
(1) 小飞抽到了这样几张牌：
他运用下面的方法凑成了 24：
7×(3 + 7÷3)＝24.
如果抽到的是 ，你能凑成 24 吗？
7×[3÷7 - (-3)]＝24.
(-7)×[(-3)÷7 - 3]＝24，
或 7×[-(-3)＋(-3)÷(-7)]＝24.
(2) 请将下面每组扑克牌面上的数字凑成 24。
在上述“24 点”游戏中，你积累了哪些经验？与同伴交流。
12×3 - (-12)×(-1) = 24，
或 (-12)×[(-1)12 - 3]=24。
(-2 - 3)2 - 1=24。
典例精析
例2 观察下面三行数：
-2， 4， -8， 16， -32， 64，···；①
0， 6， -6， 18， -30， 66，···； ②
-1， 2， -4， 8， -16， 32，···。③
(1) 第 ① 行数按什么规律排列？
数字规律探究
2
绝对值
符号
×2
22
23
24
25
26
(-2)1，(-2)2，(-2)3，(-2)4，(-2)5，(-2)6，···
(-2)1
(-2)5
(-2)3
-2
4
-8
16
-32
64
···
2
4
8
16
32
64
2
(-2)2
(-2)4
(-2)6
-2
-23
-25
×2
×2
×2
×2
第①行数：
(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？
-2， 4， -8， 16， -32， 64，···；①
0， 6， -6， 18， -30， 66，···；②
＋2
＋2
＋2
＋2
＋2
＋2
-2， 4， -8， 16， -32， 64，···；①
-1， 2， -4， 8， -16， 32， ··· ③
÷2
÷2
÷2
÷2
÷2
÷2
(3) 取每行的第 10 个数，计算这三个数的和.
解：每行数中的第 10 个数的和是
(-2)10 + [ (-2)10 + 2 ] + (-2)10 ÷2
= 1024 + (1024 + 2) + 1024÷2
= 1024 + 1026 + 512
= 2562。
知识点 有理数的混合运算
1.计算 的结果是( )
B
A.20 B.14 C. D.
2.［2025咸阳期末］下面计算中，正确的是( )
B
A. B.
C. D.
3.下列各组运算中，其结果最小的是( )
A
A. B. C. D.
4.［2025唐山期末］淇淇在计算的平方时，误算成 与2的积，求得
的答案比正确答案( )
B
A.小3 B.小15 C.大3 D.大15
5.计算：____（___）____
__________-____ _____。
9
0
6. 定义新运算“ ”，规定： ,则
的运算结果为___。
3
7.（12分）［教材 例2变式］计算：
（1）［2024广西中考］ ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式
。
（4） 。
解：原式
。
如有括号运算，先做___________，按_______，_______，_______依次进行
先_________，再_______，最后_________
同级运算，从____到____依次进行
有理数混合运算
左
乘方
乘除
右
括号内运算
小括号
加减
中括号
大括号
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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