3.3 探索与表达规律 课件（共31张PPT）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

(共31张PPT)
3.3 探索与表达规律 教学课件内容
幻灯片 1：标题页
标题：3.3 探索与表达规律
副标题：从具体情境中发现数学规律
作者：[教师姓名]
日期：[授课日期]
学习目标：
经历从具体情境中探索规律、表达规律的过程
掌握探索规律的常用方法，能运用代数式表示发现的规律
能运用规律解决实际问题，体会数学的应用价值
幻灯片 2：情境引入
生活中的规律：
展示自然界和生活中的规律现象：
春夏秋冬四季交替的周期规律
向日葵花盘种子的排列规律
日历中数字的排列规律
建筑物上的对称图案规律
思考：数学中也存在大量规律，如何从一组数据或图形中发现规律并用代数式表示？
幻灯片 3：规律探索的意义
为什么要探索规律？
规律是数学的本质特征之一，探索规律是数学研究的重要内容
培养观察、分析、归纳和推理能力
为后续学习函数、数列等知识奠定基础
解决实际生活中的周期性、规律性问题
探索规律的一般步骤：
观察：收集数据或观察图形特征
归纳：寻找数据或图形的变化趋势
猜想：用代数式表示规律
验证：检验规律的正确性
幻灯片 4：数字规律探索（一）
例 1：观察下列一组数，寻找规律并填空
(1) 2，4，6，8，10，，，… 第 n 个数是__
分析：后一个数比前一个数大 2，是连续偶数
规律：第 n 个数是 2n
答案：12，14，2n
(2) 1，3，5，7，9，，，… 第 n 个数是__
分析：后一个数比前一个数大 2，是连续奇数
规律：第 n 个数是 2n-1
答案：11，13，2n-1
幻灯片 5：数字规律探索（二）
例 2：观察下列一组数，寻找规律
(1) 1，4，9，16，25，，，… 第 n 个数是__
分析：1=1 ，4=2 ，9=3 ，16=4 ，25=5
规律：第 n 个数是 n
答案：36，49，n
(2) 2，5，10，17，26，，，… 第 n 个数是__
分析：2=1 +1，5=2 +1，10=3 +1，17=4 +1
规律：第 n 个数是 n +1
答案：37，50，n +1
幻灯片 6：图形规律探索（一）
例 3：用火柴棒按下图方式搭三角形
图形序号
①
②
③
④
…
第 n 个
火柴棒根数
3
5
7
9
…
？
分析：
第①个图形：3 根
第②个图形：3+2=5 根
第③个图形：5+2=7 根
每增加一个三角形，增加 2 根火柴棒
规律：第 n 个图形需要的火柴棒根数为 3+2 (n-1)=2n+1
验证：当 n=1 时，2×1+1=3，正确；当 n=2 时，2×2+1=5，正确。
幻灯片 7：图形规律探索（二）
例 4：观察下列点阵图形和与之相对应的等式
① 4×0+1=4×1-3
② 4×1+1=4×2-3
③ 4×2+1=4×3-3
④ =
…
第 n 个等式是__
分析：等式左边：4×(序号 - 1)+1；等式右边：4× 序号 - 3
规律：第 n 个等式是 4 (n-1)+1=4n-3
答案：④ 4×3+1=4×4-3；第 n 个等式：4 (n-1)+1=4n-3
幻灯片 8：日历中的规律
例 5：观察日历中的数字规律
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
规律探索：
横向：相邻两个数相差 1
纵向：相邻两个数相差 7
斜向：左上到右下相差 8，右上到左下相差 6
方框中的 9 个数之和是中间数的 9 倍
验证：用代数式表示方框中 9 个数（设中间数为 a），求和后等于 9a。
幻灯片 9：规律探索的方法总结
常用方法：
差值法：计算相邻数据的差，寻找差的规律（如连续加同一个数）
比值法：计算相邻数据的比值，寻找倍数规律（如连续乘同一个数）
平方 / 立方关系：观察数据与序号的平方、立方关系
分组法：将数据分组，寻找组内和组间规律
图形分解法：将复杂图形分解为简单图形，寻找变化规律
注意事项：
规律要具有普遍性，能适用于所有数据
多验证几个数据，确保规律正确
用含 n 的代数式表示规律时，n 通常为正整数
幻灯片 10：易错点警示
错误：只根据前 2-3 个数据就确定规律（×，应多观察几组数据）
错误：忽略序号与数据的对应关系（×，规律应与序号 n 相关联）
错误：图形规律中计数错误（×，数图形个数时要准确）
错误：规律表达不简洁（×，应化简代数式）
示例：错误表达 “第 n 个数是 n+n”，正确应为 “2n”。
幻灯片 11：课堂练习
基础题：
观察数列：3，6，9，12，15，… 第 n 个数是__
观察图形，第 n 个图形有__个小正方形
提高题：
3. 观察下列等式：
1=1
1+3=2
1+3+5=3
1+3+5+7=4
…
第 n 个等式是__
用棋子按规律摆出下列图形，第 n 个图形需要__枚棋子
幻灯片 12：规律的实际应用
例 6：某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个，…，按此规律，5 小时后细胞存活的个数是__
分析：
1 小时后：2×2-1=3
2 小时后：3×2-1=5
3 小时后：5×2-1=9
规律：第 n 小时后存活个数为前一小时个数 ×2-1
计算：
4 小时后：9×2-1=17
5 小时后：17×2-1=33
答案：33
幻灯片 13：课堂小结
探索规律的步骤：观察→归纳→猜想→验证
常用方法：差值法、比值法、平方关系法、图形分解法等
核心能力：从特殊到一般的归纳推理能力
规律表达：用含 n 的代数式简洁表示规律
应用价值：解决数字排列、图形变化、实际生活中的规律性问题
幻灯片 14：作业布置
教材 P [XX] 习题 3.3 第 1、2、3 题
拓展题：观察一组数：1/2，-2/3，3/4，-4/5，5/6，… 第 n 个数是__
实践题：寻找生活中的一个规律现象，用代数式表示其规律并验证
幻灯片 15：结束页
感谢聆听！
疑问解答与交流
2024北师大版数学七年级上册
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3.3 探索与表达规律
第三章 整式及其加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，体会探索规律的一般方法。
2. 在活动中发展观察、合作、交流等能力，认识探索规律的必要性，体会数学学习的乐趣。
重点：会利用代数式表示规律。
难点：掌握探索规律的常用方法。
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字 1，2，3，4，5，……，请问数字 20 落在哪个手指上？
你们能很快地说出数字 200落在哪个手指上吗？2000 呢？
探索与表达规律
1
探究1：观察日历图，日历图中的数有什么规律
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
合作探究
提示：(1) 请找出同一横线上三个相邻数之间的关系；
(2) 请同学们找一找竖列三个相邻数的关系；
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
(3) 请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数的关系；
(4) 请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数的关系.
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
探究2：日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
套色方框 9 个数之和是 90，是正中间的数 10 的 9 倍。
探究2：这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
成立
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
猜想：
a
a-7
a+8
a-8
a+6
a-6
a+7
a-1
a+1
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)
+(a+8) = ______
9a
结论：绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
用代数式表示：
尝试·思考
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
(1) 如图所示的日历图中，能否使框中 9 个数的和为144 180 呢 为什么
9a = 144
9a = 180
a = 20
a = 16
可以为 144。
和不能为 180。
(2) 在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为 80，这个月的第一个星期日是几号
星期日
x
x+7
x+14
x+21
x+28
x + x + 7 + x + 14 + x + 21 + x + 28 = 80
5x + 70 = 80
x = 2
这个月的第一个星期日是 2 号。
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律：十字形中五数之和 = 5×中间数
思考·交流
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
规律: “H”形中七数之和 = 7×中间数
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
“X”形
探索规律的一般步骤：
猜 想 规 律
表 示 规 律
验 证 规 律
具 体 问 题
观察、比较
成立
得出结论
不成立
探 索
重 新
回 头
归纳总结
你们能很快地说出数字 200 落在哪个手指上吗？2000 呢？
回顾导入
大拇指 食指 中指 无名指 小拇指
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
18 19 20 21
25 24 23 22
大拇指 食指 中指 无名指 小拇指
1 2 3 4 5
8 7 6
9 10 11 12 13
16 15 14
17 18 19 20 21
24 23 22
隔行有数
相差为 8
小拇指：8 的倍数 - 3
8×25 + 1 = 201，
食指：200。
8×250 + 1 = 2001，
食指：2000。
大拇指：8 的倍数 + 1
8 的倍数都落在食指上
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘 2，然后加 3，再将所得新数乘 5，最后将得到的数加个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。
游戏探究
你知道是怎样算出来的吗？
我的结果是93。
你心里想的数是78。
我的结果是27。
你心里想的数是12。
假设这个两位数十位上的数字为 a，个位上的数字为 b。
则这个两位数可表示为 (10a + b)
(2a + 3)×5 + b = 10a + b + 15
新数字比原来的数字大 15。
游戏解密
尝试·思考
(1) 一个三位数能否被 3 整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被 3 整除。你能说明其中的道理吗
因为 99a 和 9b 都能被 3 整除，
若 a + b + c 也能被 3 整除，
则该三位数 abc 可以被 3 整除，
所以，一个三位数能不能被 3 整除，只要看这个数的各位上数字之和能不能被 3 整除。
100a + 10b + c
设一个任意三位数为 abc，则这个三位数的数值
= 99a + a + 9b + b + c
= 99a + 9b + (a + b + c)；
(2) 一个四位数能否被 3 整除是否也有这样的规律 请说明理由。
动手试一试！
一个四位数能否被 3 整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被 3 整除。
正整数按下图的规律排列，则第二十行，第二十一列的数字是________。
420
练一练
1.某学校食堂的餐桌椅有两种摆放方式。
（1）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
解：4张桌子可以坐12人，5张桌子可以坐14人，n张桌子可以坐（2n+4）人.
习题3.3
（2）按下图方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
解：4张桌子可以坐18人，5张桌子可以坐22人，n张桌子可以坐（4n+2）人.
2.将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表．
（1）十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？
（2）设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？
（3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？
（4）十字形框中的五数之和能等于2012吗？能等于2015吗？
解：（1）5个数之和为75，是15的倍数.
（2）5a. （3）有.
（4）因为2012不能被5整除，2015能被5整除，所以十字形框中的五数之和不能等于2012，能等于2015.
解：假设心里想的数为a，
则由题意得[（4a+8）×5+7]×5=100a+235.
所以只要将计算的结果减去235，再除以100，就是心里所想的数了.
3.小强：“你在心里想好一个数，按照下列步骤进行计算：把这个数乘4，然后加8，再把所得新数乘5，然后再加7，最后再把得到的数乘5.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的数了．”同学们试了几次，小强都猜对了，你知道这是为什么吗？
解：答案不唯一.提示：小亮和他的好朋友约定的规则是：把每个字母换成字母表中其后第2个字母，设计略.
4. 小亮和好朋友经常玩一种密码游戏:他们事先约定英文字母表中各字母位置的变化规则，以此实现加密和解密。有一次小亮给好朋友留了一张纸条，纸条上写着“kccr zcfglb rfc jgzpypw”，好朋友一下子就明白了“meet behind the library”．
(1)小亮他们这次事先约定的字母位置变化规则是什么 请用代数式表达他们的规则。(2)请你尝试设计一个类似的密码游戏。
解：末两位是00,25,50,75的任何数可以表示为100a+b ,
其中b表示00,25,50,75.显然100a+b 能被25整除.
5.末两位是00，25，50，75的任何数均能被25整除，这是为什么 请解释其中的道理。
数式变化中的规律
图形拼接中的规律
探索与表达规律
探索 猜想 验证
特殊 一般
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！