5.2.4利用去分母解一元一次方程 课件（共31张PPT）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

(共31张PPT)
5.2.4 利用去分母解一元一次方程 教学课件内容
幻灯片 1：标题页
标题：5.2.4 利用去分母解一元一次方程
副标题：含分数系数的一元一次方程求解方法
作者：[教师姓名]
日期：[授课日期]
学习目标：
掌握去分母的方法和依据，能正确去掉方程中的分母
熟练运用去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤解含分数系数的一元一次方程
提高方程变形能力，体会转化思想在解题中的应用
培养严谨的解题习惯，避免去分母过程中的常见错误
幻灯片 2：复习引入
回顾旧知：
等式的基本性质 2：等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式
即若 a = b，则 ac = bc（c 为常数）
最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个
示例：4 和 6 的最小公倍数是 12；3、4、6 的最小公倍数是 12
问题情境：
如何解方程：(x + 1)/2 - (2x - 1)/3 = 1？
这个方程与之前学习的方程有什么不同？如何简化这类含分数系数的方程？
幻灯片 3：去分母的依据与方法
去分母的引入
观察方程：(x + 1)/2 - (2x - 1)/3 = 1
直接移项或合并同类项会比较繁琐，若能去掉分母转化为整数系数方程会更简便。
依据
去分母的依据是等式的基本性质 2，方程两边同时乘各分母的最小公倍数，使方程中的分母化为 1。
方法步骤
找最小公倍数：确定方程中所有分母的最小公倍数
乘最小公倍数：方程两边同时乘这个最小公倍数，去掉分母
去括号整理：对去掉分母后的方程进行去括号和化简
示例
方程：(x + 1)/2 - (2x - 1)/3 = 1
分母是 2 和 3，最小公倍数是 6
两边乘 6 得：6×(x + 1)/2 - 6×(2x - 1)/3 = 6×1
化简得：3 (x + 1) - 2 (2x - 1) = 6
幻灯片 4：去分母的注意事项
每一项都要乘：方程两边的每一项（包括不含分母的项）都要乘最小公倍数
错误示例：(x + 1)/2 - 1 = (2x - 1)/3 两边乘 6 得 3 (x + 1) - 1 = 2 (2x - 1)（常数项漏乘）
正确示例：3 (x + 1) - 6 = 2 (2x - 1)
分子是多项式要加括号：当分子是多项式时，去分母后要给分子加上括号
错误示例：(2x - 1)/3 = x/2 两边乘 6 得 2 (2x - 1) = 3x（正确）；(x + 1)/2 = 3 两边乘 2 得 x + 1 = 6（正确）
错误示例：(x - 1)/2 - (x + 2)/3 = 1 两边乘 6 得 3x - 1 - 2x + 2 = 6（分子未加括号）
正确示例：3 (x - 1) - 2 (x + 2) = 6
符号问题：注意分数线的括号作用，去分母后括号前是负号的要变号
示例：(1 - x)/2 = (x + 1)/3 两边乘 6 得 3 (1 - x) = 2 (x + 1)，去括号得 3 - 3x = 2x + 1
幻灯片 5：利用去分母解一元一次方程的步骤
基本步骤
去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，去掉分母
去括号：根据去括号法则去掉方程中的括号
移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边（移项要变号）
合并同类项：把方程化为 ax = b（a≠0）的形式
系数化为 1：两边同时除以未知数的系数 a，得 x = b/a
流程图
原方程 → 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 → 方程的解
示例
解方程：(x + 1)/2 - (2x - 1)/3 = 1
步骤 1：去分母（乘 6）得 3 (x + 1) - 2 (2x - 1) = 6
步骤 2：去括号得 3x + 3 - 4x + 2 = 6
步骤 3：合并同类项得 - x + 5 = 6
步骤 4：移项得 - x = 6 - 5
步骤 5：合并同类项得 - x = 1
步骤 6：系数化为 1 得 x = -1
检验：把 x = -1 代入原方程，左边 =(-1 + 1)/2 - (2×(-1) - 1)/3=0 - (-3)/3=1，右边 = 1，左边 = 右边，x = -1 是方程的解。
幻灯片 6：例题解析（一）—— 分母为常数
例 1：解方程 (x - 1)/4 + 1 = (2x + 1)/6
解：
步骤 1：分母 4 和 6 的最小公倍数是 12，两边乘 12 得 3 (x - 1) + 12 = 2 (2x + 1)
步骤 2：去括号得 3x - 3 + 12 = 4x + 2
步骤 3：合并同类项得 3x + 9 = 4x + 2
步骤 4：移项得 3x - 4x = 2 - 9
步骤 5：合并同类项得 - x = -7
步骤 6：系数化为 1 得 x = 7
答案：x = 7
例 2：解方程 1 - (y - 2)/3 = (y + 1)/2
解：
步骤 1：分母 3 和 2 的最小公倍数是 6，两边乘 6 得 6 - 2 (y - 2) = 3 (y + 1)
步骤 2：去括号得 6 - 2y + 4 = 3y + 3
步骤 3：合并同类项得 10 - 2y = 3y + 3
步骤 4：移项得 - 2y - 3y = 3 - 10
步骤 5：合并同类项得 - 5y = -7
步骤 6：系数化为 1 得 y = 7/5
答案：y = 7/5
幻灯片 7：例题解析（二）—— 分母含倍数关系
例 3：解方程 (x + 2)/5 - (x - 1)/2 = 1 - (2x - 1)/3
解：
步骤 1：分母 5、2、3 的最小公倍数是 30，两边乘 30 得 6 (x + 2) - 15 (x - 1) = 30 - 10 (2x - 1)
步骤 2：去括号得 6x + 12 - 15x + 15 = 30 - 20x + 10
步骤 3：合并同类项得 - 9x + 27 = 40 - 20x
步骤 4：移项得 - 9x + 20x = 40 - 27
步骤 5：合并同类项得 11x = 13
步骤 6：系数化为 1 得 x = 13/11
答案：x = 13/11
例 4：解方程 (2x - 1)/3 - (3x + 1)/6 = (x - 1)/2 - 1
解：
步骤 1：分母 3、6、2 的最小公倍数是 6，两边乘 6 得 2 (2x - 1) - (3x + 1) = 3 (x - 1) - 6
步骤 2：去括号得 4x - 2 - 3x - 1 = 3x - 3 - 6
步骤 3：合并同类项得 x - 3 = 3x - 9
步骤 4：移项得 x - 3x = -9 + 3
步骤 5：合并同类项得 - 2x = -6
步骤 6：系数化为 1 得 x = 3
答案：x = 3
幻灯片 8：例题解析（三）—— 分子分母含小数
例 5：解方程 (0.1x - 0.2)/0.02 - (x + 1)/0.5 = 3
解：
步骤 1：先将小数分母化为整数，分子分母同乘 100 或 10 得 (10x - 20)/2 - (10x + 10)/5 = 3
步骤 2：化简得 5x - 10 - 2x - 2 = 3（相当于去分母后的结果）
步骤 3：合并同类项得 3x - 12 = 3
步骤 4：移项得 3x = 3 + 12
步骤 5：合并同类项得 3x = 15
步骤 6：系数化为 1 得 x = 5
答案：x = 5
方法总结：当分母是小数时，可先利用分数的基本性质将分子分母同乘 10、100 等，转化为整数分母后再去分母。
幻灯片 9：易错点警示
漏乘不含分母的项：
错误：方程 (x + 1)/2 - 1 = x/3 两边乘 6 得 3 (x + 1) - 1 = 2x（常数项 1 漏乘 6）
正确：3 (x + 1) - 6 = 2x
规避：去分母时确保方程两边每一项都乘最小公倍数
分子未加括号：
错误：方程 (x - 1)/3 - (x + 2)/5 = 1 两边乘 15 得 5x - 1 - 3x + 2 = 15（分子是多项式未加括号）
正确：5 (x - 1) - 3 (x + 2) = 15
规避：分母去掉后，分子是多项式的一定要加上括号
符号错误：
错误：方程 (1 - x)/2 = 1 两边乘 2 得 1 - x = 1（正确）；方程 (1 - x)/2 = -1 两边乘 2 得 1 - x = -1（正确）
错误：方程 (2 - x)/3 = (x - 1)/2 两边乘 6 得 2 (2 - x) = 3 (x - 1) 去括号得 4 - 2x = 3x - 3（正确）
规避：注意分数线的括号作用，去括号时严格遵循符号法则
最小公倍数找错：
错误：方程 1/4x + 1/6 = 1/3x 中分母 4、6、3 的最小公倍数找成 24（正确应为 12）
规避：找最小公倍数时先分解质因数，再取各质因数的最高次幂相乘
幻灯片 10：课堂练习
基础题：
解方程：(x + 3)/2 = (2x - 1)/3
解方程：1 - (y - 1)/2 = (y + 2)/3
下列去分母正确的是（ ）
A. 方程 x/2 - 1 = x/3 两边乘 6 得 3x - 1 = 2x
B. 方程 (x - 1)/3 - (x + 1)/2 = 1 两边乘 6 得 2 (x - 1) - 3 (x + 1) = 1
C. 方程 (x + 1)/4 - 1 = x/5 两边乘 20 得 5 (x + 1) - 20 = 4x
D. 方程 (2x - 1)/3 = x/2 两边乘 6 得 2 (2x - 1) = 3x - 6
提高题：
4. 解方程：(2x - 1)/5 - (3x + 1)/3 = (x - 2)/2
5. 解方程：(0.3x + 0.5)/0.2 = (2x - 1)/3 + 1
幻灯片 11：知识拓展
解一元一次方程的一般步骤总结：
解一元一次方程的步骤通常包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，但在实际解题时，可根据方程特点灵活调整步骤顺序：
不含分母的方程：可省略去分母步骤
不含括号的方程：可省略去括号步骤
分母较简单的方程：可先化简再去分母
示例：方程 3x/4 = 1/2 可直接两边乘 4 去分母，也可先两边乘 2 化简为 3x/2 = 1 再去分母。
核心思想：通过变形将复杂方程转化为简单方程，体现 “转化” 的数学思想。
幻灯片 12：课堂小结
去分母依据：等式的基本性质 2（两边同乘最小公倍数）
去分母步骤：
找最小公倍数→两边同乘最小公倍数→整理去括号
完整解题步骤：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1
关键注意事项：
每一项都要乘最小公倍数，不遗漏不含分母的项
分子是多项式的要加括号，去括号时注意符号
灵活处理小数分母，先转化为整数分母再去分母
口诀记忆：
分数方程不难办，去分母是关键点；
先找分母公倍数，两边同乘莫嫌烦；
不含分母也得乘，分子多项括号添；
去完分母去括号，移项合并要领先；
系数化为 1 最后算，检验步骤记心间。
幻灯片 13：作业布置
教材 P [XX] 习题 5.2 第 10、11、12 题
解下列方程：
(1) (x - 3)/4 + (x - 1)/3 = 1
(2) (2x - 1)/3 - (5x + 1)/2 = 1
(3) (x + 1)/0.2 - (x - 1)/0.5 = 3
当 x 为何值时，代数式 (x - 1)/3 与 (x + 2)/6 的差是 1？
思考题：已知关于 x 的方程 (x + a)/2 - (2x - 1)/3 = 1 的解是 x = 2，求 a 的值。
幻灯片 14：结束页
感谢聆听！
疑问解答与交流
2024北师大版数学七年级上册
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5.2.4利用去分母解一元一次方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 解方程的基本思路是把“复杂”转化为“简单”,把“新”转化为“旧”的过程,理解并掌握如何去分母解方程。
2. 进一步体会解方程方法的灵活多样,培养解决不同问题的能力,发展数学思维。
重点：熟练掌握用去分母解一元一次方程。
难点：通过探究“去分母”解一元一次方程,归纳解一元
一次方程的步骤。
1. 等式的基本性质 2：等式两边乘同一个___ (或除以同一个不为___的数)，所得结果仍是 。
2. 写出下列各组数的最小公倍数：
（1）2 和 4 _____； （2）2 和 3 ______；
（3）2，3 和 6 _____； （4）4，5 和 6 ______。
4
6
6
60
等式
数
0
利用去分母解方程
1
探究一：解方程： 。
还有其他办法吗？
解：去括号，得 。
移项、合并同类项，得 。
方程两边都除以 ，得 。
合作探究
解法二：
去分母，得 4(x＋14)＝7(x＋20).
系数化为1，得 x＝－28.
移项、合并同类项，得 －3x＝84.
去括号，得 4x＋56＝7x＋140.
把分数化成整数计算更简单！
思考1：两种解法有什么不同？你认为哪种解法比较好？
思考交流
思考2：解一元一次方程有哪些步骤？与同伴进行交流。
方法总结：
解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成 x = a的形式。
例1 解方程：
×30
×30
×30
典例精析
解：去分母，得 6(x + 15) = 15 - 10(x - 7)。
去括号，得 6x + 90 = 15 - 10x + 70。
移项、合并同类项，得 16x = -5。
方程两边同除以 16，得 。
如果先去括号呢？
练一练
1. 解方程： 。
解：去分母，得 3(x - 3) - 2(x＋1) = 1。
去括号，得 3x - 9 - 2x - 2 = 1。
移项，得 3x - 2x = 1 + 9 + 2。
合并同类项，得 x = 12。
1. 去分母时，应将方程的左右两边同乘分母的
；
2. 去分母的依据是 ，去分母时
不能漏乘 ；
3. 去分母与去括号这两步分开写，尽量不要跳步，
防止忘记变号.
最小公倍数
等式的基本性质 2
没有分母的项
方法总结
去分母解方程的应用
2
例2 火车用 26 秒的时间通过一个长 256 米的隧道 (即从车头进入入口到车尾离开出口)，这列火车又以同速 16 秒的时间通过了长 96 米的隧道，求火车的长度。
解：设火车的长度为 x 米，列方程得
解得 x = 160.
答：火车的长度为 160 米.
方法总结：火车过桥问题中，火车行驶的路程等于桥的长度加上火车的长度。
练一练
1.有一个关于教室人数的回答：“在所有学生中，除了 在学数学， 在学音乐，以及 沉默无言的学生以外，还有 3 名学生在探讨问题.”到底有多少人在教室里呢
分析：
学数学人数＋学音乐人数＋沉默无言人数＋探讨问题人数＝总人数
解：设教室里共有 x 人.
去分母(方程两边乘以 28)，得
－3x＝－84.
系数化为 1，得
答：教室里共有 28 人.
根据总人数一定，列得
x＝28.
移项及合并同类项，得
14x＋7x＋4x＋84＝28x.
解：（1）x=15. （2）y=
（3）x= . （4）x=
1. 解下列方程：
（1）x+21=36； （2）8=7－2y；
（3） （4）
解：设这个数为x，依题意得 x－3=9.
解得x=84.
所以这个数为84.
2.求解由习题5.1第1 (1)(2)(4)题、第4题列出的方程。
根据题意列出方程：（1）一个数的 与3的差等于
最大的一位数，求这个数；
(2)解：设x周后树苗长到1m，则40+5x=100.
解得x=12.
答：大约12周后树苗长到1m.
习题5.1(2)小颖栽种了一株高为40cm的树苗，在栽种后的一段时间内，树苗每周长高约5cm。按照这样的速度，大约几周后树苗长高到1m
（4）设他需要x个月才能付清全部货款.
由题意，得3000+1500x=19500.
解得x=11.
答：他需要11个月才能付清全部货款.
习题5.1(4)某商店规定:购买超过15000元的物品可以采用分期付款的方式，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元，直至付清。王叔叔想用分期付款的方式购买价值19 500元的电器，他需要用多长时间才能付清尾款
3.解下列方程：
（1）12(2－3x)=4x+4； （2）6－3（x+ ）= ；
4.求解本章第1节中的方程10r+ 15(45- r)= 475。
解： （1）x=
（2）x=－1. （3）x=－
5.解下列方程：
解：（4）x= （5）x=-3.
（6）x=
6.设“〇”“△”“□”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示:
则下列图形正确的是（　　）
AB
7.7.如何解方程2x=5x 小颖在方程的两边都除以x，竟然得到2=5。她错在哪里
解：错在不确定x是否为0就盲目地除以x，而本题中的x正好为0.
解：设陆地面积约为x亿km2，则海洋面积约为2.4x
亿km2.
依题意，得2.4x+x=5.1，解得x=1.5.
所以2.4x=3.6.
答：陆地面积约为1.5亿km2，海洋面积约为3.6亿km2.
8.地球上的海洋面积约为陆地面积的2.4倍，地球的表面积约为5.1亿km2，求地球上的海洋面积和陆地面积.
解：设黑色皮块的数目为3x个，则白色皮块的数目为5x个.
由题意，得3x+5x=32.解得x=4.
所以3x=12,5x=20.
答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个.
9.足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目比为3∶5.一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？
解：设该旅客的机票票价为x元，
根据题意，得（35－20）×1.5%x+0.8x=1107,
解得x=1080.
答：该旅客的机票票价为1080元.
10.某航空公司规定:乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运20kg行李，超出部分每千克按经济舱全票价的1.5%计费。一名经济舱旅客托运了35 kg行李，行李费连同八折机票共付1 107元，求该旅客机票的全票价。
解：设原两位数个位数字为x，则十位数字为2x，
由题意，得（10×2x+x）－（10x+2x）=36，
解得x=4,2x=8.
因此，这个两位数是84.
11.一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的两位数比原来的数小36，求这个两位数.
解：设x年后，小川的年龄是他祖父年龄的 .
由题意，得6+x= （72+x），解得x=16.
因此，16年后，小川的年龄是他祖父年龄的 .
12.小川今年6岁，他的祖父72岁.几年后小川的年龄是他祖父年龄的
解：设蜘蛛有x只，则蜻蜓有2x只.
由题意，得8x+6×2x=120,
解得x=6,2x=12.
答：蜘蛛有6只，蜻蜓有12只.
13.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿.现有蜘蛛、蜻蜓若干只，
它们共有120条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的2倍.蜘蛛、
蜻蜓各有多少只？
变形名称 具体的做法
去分母 乘所有分母的最小公倍数.
依据是等式的基本性质2.
去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号.
依据是去括号法则和乘法分配律.
移项 把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式的基本性质1.
合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加.
依据是乘法分配律.
系数化为 1 在方程的两边除以未知数的系数.
依据是等式的基本性质2.
解一元一次方程的一般步骤
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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