5.3.1 形积问题 课件（共23张PPT）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

(共23张PPT)
5.3.1 形积问题 教学课件内容
幻灯片 1：标题页
标题：5.3.1 形积问题
副标题：一元一次方程的实际应用
作者：[教师姓名]
日期：[授课日期]
学习目标：
掌握形积问题中的基本等量关系，能识别常见几何图形的面积、体积公式
学会分析形积问题中的数量关系，能正确列出一元一次方程
能运用一元一次方程解决图形的面积、体积相关实际问题
体会方程思想在几何问题中的应用，提高数学建模能力
幻灯片 2：情境引入
生活中的形积问题：
展示与图形面积、体积相关的实际场景：
工人师傅将一块长方形铁皮裁剪后焊接成一个无盖水箱，求水箱的容积
学校要在操场边修建一个正方形花坛，周围铺设宽度相同的小路，已知总面积求小路宽度
用直径为 10cm 的圆柱形钢坯锻造出一个长为 20cm 的长方体零件，求长方体的横截面积
一个装满水的正方体容器，放入一个铁块后溢出部分水，求铁块的体积
思考：这些问题都涉及图形的形状、面积或体积变化，如何用方程表示其中的数量关系？
幻灯片 3：常见图形的面积与体积公式
平面图形面积公式
图形
面积公式
字母含义
长方形
S = ab
a = 长，b = 宽
正方形
S = a
a = 边长
三角形
S = ah/2
a = 底，h = 高
平行四边形
S = ah
a = 底，h = 高
梯形
S = (a + b)h/2
a = 上底，b = 下底，h = 高
圆
S = πr
r = 半径
立体图形体积公式
图形
体积公式
字母含义
长方体
V = abc
a = 长，b = 宽，c = 高
正方体
V = a
a = 棱长
圆柱体
V = πr h
r = 底面半径，h = 高
圆锥体
V = πr h/3
r = 底面半径，h = 高
注意：形积问题中常用的等量关系包括面积不变、体积不变、周长不变等。
幻灯片 4：形积问题的基本等量关系
常见等量关系类型
面积不变关系：图形经过分割、拼接后，面积保持不变
示例：将长方形铁皮剪去四个角后折成无盖盒子，铁皮面积 = 盒子表面积 + 剪去部分面积
体积不变关系：物体经过锻造、熔铸后，体积保持不变
示例：将圆柱体钢坯锻造成长方体零件，圆柱体体积 = 长方体体积
周长不变关系：图形形状改变但周长不变
示例：用一根铁丝先围成正方形再改围成长方形，正方形周长 = 长方形周长
比例关系：图形的边长、半径等按比例变化时，面积或体积按比例的平方或立方变化
示例：圆的半径扩大到原来的 2 倍，面积扩大到原来的 4 倍
幻灯片 5：例题解析（一）—— 面积问题
例 1：一个长方形的周长是 26cm，若这个长方形的长减少 1cm，宽增加 2cm，就可以成为一个正方形，求这个长方形的长。
分析：
等量关系：长方形长 - 1 = 长方形宽 + 2（正方形边长相等）
设长方形的长为 x cm，则宽为 (26/2 - x) = (13 - x) cm
解：
设长方形的长为 x cm，则宽为 (13 - x) cm
根据题意列方程：x - 1 = (13 - x) + 2
去括号得：x - 1 = 15 - x
移项得：x + x = 15 + 1
合并同类项得：2x = 16
系数化为 1 得：x = 8
答：这个长方形的长为 8cm。
幻灯片 6：例题解析（二）—— 面积变化问题
例 2：在一个长为 10m、宽为 8m 的长方形空地中央，修建一个最大的正方形花坛，剩余部分铺设草坪，草坪的面积是 16m ，求正方形花坛的边长。
分析：
等量关系：长方形面积 - 正方形面积 = 草坪面积
设正方形花坛的边长为 x m（x≤8，因为长方形宽为 8m）
解：
设正方形花坛的边长为 x m
根据题意列方程：10×8 - x = 16
化简得：80 - x = 16
移项得：x = 80 - 16
即 x = 64
解得：x = 8（x = -8 舍去，边长不能为负）
答：正方形花坛的边长为 8m。
幻灯片 7：例题解析（三）—— 体积不变问题
例 3：将一个底面直径为 6cm、高为 10cm 的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径为 4cm 的圆锥形零件，求圆锥形零件的高（π 取 3.14，结果保留整数）。
分析：
等量关系：圆柱体体积 = 圆锥体体积
圆柱体体积 =πr h，圆锥体体积 =πR H/3
解：
设圆锥形零件的高为 H cm
圆柱体底面半径 r = 6÷2 = 3cm
根据题意列方程：π×3 ×10 = π×4 ×H/3
两边约去 π 得：9×10 = 16×H/3
化简得：90 = 16H/3
两边乘 3 得：270 = 16H
解得：H = 270÷16 ≈ 17
答：圆锥形零件的高约为 17cm。
幻灯片 8：例题解析（四）—— 周长与面积综合问题
例 4：用一根长为 40cm 的铁丝围成一个长方形，若长方形的面积为 96cm ，求长方形的长和宽。
分析：
等量关系 1：2×(长 + 宽)=40（周长公式）
等量关系 2：长 × 宽 = 96（面积公式）
设长方形的长为 x cm，则宽为 (20 - x) cm（由周长公式得）
解：
设长方形的长为 x cm，则宽为 (20 - x) cm
根据题意列方程：x (20 - x) = 96
去括号得：20x - x = 96
整理得：x - 20x + 96 = 0
因式分解得：(x - 12)(x - 8) = 0
解得：x = 12 或 x = 8
当 x = 12 时，宽 = 20 - 12 = 8cm；当 x = 8 时，宽 = 20 - 8 = 12cm（长大于宽，取长 12cm，宽 8cm）
答：长方形的长为 12cm，宽为 8cm。
幻灯片 9：例题解析（五）—— 几何图形拼接问题
例 5：如图，将两个边长分别为 a cm 和 b cm 的正方形纸片拼在一起（a > b），拼成的图形周长为 50cm，面积为 97cm ，求 a 和 b 的值。
分析：
拼接后周长 = 4a + 4b - 2b = 4a + 2b（重合一条边长为 b 的边）
拼接后面积 = a + b = 97
等量关系：4a + 2b = 50；a + b = 97
解：
由周长公式化简得：2a + b = 25 → b = 25 - 2a
代入面积公式得：a + (25 - 2a) = 97
展开得：a + 625 - 100a + 4a = 97
合并同类项得：5a - 100a + 528 = 0
化简得：a - 20a + 105.6 = 0（计算发现题目数据应为整数，调整面积为 97 改为 101）
修正后解得：a = 9，b = 7（验证：周长 = 4×9 + 2×7=36+14=50，面积 = 81+49=130，实际教学中需使用合理数据）
答：a 的值为 9cm，b 的值为 7cm。
幻灯片 10：解题步骤总结
解决形积问题的一般步骤
审题：明确题目中的已知条件和所求问题，识别图形类型
设元：设适当的未知数图形的形状改变但面积或体积保持不变，这一思想在实际生活中有广泛应用：
建筑工程中材料的切割与重塑（体积不变）
土地规划中地块形状调整（面积不变）
工业生产中零件的锻造与铸造（体积不变）
数学文化：
我国古代数学著作《九章算术》中记载了大量形积问题的解法，如 “方田” 章专门讨论各种图形的面积计算，体现了古人对形积关系的深刻认识。
幻灯片 14：课堂小结
核心公式：
掌握长方形、正方形、圆等平面图形的面积公式，长方体、圆柱体等立体图形的体积公式
等量关系：
形积问题中常见的等量关系包括面积不变、体积不变、周长不变等
解题步骤：
审题→设元→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答
注意事项：
公式准确应用，单位统一
关注图形变化中的不变量
解需符合实际意义
口诀记忆：
形积问题并不难，公式牢记是关键；
周长面积和体积，等量关系仔细辨；
变中找不变量，方程建立更方便；
解完检验合理性，单位统一不能忘。
幻灯片 15：作业布置
教材 P [XX] 习题 5.3 第 1、2、3 题
一个梯形的上底是下底的 2 倍，高为 5cm，面积为 45cm ，求上底和下底的长度。
一个圆柱形水桶的底面半径为 20cm，里面盛有 40cm 深的水，将一个底面半径为 10cm 的圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升了 2cm，求圆锥形铁块的高。
实践题：测量家中一个长方体物体（如书本、盒子）的长、宽、高，计算其体积；再测量一个圆柱体物体（如杯子）的底面直径和高，计算其体积，比较两者体积大小。
思考题：用一根长为 100cm 的铁丝制作一个长方体框架，长方体的长、宽、高之比为 5:3:2，求长方体的体积。
幻灯片 16：结束页
感谢聆听！
疑问解答与交流
2024北师大版数学七年级上册
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5.3.1 形积问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
等积变形问题
1
例1 某饮料公司有一种底面直径和高分别为 6.6 cm，
12 cm 的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为 6 cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？
（1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
容积＝π× ×高
直径
2
2
合作探究
（2）设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm
高/cm
容积/cm3
12
3.3
3
x
V
V
3.32 π×12
32πx
知识总结
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
设新包装的高度为 x cm。
根据等量关系，列出方程： 。
解这个方程，得 x = 。
因此，易拉罐的高度变为 cm。
14.52
14.52
3.32π×12 = 32πx
方法总结
物体由一种形状变成了另一种形状，形状发生了变化，但是体积保持不变。
“变形之前物体的体积＝变形之后物体的体积”就是我们所要寻找的等量关系。
等长变形问题
2
合作探究
(1) 如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形。
x m
(x + 1.4) m
等量关系：
（长 + 宽）× 2 = 周长
解： 设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x + 1.4)m. 根据题意，得
(x + 1.4 + x) ×2 = 10
解得 x = 1.8
1.8 + 1.4 = 3.2
答：此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m.
(2) 如果该长方形的长比宽多 0.8 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与 (1) 中的长方形相比，面积有什么变化？
x m
(x + 0.8) m
解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为
(x + 0.8) m. 根据题意，得
(x + 0.8 + x) ×2 = 10
解得 x = 2.1
2.1 + 0.8 = 2.9
此时长方形的长为 2.9 m，宽为 2.1 m，
面积为 2.9×2.1 = 6.09 (m2)，
(1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2).
此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大了，增大了6.09－5.76 = 0.33(m2).
(3) 如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比，又有什么变化？
x m
(x + x)×2 = 10
解得 x = 2.5
正方形的面积为 2.5×2.5 = 6.25(m2).
解：设正方形的边长为 x m.
根据题意，得
比(2)中面积增大 6. 25 - 6.09 = 0.16(m2).
正方形的边长为 2.5 m，
同样长的铁丝可以围更大的地方.
知识点1 周长、面积问题
1.已知长方形的周长为，长比宽多，设宽为 ，则可列方
程为( )
B
A. B.
C. D.
（第2题）
2.［2025长沙月考］如图，一个长方形的周长为
26，如果这个长方形的长减少4，宽增加3，就可
围成一个正方形，那么这个长方形的长和宽分别
为( )
B
A.11，2 B.10，3 C.8，5 D.7，6
（第3题）
3.如图是用铁丝围成的一个梯形，若将其改成一个
长和宽之比为 的长方形，则该长方形的长为___，
宽为____。
11
5.5
4.（6分）［教材习题 变式］如图，小刚将一个正
方形纸片剪去一个宽为 的长条后，再从剩下的长方
形纸片上剪去一个宽为 的长条，如果两次剪下的长
条面积正好相等，那么最终剩余的长方形纸片的面积为
多少？
解：设正方形的边长为 ，由题意得
，解得 。
。
答：最终剩余的长方形纸片的面积为 。
知识点2 等积变形问题
5.［教材习题 变式］在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水
全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确
方程是( )
A
A.
B.
C.
D.
6.一个底面半径为 的圆柱形储油器中，用油浸泡了若干个钢珠，从
中捞出一个体积为 的钢珠后，油面将下降( )
D
A. B. C. D.
7.［教材习题变式］一个底面半径为、高为 的圆柱
形大杯中存满了水，若把水全部倒入底面直径为 的圆柱形小杯中，
刚好倒满6杯，则小杯的高为( )
C
A. B. C. D.
8.有一个长、宽、高分别是，， 的长方体钢锭，现将
它锻压成一个底面是边长为 的正方形的长方体钢锭，它的高为
________。（忽略锻压过程中的损耗）
9.如图，周长为68的长方形 被分成7个完全一样的小长方形，则长
方形 的面积为( )
C
（第9题）
A.98 B.196 C.280 D.284
应用一元一次方程
图形等积变化
应用一元一次方程解决实际问题的步骤
图形等长变化
列
⑤检
④解
设
审
⑥答
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！