5.3.2 “盈余不足”问题 课件（共22张PPT）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

(共22张PPT)
5.3.2 “盈余不足” 问题 教学课件内容
幻灯片 1：标题页
标题：5.3.2 “盈余不足” 问题
副标题：一元一次方程的实际应用
作者：[教师姓名]
日期：[授课日期]
学习目标：
理解 “盈余” 和 “不足” 的含义，掌握这类问题的基本特征
能分析 “盈余不足” 问题中的等量关系，正确列出一元一次方程
会运用一元一次方程解决生活中的 “盈余不足” 实际问题
培养分析问题和建立数学模型的能力，体会方程思想的应用
幻灯片 2：情境引入
生活中的盈余不足问题：
展示与 “盈余”“不足” 相关的实际场景：
分发物品时，每人分 3 个多 10 个，每人分 5 个少 8 个，求人数和物品总数
租车出游，每车坐 4 人有 15 人没座位，每车坐 6 人刚好空出 1 辆车，求车辆数和人数
安排住宿，每间住 3 人多 17 人，每间住 5 人有一间宿舍住不满（少 2 人），求宿舍间数和人数
购买文具，每人买 2 支钢笔多 10 支，每人买 3 支钢笔少 5 支，求人数和钢笔总数
思考：这些问题都涉及两种分配方案，一种有剩余（盈余），一种不够分（不足），如何用方程表示其中的数量关系？
幻灯片 3：核心概念与等量关系
基本概念
盈余：分配物品时，最后剩余的数量（分配后有剩余）
不足：分配物品时，最后缺少的数量（分配后不够分）
两种分配方案：问题中通常包含两种不同的分配方式，产生不同的结果（一种盈余，一种不足）
核心等量关系
在盈余不足问题中，物品总数（或总人数、总数量）是不变的，这是列方程的关键依据：
方案一的物品总数 = 方案二的物品总数
常用表达式：
第一种分配方式的总量 = 第二种分配方式的总量
即：每人分配量 × 人数 + 盈余量 = 每人分配量 × 人数 - 不足量
符号表示
设参与分配的人数为 x，若：
每人分 a 个，盈余 b 个，则物品总数 = ax + b
每人分 c 个，不足 d 个，则物品总数 = cx - d
等量关系：ax + b = cx - d
幻灯片 4：例题解析（一）—— 物品分配问题
例 1：学校给学生发练习本，若每人发 5 本，则多 30 本；若每人发 7 本，则少 20 本。求学生人数和练习本总数。
分析：
两种分配方案：
方案一：每人 5 本，盈余 30 本 → 练习本总数 = 5x + 30
方案二：每人 7 本，不足 20 本 → 练习本总数 = 7x - 20
等量关系：两种方案的练习本总数相等
解：
设学生人数为 x 人
根据题意列方程：5x + 30 = 7x - 20
移项得：5x - 7x = -20 - 30
合并同类项得：-2x = -50
系数化为 1 得：x = 25
练习本总数 = 5×25 + 30 = 125 + 30 = 155（本）
答：学生有 25 人，练习本总数为 155 本。
幻灯片 5：例题解析（二）—— 租车问题
例 2：某班组织学生外出春游，若租用 45 座客车，则有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则刚好空出一辆车。求租用客车的数量和参加春游的学生人数。
分析：
两种分配方案：
方案一：每车 45 座，盈余 15 人 → 学生人数 = 45x + 15
方案二：每车 60 座，空出 1 辆车（即少 1 辆车的座位） → 学生人数 = 60 (x - 1)
等量关系：两种方案的学生人数相等
解：
设租用客车的数量为 x 辆
根据题意列方程：45x + 15 = 60 (x - 1)
去括号得：45x + 15 = 60x - 60
移项得：45x - 60x = -60 - 15
合并同类项得：-15x = -75
系数化为 1 得：x = 5
学生人数 = 45×5 + 15 = 225 + 15 = 240（人）
答：租用客车 5 辆，参加春游的学生有 240 人。
幻灯片 6：例题解析（三）—— 住宿问题
例 3：学校安排学生住宿，若每间宿舍住 4 人，则有 20 人没地方住；若每间宿舍住 8 人，则有一间宿舍住不满（空出 4 个床位）。求宿舍的间数和学生人数。
分析：
两种分配方案：
方案一：每间 4 人，盈余 20 人 → 学生人数 = 4x + 20
方案二：每间 8 人，不足 4 人（空出 4 个床位） → 学生人数 = 8x - 4
等量关系：两种方案的学生人数相等
解：
设宿舍的间数为 x 间
根据题意列方程：4x + 20 = 8x - 4
移项得：4x - 8x = -4 - 20
合并同类项得：-4x = -24
系数化为 1 得：x = 6
学生人数 = 4×6 + 20 = 24 + 20 = 44（人）
答：宿舍有 6 间，学生有 44 人。
幻灯片 7：例题解析（四）—— 购物问题
例 4：某商店准备购进一批商品，若每件按进价加价 20 元出售，可卖出 50 件；若每件售价提高 5 元，则少卖出 10 件。已知这批商品的进价为每件 x 元，两种售价方式的总利润相同，求 x 的值（利润 = 售价 - 进价）。
分析：
两种销售方案：
方案一：售价 (x + 20) 元，卖出 50 件 → 总利润 = 50×20 = 1000 元（每件利润 20 元）
方案二：售价 (x + 25) 元，卖出 40 件 → 总利润 = 40×25 = 1000 元（每件利润 25 元）
等量关系：两种方案的总利润相等（本题利润与进价无关，特殊情况）
解：
根据题意，两种方案总利润相等
方案一总利润：50×20 = 1000（元）
方案二总利润：(50 - 10)×(20 + 5) = 40×25 = 1000（元）
无论 x 取何值，总利润都相等？（修正题目：应改为 “总销售额相同”）
修正后等量关系：50 (x + 20) = 40 (x + 25)
解得：50x + 1000 = 40x + 1000 → x = 0（不合理，实际题目需调整数据）
调整后解答：设进价为 x 元，总利润相同则 50×20 = 40×(20 + 5)，恒成立，说明题目需修改条件。
方法总结：购物问题中需明确利润、售价、进价的关系，找到不变的总量（总利润、总销售额等）。
幻灯片 8：解题步骤总结
解决盈余不足问题的一般步骤
审题：识别问题中的两种分配方案，确定 “盈余” 和 “不足” 的数量
设元：设参与分配的份数（人数、间数、车辆数等）为未知数 x
表示总量：用含 x 的代数式分别表示两种方案中的物品总数（或总人数）
列方程：根据总量不变的等量关系列出方程
解方程：运用一元一次方程的解法求解
检验：检验解是否符合实际意义（数量为正数，分配合理）
作答：根据未知数的值求出其他未知量，写出完整答案
关键：准确区分 “盈余” 和 “不足” 的含义，找到两种方案中不变的总量。
幻灯片 9：易错点警示
等量关系混淆：
错误：将 “盈余” 用减法表示，“不足” 用加法表示（如误写为 5x - 30 = 7x + 20）
正确：盈余用加法（多的部分加上），不足用减法（少的部分减去）
规避：牢记 “多则加，少则减” 的原则，明确总量 = 分配量 × 份数 + 盈余 = 分配量 × 份数 - 不足
单位不统一：
错误：分配量单位与盈余 / 不足单位不一致（如每人分个，盈余按箱计算）
规避：解题前统一单位，确保所有数量单位一致
设元不当：
错误：设总量为未知数，导致列方程复杂（如设练习本总数为 x，而非人数）
规避：通常设参与分配的份数（人数、间数等）为未知数，更易表示总量
忽略实际意义：
错误：解出负数或零的数量未舍去（如人数为负数）
规避：解出结果后检验是否为正数，且分配方案合理
分配方案理解错误：
错误：对 “空出一辆车”“一间住不满” 等表述理解偏差，导致总量表达式错误
规避：仔细分析题意，明确 “不足” 的具体数量（如空出一辆车即少一辆的容量）
幻灯片 10：课堂练习
基础题：
把一些苹果分给小朋友，若每人分 2 个，则多 12 个；若每人分 4 个，则少 6 个。求小朋友的人数和苹果的个数。
某班同学去划船，若每条船坐 5 人，则有 14 人没船坐；若每条船坐 7 人，则刚好有一条船空着。求船的数量和学生人数。
一批货物用货车运输，若每辆车装 10 吨，则剩余 5 吨；若每辆车装 12 吨，则最后一辆车只装了 5 吨。求货车的数量和货物的总吨数。
提高题：
4. 某学校组织学生参加社会实践活动，若租用 30 座客车若干辆，则有 15 人没有座位；若租用 45 座客车，则可少租 2 辆，且刚好坐满。求原计划租用 30 座客车的数量和参加活动的学生人数。
用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余 16dm；把绳子四折来量，井外余 4dm。求井深和绳子的长度。
幻灯片 11：知识拓展
古代算术中的盈余不足问题：
我国古代数学著作《九章算术》专门设有 “盈不足” 章，记载了这类问题的解法，称为 “盈不足术”。例如：
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”
译文：几人共同买物，每人出 8 钱，盈余 3 钱；每人出 7 钱，不足 4 钱。问人数和物价各是多少？
解法：设人数为 x，则物价 = 8x - 3=7x + 4，解得 x=7，物价 = 53 钱。
现代应用：
盈余不足问题在资源分配、生产计划、预算规划等领域有广泛应用，核心是通过两种方案的对比找到最优分配方式。
幻灯片 12：课堂小结
核心特征：
问题包含两种分配方案，一种有盈余，一种有不足，总量保持不变
等量关系：
第一种方案的总量 = 第二种方案的总量
即：分配量 × 份数 + 盈余 = 分配量 × 份数 - 不足
解题步骤：
审题→设份数为未知数→表示两种方案的总量→列方程→解方程→检验→作答
注意事项：
正确区分盈余（加）和不足（减）
设参与分配的份数为未知数更简便
检验解的实际合理性
口诀记忆：
盈余不足问题型，两种方案要辨清；
一多一少找总量，总量不变是关键；
份数设为未知数，加减盈余和不足；
列出方程解问题，检验合理再答题。
幻灯片 13：作业布置
教材 P [XX] 习题 5.3 第 4、5、6 题
某工厂生产一批零件，若每天生产 50 个，则比计划晚 8 天完成；若每天生产 60 个，则比计划提前 5 天完成。求计划完成的天数和零件的总数。
一群学生去公园划船，若每条船坐 3 人，则多 20 人；若每条船坐 5 人，则刚好坐满。求船的数量和学生人数。
实践题：调查班级同学的文具数量，设计一个 “盈余不足” 问题（如分铅笔、橡皮等），列出方程并求解。
思考题：用一根绳子绕树三圈，余 3 米；绕树四圈，差 4 米。求树的周长和绳子的长度。
幻灯片 14：结束页
感谢聆听！
疑问解答与交流
2024北师大版数学七年级上册
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5.3.2 “盈余不足”问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 借助表格分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题。
2. 领悟数学来源于实践,服务于实践,解决问题用最简单的方法。
重点：利用方程解决“盈余不足”问题。
难点：根据题意建立等量关系,列出方程。
《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。
《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”
你知道我国古人是如何解决这个
问题的吗？
“盈不足”问题
1
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？
（1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？
合作探究
（2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表。
有关量 每人出 8 钱 每人出 7 钱
人数 x
出钱总数
物价
8x
8x - 3
x
7x
7x + 4
知识总结
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。
设人数为 x。
根据等量关系，列出方程： 。
解这个方程，得 x = 。
因此，人数为 ，物价为 。
7
7
53
8x - 3 = 7x + 4
知识总结
如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。
解得 y = 53。
你比较喜欢用哪种方式列方程呢？
例1 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？
题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少？
典例精析
分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？
有关量 每人出400 钱 每人出300 钱
人数 x
出钱总数
物价
400x
400x - 3400
x
300x
300x - 100
解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，还可表示为 （300x - 100）钱，根据等量关系，列出方程：
方程的两边就是金价的两种不同的表达式。
400x - 3400 = 300x - 100。
解这个方程，得 x = 33。
300×33 - 100 = 9800。
因此，人数为 33，金价为 9800 钱。
思考交流
（1）对于例 1，如果设金价为 y，能列出怎样的方程？
解得 y = 9800。
（2）《九章算术》给出了一种算法：
人数 = 两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；
物价 = 每人出的较多钱数×人数 - 剩余钱数，
或 物价 = 每人出的较少钱数×人数 + 不足的钱数。
你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。
解方程→顺向思考
算式方法→逆向思考
知识点1 古算术中的盈余问题
1.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今
有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数鸡价各几何？
译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16
钱。问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？
（1）设买鸡的人数为 ，请完成下表：
有关量 每人出9钱 每人出6钱
出钱总数
鸡的价格 _________ _________
（2）根据等量关系，列出方程为__________________。
2.［2025宿迁月考］我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算
诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨
恰齐足。”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4
个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完。”设梨有 个，则可列方程
为( )
B
A. B.
C. D.
3. ［2025天津月考］我国古代著作《孙子算经》中记载
了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，五人步。
问车有几何？”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘
一辆车，最终有5人无车可乘，则车有____辆。
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知识点2 一般盈余问题
4.五一劳动节时为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽
丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”。若每人做8张，则比计划多
了3张；若每人做5张，则比计划少了27张。则该活动小组共有多少人？
（1）设该活动小组共有 人，请完成表格：
有关量 每人做8张 每人做5张
实际做的卡片/张 ____
计划做的卡片/张 _______ _________
（2）根据等量关系，列出方程为_________________。
5.［教材习题 变式］近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。
某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每名快递员派送10件，
还剩6件；若每名快递员派送12件，还差14件，则该快递分派站现有快
递员____名。
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6.（6分）爸爸买了一箱苹果回家，小芳想分给家里的每一个人，如果
每人分3个，剩下3个苹果分不完，如果每人分4个，还差2个苹果才够分，
问小芳家有几个人？爸爸买了多少个苹果？
解：设小芳家有 个人。
根据题意，得 ，
解得，则 。
故小芳家有5个人，爸爸买了18个苹果。
实际问题
盈亏不足问题
盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____的数量
亏时
方法点拨：“盈余不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种设未知数的方法。
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！