5.3.3行程问题 课件（共30张PPT）2025-2026学年七年级数学上册北师大版（2024）

(共30张PPT)
5.3.3 行程问题 教学课件内容
幻灯片 1：标题页
标题：5.3.3 行程问题
副标题：一元一次方程的实际应用
作者：[教师姓名]
日期：[授课日期]
学习目标：
掌握行程问题的基本公式，理解速度、时间、路程之间的关系
能分析相遇、追及等不同类型行程问题的等量关系
会运用一元一次方程解决各类行程实际问题
培养建立数学模型解决实际问题的能力，提高逻辑思维能力
幻灯片 2：情境引入
生活中的行程问题：
展示与行程相关的实际场景：
甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，经过 3 小时相遇，已知两人速度，求两地距离
小明骑自行车从家到学校，若每小时行 12 千米，可提前 10 分钟到达；若每小时行 10 千米，则迟到 5 分钟，求家到学校的距离
一辆客车和一辆货车同时从同一地点出发，客车每小时比货车快 20 千米，客车行驶 3 小时后与货车相距 60 千米，求两车速度
一艘船顺流航行速度为 20 千米 / 小时，逆流航行速度为 16 千米 / 小时，求船在静水中的速度和水流速度
思考：这些问题都涉及速度、时间和路程三个量，如何根据它们之间的关系建立方程求解？
幻灯片 3：基本公式与关系
核心公式
行程问题的基本关系式：
路程 = 速度 × 时间（s = v × t）
由此可推导出：
速度 = 路程 ÷ 时间（v = s ÷ t）
时间 = 路程 ÷ 速度（t = s ÷ v）
单位关系
常用速度单位：千米 / 小时（km/h）、米 / 分钟（m/min）、米 / 秒（m/s）
单位换算：1km/h = 1000m/3600s = 5/18 m/s；1m/s = 3.6km/h
注意：解题时需保证速度、时间、路程的单位统一（如速度用 km/h，时间用 h，路程用 km）
分类类型
行程问题主要类型：
相遇问题
追及问题
顺逆流问题
环形跑道问题
分段变速问题
幻灯片 4：类型一 —— 相遇问题
基本特征
两个物体从两地出发，相向而行，最终相遇
核心等量关系：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程
若同时出发，相遇时两者所用时间相等
示意图
A地 ←———————总路程———————→ B地
甲的路程 乙的路程
甲————————————●————————————乙
相遇点
例题解析
例 1：A、B 两地相距 450 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 60 千米 / 小时，乙车速度为 90 千米 / 小时，经过几小时两车相遇？
分析：
等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = 总路程
设经过 x 小时两车相遇，则甲车路程 = 60x 千米，乙车路程 = 90x 千米
解：
设经过 x 小时两车相遇
根据题意列方程：60x + 90x = 450
合并同类项得：150x = 450
系数化为 1 得：x = 3
答：经过 3 小时两车相遇。
幻灯片 5：类型二 —— 追及问题
基本特征
两个物体从不同地点出发（或同一地点不同时出发），同向而行，快者追慢者
核心等量关系：
同地不同时：慢者先行路程 + 慢者后行路程 = 快者路程
同时不同地：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离
示意图
慢者先行 慢者后行
●——————●——————●快者
初始距离 追及点
例题解析
例 2：小明以 5 千米 / 小时的速度步行上学，出发 12 分钟后，爸爸发现他忘带作业本，立即以 15 千米 / 小时的速度骑自行车追赶，爸爸多久能追上小明？
分析：
等量关系：小明先行路程 + 小明后行路程 = 爸爸路程
12 分钟 = 0.2 小时，设爸爸经过 x 小时追上小明
解：
12 分钟 = 12/60 = 0.2 小时
设爸爸经过 x 小时追上小明
根据题意列方程：5×0.2 + 5x = 15x
化简得：1 + 5x = 15x
移项得：15x - 5x = 1
合并同类项得：10x = 1
系数化为 1 得：x = 0.1（小时）= 6 分钟
答：爸爸 6 分钟能追上小明。
幻灯片 6：类型三 —— 顺逆流问题
基本特征
涉及船在水中航行或飞机在风中飞行，速度受水流（风速）影响
核心关系式：
顺流速度 = 静水速度 + 水流速度（v 顺 = v 静 + v 水）
逆流速度 = 静水速度 - 水流速度（v 逆 = v 静 - v 水）
核心等量关系：顺流路程 = 逆流路程（往返路程相同）
例题解析
例 3：一艘船往返于 A、B 两码头之间，顺流航行需 3 小时，逆流航行需 5 小时，已知水流速度为 4 千米 / 小时，求 A、B 两码头之间的距离。
分析：
设船在静水中的速度为 x 千米 / 小时，则顺流速度 =(x+4) 千米 / 小时，逆流速度 =(x-4) 千米 / 小时
等量关系：顺流路程 = 逆流路程
解：
设船在静水中的速度为 x 千米 / 小时
根据题意列方程：3 (x + 4) = 5 (x - 4)
去括号得：3x + 12 = 5x - 20
移项得：3x - 5x = -20 - 12
合并同类项得：-2x = -32
系数化为 1 得：x = 16
两码头距离 = 3×(16 + 4) = 3×20 = 60（千米）
答：A、B 两码头之间的距离为 60 千米。
幻灯片 7：类型四 —— 环形跑道问题
基本特征
物体在环形跑道上运动，可能同向而行（追及）或相向而行（相遇）
核心等量关系：
相向而行：首次相遇时，两人路程和 = 跑道周长
同向而行：首次追上时，快者路程 - 慢者路程 = 跑道周长
示意图
相向而行：
●——————●
| |
●——————●
路程和=周长
同向而行：
●——————→
| |
←——————●
路程差=周长
例题解析
例 4：在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地出发，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。
(1) 若相向而行，经过几秒首次相遇？
(2) 若同向而行，经过几秒甲首次追上乙？
解：
(1) 设相向而行经过 x 秒首次相遇
等量关系：甲路程 + 乙路程 = 400
列方程：6x + 4x = 400 → 10x = 400 → x = 40
(2) 设同向而行经过 y 秒甲首次追上乙
等量关系：甲路程 - 乙路程 = 400
列方程：6y - 4y = 400 → 2y = 400 → y = 200
答：(1) 相向而行 40 秒首次相遇；(2) 同向而行 200 秒甲首次追上乙。
幻灯片 8：类型五 —— 分段变速问题
基本特征
物体在整个行程中速度发生变化，需分段计算路程
核心等量关系：总路程 = 各段路程之和；总时间 = 各段时间之和
例题解析
例 5：从家到学校的路程为 3 千米，小明先走一段平路，再走上坡路。平路速度为 4 千米 / 小时，上坡速度为 3 千米 / 小时，全程共用 50 分钟，求平路和上坡路的长度。
分析：
50 分钟 = 5/6 小时，设平路长度为 x 千米，则上坡路长度 =(3 - x) 千米
等量关系：平路时间 + 上坡时间 = 总时间
解：
50 分钟 = 50/60 = 5/6 小时
设平路长度为 x 千米，则上坡路长度为 (3 - x) 千米
根据题意列方程：x/4 + (3 - x)/3 = 5/6
两边乘 12 去分母得：3x + 4 (3 - x) = 10
去括号得：3x + 12 - 4x = 10
时到达，每小时需多行多少千米？
一艘船在静水中的速度为 18 千米 / 小时，水流速度为 2 千米 / 小时，这艘船顺流航行 300 千米需要多少小时？
提高题：
4. 甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发同向而行，甲车在乙车后面，甲车速度为 80 千米 / 小时，乙车速度为 60 千米 / 小时，经过 4 小时甲车追上乙车，求 A、B 两地距离。
小明从家到学校，若每分钟走 60 米，迟到 5 分钟；若每分钟走 75 米，提前 2 分钟到校，求家到学校的距离。
幻灯片 12：知识拓展
行程问题中的数学思想：
数形结合思想：通过画线段图将抽象的行程问题转化为直观的图形，帮助分析等量关系
分类讨论思想：对于复杂的行程问题（如多次相遇、追及），需分阶段讨论运动过程
方程思想：将实际问题转化为数学方程，通过求解方程解决问题
古代行程问题：
《九章算术》中记载：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？” 这类问题涉及变速运动，体现了古人对行程问题的深入研究。
幻灯片 13：课堂小结
基本公式：
路程 = 速度 × 时间（s = v × t），灵活运用三个量之间的关系
类型与等量关系：
相遇问题：路程和 = 总路程
追及问题：路程差 = 初始距离
顺逆流问题：顺流路程 = 逆流路程
环形跑道：相遇路程和 = 周长，追及路程差 = 周长
解题关键：
画示意图分析运动过程
找准等量关系，合理设元
统一单位，检验解的合理性
口诀记忆：
行程问题并不难，基本公式记心间；
相遇追及分类型，顺流逆流辨清楚；
画好线段示意图，等量关系就出现；
速度时间和路程，设元列方程解决；
单位统一要注意，检验合理再答题。
幻灯片 14：作业布置
教材 P [XX] 习题 5.3 第 7、8、9 题
甲、乙两人同时从同一地点出发，甲向东走，速度为 5 千米 / 小时；乙向西走，速度为 4 千米 / 小时，经过几小时两人相距 36 千米？
一列火车长 200 米，以 15 米 / 秒的速度通过一座长 1300 米的大桥，从车头上桥到车尾离桥需要多少秒？
实践题：记录自己从家到学校的行程时间和方式，估算步行、骑车的速度，设计一个行程问题并求解。
思考题：A、B 两地相距 480 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 70 千米 / 小时，乙车速度为 50 千米 / 小时，两车相遇后继续前行，到达对方出发地后立即返回，从出发到第二次相遇共经过多少小时？
幻灯片 15：结束页
感谢聆听！
疑问解答与交流
2024北师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.3行程问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而列出方程,解决问题。
2. 使学生进一步领会采用代数方法解应用题的优越性。
3. 培养学生实事求是的态度及与人合作交流的能力,逐步树立克服困难的信心、意志力,培养学生学习数学的热情和良好的人格品质。
重点：利用方程解决行程问题。
难点：找等量关系列方程。
速度、时间、路程，这三者有什么关系？
速度×时间 = 路程
据调查，中学生的平均步行速度为1.2 m/s，说说你上学的平均时长，试估算从家到学校的距离。
直线行程问题
1
问题： 小明每天早上要到距家 1000 m 的学校上学。一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以
180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？
（1） 问题中有哪些已知量和未知量？
合作探究
（2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？
解：设爸爸追上小明用了 x min，
小明家
学校
80×5
80x
180x
合作探究
（3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。
据题意得 80×5 + 80x = 180x。
解：设爸爸追上小明用了 x min，
小明家
学校
80×5
80x
180x
解得 x = 4。
180×4 = 720（m），1000 - 720 = 280（m）。
答： 爸爸追上小明用了 4 min。追上小明时，距离学校还有 280 m。
方法总结
找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系。
小明家
学校
80×5
80x
180x
练一练
1. (周口·月考) 古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日， 问良马几何追及之。意思是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走150 里，慢马先走 12天，那么快马几天可以追上慢马？
解：设快马需要 x 天可以追上慢马，由题意得，
240x = 150(x + 12)，
解得 x = 20。
答：快马 20 天可以追上慢马。
2. A，B 两地相距 60 千米，甲、乙两人分别从 A，B 两地出发相向而行，甲的速度是 8 千米/时，乙的速度是 6 千米/时．经过多长时间两人相距 4 千米？
8x
6x
60
4
A
B
8x
6x
60
4
A
B
解：设经过 x 小时两人相距 4 千米，根据题意，得
8x+6x = 60-4或 8x+6x = 60+4
典例精析
例1 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。
（1）如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
（2）如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
环形行程问题
2
分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？
260
起点
起点
260
260x
300x
260x
300x
追及问题
相遇问题
解：（1）设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程
260 + 260x = 300x。
解这个方程，得 x = 6.5。
因此，小华用 6.5 min 追上小明。
追及问题
260
起点
260x
300x
（2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇，
根据等量关系，可列出方程
260x + 300x = 400 - 260。
解这个方程，得 x = 0.25。
因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。
起点
260
260x
300x
相遇问题
归纳总结
行程问题的基本类型：
相遇问题：
甲的路程 ＋ 乙的路程 ＝ 总路程。
追及问题：
追者路程 ＝ 被追者路程 ＋ 相隔距离。
练一练
3. (漳州·期中) 如图，正方形 ABCD 的边长是 2 个单位长度，一只乌龟从 A 点出发以每秒2 个单位长度的速度顺时针绕正方形运动，另有一只兔子也从 A 点出发以每秒 6 个单位长度的速度逆时针绕正方形运动，则第 2024 次相遇在 ( )
A. 点 A B. 点 B
C. 点 C D. 点 D
A
思考交流
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。
实际问题
实际问题的解
数学问题
（一元一次方程的解）
数学问题
（一元一次方程）
寻找相等关系
抽象
解方程
解释
验证
解：“x=-1”表示第一个容器的容积比第二个容器的容积小，水已溢出.如果第一个容器的高度增加1cm，恰好能盛下.
1.两个圆柱体容器如图所示，它们的直径分别为4cm
和8cm，高分别为39cm和10cm，我们先在第二个
容器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中，问：
倒完以后．第一个容器中的水面离容器口有多少厘
米？小刚是这样做的：设倒完以后，第一个容器中
的水面离容器口有x cm，列方程π×22×（39－x）
=π×42×10，解得x=-1．
你能对他的结果作出合理的解释吗？
2.试联系生活实际编写一道可以用一元一次方程解决的应用问题。
解：设第二块实验田的面积是x m ，则第一块试验田的面积是（3x+100）m .
根据题意，得x+（3x+100）=2900.解得x=700.
3x=100=2200.
答：第一块试验田的面积是2200m ，第二块试验田的面积是700m .
3.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面积的3倍还多100m ，这两块试验田共2900m ，两块试验田的面积分别是多少？
解：设正方形的纸片的边长为xm，那么宽为4cm的长条的面积为4xcm ，宽为5cm的长条的面积为5（x-4）cm .
依题意，得4x=5（x-4）.解得x=20.
则4x=80，5（x-4）=80.
答：每一个长条的面积为80cm .
3.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条.
如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的
面积为多少？
5.如图，某种卷筒纸的外直径为14cm， 内直径为6 cm,每层纸的厚度为0.02cm。假如把这筒纸全部拉开,那么这筒纸的总长度大约是多少米( π取3.14)
解：设卷筒纸的宽度为 x cm
卷筒纸的体积为
=
40πx
卷筒纸的总长度为：
40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m)
答：卷筒纸的总长度为62.8m
6.某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化
智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣。若每
套设备每小时分拣3.5万件，则经过1h,剩下4万件未分拣;若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h,剩下1万件未分
拣。该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备
解：设该物流中转站配置了x套分拣设备
根据题意，得 3.5x+4＝4x+1
解得 x＝6
答：该物流中转站配置了6套分拣设备
7.今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十;九家共出二百七十，盈三十。问:家数、牛价各几何 (选自《九章算术》)题目大意:几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱;若每9家合伙出270钱，则多了30钱。家数、牛价各是多少
解：设一共有x家，则牛价为()钱或()钱
根据题意列方程得=
解得x=126
=3750(钱)
答：一共有126家，牛价为3750钱.
解：（1）设x s后两人相遇.由题意，得4x+6x=100.解得x=10.答：10s后两人相遇.
（2）设y s后小强能追上小彬.由题意，得6y－4y=10.解得y=5.答：5s后小强能追上小彬.
2.小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m．
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
（2）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？
9.古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了.
(1)求丢番图去世时的年龄；
(2)尝试提出其他问题并列方程解决.
解：（1）设丢番图去世时x岁
根据等量关系，列出方程：
+ x+ x+5+ x+4=x
解得 x=84
答：丢番图去世时84岁
回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？
我学会了列表分析、画图分析
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！