1.5.1.1有理数的乘法 课件（共29张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.5.1.1 有理数的乘法
副标题：探索有理数乘法的奥秘
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境导入
展示图片：展示一幅足球比赛的场景图，假设进球为正，失球为负。例如，球队在一场比赛中上半场进了 2 个球，下半场失了 3 个球，用有理数表示为 + 2 和 - 3。再展示一个温度变化的情境，某地气温每天下降 2℃，3 天后的气温变化情况，用有理数表示为 - 2（每天下降的度数）和 3（天数）。
提问引导：同学们，要计算球队这场比赛的净胜球数，或者 3 天后该地的气温变化总量，需要用到什么运算呢？这就涉及到有理数的乘法运算，今天我们就一起来探究有理数的乘法。
引入主题：有理数的乘法与我们之前学的有理数加法有什么联系和区别？它有怎样独特的运算法则？带着这些疑问，开启我们今天的学习之旅。
幻灯片 3：知识回顾
有理数的分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。回顾数轴上有理数的表示，正数在原点右边，负数在原点左边，0 在原点处。
有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数。
提问衔接：我们已经熟悉了有理数的加法，那么当两个有理数进行乘法运算时，结果会怎样呢？乘法是否也有类似加法的规则来确定符号和绝对值呢？
幻灯片 4：有理数乘法法则（一）—— 同号相乘
实例分析 1：以刚才足球比赛进球为例，若一支球队连续两场比赛都进了 2 个球，用数学式子表示为 (+2)×(+2)。从意义上理解，就是 2 个 + 2 相加，即 (+2)+(+2)= +4，所以 (+2)×(+2)= +4。
实例分析 2：假设一个人每天在银行存入 5 元，4 天一共存入多少钱。用有理数表示为 (+5)×(+4)，从加法角度看，就是 4 个 + 5 相加，(+5)+(+5)+(+5)+(+5)= +20，所以 (+5)×(+4)= +20。
规律总结：通过多个同号正数相乘的例子可以发现，两个正数相乘，结果为正数，并且把它们的绝对值相乘。即：当 a>0，b>0 时，a×b = +(|a|×|b|)。
实例分析 3：若规定向东为正方向，一个人向西走，速度为 - 3 米 / 秒，2 秒后他的位置变化。因为向西为负，走了 2 秒，式子为 (-3)×(+2)。从实际意义理解，2 秒走了 2 个 - 3 米，(-3)+(-3)= -6，所以 (-3)×(+2)= -6。
实例分析 4：温度每天下降 2℃，3 天后温度变化情况，式子为 (-2)×(+3)。相当于 3 个 - 2 相加，(-2)+(-2)+(-2)= -6，所以 (-2)×(+3)= -6。
规律总结：当一个负数与一个正数相乘时，结果为负数，同样把它们的绝对值相乘。即：当 a<0，b>0 时，a×b = -(|a|×|b|)。
幻灯片 5：有理数乘法法则（二）—— 异号相乘
实例分析 5：若一个人以 - 4 米 / 秒的速度向西走，-3 秒后的位置变化。这里 - 3 秒可以理解为时间倒流 3 秒，那么位置变化为 (-4)×(-3)。从相反意义考虑，与向东走 4 米 / 秒，3 秒后的位置变化是一样的，即 (+4)×(+3)= +12，所以 (-4)×(-3)= +12。
实例分析 6：假设一种商品价格每天下跌 3 元，-2 天后价格变化情况。价格下跌为负，-2 天可理解为时间往前推 2 天，式子为 (-3)×(-2)。从相反情况看，与价格每天上涨 3 元，2 天后价格变化相同，即 (+3)×(+2)= +6，所以 (-3)×(-2)= +6。
规律总结：两个负数相乘，结果为正数，还是把它们的绝对值相乘。即：当 a<0，b<0 时，a×b = +(|a|×|b|)。
有理数乘法法则完整表述：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同 0 相乘，都得 0。用数学语言表示为：
若 a>0，b>0，则 a×b = +(|a|×|b|)；
若 a<0，b<0，则 a×b = +(|a|×|b|)；
若 a>0，b<0，则 a×b = -(|a|×|b|)；
若 a<0，b>0，则 a×b = -(|a|×|b|)；
若 a = 0 或 b = 0，则 a×b = 0。
幻灯片 6：多个有理数相乘
实例分析 7：计算 (-2)×(-3)×(-4)。
计算过程：先算 (-2)×(-3)，根据乘法法则，同号得正，绝对值相乘，(-2)×(-3)= +(| - 2|×| - 3|)= +6；再算 + 6×(-4)，异号得负，绝对值相乘，+6×(-4)= -(|6|×| - 4|)= -24。
实例分析 8：计算 (-1)×(-2)×(+3)×(-4)。
计算过程：先算 (-1)×(-2)= +(| - 1|×| - 2|)= +2；再算 + 2×(+3)= +(|2|×|3|)= +6；最后算 + 6×(-4)= -(|6|×| - 4|)= -24。
规律总结：几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0。
表达式说明：设 a ，a ，…，a 为 n 个有理数（n≥2），若其中有一个因数为 0，则 a ×a ×…×a = 0；若 a ，a ，…，a 都不为 0，当负因数个数为奇数时，a ×a ×…×a 为负数，当负因数个数为偶数时，a ×a ×…×a 为正数，且结果的绝对值为 | a |×|a |×…×|a |。
幻灯片 7：有理数乘法的运算律（一）—— 交换律
概念呈现：对于任意两个有理数 a 和 b，有 a×b = b×a，这就是有理数乘法的交换律。
实例验证：计算 3×(-5) 和 (-5)×3。3×(-5)，根据乘法法则，异号得负，绝对值相乘，3×(-5)= -(|3|×| - 5|)= -15；(-5)×3，同样异号得负，绝对值相乘，(-5)×3= -(| - 5|×|3|)= -15，所以 3×(-5)=(-5)×3。
意义阐述：乘法交换律在有理数乘法中，方便我们在计算时可以根据数字特点，交换因数的位置，使计算更简便。比如在计算多个有理数相乘时，可以先把容易计算的数交换到一起进行运算。
幻灯片 8：有理数乘法的运算律（二）—— 结合律
概念呈现：对于任意三个有理数 a、b 和 c，有 (a×b)×c = a×(b×c)，这就是有理数乘法的结合律。
实例验证：计算 [2×(-3)]×(-4) 和 2×[(-3)×(-4)]。[2×(-3)]×(-4)，先算 2×(-3)= -6，再算 - 6×(-4)= +24；2×[(-3)×(-4)]，先算 (-3)×(-4)= +12，再算 2×+12 = +24，所以 [2×(-3)]×(-4)=2×[(-3)×(-4)]。
意义阐述：结合律可以让我们在计算多个有理数连乘时，通过合理结合因数，简化计算过程。例如，当有多个因数相乘时，可以把相乘能得到整数或较简单结果的因数结合在一起先进行运算。
幻灯片 9：有理数乘法的运算律（三）—— 分配律
概念呈现：对于任意三个有理数 a、b 和 c，有 a×(b + c)= a×b + a×c，这就是有理数乘法对加法的分配律。
实例验证：计算 3×(2 + (-5)) 和 3×2 + 3×(-5)。3×(2 + (-5))，先算括号里 2 + (-5)= -3，再算 3×(-3)= -9；3×2 + 3×(-5)= 6 + (-15)= -9，所以 3×(2 + (-5))=3×2 + 3×(-5)。
意义阐述：分配律在有理数运算中非常重要，当式子中有一个因数与两个数的和相乘时，可以利用分配律将其转化为这个因数分别与这两个数相乘，再把积相加，这样能简化一些复杂的计算。
幻灯片 10：实例分析（一）—— 简单有理数乘法运算
例题 1：计算 (-4)×5。
计算过程：根据有理数乘法法则，异号得负，绝对值相乘，(-4)×5= -(| - 4|×|5|)= -20。
例题 2：计算 (-6)×(-3)。
计算过程：同号得正，绝对值相乘，(-6)×(-3)= +(| - 6|×| - 3|)= +18。
学生练习：计算 7×(-8)，(-9)×(-2)。
幻灯片 11：实例分析（二）—— 多个有理数乘法运算
例题 3：计算 (-2)×3×(-5)。
计算过程：先确定符号，负因数有 2 个，为偶数个，所以积为正。再算绝对值相乘，| - 2|×|3|×| - 5| = 2×3×5 = 30，所以 (-2)×3×(-5)= +30。
例题 4：计算 (-1)×(-2)×(-3)×4。
计算过程：负因数有 3 个，为奇数个，积为负。绝对值相乘，| - 1|×| - 2|×| - 3|×|4| = 1×2×3×4 = 24，所以 (-1)×(-2)×(-3)×4= -24。
学生练习：计算 (-3)×(-4)×(-2)，2×(-5)×3×(-1)。
幻灯片 12：实例分析（三）—— 运用运算律简化乘法运算
例题 5：计算 (-8)×(-12)×(-0.125)×(-1/3)。
简便计算：利用乘法交换律和结合律，[(-8)×(-0.125)]×[(-12)×(-1/3)]。(-8)×(-0.125)=1，(-12)×(-1/3)=4，所以结果为 1×4 = 4。
例题 6：计算 (-2/3)×(1/4 - 1/2)。
简便计算：运用乘法分配律，(-2/3)×1/4 - (-2/3)×1/2。(-2/3)×1/4 = -1/6，(-2/3)×1/2 = -1/3，-1/6 - (-1/3)= -1/6 + 1/3 = 1/6。
学生练习：计算 (-5)×2/3×(-0.2)×3，(-3/4)×(2/3 - 4/9)。
幻灯片 13：课堂练习（基础巩固）
练习 1：计算下列各式。
4×(-6)
(-7)×(-5)
0×(-8)
(-1)×100
参考答案：4×(-6)= -24；(-7)×(-5)= 35；0×(-8)= 0；(-1)×100= -100。
练习 2：计算多个有理数相乘。
(-2)×(-3)×(-4)
(-1)×2×(-3)×4
5×(-2)×0×(-1)
参考答案：(-2)×(-3)×(-4)= -24；(-1)×2×(-3)×4 = 24；5×(-2)×0×(-1)= 0。
练习 3：运用运算律简便计算。
(-12)×(1/4 - 1/6 + 1/3)
(-5)×7 + (-5)×3
参考答案：(-12)×(1/4 - 1/6 + 1/3)= (-12)×1/4 - (-12)×1/6 + (-12)×1/3 = -3 + 2 - 4 = -5；(-5)×7 + (-5)×3 = (-5)×(7 + 3)= -5×10 = -50。
幻灯片 14：课堂练习（能力提升）
练习 4：已知 a = -3，b = 4，c = -2，求 a×b×c 的值。
解析：a×b×c = (-3)×4×(-2)，负因数有 2 个，积为正，| - 3|×|4|×| - 2| = 3×4×2 = 24，所以结果为 24。
练习 5：计算 1×(-2)×3×(-4)×…×99×(-100)。
解析：从 1 到 100 共 100 个数相乘，负因数有 50 个，为偶数个，积为正。绝对值相乘为 1×2×3×…×100，结果为 1×2×3×…×100（数值较大，可不具体算出）。
幻灯片 15：有理数乘法的实际应用
问题 1：某商店以每件 - 20 元的利润出售一种商品（即每件亏损 20 元），如果一周内卖出 15 件，那么这家商店这一周在这种商品上总的利润是多少？
解析：用有理数乘法计算，每件利润为 - 20 元，卖出 15 件，式子为 (-20)×15。根据乘法法则，异号得负，绝对值相乘，(-20)×15= -(| - 20|×|15|)= -300 元，即总的利润是亏损 300 元。
问题 2：一辆汽车在一条南北走向的公路上行驶，规定向北为正，向南为负。若汽车的速度是每小时 50 千米，向北行驶 3 小时，再向南行驶 2 小时，此时汽车的位置相对于出发地在哪里？
解析：向北行驶的路程为 (+50)×(+3)= +150 千米，向南行驶的路程为 (+50)×(-2)= -100 千米。汽车相对于出发地的位置为 (+50)×(+3)+(+50)×(-2)= 50×(3 - 2)= 50 千米，即在出发地北边 50 千米处。
幻灯片 16：常见错误分析与规避
错误类型 1：乘法法则运用错误，比如计算 (-3)×(-4) 时，结果写成 - 12。
规避方法：牢记有理数乘法法则，同号得正，异号得负，计算前先确定
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
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1.5.1.1有理数的乘法
第1章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
（﹢2）×（﹢3）= ，
（﹢2）×0= ，
（﹢5）×（﹢7）= .
如果两个有理数相乘，其中有负数，应该怎么计算？
6
0
35
在实验室中，甲标本的温度每 1 min 下降 2 ℃，乙标本的温度每 1 min 上升 3 ℃. 已知甲、乙标本现在的温度都是 0℃.
我们用负数和正数分别表示温度的下降和上升，例如下降2℃ 记作 -2℃，上升 3℃ 记作 3 ℃.
又分别用负数和正数表示变化前后的时间，例如 3 min 后记作 3min，2 min 前记作 -2min.
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
﹣5
﹣6
﹣7
1
2
3
现在
1min后
2min后
3min后
问题1
3 min 后甲标本的温度比现在高还是低？高(或低)多少？
(-2)×3 = -6
问题2
2 min 前乙标本的温度比现在高还是低？高(或低)多少？
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
﹣5
﹣6
﹣7
1
2
3
现在
1min前
2min前
3×(-2) = -6
问题3
3 min 前甲标本的温度比现在高还是低？高(或低)多少？
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
5
6
7
3min前
2min前
1min前
现在
(-2)×(-3) = 6
此外，两个有理数相乘，当一个因数是 0 时，积仍是 0.
(-2)×0 = 0
0×(-2) = 0
归 纳
(-2)×3 = -6
3×(-2) = -6
(-2)×(-3) = 6
(-2)×0 = 0
0×(-2) = 0
有理数的乘法法则：
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
2. 任何数与 0 相乘仍得 0.
例1 计算：
(﹣5)×(﹣6);
(﹣ ) × ;
(﹣ ) ×(﹣ );
8×(﹣1.25).
解
(﹣5)×(﹣6)= +(5×6)= 30.
(﹣ ) × = ﹣ ( × )= .
(﹣ ) ×(﹣ )= +( × )= 1.
8×(﹣1.25)= ﹣ (8×1.25)= ﹣10.
如果两个有理数的乘积为1，我们称这两个有理数互为倒数.
如 是 的倒数， 是 的倒数，也就是说， 与 互为倒数.
练 习
1. 填表：
因数 因数 积的符号 积的绝对值 积
+8 -6
-10 +8
-9 -4
20 8
-
48
-48
-
80
-80
+
36
36
+
160
160
【教材P34 练习 第1题】
2. 计算：
（1）(﹣4.6)×(+3)； （2） ×(﹣ )；
（3）(﹣ )×(﹣ )； （4） ( )×( )；
（5）(+8.5)×(﹣2)； （6） (﹣ )×(﹣12)；
（7）(-3.8)×0； （8）100×(-0.01).
-13.8
1
-17
0
-1
【教材P35 练习 第2题】
3. 写出下列各数的倒数: ，0.25，-6，1，-1.
4
1
-1
【教材P35 练习 第3题】
4. 判断正误:
（1）0 没有倒数. （ ）
（2）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数. （ ）
√
√
【教材P35 练习 第4题】
知识点1 有理数的乘法法则
1.［知识初练］填表：
因数 因数 积的符号 积的绝对值 积
___ ____ _____
___ ____ _____
___ ____ ____
5 4 20 ____
20
20
20
20
20
2.［2024·淮北模拟］计算 的结果是( )
D
A.6 B.1 C. D.
3.［2025年1月合肥期末］下列计算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
4.有理数，， 在数轴上的对应点的位置如图所示，判断
下列各式与0的大小.
(1)___0，___0， ___0；
(2)___0，___0， ___0.
5.(16分)教材改编题 计算：
(1) ;
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ；
解：原式 .
(4) .
原式 .
知识点2 倒数
6.［知识初练］
(1)因为 __,所以5的倒数是__;因为 _______ ,
所以 的倒数是_____.
(2) 的倒数是_ ______.
7.下列各组数中互为倒数的是( )
D
A.和 B.和 C.0.25和 D.和
8.易错题 一个数和它的倒数相等，则这个数是( )
C
A.1 B. C.1或 D.1， 或0
知识点3 有理数乘法法则的应用
9.商店降价销售某种商品，每件降价5元，售出60件后，与原
价销售同样数量的商品相比，销售额的变化情况表示为
( )
A
A. B.
C. D.
10.真实情境 [2025·宿迁模拟] 杜师傅攀登一座山峰，他每
登高，气温的变化量为，当杜师傅攀登 后，
气温将会( )
A
A.下降 B.上升
C.下降 D.上升
1.通过这节课的学习，你有哪些收获？
2.你还存在哪些疑问，与同伴交流.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！