3.1.1方程及方程的解 课件（共26张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

幻灯片 1：封面
标题：3.1.1 方程及方程的解
副标题：从等式到方程的探索
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：前面我们学习了整式及其加减运算，知道整式是单项式和多项式的统称，通过去括号、合并同类项可以对整式进行化简。例如，化简 3 (x + 2) - (x - 1) 可得 2x + 7。在数学中，我们还经常会遇到一些含有未知数的等式，它们在解决实际问题中有着重要的作用。
情境引入：在生活中，我们常常会遇到这样的问题：小明买了 3 支铅笔和 1 块橡皮，一共花了 5 元钱，已知 1 块橡皮 1 元钱，那么 1 支铅笔多少钱？这个问题中，1 支铅笔的价格是未知的，如果我们设 1 支铅笔 x 元钱，根据题意可以列出 3x + 1 = 5 这样的式子。像这样含有未知数的等式就是我们今天要学习的方程。那么什么是方程？什么是方程的解呢？让我们一起走进方程的世界。
幻灯片 3：方程的定义
概念阐述：含有未知数的等式叫做方程。
关键词解析：
含有未知数：方程中必须包含未知数，未知数通常用字母 x、y、z 等表示。
等式：方程是一个等式，即式子中必须含有等号 “=”，表示左右两边的数量关系相等。
实例辨析：判断下列式子是不是方程。
3x + 5（不是，不是等式）
2 + 3 = 5（不是，不含未知数）
3x - 1 = 8（是，含有未知数 x 且是等式）
y? + 2y - 3 = 0（是，含有未知数 y 且是等式）
x + y = 5（是，含有未知数 x、y 且是等式）
\(\frac{1}{x}\) + 2 = 3（是，含有未知数 x 且是等式，注意：虽然分母中有未知数，但它仍然是方程，后续会学习这类方程的解法）
幻灯片 4：方程与代数式、等式的区别与联系
类别
区别
联系
实例
代数式
不含等号，只含有运算符号和字母、数字
代数式可以是方程的组成部分
3x + 2、5y - 1
等式
含有等号，左右两边可以是数或代数式，不一定含有未知数
方程是特殊的等式
2 + 3 = 5、x + 1 = 3
方程
含有等号和未知数，是特殊的等式
方程一定是等式，等式不一定是方程
2x - 3 = 7、x + y = 4
总结：方程必须同时满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。代数式没有等号，等式不一定含有未知数，而方程是既有等号又含有未知数的式子。
幻灯片 5：方程的解的定义
概念阐述：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
关键词解析：
左右两边相等：将未知数的值代入方程后，方程左边的计算结果等于右边的计算结果。
未知数的值：方程的解是一个具体的数值（或一组数值，对于含多个未知数的方程），而不是一个式子。
实例说明：
对于方程 2x + 3 = 7，当 x = 2 时，左边 = 2×2 + 3 = 7，右边 = 7，左边 = 右边，所以 x = 2 是方程 2x + 3 = 7 的解。
对于方程 x + y = 5，当 x = 2，y = 3 时，左边 = 2 + 3 = 5，右边 = 5，左边 = 右边，所以 x = 2，y = 3 是方程 x + y = 5 的一组解。
幻灯片 6：检验一个数是否为方程的解的步骤
步骤一：代入：将这个数代入方程中，替换未知数。
步骤二：计算：分别计算方程左右两边的值。
步骤三：比较：比较左右两边的值是否相等。
步骤四：判断：如果左右两边的值相等，则这个数是方程的解；否则，不是方程的解。
实例分析 1：检验 x = 5 是不是方程 3x - 2 = 13 的解。
步骤一：代入，把 x = 5 代入方程左边得 3×5 - 2，右边是 13。
步骤二：计算左边 = 15 - 2 = 13，右边 = 13。
步骤三：比较，左边 = 右边。
步骤四：判断，所以 x = 5 是方程 3x - 2 = 13 的解。
实例分析 2：检验 x = 4 是不是方程 2x + 1 = 8 的解。
步骤一：代入，把 x = 4 代入方程左边得 2×4 + 1，右边是 8。
步骤二：计算左边 = 8 + 1 = 9，右边 = 8。
步骤三：比较，左边 ≠ 右边。
步骤四：判断，所以 x = 4 不是方程 2x + 1 = 8 的解。
幻灯片 7：列方程表示数量关系
列方程的步骤：
步骤一：设未知数，用字母表示题目中的未知量。
步骤二：找出等量关系，分析题目中数量之间的相等关系。
步骤三：列方程，根据等量关系列出含有未知数的等式。
实例分析 3：用方程表示下列数量关系。
（1）x 的 3 倍与 5 的和等于 14。
解析：等量关系是 “x 的 3 倍 + 5 = 14”，列方程得 3x + 5 = 14。
（2）一个数的 2 倍减去 1 等于这个数加上 3。
解析：设这个数为 x，等量关系是 “这个数的 2 倍 - 1 = 这个数 + 3”，列方程得 2x - 1 = x + 3。
（3）长方形的长为 a 厘米，宽为 b 厘米，周长为 20 厘米。
解析：等量关系是 “长方形周长 = 2×（长 + 宽）”，列方程得 2 (a + b) = 20。
幻灯片 8：方程解的实际意义
问题 1：某班有 45 名学生，其中男生人数是女生人数的 2 倍，设女生人数为 x 人，列出方程并说明 x = 15 是不是该方程的解。
解析：男生人数为 2x 人，等量关系是 “男生人数 + 女生人数 = 总人数”，列方程得 x + 2x = 45，即 3x = 45。检验 x = 15：左边 = 3×15 = 45，右边 = 45，左边 = 右边，所以 x = 15 是方程的解，实际意义是女生有 15 人，男生有 30 人，符合总人数 45 人。
问题 2：一辆汽车每小时行驶 60 千米，行驶 x 小时后距离目的地还有 100 千米，总路程为 400 千米，列出方程并检验 x = 5 是不是该方程的解。
解析：等量关系是 “已行驶路程 + 剩余路程 = 总路程”，列方程得 60x + 100 = 400。检验 x = 5：左边 = 60×5 + 100 = 300 + 100 = 400，右边 = 400，左边 = 右边，所以 x = 5 是方程的解，实际意义是汽车行驶 5 小时后，已行驶 300 千米，距离目的地还有 100 千米，总路程为 400 千米。
幻灯片 9：课堂练习（基础巩固）
练习 1：下列各式中，哪些是方程？
（1）5x - 3 （2）7 + 8 = 15 （3）2x + 1 = 6 （4）x? - 3x + 2 = 0 （5）3x + y > 5
参考答案：（3）（4）是方程。
练习 2：检验下列各数是不是方程 2x - 6 = x - 3 的解。
（1）x = 3 （2）x = 4
参考答案：（1）代入左边 = 2×3 - 6 = 0，右边 = 3 - 3 = 0，左边 = 右边，所以 x = 3 是方程的解；（2）代入左边 = 2×4 - 6 = 2，右边 = 4 - 3 = 1，左边 ≠ 右边，所以 x = 4 不是方程的解。
练习 3：根据下列条件列出方程。
（1）x 的 5 倍比 x 的 2 倍大 12。
（2）一个数的\(\frac{1}{3}\)与这个数的\(\frac{1}{2}\)的和是 5。
参考答案：（1）5x - 2x = 12；（2）设这个数为 x，\(\frac{1}{3}\)x + \(\frac{1}{2}\)x = 5。
幻灯片 10：课堂练习（能力提升）
练习 4：已知 x = 2 是关于 x 的方程 3x + a = 8 的解，求 a 的值。
解析：因为 x = 2 是方程的解，所以代入得 3×2 + a = 8，即 6 + a = 8，解得 a = 2。
练习 5：某商店卖出一批服装，每件售价 150 元，盈利 25%，设每件服装的成本为 x 元，列出方程并说明 x = 120 是不是该方程的解（盈利 25% 指售价比成本高 25%）。
解析：等量关系是 “成本 + 盈利 = 售价”，盈利为 25% x，列方程得 x + 25% x = 150，即 1.25x = 150。检验 x = 120：左边 = 1.25×120 = 150，右边 = 150，左边 = 右边，所以 x = 120 是方程的解。
幻灯片 11：常见错误分析与规避
错误类型 1：混淆方程与代数式，认为含有未知数的式子就是方程，如认为 3x + 2 是方程（正确：3x + 2 是代数式，不是方程）。
规避方法：牢记方程必须同时满足 “含有未知数” 和 “是等式” 两个条件，缺一不可。
错误类型 2：检验方程的解时，只计算一边的值就下结论，如检验 x = 3 是不是方程 x + 5 = 8 的解时，只计算左边 = 3 + 5 = 8，未看右边是否为 8 就判断是解（虽然结果正确，但步骤不完整）。
规避方法：严格按照检验步骤操作，分别计算左右两边的值，比较后再判断。
错误类型 3：列方程时等量关系错误，如 “x 的 3 倍与 2 的差是 5” 列成 3x + 2 = 5（正确应为 3x - 2 = 5）。
规避方法：列方程前仔细分析题目中的数量关系，明确关键词（如 “和、差、倍、几分之几”）的含义，准确找出等量关系。
错误类型 4：方程的解的书写错误，如将方程 2x = 6 的解写成 2x = 6 = x = 3（正确应为 x = 3）。
规避方法：方程的解是未知数的值，直接写出未知数等于这个值即可，不需要重复书写方程。
幻灯片 12：课堂小结
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，需同时满足含未知数和是等式两个条件。
方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
检验步骤：代入→计算→比较→判断。
列方程步骤：设未知数→找等量关系→列方程。
关键区别：方程与代数式、等式的区别在于是否同时含未知数和等号。
幻灯片 13：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了方程和方程的解的定义，掌握了检验一个数是否为方程的解的方法，以及根据数量关系列方程的步骤。方程是解决实际问题的重要工具，理解方程的概念和方程的解的意义，是后续学习解方程的基础。在学习过程中，要注意区分方程与代数式、等式的不同，准确找出等量关系列方程。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，巩固方程和方程的解的概念，能正确检验方程的解并根据条件列方程。
拓展作业：根据生活中的一个实际问题，列出一个方程，并检验某个数是不是该方程的解，下节课分享你的问题和解答过程。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.1方程及方程的解
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
今有雉兔同笼 上有三十五头
下有九十四足 问雉兔各几何
你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题?
列算式：列出的算式表示解题的计算过程，只能用已知数.对于较复杂的问题，列算式比较困难.
列方程：方程是根据题中的相等关系列出的等式. 既可用已知数，又可用未知数，解决问题比较方便.
从算式到方程是数学的进步！
问题1：在参加2022年北京冬奥会的中国代表队中，自由式滑雪运动员有21人，比花样滑冰运动员的3倍少3人. 参加本届冬奥会的花样滑冰运动员有多少人?
设参加冬奥会的花样滑冰运动员有x人，根据题意，得3x-3=21.
问题2：王玲今年12岁，她的爸爸36岁. 再过几年，她爸爸年龄是她年龄的2倍?
设再过x年，王玲爸爸的年龄是她年龄的2倍. 这时王玲的年龄是(12+x)岁，她爸爸的年龄是(36+x)岁.
根据题意，得 36+x=2(12+x).
问题3：已知长方形的面积为180m2，其中长比宽多3m，求长方形的宽是多少.
设宽为x m，则长为(x+3)m. 根据题意，得x(x+3)=180.
3x-3=21
36+x=2(12+x)
x(x+3)=180
观察这些式子有什么共同特点?
共同点
1.含有未知数；
2.是等式.
方程
定义：含有未知数的等式叫作方程.
判断下列各式是不是方程？
①7-1=6；②3x+y=10；③x-1；④ ；
⑤x>3；⑥x=1；⑦a2-1=0；⑧b2≠-1.
√
√
√
√
1.含有未知数；
2.等式.
练一练
3x-3=21
当x取7时，代入原方程左边，得3x-3=18；
当x取8时，代入原方程左边，得3x-3=21；
当x取9时，代入原方程左边，得3x-3=24.
左边=右边
定义：使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.
求方程的解的过程叫作解方程.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}类型
方程的解
解方程
区别
是一个具体的数，是解方程的结果
求方程的解的过程
联系
方程的解是通过解方程求得的
方程的解与解方程的区别及联系：
例1 根据题意，设未知数并列出方程.
（1）已知长方形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，则这个长方形的长是多少?
（2）把若干本书发给学生. 如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本. 共有多少名学生?
解：（1）设这个长方形的长是x cm，则宽是(x-2)cm，根据题意，得2[x+(x-2)]=16.
（2）设共有y名学生，根据题意，得4y+2=5y-5.
【教材P93 例1】
列方程的一般步骤：
（1）审：审清题意，找出相等关系；
（2）设：根据题意，设出未知数；
（3）列：根据相等关系列出方程.
实际问题
方程
设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系
随堂练习
1.根据题意，设未知数并列出方程.
（1）小华的年龄是21岁，小华的年龄比小强年龄的2倍小5岁，求小强的年龄；
解：设小强的年龄是x岁.根据题意，得21=2x-5.
（2）某班50名学生集体看电影，买电影票共花费1350元. 电影票有单价25元和单价30元两种. 这两种电影票各买了多少张?
解：设单价25元的电影票买了y张，则单价30元的电影票买了(50-y)张. 根据题意，得 25y+30(50-y)=1350.
【教材P93 练习 第1题】
（3）足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 一支球队打了14场比赛，负5场，得19分，那么这支球队胜了多少场?
解：设这支球队胜了z场，则平了(9-z)场. 根据题意，得3z+(9-z)=19.
2.下列各数中，哪些是方程x(x+3)=180的解?
﹣15，﹣12，12，15.
解：﹣15和12是方程x(x+3)=180的解.
【教材P94 练习 第2题】
3.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活. 某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每名快递员派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件，还差6件. 快递员有多少名?
解：设快递员有x名.
由题意，得每名快递员派送10件，还剩6件，则现有包裹(10x+6)件；
每名快递员派送12件，还差6件，则现有包 裹(12x-6)件，可得方程10x+6=12x-6.
知识点1 方程的概念
1.［2025·杭州月考］下列各式中，属于方程的是( )
C
A.????+?????=???? B.?????????
C.?????????????=???? D.????????>????
?
2.下列式子：①????????????；②?????????=?????；③????=???? ；
④????????????+????????=????????；⑤?????????????=???????? .其中是等式的是_________，
是方程的是________.(填序号)
?
②③④⑤
?
③④⑤
?
知识点2 方程的解
3.［2025年1月合肥期末］下列方程中，解为????=???? 的是
( )
?
A
A.????????=????+???? B.??????????=???? C.????????=???? D.????????+????=????
?
4.下列各方程后面括号内的数不是前面方程的解的是( )
B
A.?????????????=????????=???????? B.?????????=????????+????????=?????
C.?????????=?????????=???? D.????????????+????=????????=?????
?
5.［2025年1月淮北期末］已知????=?????是方程?????????????=???? 的解，
则????= ____.
?
?????
?
知识点3 根据实际问题列方程
6.“????的5倍与2的和等于????的???????? 与4的差”，用等式表示为_______
__________.
?
????????+????=?????????????????
?
7.(8分)根据题意，设未知数并列出方程：英语竞赛共20道题，
每道题有4个选项，只有1个正确选项，选对得5分，不选或
错选扣1分，已知小华得了76分，则小华选对了多少道题？
解：设小华选对了????道题，则不选或错选????????????? 道题，由
题意，得??????????????????????=???????? .
?
方程
含有未知数的等式叫作方程.
使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.
求方程的解的过程叫作解方程.
根据实际问题列方程.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！