3.1.2等式的基本性质 课件（共27张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.1.2 等式的基本性质
副标题：等式变形的依据
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：上节课我们学习了方程及方程的解，知道含有未知数的等式叫做方程，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。例如，3x + 1 = 5 是方程，x = \(\frac{4}{3}\)是它的解。方程是特殊的等式，那么等式有哪些基本性质呢？这些性质对我们解方程有什么帮助呢？
情境引入：在生活中，我们会遇到平衡的天平，当天平两边的物体质量相等时，天平保持平衡。如果在天平两边同时添加或去掉相同质量的物体，天平仍然保持平衡；如果将天平两边物体的质量同时扩大或缩小相同的倍数，天平也依然平衡。这种天平的平衡现象，其实蕴含着等式的基本性质。今天我们就来探索等式的基本性质。
幻灯片 3：等式的定义
概念阐述：用等号 “=” 表示左右两边相等关系的式子叫做等式。
表达式：一般可以表示为 a = b，其中 a、b 可以是数、单项式、多项式等。
实例列举：
2 + 3 = 5
3x + 2 = 8
a + b = b + a
(x + 1)(x - 1) = x - 1
说明：等式可以是不含有未知数的（如 2 + 3 = 5），也可以是含有未知数的（如 3x + 2 = 8），含有未知数的等式就是方程，所以方程是特殊的等式。
幻灯片 4：等式的基本性质 1
性质内容：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式。
符号表示：如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c（其中 c 为整式）。
关键词解析：
同时加上（或减去）：等式两边的操作要一致，要么都加，要么都减。
同一个整式：两边加上或减去的必须是同一个整式，不能一边加这个整式，另一边加另一个整式。
实例分析 1：已知等式 x + 5 = 8，根据性质 1，两边同时减去 5，可得 x + 5 - 5 = 8 - 5，即 x = 3。
实例分析 2：已知等式 2a = b + 3，两边同时加上 a - 2，可得 2a + (a - 2) = b + 3 + (a - 2)，即 3a - 2 = a + b + 1，所得结果仍是等式。
几何解释：如天平两边各有质量为 a 和 b 的物体（a = b），同时在两边各加质量为 c 的物体，天平仍平衡（a + c = b + c）；同时从两边各减质量为 c 的物体，天平仍平衡（a - c = b - c）。
幻灯片 5：等式的基本性质 2
性质内容：等式两边同时乘（或除以）同一个数（或整式），（除数或除式不能为 0），所得结果仍是等式。
符号表示：如果 a = b，那么 ac = bc；如果 a = b（c ≠ 0），那么\(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{c}\)（其中 c 为数或整式，且 c ≠ 0）。
关键词解析：
同时乘（或除以）：等式两边的操作要一致，要么都乘，要么都除以。
同一个数（或整式）：两边乘或除以的必须是同一个数或整式。
除数或除式不能为 0：因为 0 不能作除数，所以当两边除以同一个数或整式时，这个数或整式不能为 0。
实例分析 3：已知等式 4x = 12，根据性质 2，两边同时除以 4，可得\(\frac{4x}{4}\) = \(\frac{12}{4}\)，即 x = 3。
实例分析 4：已知等式 m = n，两边同时乘 3，可得 3m = 3n；两边同时除以 2（2 ≠ 0），可得\(\frac{m}{2}\) = \(\frac{n}{2}\)；若两边同时除以 (x + 1)，则必须满足 x + 1 ≠ 0，即 x ≠ -1 时，\(\frac{m}{x + 1}\) = \(\frac{n}{x + 1}\)才成立。
几何解释：如天平两边各有质量为 a 和 b 的物体（a = b），两边的质量同时扩大 c 倍（c > 0），天平仍平衡（ac = bc）；两边的质量同时缩小到原来的\(\frac{1}{c}\)（c > 0），天平仍平衡（\(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{c}\)）。
幻灯片 6：等式性质的应用 —— 由等式变形
实例分析 5：利用等式的性质，把下列等式变形为 x = a 的形式。
（1）x - 5 = 12
解析：根据性质 1，两边同时加 5，x - 5 + 5 = 12 + 5，得 x = 17。
（2）\(\frac{x}{3}\) = 6
解析：根据性质 2，两边同时乘 3，\(\frac{x}{3}\)×3 = 6×3，得 x = 18。
（3）2x + 3 = 11
解析：第一步，根据性质 1，两边同时减 3，2x + 3 - 3 = 11 - 3，得 2x = 8；第二步，根据性质 2，两边同时除以 2，\(\frac{2x}{2}\) = \(\frac{8}{2}\)，得 x = 4。
实例分析 6：判断下列等式变形是否正确，并说明理由。
（1）如果 a = b，那么 a + 2 = b + 2（正确，根据性质 1，两边同时加 2）。
（2）如果 a = b，那么 a - m = b - n（错误，两边减去的不是同一个整式）。
（3）如果 a = b，那么 3a = 3b（正确，根据性质 2，两边同时乘 3）。
（4）如果 a = b，那么\(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{c}\)（错误，没有说明 c ≠ 0）。
幻灯片 7：等式性质与方程的联系
核心作用：等式的基本性质是解方程的依据，通过运用等式的性质，我们可以将方程逐步变形，最终得到未知数的值。
实例分析 7：解方程 2x - 1 = 5，利用等式性质求解。
第一步：根据性质 1，两边同时加 1，2x - 1 + 1 = 5 + 1，得 2x = 6。
第二步：根据性质 2，两边同时除以 2，\(\frac{2x}{2}\) = \(\frac{6}{2}\)，得 x = 3。
检验：将 x = 3 代入原方程，左边 = 2×3 - 1 = 5，右边 = 5，左边 = 右边，所以 x = 3 是方程的解。
总结：解方程的过程就是利用等式的性质，把方程中的常数项和含未知数的项分别移到等号两边，最终化为 x = a 的形式。
幻灯片 8：课堂练习（基础巩固）
练习 1：填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪条性质及如何变形的。
（1）如果 x - 3 = 2，那么 x = 2 + （ ），根据（ ）。
（2）如果 4x = 12，那么 x = 12 ÷ （ ），根据（ ）。
（3）如果 3x - 2 = 7，那么 3x = 7 + （ ），根据（ ），得 x = （ ），根据（ ）。
参考答案：（1）3，等式性质 1，两边同时加 3；（2）4，等式性质 2，两边同时除以 4；（3）2，等式性质 1，两边同时加 2，3，等式性质 2，两边同时除以 3。
练习 2：利用等式的性质解下列方程，并检验。
（1）x + 4 = 9 （2）\(\frac{x}{5}\) = 3 （3）3x - 6 = 0
参考答案：（1）x = 9 - 4 = 5，检验：左边 = 5 + 4 = 9 = 右边；（2）x = 3×5 = 15，检验：左边 = 15÷5 = 3 = 右边；（3）3x = 6，x = 2，检验：左边 = 3×2 - 6 = 0 = 右边。
幻灯片 9：课堂练习（能力提升）
练习 3：已知等式 3a = 2b + 5，利用等式性质变形。
（1）两边同时（ ），得 3a - 2b = 5。
（2）两边同时（ ），得 6a = 4b + 10。
参考答案：（1）减 2b，根据等式性质 1；（2）乘 2，根据等式性质 2。
练习 4：能否从等式 (3a + 7) x = 4a - b 中得到 x = \(\frac{4a - b}{3a + 7}\)？为什么？反过来，能否从 x = \(\frac{4a - b}{3a + 7}\)中得到 (3a + 7) x = 4a - b？为什么？
参考答案：不能从 (3a + 7) x = 4a - b 中直接得到 x = \(\frac{4a - b}{3a + 7}\)，因为当 3a + 7 = 0 时，分母为 0，无意义；能从 x = \(\frac{4a - b}{3a + 7}\)中得到 (3a + 7) x = 4a - b，因为 x = \(\frac{4a - b}{3a + 7}\)成立隐含着 3a + 7 ≠ 0，根据等式性质 2，两边同时乘 3a + 7 即可得到。
幻灯片 10：常见错误分析与规避
错误类型 1：运用性质 1 时，两边加上或减去的不是同一个整式，如由 x = 5 得 x + 2 = 5 + 3（正确应为 x + 2 = 5 + 2）。
规避方法：牢记性质 1 中 “同一个整式” 的要求，变形时确保两边操作的对象一致。
错误类型 2：运用性质 2 时，忽略除数不能为 0 的条件，如由 ax = bx 得 a = b（未考虑 x = 0 的情况）。
规避方法：在运用性质 2 进行除法变形时，必须明确说明除数不为 0，若题目中未明确，需进行分类讨论。
错误类型 3：对等式性质理解不清，混淆乘除与加减，如由 2x = 6 得 x = 6 + 2（正确应为 x = 6÷2）。
规避方法：区分性质 1（加减）和性质 2（乘除）的适用场景，根据方程特点选择正确的性质进行变形。
错误类型 4：变形过程不完整，如解方程 3x + 1 = 7 时，直接得 x = 2，未体现运用等式性质的步骤。
规避方法：解方程时，按照 “依据性质→逐步变形→得出结果” 的步骤书写，清晰展示每一步的变形依据。
幻灯片 11：课堂小结
等式的基本性质 1：两边同时加（或减）同一个整式，结果仍是等式（a = b a ± c = b ± c）。
等式的基本性质 2：两边同时乘（或除以）同一个数（或整式）（除数不为 0），结果仍是等式（a = b ac = bc；a = b，c ≠ 0 \(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{c}\)）。
核心应用：等式的性质是解方程的依据，通过变形可将方程化为 x = a 的形式。
注意事项：性质 1 中 “同一个整式”，性质 2 中 “除数不为 0”。
幻灯片 12：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了等式的两个基本性质，明确了等式两边同时加、减、乘、除同一个数或整式（除数不为 0）时，等式仍然成立。这些性质是我们后续学习解方程的重要基础，只有准确理解和掌握等式的基本性质，才能正确地进行方程变形，求出方程的解。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，运用等式的性质解决等式变形和简单的解方程问题。
拓展作业：思考如何利用等式的性质解形如 ax + b = c（a ≠ 0）的方程，并尝试解出方程 2x + 5 = 13 和\(\frac{1}{3}\)x - 2 = 1。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.1.2等式的基本性质
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
判断：下列各式中哪些是等式？
① abc；②3a-2b；③ xy+y2-5；④3；⑤-a；⑥2+3=5；⑦3×4=12；⑧9x+10=19；⑨a+b=b+a；⑩S=πr2.
用等号表示相等关系的式子叫作等式.
通常用a=b表示一般的等式.
√
√
√
√
√
对于方程x+2=4，3x=6，你能用所学知识求出它们的解吗
方程是等式，解方程的过程实际上就是等式的变形过程. 为了进一步讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质.
= b
探索新知
观察：如图，在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为a，b的物体，天平平衡，这直观地说明 a = b.
a
b
C
C
同时加上质量为c的物体，天平还保持平衡吗
a
+c
+c
a
b
C
C
a
+c
+c
性质1 等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式.
= b
等式的基本性质
如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
a =
如图，天平还保持平衡吗？这又反映了怎样的数量关系呢？
b
3
3
a =
b
3
3
性质2 等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.
等式的基本性质
如果a=b，那么ac=bc，
.
=
3
a
b
3
等式的基本性质
性质3（对称性） 如果a=b，那么b=a.
等式的基本性质
a
b
C
b
a
C
a = b
b = c
a = c
性质4（传递性） 如果a=b，b=c，那么a=c.
根据等式这一性质，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换.
练一练
指出下列等式变形的依据.
（1）如果5x+3=7，那么5x=4；
（2）如果﹣8x=4，那么x= ；
（3）如果﹣5a=﹣5b，那么a=b；
（4）如果3x=2x+1，那么x=1；
（5）如果﹣0.25=x，那么x=﹣0.25；
（6）如果x=y，y=z，那么x=z.
【教材P96 练习 第1题】
等式的基本性质1
等式的基本性质2
等式的基本性质2
等式的基本性质1
等式的基本性质3
等式的基本性质4
例2：解方程：3x - 3 = 21.
【教材P96 例2】
解：两边都加上3，得 3x = 21+3，（性质1）
即 3x = 24.
两边同除以3，得 x = 8.（性质2）
检验：把 x = 8 代入原方程，得
左边=3×8-3=21，
右边=21，
左边=右边.
所以x=8是原方程的解.
练一练
根据等式的基本性质解方程，并检验：1.8x=2.5x+1.4.
解：两边都减去2.5x，得 -0.7x = 1.4，（性质1）
两边同除以-0.7，得 x = -2.（性质2）
检验：把 x = -2 代入原方程，得
左边=1.8×(-2)=-3.6，右边=2.5×(-2)+1.4=-3.6，左边=右边.
所以x=-2是原方程的解.
随堂练习
2.下列变形中错误的是（ ）
A.若x=y，则x+a=y+a B.若mx=my，则x=y
C.若x+a=y+a，则x=y D.若x=y，则mx=my
B
1.由2x=-4得x=-2，变形的依据是根据等式的（ ）
A.基本性质1 B.基本性质2
C.基本性质3 D.基本性质4
B
3.解方程并检验.
（1）5x -7 =8；（2）27=7+4x；（3） .
【教材P96 练习 第2题】
（1）解：两边都加上7，得5x=8+7，（性质1）
即5x=15.
两边同除以5，得x=3.（性质2）
检验：把x=3代入原方程，得左边=5×3-7=8，右边=8，左边=右边.
所以x=3是原方程的解.
3.解方程并检验.
（1）5x -7 =8；（2）27=7+4x；（3） .
【教材P96 练习 第2题】
（2）解：由对称性，得7+4x=27.（性质3）
两边都减去7，得4x=27-7，（性质1）即4x=20.
两边同除以4，得x=5.（性质2）
检验：把x=5代入原方程，得左边=27，右边=7+4×5=27，左边=右边.
所以x=5是原方程的解.
3.解方程并检验.
（1）5x -7 =8；（2）27=7+4x；（3） .
【教材P96 练习 第2题】
（3）解：由对称性，得 .（性质3）
两边都加上 ，得 ，（性质1）即 .
两边同除以 ，得x=2.（性质2）
检验：把x=2代入原方程，得左边= ，右边= ，左边=右边.
所以x=2是原方程的解.
4.*已知2x2 – x=5，求多项式– 4x2 +2x – 8的值.
解：因为2x2 – x = 5，所以在等式两边都乘以– 2，得
–2(2x2 – x)=5×(–2).
化简，得 – 4x2+2x= – 10.
等式两边都减去8，得 – 4x2+2x – 8= – 10 – 8.
所以– 4x2+2x – 8 = – 18.
知识点1 等式的基本性质1
1.［知识初练］图①中的天平处于平衡状态，用等式表示是
_______；如图②，在天平两边托盘中同时加入砝码 ，天平
仍然处于平衡状态，用等式表示是_____________.
2.［2024·滁州期中］下列不属于等式的基本性质1的应用的
是( )
C
A.由得 B.由得
C. D.由得
3.(1)已知等式 ，根据等式的基本性质1，等式两边
_________，得 ___；
(2)已知等式 ，根据等式的基本性质1，等式两边
__________，得 ___.
同时减2
2
同时减
7
知识点2 等式的基本性质2
4.［知识初练］图①中的天平处于平衡状态，用等式表示是
_______；如图②，在天平两边托盘中同时加入相同数量的
物体，天平仍然处于平衡状态，用等式表示是_________.
5.教材改编题 下列等式变形正确的是( )
C
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
知识点3 等式的基本性质3、4
6.在横线上填上适当的数.
(1)如果，那么 ___；
(2)如果,，那么 ___.
4
5
知识点4 利用等式的基本性质解简单方程
7.由得到 ，可分两步，将下面步骤补充完整：
第一步：根据等式的基本性质___，等式两边同时_____，得
到 ；
第二步：根据等式的基本性质___，等式两边同时_______，
得到 .
1
加1
2
除以2
等式的基本性质
性质2：如果a=b，那么ac=bc，
.
性质3：如果a=b，那么b=a.
性质4：如果a=b，b=c，那么a=c.
利用等式的基本性质解方程
性质1：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！