3.3.1几何问题与行程问题 课件（共25张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.3.1 几何问题与行程问题
副标题：一元一次方程的实际应用
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：前面我们学习了一元一次方程的解法，掌握了利用去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1 等步骤求解方程的方法。例如，解方程\(\frac{x - 1}{2}\) = \(\frac{2x + 1}{3}\)时，通过去分母、去括号等步骤可解得 x = -5。方程是解决实际问题的重要工具，今天我们就运用一元一次方程解决几何问题和行程问题。
情境引入：在生活中，我们会遇到各种实际问题，比如给长方形花园围栅栏计算长度，或者计算两辆车相遇的时间等。这些问题看似复杂，但通过建立方程模型可以轻松解决。几何问题主要涉及图形的周长、面积、体积等计算，行程问题则涉及路程、速度和时间的关系。接下来，我们一起探索如何用方程解决这些问题。
幻灯片 3：列方程解应用题的一般步骤
步骤 1：审题：仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。
步骤 2：设未知数：选择一个合适的未知量设为 x（或其他字母），并用含 x 的代数式表示其他相关的量。
步骤 3：找等量关系：根据题目中的关键词、公式或实际情境，找出能够表示问题全部含义的等量关系。
步骤 4：列方程：根据等量关系列出一元一次方程。
步骤 5：解方程：运用所学的解方程方法求出未知数的值。
步骤 6：检验：将求得的解代入原方程和实际问题中检验，确保解的正确性和合理性。
步骤 7：作答：用简洁的语言回答题目中的问题。
口诀记忆：审设找列解验答，解决问题全靠它。
幻灯片 4：几何问题 —— 周长问题
核心公式：
长方形周长 = 2×（长 + 宽）
正方形周长 = 4× 边长
圆的周长 = 2πr（r 为半径）
实例分析 1：一个长方形的周长是 26cm，长比宽多 3cm，求这个长方形的长和宽。
步骤 1：审题，已知周长 26cm，长比宽多 3cm，求长和宽。
步骤 2：设未知数，设宽为 x cm，则长为 (x + 3) cm。
步骤 3：找等量关系，长方形周长 = 2×（长 + 宽）。
步骤 4：列方程，2 [x + (x + 3)] = 26。
步骤 5：解方程，化简得 2 (2x + 3) = 26，4x + 6 = 26，4x = 20，x = 5。则长为 5 + 3 = 8cm。
步骤 6：检验，周长为 2×(5 + 8) = 26cm，符合题意。
步骤 7：作答，长方形的长是 8cm，宽是 5cm。
幻灯片 5：几何问题 —— 面积问题
核心公式：
长方形面积 = 长 × 宽
正方形面积 = 边长 × 边长
三角形面积 = \(\frac{1}{2}\)× 底 × 高
梯形面积 = \(\frac{1}{2}\)×（上底 + 下底）× 高
实例分析 2：一个梯形的面积是 100cm ，上底是 8cm，下底是 12cm，求梯形的高。
步骤 1：审题，已知面积 100cm ，上底 8cm，下底 12cm，求高。
步骤 2：设未知数，设梯形的高为 x cm。
步骤 3：找等量关系，梯形面积 = \(\frac{1}{2}\)×（上底 + 下底）× 高。
步骤 4：列方程，\(\frac{1}{2}\)×(8 + 12)×x = 100。
步骤 5：解方程，化简得\(\frac{1}{2}\)×20×x = 100，10x = 100，x = 10。
步骤 6：检验，面积为\(\frac{1}{2}\)×(8 + 12)×10 = 100cm ，正确。
步骤 7：作答，梯形的高是 10cm。
幻灯片 6：几何问题 —— 体积问题（简单介绍）
核心公式：
长方体体积 = 长 × 宽 × 高
正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长
圆柱体积 = πr h（r 为底面半径，h 为高）
实例分析 3：一个长方体水箱的容积是 200L，水箱的长是 5dm，宽是 4dm，求水箱的高（1L = 1dm ）。
步骤 1：审题，容积 200L 即 200dm ，长 5dm，宽 4dm，求高。
步骤 2：设未知数，设高为 x dm。
步骤 3：找等量关系，长方体体积 = 长 × 宽 × 高。
步骤 4：列方程，5×4×x = 200。
步骤 5：解方程，20x = 200，x = 10。
步骤 6：检验，体积为 5×4×10 = 200dm ，正确。
步骤 7：作答，水箱的高是 10dm。
幻灯片 7：行程问题 —— 基本关系
核心公式：
路程 = 速度 × 时间
速度 = 路程 ÷ 时间
时间 = 路程 ÷ 速度
常见类型：
相遇问题：总路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程
追及问题：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 初始距离
顺逆水问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度
幻灯片 8：行程问题 —— 相遇问题
实例分析 4：A、B 两地相距 480km，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 65km，乙车每小时行 55km，经过几小时两车相遇？
步骤 1：审题，两地相距 480km，甲速 65km/h，乙速 55km/h，相向而行，求相遇时间。
步骤 2：设未知数，设经过 x 小时两车相遇。
步骤 3：找等量关系，甲车路程 + 乙车路程 = 总路程。
步骤 4：列方程，65x + 55x = 480。
步骤 5：解方程，120x = 480，x = 4。
步骤 6：检验，甲车路程 65×4 = 260km，乙车路程 55×4 = 220km，总路程 260 + 220 = 480km，正确。
步骤 7：作答，经过 4 小时两车相遇。
幻灯片 9：行程问题 —— 追及问题
实例分析 5：甲、乙两人在同一地点出发，甲骑自行车，乙步行。如果乙先走 12km，甲用 1 小时可以追上乙；如果乙先走 1 小时，甲用半小时可以追上乙。求甲、乙两人的速度。
步骤 1：审题，两种追及情况，求甲、乙速度。
步骤 2：设未知数，设乙的速度为 x km/h，则根据第一种情况，甲的速度为 (x + 12) km/h（因为 1 小时追上 12km，速度差 12km/h）。
步骤 3：找等量关系，第二种情况中，甲半小时路程 = 乙 1.5 小时路程。
步骤 4：列方程，0.5 (x + 12) = (1 + 0.5) x。
步骤 5：解方程，0.5x + 6 = 1.5x，x = 6。则甲的速度为 6 + 12 = 18km/h。
步骤 6：检验，第一种情况：甲 18×1 = 18km，乙 6×1 + 12 = 18km，追上；第二种情况：甲 18×0.5 = 9km，乙 6×1.5 = 9km，追上，正确。
步骤 7：作答，甲的速度是 18km/h，乙的速度是 6km/h。
幻灯片 10：行程问题 —— 顺逆水问题
实例分析 6：一艘船在静水中的速度是 20km/h，水流速度是 4km/h，这艘船从甲码头顺流而下到乙码头，再逆流返回甲码头，共用了 5 小时，求甲、乙两码头之间的距离。
步骤 1：审题，静水速度 20km/h，水流速度 4km/h，顺流再逆流总时间 5 小时，求距离。
步骤 2：设未知数，设甲、乙两码头之间的距离为 x km。
步骤 3：找等量关系，顺流时间 + 逆流时间 = 总时间。顺流速度 = 20 + 4 = 24km/h，逆流速度 = 20 - 4 = 16km/h。
步骤 4：列方程，\(\frac{x}{24}\) + \(\frac{x}{16}\) = 5。
步骤 5：解方程，最简公分母 48，2x + 3x = 240，5x = 240，x = 48。
步骤 6：检验，顺流时间 48÷24 = 2h，逆流时间 48÷16 = 3h，总时间 5h，正确。
步骤 7：作答，甲、乙两码头之间的距离是 48km。
幻灯片 11：课堂练习（基础巩固）
练习 1：一个正方形的边长增加 2cm 后，面积增加了 24cm ，求原正方形的边长。
解：设原边长为 x cm，列方程 (x + 2) - x = 24，x + 4x + 4 - x = 24，4x = 20，x = 5。答：原边长 5cm。
练习 2：甲、乙两站相距 300km，一列慢车从甲站开出，每小时行 60km，一列快车从乙站开出，每小时行 80km。慢车先开 1 小时，快车再开，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？
解：设快车开出 x 小时后相遇，60 (x + 1) + 80x = 300，60x + 60 + 80x = 300，140x = 240，x = \(\frac{12}{7}\)。答：快车开出\(\frac{12}{7}\)小时后相遇。
幻灯片 12：课堂练习（能力提升）
练习 3：一个长方形的操场，长是宽的 2.5 倍，根据需要将它扩建，把它的长和宽各增加 20m 后，长是宽的 2 倍，求扩建前长方形操场的周长。
解：设扩建前宽为 x m，则长为 2.5x m。2.5x + 20 = 2 (x + 20)，2.5x + 20 = 2x + 40，0.5x = 20，x = 40。长为 100m，周长 2×(40 + 100) = 280m。答：周长 280m。
练习 4：一架飞机在两城之间飞行，顺风需要 5 小时 30 分，逆风需要 6 小时，已知风速是每小时 24km，求两城之间的距离。
解：设飞机静水速度为 x km/h，5.5 (x + 24) = 6 (x - 24)，5.5x + 132 = 6x - 144，0.5x = 276，x = 552。距离 6×(552 - 24) = 6×528 = 3168km。答：距离 3168km。
幻灯片 13：常见错误分析与规避
错误类型 1：几何问题中公式记忆错误，如长方形周长写成长 + 宽 ×2（正确应为 2×(长 + 宽)）。
规避方法：牢记各类图形的周长、面积、体积公式，做题前先写出公式再代入数据。
错误类型 2：行程问题中等量关系混淆，相遇问题用成速度差，追及问题用成速度和。
规避方法：明确问题类型，相遇问题核心是 “路程和 = 总路程”，追及问题核心是 “路程差 = 初始距离”，画图辅助理解。
错误类型 3：设未知数时未写单位或单位不统一，如速度单位用 km/h，时间用分钟未转换。
规避方法：设未知数时注明单位，计算前统一单位，确保路程、速度、时间单位匹配（如 km 与 km/h、h 对应）。
错误类型 4：检验仅代入方程未结合实际，如求得长度为负数未察觉错误。
规避方法：检验时不仅看方程左右是否相等，还要检查结果是否符合实际意义（如长度、时间、速度不能为负）。
幻灯片 14：课堂小结
几何问题：围绕周长、面积、体积公式建立等量关系，关键是用未知数表示图形的边长、高、半径等要素。
行程问题：
相遇问题：路程和 = 速度和 × 时间。
追及问题：路程差 = 速度差 × 时间。
顺逆水问题：结合静水速度与水流速度表示顺逆水速度。
解题步骤：审设找列解验答，每个步骤都要细致，尤其注意等量关系的准确性和单位统一。
幻灯片 15：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了用一元一次方程解决几何问题和行程问题，掌握了相关公式和等量关系的建立方法。解决实际问题的关键是将文字信息转化为数学语言，通过设未知数、找等量关系列出方程。在解题过程中，要牢记公式、理清关系、规范步骤，确保结果的正确性和合理性。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，巩固几何问题和行程问题的解题方法。
拓展作业：编一道关于相遇问题或几何面积问题的应用题，列出方程并求解，下节课分享你的题目和解答思路。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.3.1几何问题与行程问题
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
常见几何体的体积、面积公式：
（1）长方体的体积=长×宽×高；
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长；
（3）圆柱的体积=底面积×高；
（4）长方形的面积=长×宽；
（5）正方形的面积=边长×边长；
（6）梯形的面积= (上底+下底)×高.
例1：如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽5cm的长方形纸条．如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少
4
5
（单位：cm）
【教材P103 例1】
思考：1.本题中有什么等量关系？
4
5
（单位：cm）
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
2.设正方形的边长是 x cm，完成下表：
宽 长 面积
图形1 4 x 4x
图形2 5 x-4 5(x-4)
4x
5(x-4)
4
5
（单位：cm）
解：设正方形的边长是 x cm，根据题意，得
4x = 5(x-4).
解方程，得x=20.
答：原正方形的边长为20cm.
4x
5(x-4)
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
形积变化中的等量关系
①形状发生了变化，体积/面积不变. 其相等关系是：
变化前图形的体积/面积=变化后图形的体积/面积
②形状、面积发生了变化，周长不变. 其相等关系是：
变化前图形的周长=变化后图形的周长
③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即相等关系．
如图，长方形纸片的长是15cm，现从 长、宽上各剪去一个宽为3cm的长条，剩下的面积是原长方形面积的 .求原长方形纸片的宽.
练一练
解：设原长方形纸片的宽为x cm，则剩下的长方形的长为15-3=12(cm)，宽为(x-3)cm.
根据题意，得12(x-3)= ×15x，解得x=12.
答：原长方形纸片的宽为12cm.
例2：某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表：
总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1
8.2 10 3
已知张老师在补给站休息了10min，用时1.5h完成了比赛.求补给站与起点的距离.
8.2km
起点
补给站
终点
跑步距离+登山距离=总距离
【教材P103 例2】
8.2km
起点
补给站
终点
x km
8.2-x km
跑步时间+登山时间=总用时-休息时间
解：设补给站离起点x km. 根据题意，得
注意单位换算!
解方程，得x=6.
答：补给站与起点的距离为6km.
交流：运用一元一次方程解决实际问题的基本过程是怎样的？
实际问题
找等量关系，列方程
数学问题
（一元一次方程）
解方程
数学问题的解
（一元一次方程的解）
检验
实际问题的答案
“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最美的相遇. 11月中旬七年级的学生开启了以“溯源千年谯城·浸润万缕药香”为主题的亳州研学之旅. 已知①号车和②号车同时从合肥出发沿同一路线开往亳州，①号车的行驶速度是 80km/h，②号车的行驶速度是72km/h，①号车比②号车早到
h，求合肥与亳州相距多少千米
练一练
解：设合肥与亳州相距x km.
根据题意，得 ，解得x=320.
答：合肥与亳州相距320km.
归纳总结
列方程解应用题的一般步骤如下：
⑴弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题涉及的未知数；
⑵分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）；
⑶根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；
⑷解这个方程，求出未知数的值；
⑸检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）.
1.列方程，解下列各题：
（1）一种小麦磨成面粉，出粉率为80%（即20%成为麸子）．为了得到4500 kg面粉，至少需要多少小麦
【教材P104 练习】
解：设至少需要x kg小麦.
根据题意，得x·80％ = 4500.
解方程，得x=5625.
答：至少需要 5625 kg小麦.
（2）甲厂有钢材432t，乙厂有钢材96t．如果每天从甲厂运出20t，乙厂运出4t，几天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍
解：设x天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
根据题意，得432-20x=2(96-4x).
解方程，得x=20.
答：20天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
（3）甲、乙两地相距180km．一人骑自行车从甲地出发，每小时骑行15km．另一人骑摩托车从乙地同时出发．两人相向而行．已知摩托车车速是自行车车速的3倍．多少时间后两人相遇？
解：设x h后两人相遇.
根据题意，得x(15+15×3)=180.
解方程，得x=3.
答：3h后两人相遇.
2.有一根合金圆柱，底面半径为1 dm，高为64 cm，若将其锻造成长方体工件，使长方体工件的长为20π cm，高为32 cm，则长方体工件的宽是多少
解：设长方体工件的宽是x cm.
1 dm=10 cm，
根据题意，得π×102×64=20π×32x，
解得x=10.
答：长方体工件的宽是10cm.
3. 甲、乙两人从相距200km的两地相向而行，甲乘汽车每小时行60km，乙骑自行车每小时行20km. 如果乙先行2h，那么甲出发多长时间后两人相遇
解：设甲出发x h后两人相遇.
根据题意，得60x+20(x+2)=200，解得x=2.
答：甲出发2h后两人相遇.
1.为增加展示作品的质感，需要准备一些相框进行展示，现
将一根木条进行切割制作相框，原计划制作正方形的相框，
现改为制作长方形的相框，若新的长方形相框的宽比原正方
形相框的边长少 ，新的长方形相框的长等于原正方形相
框的边长，且新的长方形相框需要用 长的木条，若设
原正方形相框的边长为 ，则可列方程为______________
_____.
2.为增加展示作品的美感，学校打算用彩纸包装相框.如图，
将一张正方形彩纸剪下一个宽为 的长条后，再从剩下的
长方形彩纸上剪去一个宽为 的长条.如果两次剪下的长
条面积相等，那么每一个长条的面积为_____ .
150
3.(8分)为增加展示现场的氛围感，学校决定购买彩色的地垫，
进行地面装饰.如图，其中一部分图案为用8个相同的小长方
形拼成的大长方形，求1个小长方形的面积.
解：设1个小长方形的宽为 ，根
据题图可知1个小长方形的长为
，则 ，解得
，则
答：1个小长方形的面积为 .
知识点2 行程问题
4.［2025年1月滁州期末］一艘轮船在， 两个码头之间航
行，顺水航行需,逆水航行需.已知水流速度为 ,
求轮船在静水中的航行速度.若设轮船在静水中的航行速度为
,则可列一元一次方程为( )
B
A. B.
C. D.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程
实际问题
找等量关系，列方程
数学问题
（一元一次方程）
解方程
数学问题的解
（一元一次方程的解）
检验
实际问题的答案
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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