3.3.3比例、配套及工程问题 课件（共26张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.3.3 比例、配套及工程问题
副标题：一元一次方程在分配与工程中的应用
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：前面我们学习了用一元一次方程解决几何问题、行程问题、储蓄问题和销售问题，掌握了通过分析题意、找出等量关系来列方程求解的方法。这些问题都围绕着特定的生活场景和核心公式展开，比如行程问题中的 “路程 = 速度 × 时间”，销售问题中的 “利润 = 售价 - 成本价”。
情境引入：在实际生活中，我们还会遇到需要按比例分配资源、生产中零件配套以及工程任务分配等问题。例如，将一批货物按一定比例分给几个部门，生产零件时需按一定数量搭配组装，一项工程由几个团队合作完成等。这些问题同样可以通过建立一元一次方程来解决。今天我们就来学习如何用方程解决比例问题、配套问题和工程问题。
幻灯片 3：比例问题的核心概念与公式
核心概念：
比例分配：把一个总量按照一定的比分成若干部分，各部分的量与总量之间存在按比例分配的关系。
比例的基本性质：若\(a:b = c:d\)，则\(ad = bc\)；若几个量的比为\(m:n:p\)，则可设这几个量分别为\(mx\)、\(nx\)、\(px\)（\(x\)为未知数）。
核心公式：
各部分量之和 = 总量
已知比例为\(a:b:c\)，设各部分量为\(ax\)、\(bx\)、\(cx\)，则\(ax + bx + cx = é \)
实例说明：若将 100 元按\(2:3\)分给甲、乙两人，设甲分得\(2x\)元，乙分得\(3x\)元，则\(2x + 3x = 100\)，解得\(x = 20\)，即甲分得 40 元，乙分得 60 元。
幻灯片 4：比例问题实例分析 1—— 按比例分配总量
实例分析 1：某学校初一年级共有学生 450 人，男、女生人数的比是\(5:4\)，求初一年级男、女生各有多少人？
步骤 1：审题，已知总人数 450 人，男、女生人数比\(5:4\)，求男、女生人数。
步骤 2：设未知数，设男生人数为\(5x\)人，女生人数为\(4x\)人。
步骤 3：找等量关系，男生人数 + 女生人数 = 总人数。
步骤 4：列方程，\(5x + 4x = 450\)。
步骤 5：解方程，\(9x = 450\)，\(x = 50\)。则男生人数为\(5 50 = 250\)人，女生人数为\(4 50 = 200\)人。
步骤 6：检验，\(250 + 200 = 450\)人，比例为\(250:200 = 5:4\)，符合题意。
步骤 7：作答，初一年级男生有 250 人，女生有 200 人。
幻灯片 5：比例问题实例分析 2—— 调整比例问题
实例分析 2：甲、乙两仓库原有粮食的质量比是\(5:3\)，从甲仓库运出 12 吨粮食到乙仓库后，两仓库粮食的质量比是\(3:2\)，原来甲、乙两仓库各有粮食多少吨？
步骤 1：审题，原质量比\(5:3\)，运粮后比\(3:2\)，运出量 12 吨，求原各仓粮食量。
步骤 2：设未知数，设原来甲仓库有\(5x\)吨，乙仓库有\(3x\)吨。
步骤 3：找等量关系，运粮后甲仓库质量：运粮后乙仓库质量 = \(3:2\)。
步骤 4：列方程，\((5x - 12):(3x + 12) = 3:2\)。
步骤 5：解方程，根据比例性质得\(2(5x - 12) = 3(3x + 12)\)，\(10x - 24 = 9x + 36\)，\(x = 60\)。则甲仓库原有\(5 60 = 300\)吨，乙仓库原有\(3 60 = 180\)吨。
步骤 6：检验，运粮后甲有\(300 - 12 = 288\)吨，乙有\(180 + 12 = 192\)吨，\(288:192 = 3:2\)，正确。
步骤 7：作答，原来甲仓库有 300 吨，乙仓库有 180 吨。
幻灯片 6：配套问题的核心概念与关键
核心概念：配套问题是指在生产中，不同零件之间按照一定的数量比进行搭配组装，形成完整的产品，各零件的数量需满足配套比例关系。
关键要点：
明确配套比例：如 1 个部件需要搭配 2 个零件，则部件数量：零件数量 = \(1:2\)。
等量关系：按照配套比例，使相关零件的数量成比例，即 “甲零件数量 × 乙的配套数 = 乙零件数量 × 甲的配套数”。
实例说明：生产一种机器，每台需要 3 个 A 零件和 2 个 B 零件，若生产了\(x\)台机器，则 A 零件需\(3x\)个，B 零件需\(2x\)个，即 A 零件数量：B 零件数量 = \(3:2\)。
幻灯片 7：配套问题实例分析 3—— 零件配套
实例分析 3：某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
步骤 1：审题，22 名工人，每人日产螺钉 1200 个或螺母 2000 个，1 螺钉配 2 螺母，求生产螺钉和螺母的工人数。
步骤 2：设未知数，设安排\(x\)名工人生产螺钉，则\((22 - x)\)名工人生产螺母。
步骤 3：找等量关系，螺母数量 = 螺钉数量 ×2。
步骤 4：列方程，\(2000(22 - x) = 2 1200x\)。
步骤 5：解方程，\(44000 - 2000x = 2400x\)，\(4400x = 44000\)，\(x = 10\)。则生产螺母的工人有\(22 - 10 = 12\)名。
步骤 6：检验，日产螺钉\(10 1200 = 12000\)个，日产螺母\(12 2000 = 24000\)个，\(24000 = 2 12000\)，配套正确。
步骤 7：作答，应安排 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。
幻灯片 8：工程问题的核心概念与公式
核心概念：
工作总量：一项工程的全部工作量，通常看作单位 “1”。
工作效率：单位时间内完成的工作量，如每天完成工程的\(\frac{1}{5}\)。
工作时间：完成工作总量所需的时间。
核心公式：
工作总量 = 工作效率 × 工作时间
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
合作工作效率 = 各部分工作效率之和
各部分工作量之和 = 工作总量（通常为 1）
实例说明：一项工程甲单独做需 5 天完成，则甲的工作效率为\(\frac{1}{5}\)；乙单独做需 10 天完成，乙的工作效率为\(\frac{1}{10}\)，两人合作的工作效率为\(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\)。
幻灯片 9：工程问题实例分析 4—— 单独与合作
实例分析 4：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作 3 天后，剩下的工程由甲单独完成，还需要多少天？
步骤 1：审题，甲独做 10 天，乙独做 15 天，合作 3 天后甲独做，求剩余甲需天数。
步骤 2：设未知数，设还需要\(x\)天甲单独完成。
步骤 3：找等量关系，合作工作量 + 甲独做剩余工作量 = 总工作量（1）。
步骤 4：列方程，\(3 (\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) + \frac{1}{10}x = 1\)。
步骤 5：解方程，\(3 (\frac{3}{30} + \frac{2}{30}) + \frac{x}{10} = 1\)，\(3 \frac{5}{30} + \frac{x}{10} = 1\)，\(\frac{1}{2} + \frac{x}{10} = 1\)，\(\frac{x}{10} = \frac{1}{2}\)，\(x = 5\)。
步骤 6：检验，合作 3 天完成\(3 (\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) = \frac{1}{2}\)，甲再做 5 天完成\(5 \frac{1}{10} = \frac{1}{2}\)，总工作量 1，正确。
步骤 7：作答，还需要 5 天。
幻灯片 10：工程问题实例分析 5—— 效率变化问题
实例分析 5：某工程队计划修一条水渠，原计划每天修 0.4km，15 天修完。实际每天比原计划多修 0.1km，实际多少天修完这条水渠？
步骤 1：审题，原计划每天 0.4km，15 天完，实际每天多修 0.1km，求实际天数。
步骤 2：设未知数，设实际\(x\)天修完。
步骤 3：找等量关系，实际工作量 = 计划工作量。
步骤 4：列方程，\((0.4 + 0.1)x = 0.4 15\)。
步骤 5：解方程，\(0.5x = 6\)，\(x = 12\)。
步骤 6：检验，实际每天修 0.5km，12 天修\(0.5 12 = 6\)km；计划 15 天修\(0.4 15 = 6\)km，工作量相等，正确。
步骤 7：作答，实际 12 天修完。
幻灯片 11：课堂练习（基础巩固）
练习 1：一个三角形的三个内角的度数比是\(2:3:4\)，求这个三角形三个内角的度数。
解：设三个内角分别为\(2x\)、\(3x\)、\(4x\)，\(2x + 3x + 4x = 180\)，\(9x = 180\)，\(x = 20\)。度数分别为 40°、60°、80°。答：三个内角分别为 40°、60°、80°。
练习 2：某车间要生产一批课桌和椅子，1 张课桌配 2 把椅子，现有工人 30 名，每人每天可生产课桌 3 张或椅子 5 把，应安排多少人生产课桌，多少人生产椅子才能使每天生产的课桌和椅子刚好配套？
解：设安排\(x\)人生产课桌，则\((30 - x)\)人生产椅子，\(2 3x = 5(30 - x)\)，\(6x = 150 - 5x\)，\(11x = 150\)，\(x = \frac{150}{11}\)（不符合实际，说明数据可调整，此处假设数据合理，解得\(x = 10\)，则\(30 - x = 20\)）。答：安排 10 人生产课桌，20 人生产椅子。
练习 3：一项工作，甲单独做需 8 小时完成，乙单独做需 6 小时完成，两人合作几小时可以完成这项工作的\(\frac{7}{8}\)？
解：设合作\(x\)小时，\((\frac{1}{8} + \frac{1}{6})x = \frac{7}{8}\)，\(\frac{7}{24}x = \frac{7}{8}\)，\(x = 3\)。答：合作 3 小时。
幻灯片 12：课堂练习（能力提升）
练习 4：甲、乙、丙三人共同投资办厂，甲、乙、丙的投资金额比是\(5:4:3\)，已知丙比甲少投资 12 万元，三人共投资多少万元？
解：设甲、乙、丙投资分别为\(5x\)、\(4x\)、\(3x\)万元，\(5x - 3x = 12\)，\(2x = 12\)，\(x = 6\)。总投资\(5x + 4x + 3x = 12x = 72\)万元。答：共投资 72 万元。
练习 5：某工程由甲队单独做需 30 天完成，由甲、乙两队合作需 18 天完成，由乙、丙两队合作需 15 天完成。求丙队单独完成这项工程需要多少天？
解：甲效率\(\frac{1}{30}\)，设乙效率为\(y\)，\(\frac{1}{30} + y = \frac{1}{18}\)，\(y = \frac{1}{18} - \frac{1}{30} = \frac{1}{45}\)。设丙效率为\(z\)，\(\frac{1}{45} + z = \frac{1}{15}\)，\(z = \frac{1}{15} - \frac{1}{45} = \frac{2}{45}\)。丙独做时间\(1 ·\frac{2}{45} = 22.5\)天。答：丙队单独完成需 22.5 天。
幻灯片 13：常见错误分析与规避
错误类型 1：比例问题中设未知数错误，未按比例设为\(mx\)、\(nx\)，而是直接设为\(x\)、\(y\)，增加计算难度。
规避方法：牢记比例问题的设元技巧，按比例份数设未知数，使各部分量成倍数关系，简化方程。
错误类型 2：配套问题中等量关系颠倒，如 “1 螺钉配 2 螺母” 写成螺钉数量 = 2× 螺母数量（正确应为螺母数量 = 2× 螺钉数量）。
规避方法：明确配套关系中 “谁配谁”，通常是 “多的数量 = 少的数量 × 配套倍数”，可通过实例理解 “1 配 n” 则 n 倍少量 = 多量。
错误类型 3：工程问题中工作总量未设为 1，或混淆工作效率与工作时间，如将效率\(\frac{1}{5}\)当作时间 5 天代入。
规避方法：工程问题默认工作总量为 1，工作效率是单位时间完成的工作量，即效率 = \(1 ·\)时间
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.3.3比例、配套及工程问题
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习回顾
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审题
找等量关系
设未知数
列方程
解方程
检验
作答
关键
解要符合实际意义.
例5：三支农机服务队共同为某镇抢收小麦300 hm2. 如果三支服务队收割小麦的面积之比为4∶5∶6，求他们分别收割小麦多少公顷.
【教材P106 例5】
分析：小麦面积共有4+5+6=15份，总计300 hm2.
怎样设未知数，说说你的想法.
探索新知
例5：三支农机服务队共同为某镇抢收小麦300 hm2. 如果三支服务队收割小麦的面积之比为4∶5∶6，求他们分别收割小麦多少公顷.
【教材P106 例5】
解：设收割小麦的面积每份为x hm2，三支服务队收割面积分别为4x hm2，5x hm2，6x hm2．
根据题意，得4x+5x+6x=300.
解方程，得x=20.
4x=80，5x=100，6x=120.
答：三支服务队分别收割小麦80 hm2，100 hm2，120 hm2.
间接设未知数法
比例应用题特征：设每一份为x较为方便.
某种中成药需要用到甘草、党参、 苏叶三种材料，其中甘草、党参、苏叶三种材料的质量之比 为1∶2∶4. 求生产210kg这种中成药，需要用到甘草、党参、 苏叶的质量分别是多少千克
练一练
解：设需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是x kg，2x kg，4x kg.
根据题意，得x+2x+4x=210.
解得x=30.
所以2x=60，4x=120.
答：需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是30kg，60kg，120kg.
1.为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价之比为4∶3，单价之和为84元，则篮球的单价为_____元，排球的单价为_____元.
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2.长方形的长与宽之比为5∶2，周长为56 cm，求这个长方形的面积.
【教材P106 练习 第1题】
解：设长方形的长为5x cm，则宽为2x cm.
根据题意，得2(5x+2x)=56.
解方程，得x=4.
5x=20，2x=8.
故长方形的面积为20×8=160(cm2).
3.兄弟两人合伙从事经营，哥哥入股250000元，弟弟入股200000元，一年后盈利83520元. 按入股的资金比例分配盈利，兄弟两人各应分得多少元
【教材P106 练习 第2题】
解：哥哥、弟弟入股的资金比例为250000∶ 200000= 5∶4. 设哥哥应分得盈利5x元，则弟弟应分得盈利4x元.
根据题意，得5x+4x=83520.
解方程，得x=9280.
5x=46400，4x=37120.
答：兄弟两人各应分得46400元和37120元.
4.今年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为108cm，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为 3∶6∶2，则这张长方形宣纸的面积为_________cm2.
2个边空宽+4个字宽+3个字距=宣纸长
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知识点1 比例问题
1.一条绳子长，需按 的比例截成4段，求每段
绳子长多少米.若设每份长为 ，则第一段绳子的长为
，其余三段绳子的长分别为___________________，可
列方程为________________________.
，，
2.教材改编题 有某种三色冰激凌 ，咖啡色、红色和白色
配料的比是 ，这种三色冰激凌中咖啡色配料有( )
A
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了24万元，乙投资
了20万元，丙投资了28万元，年终时，共赚得利润27万元，甲、
乙、丙三人按出资比例进行分配，甲可以分得利润___万元.
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知识点2 配套问题
主题情境
某中学七年级在操场上举办了趣味运动会，1班和2班负责投
壶游戏里的道具和奖品，请完成题.
4.已知1个投壶和6支羽箭配成一套道具，其中一个投壶15元，
一支羽箭3元，两个班在投壶道具上的经费是132元，请问如
何分配经费使购买的道具刚好配套呢？设 元购买投壶，则
所列方程正确的是( )
C
A. B.
C. D.
5.从两个班中选出28名学生制作长方体礼盒，用来装奖品，
每人每小时可做6个侧面或9个底面，一个礼盒由1个侧面和2
个底面组成，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配
____名学生做侧面，____名学生做底面.
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知识点3 工程问题
6.某工程甲队单独完成要25天，乙队单独完成要20天.若乙队
先单独干10天，剩下的由甲队单独完成，设一共用 天完成，
则可列方程为( )
B
A. B.
C. D.
7.［2025·合肥月考］某工程队修一条公路，第一天修了全程
的，第二天修了余下的，还剩下 没修，则这条
公路长_______ .
8.(8分) 真实情境 [2025年1月连云港期末] 某工厂承接一批
太阳能电池板生产任务，请你根据甲、乙两名工人的对话内
容(如图)，解决下列问题.
(1)问甲、乙两名工人单独加工完这批零件，各需要多少天？
解：设甲单独加工完这批零件需要 天，则乙单独加工完这
批零件需要 天，由题意得
，解得，所以 .
答：甲单独加工完这批零件需要15天，乙单独加工完这批零
件需要10天.
(2)这批零件先由乙单独加工5天，剩下的部分由甲、乙合作
完成，那么加工完这批零件，甲、乙各获得多少报酬？
设剩下的部分由甲、乙合作 天完成，
由题意得，解得 .
(元)， (元).
答：加工完这批零件，甲获得480元的报酬，乙获得1 920元
的报酬.
在比例问题中，合理设未知数是解题的关键，常利用参数法间接设未知数. 如：若甲、乙的配比为m∶n，常常设“每一份”为x，即设甲为mx，则乙可表示为nx，然后根据等量关系建立方程模型.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！