3.4.1二元一次方程组 课件（共25张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.1 二元一次方程组
副标题：认识含有两个未知数的方程模型
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：前面我们学习了一元一次方程及其应用，知道只含有一个未知数，未知数的次数是 1，等号两边都是整式的方程是一元一次方程，如 3x + 5 = 14。通过列一元一次方程，我们解决了几何、行程、销售等实际问题。但在生活中，有些问题含有两个未知数，仅用一元一次方程难以表达数量关系，这就需要新的方程模型。
情境引入：篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分。某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜了多少场，负了多少场？这个问题中涉及 “胜的场数” 和 “负的场数” 两个未知数，如何用方程表示它们之间的关系呢？今天我们就来学习二元一次方程组，解决这类含有两个未知数的问题。
幻灯片 3：二元一次方程的定义
概念阐述：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程。
关键词解析：
含有两个未知数：方程中必须有两个不同的字母代表未知数，如 x 和 y、m 和 n 等。
未知数的项的次数都是 1：每个未知数的次数都是 1，且不含未知数的乘积项（如 xy、x y 等）。
整式方程：等号两边的式子都是整式，分母中不含未知数。
表达式形式：一般形式为 ax + by + c = 0（a、b、c 为常数，且 a ≠ 0，b ≠ 0），如 2x + 3y = 7、m - n + 2 = 0 等。
实例辨析：判断下列方程是不是二元一次方程。
3x + 2y = 5（是，含两个未知数，次数都是 1，整式方程）
x + y = 3（不是，y 的次数是 2）
\(\frac{1}{x}\) + y = 2（不是，左边不是整式）
2x + 3 = 8（不是，只含一个未知数）
4x - 5y + z = 1（不是，含三个未知数）
幻灯片 4：二元一次方程的解
概念阐述：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
表示形式：二元一次方程的解通常用 “\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)” 的形式表示，其中 a、b 分别是未知数 x、y 的值。
特点说明：
二元一次方程有无数组解：给定一个未知数的值，另一个未知数的值可以通过方程求出，因此解的数量是无限的。
解的验证：将一组值代入方程，若左右两边相等，则这组值是方程的解。
实例分析 1：判断\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)和\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 3\end{cases}\)是不是方程 2x + y = 5 的解。
验证：当 x = 2，y = 1 时，左边 = 2×2 + 1 = 5 = 右边，是方程的解；当 x = 1，y = 3 时，左边 = 2×1 + 3 = 5 = 右边，也是方程的解。
实例分析 2：求方程 x + 2y = 6 的三组解。
解：当 x = 0 时，0 + 2y = 6，y = 3，得\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 3\end{cases}\)；当 x = 2 时，2 + 2y = 6，y = 2，得\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 2\end{cases}\)；当 x = 4 时，4 + 2y = 6，y = 1，得\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 1\end{cases}\)。
幻灯片 5：二元一次方程组的定义
概念阐述：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
组成条件：
方程组中含有两个未知数。
每个方程都是二元一次方程。
方程的数量至少是两个（通常为两个）。
表达式形式：一般形式为\(\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\)（其中\(a_1\)、\(b_1\)、\(c_1\)、\(a_2\)、\(b_2\)、\(c_2\)为常数，且\(a_1\)与\(b_1\)不同时为 0，\(a_2\)与\(b_2\)不同时为 0）。
实例辨析：判断下列方程组是不是二元一次方程组。
\(\begin{cases}x + y = 3 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)（是，含两个未知数，都是二元一次方程）
\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ 3x + z = 7\end{cases}\)（不是，含三个未知数）
\(\begin{cases}x + y = 4 \\ x - y = 1\end{cases}\)（不是，第一个方程是二次方程）
\(\begin{cases}x + y = 2 \\ 3x = 6\end{cases}\)（是，第二个方程可看作 3x + 0y = 6，符合定义）
幻灯片 6：二元一次方程组的解
概念阐述：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
核心特点：方程组的解必须同时满足方程组中的每个方程。
验证方法：将一组解代入方程组的每个方程，若所有方程左右两边都相等，则这组解是方程组的解。
实例分析 3：判断\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)是不是方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ 2x - y = 3\end{cases}\)的解。
验证：代入第一个方程，2 + 1 = 3 = 右边；代入第二个方程，2×2 - 1 = 3 = 右边，因此是方程组的解。
实例分析 4：方程组\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16\end{cases}\)的解是什么？
解：通过尝试，当 x = 6，y = 4 时，第一个方程 6 + 4 = 10，第二个方程 2×6 + 4 = 16，同时满足，因此解为\(\begin{cases}x = 6 \\ y = 4\end{cases}\)（后续将学习更系统的解法）。
幻灯片 7：列二元一次方程组的步骤
步骤 1：审题：明确问题中的已知量、未知量，找出关键的数量关系。
步骤 2：设未知数：设出两个未知数，用字母表示（通常设为 x 和 y）。
步骤 3：找等量关系：根据题目中的条件，找出两个不同的等量关系。
步骤 4：列方程：根据每个等量关系，列出对应的二元一次方程。
步骤 5：组成方程组：将两个方程联立，组成二元一次方程组。
口诀记忆：审清题意设未知，找出等量列方程，联立组成方程组。
幻灯片 8：列二元一次方程组实例分析 5—— 比赛问题
实例分析 5：回到情境导入的问题，篮球比赛中，某队在 10 场比赛中得到 16 分，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，求这个队胜了多少场，负了多少场？
步骤 1：审题，已知比赛总场数 10 场，总得分 16 分，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，求胜场数和负场数。
步骤 2：设未知数，设这个队胜了 x 场，负了 y 场。
步骤 3：找等量关系，胜场数 + 负场数 = 总场数；胜场得分 + 负场得分 = 总得分。
步骤 4：列方程，x + y = 10；2x + y = 16。
步骤 5：组成方程组，\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16\end{cases}\)。
说明：后续将学习解这个方程组，得到 x = 6，y = 4，即胜 6 场，负 4 场。
幻灯片 9：列二元一次方程组实例分析 6—— 购物问题
实例分析 6：小明到文具店买笔和笔记本，买 2 支笔和 3 本笔记本共花 15 元，买 3 支笔和 2 本笔记本共花 17 元，求笔和笔记本的单价各是多少元？
步骤 1：审题，已知两种购买方案的总价，求笔和笔记本的单价。
步骤 2：设未知数，设笔的单价为 x 元，笔记本的单价为 y 元。
步骤 3：找等量关系，2 支笔的价钱 + 3 本笔记本的价钱 = 15 元；3 支笔的价钱 + 2 本笔记本的价钱 = 17 元。
步骤 4：列方程，2x + 3y = 15；3x + 2y = 17。
步骤 5：组成方程组，\(\begin{cases}2x + 3y = 15 \\ 3x + 2y = 17\end{cases}\)。
幻灯片 10：课堂练习（基础巩固）
练习 1：下列方程中，是二元一次方程的有（ ）。
① 3x - y = 2 ② x + \(\frac{1}{y}\) = 5 ③ x + y = 3 ④ x = y ⑤ x + y + z = 6
参考答案：①④
练习 2：写出二元一次方程 3x + 2y = 10 的三组解。
参考答案：\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 5\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 2\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 4 \\ y = -1\end{cases}\)
练习 3：判断\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)是不是方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ 3x - y = 1\end{cases}\)的解。
参考答案：代入第一个方程 1 + 2 = 3，第二个方程 3×1 - 2 = 1，都是解，因此是方程组的解。
幻灯片 11：课堂练习（能力提升）
练习 4：根据下列问题列出二元一次方程组。
（1）某校七年级学生人数比八年级学生人数少 100 人，两个年级共有学生 2500 人，求七年级和八年级各有多少学生？
参考答案：设七年级有 x 人，八年级有 y 人，\(\begin{cases}y - x = 100 \\ x + y = 2500\end{cases}\)
（2）某车间有工人 54 人，每人每天可生产甲种零件 15 个或乙种零件 24 个，已知 3 个甲种零件和 2 个乙种零件配成一套，问如何安排工人生产才能使每天生产的零件刚好配套？
参考答案：设生产甲种零件的有 x 人，生产乙种零件的有 y 人，\(\begin{cases}x + y = 54 \\ 2 15x = 3 24y\end{cases}\)（或化简为\(5x = 12y\)）
幻灯片 12：常见错误分析与规避
错误类型 1：对二元一次方程定义理解不清，误将含有未知数乘积项的方程当作二元一次方程，如认为 xy = 4 是二元一次方程（正确：xy 是二次项，不是二元一次方程）。
规避方法：牢记二元一次方程中 “未知数的项的次数都是 1”，不含未知数的乘积、平方等形式，判断时逐一检查未知数的次数。
错误类型 2：混淆二元一次方程的解和方程组的解，认为满足其中一个方程的解就是方程组的解。
规避方法：明确方程组的解必须同时满足方程组中的所有方程，验证时需代入每个方程检查。
错误类型 3：列方程组时等量关系找错或漏列，如购物问题中忽略 “总价 = 单价 × 数量” 的基本关系。
规避方法：审题时圈出关键数据和关键词（如 “共”“比…… 多”“配成一套” 等），结合实际问题的基本公式（如路程、利润、配套比例等）找等量关系，确保列出两个独立的方程。
错误类型 4：设未知数时未明确单位或表述不清，导致方程含义模糊。
规避方法：设未知数时注明单位，如 “设笔的单价为 x 元 / 支”，使方程中的数量关系更清晰。
幻灯片 13：课堂小结
二元一次方程：含两个未知数，未知数的项的次数都是 1 的整式方程，有无数组解。
二元一次方程组：由两个含相同未知数的二元一次方程组成，其解是两个方程的公共解。
列方程组步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→组成方程组。
核心思想：通过引入两个未知数，更直接地表达实际问题中的数量关系，为解决复杂问题提供新的模型。
幻灯片 14：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了二元一次方程和二元一次方程组的定义，理解了它们的解的含义，掌握了列二元一次方程组的基本步骤。二元一次方程组是解决含有两个未知数问题的重要工具，其核心是通过设立两个未知数，将实际问题中的等量关系转化为方程。在后续课程中，我们将学习解二元一次方程组的方法，进一步解决实际问题。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，判断二元一次方程和方程组，写出方程的解并列出简单的方程组。
拓展作业：观察生活中的一个实际问题（如购物、分配任务等），其中含有两个未知数，尝试列出二元一次方程组，并说明所设未知数和等量关系。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.1二元一次方程组
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
只含有_______未知数（元），未知数的次数都是____，且等式两边都是_______的方程叫作一元一次方程.
下列式子中，是一元一次方程的是_______（填序号）.
① x-2= ；② 0.3x=1；③ =5x+1；④ x2-4x=3；
⑤ x=6；⑥ x+2y=0.
一个
1
整式
②③⑤
问题1：“鸡兔同笼”是我国古代数学著作《孙子算经》上的一道题. 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.
思考1：如何列一元一次方程？
解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.
2x+4(35-x)=94
思考2：问题中有两个未知数，能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
分析：
鸡的只数+兔的只数=总头数
鸡的脚数+兔的脚数=总脚数
解：设鸡有x只，兔有y只.
鸡 兔 合计
头数 x y 35
脚数 2x 4y 94
x+y=35
2x+4y=94
x+y=35
2x+4y=94
观察下面的方程：
2.它与你学过的一元一次方程比较有什么区别？
1.它们有什么共同特征？
3.你能给它起个名字吗？
定义：含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程.
注意：
1.是整式方程；
2.只含有两个未知数，且未知数的系数不为0；
3. “一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数.
x+y=35
2x+4y=94
二元一次方程
三者缺一不可！
下列式子中，是二元一次方程的是_______（填序号）.
① 8x-y=3y；② 3x-z=y；③ 2x-5=3；④ +y=2；
⑤ xy=2；⑥ 3x2+1=y；⑦ x-y= .
练一练
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
1.原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
2.整理化简后的方程中两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
①⑦
x+y=35
2x+4y=94
①
②
几个方程联立在一起，称为方程组.
两个或两个以上
定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组.
注意：
1.组成方程组的方程都是整式方程；
2.两个方程共含有两个未知数；
3.方程组中含有未知数的项的次数必须都是1.
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
练一练
A. B. C. D.
看两个方程是否为整式方程
看方程组是否一共含有两个未知数
看含未知数的项的次数是否都是1
C
问题2：某班同学在植树节时植樟树和白杨树共50棵. 已知樟树苗每棵10元，白杨树苗每棵3元，购买这些树苗用了290元.樟树苗、白杨树苗各买了多少棵
设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，可得二元一次方程组
x+y=50，
10x+3y=290.
①
②
1.已知2xa-5-(b-2)y|b|-1=4是关于x，y的二元一次方程，则
a-2b=________.
10
2.若 是关于x，y的二元一次方程组，则
a=________，b=________.
﹣1
5
3.根据题意，列出二元一次方程组：
（1）小华买了60分与80分的邮票共10枚，花了7元2角，那么60分和80分的邮票各买了多少枚
【教材P109 练习 第1题】
解：设买了x枚60分的邮票和y枚80分的邮票.
根据题意，得
（2）植树节七(1)班和七(2)班共植树138棵，七(1)班植树数量比七(2)班的 多8棵. 两班分别植树多少棵
解：设七(1)班植树x棵，七(2)班植树y棵.
根据题意，得
（3）将一摞笔记本分给若干同学. 每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本. 共有多少本笔记本、多少个同学
解：设共有x本笔记本，y个同学.
根据题意，得
4.请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题，并列出方程组.
解：答案不唯一，如：某船的载重为260t，容积为1000m3. 现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m3，乙种货物每吨体积为2m3，若要充分利用这艘船的载重与容积，则甲、乙两种货物应各装多少吨（装运货物时不留空隙）？
设甲、乙两种货物应各装x t，y t.
根据题意，得
【教材P109 练习 第2题】
知识点1 二元一次方程
1.［2025·杭州月考］下列方程是二元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.关于，的方程是二元一次方程，则
的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
3.若方程是关于， 的二元一次方程，则
___.
3
知识点2 二元一次方程组
4.下列方程组是二元一次方程组的是( )
C
A. B.
C. D.
5.创新题·新考法 若方程组 是二元一次方程组，
则“……”不可能是( )
C
A. B. C. D.
6.［2025年1月安庆期末］若是关于,
的二元一次方程组，则___， ____.
1
知识点3 建立二元一次方程组模型
7.某班35名学生共种87棵树苗.其中男生每人种3棵，女生每
人种2棵，设该班男生有人，女生有 人.根据题意，所列方
程组正确的是( )
D
A. B.
C. D.
二元一次方程组
二元一次方程及二元一次方程组的定义
根据实际问题列二元一次方程组
含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程.
由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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