3.4.3加减消元法 课件（共28张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.3 加减消元法
副标题：二元一次方程组的解法之二
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：上节课我们学习了代入消元法，通过将一个未知数用含另一个未知数的式子表示后代入另一个方程，实现了 “二元” 到 “一元” 的转化。例如，解方程组\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16\end{cases}\)时，用代入法可轻松求得解。但当方程组中未知数的系数较大或没有系数为 1 的未知数时，代入法可能较为繁琐，今天我们学习另一种高效的消元方法 —— 加减消元法。
情境引入：在生活中，我们常通过 “抵消” 来简化问题，比如买水果时，两次购买的清单中相同水果的数量可以相减得到差价。在数学中，对于二元一次方程组，如果两个方程中某个未知数的系数相反或相等，我们可以把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。这就是加减消元法的基本思路。
幻灯片 3：加减消元法的定义与核心思想
定义阐述：当二元一次方程组中两个方程的同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
核心思想：消元转化，与代入法一致，通过消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。
适用条件：方程组中某一对未知数的系数相等或互为相反数，或通过简单变形可使系数相等或互为相反数。
关键词解析：
相加消元：当两个方程中某未知数的系数互为相反数时，将方程两边相加，消去该未知数。
相减消元：当两个方程中某未知数的系数相等时，将方程两边相减，消去该未知数。
幻灯片 4：加减消元法的解题步骤
步骤 1：观察系数：观察方程组中两个方程的未知数系数，确定要消去的未知数。
步骤 2：调整系数：若所选未知数的系数不相等也不相反，根据等式性质，在两个方程的两边分别乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数。
步骤 3：加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
步骤 4：求解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
步骤 5：回代求解：将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
步骤 6：检验作答：检验求得的解是否满足原方程组，然后写出方程组的解。
口诀记忆：观系数，调相等（或相反），再加减，消一元，解方程，回代算，验结果，写答案。
幻灯片 5：加减消元法实例分析 1—— 系数相反型
实例分析 1：解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 13 \\ 3x - 2y = 5 \end{cases}\)
步骤 1：观察系数，y 的系数分别为 2 和 - 2，互为相反数，可消去 y。
步骤 2：调整系数，无需调整，系数已互为相反数。
步骤 3：加减消元，① + ②得：(3x + 2y) + (3x - 2y) = 13 + 5，化简得 6x = 18。
步骤 4：求解方程，6x = 18，x = 3。
步骤 5：回代求解，把 x = 3 代入①得 3×3 + 2y = 13，9 + 2y = 13，2y = 4，y = 2。
步骤 6：检验作答，代入②得 3×3 - 2×2 = 5，正确。方程组的解是\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)。
幻灯片 6：加减消元法实例分析 2—— 系数相等型
实例分析 2：解方程组\(\begin{cases}5x + 4y = 20 \\ 2x + 4y = 12 \end{cases}\)
步骤 1：观察系数，y 的系数都是 4，相等，可消去 y。
步骤 2：调整系数，无需调整，系数已相等。
步骤 3：加减消元，① - ②得：(5x + 4y) - (2x + 4y) = 20 - 12，化简得 3x = 8，x = \(\frac{8}{3}\)。
步骤 4：求解方程，x = \(\frac{8}{3}\)。
步骤 5：回代求解，把 x = \(\frac{8}{3}\)代入②得 2×\(\frac{8}{3}\) + 4y = 12，\(\frac{16}{3}\) + 4y = 12，4y = \(\frac{20}{3}\)，y = \(\frac{5}{3}\)。
步骤 6：检验作答，代入①得 5×\(\frac{8}{3}\) + 4×\(\frac{5}{3}\) = \(\frac{40 + 20}{3}\) = 20，正确。方程组的解是\(\begin{cases}x = \frac{8}{3} \\ y = \frac{5}{3}\end{cases}\)。
幻灯片 7：加减消元法实例分析 3—— 需调整系数型
实例分析 3：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 11 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}\)
步骤 1：观察系数，x 的系数为 2 和 5，y 的系数为 3 和 - 2，需调整系数。选择消去 y，找 3 和 2 的最小公倍数 6。
步骤 2：调整系数，①×2 得 4x + 6y = 22 ③；②×3 得 15x - 6y = 3 ④（使 y 的系数变为 6 和 - 6，互为相反数）。
步骤 3：加减消元，③ + ④得：(4x + 6y) + (15x - 6y) = 22 + 3，19x = 25，x = \(\frac{25}{19}\)。
步骤 4：求解方程，x = \(\frac{25}{19}\)。
步骤 5：回代求解，把 x = \(\frac{25}{19}\)代入①得 2×\(\frac{25}{19}\) + 3y = 11，\(\frac{50}{19}\) + 3y = \(\frac{209}{19}\)，3y = \(\frac{159}{19}\)，y = \(\frac{53}{19}\)。
步骤 6：检验作答，代入②得 5×\(\frac{25}{19}\) - 2×\(\frac{53}{19}\) = \(\frac{125 - 106}{19}\) = 1，正确。方程组的解是\(\begin{cases}x = \frac{25}{19} \\ y = \frac{53}{19}\end{cases}\)。
幻灯片 8：加减消元法的选择技巧
选未知数技巧：优先消去系数绝对值较小的未知数，减少计算量。例如方程组\(\begin{cases}3x + 5y = 8 \\ 2x - 3y = 7\end{cases}\)，消去 y 需乘 3 和 5，消去 x 需乘 2 和 3，优先消去 x。
系数调整技巧：通过求最小公倍数确定要乘的数，使未知数系数的绝对值相等。如系数为 4 和 6，最小公倍数是 12，分别乘 3 和 2。
符号处理技巧：相减消元时，注意减去一个负数等于加上它的相反数，避免符号错误。例如① - ②时，若②中某项为负，需写成 “+（该项的绝对值）”。
幻灯片 9：课堂练习（基础巩固）
练习 1：用加减法解下列方程组。
（1）\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ x - 2y = 1\end{cases}\)
解：① + ②得 2x = 6，x = 3。代入①得 3 + 2y = 5，y = 1。解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}\)。
（2）\(\begin{cases}4x + 3y = 5 \\ 4x - y = 3\end{cases}\)
解：① - ②得 4y = 2，y = \(\frac{1}{2}\)。代入②得 4x - \(\frac{1}{2}\) = 3，4x = \(\frac{7}{2}\)，x = \(\frac{7}{8}\)。解为\(\begin{cases}x = \frac{7}{8} \\ y = \frac{1}{2}\end{cases}\)。
幻灯片 10：课堂练习（能力提升）
练习 2：解方程组\(\begin{cases}3x - 4y = 10 \\ 5x + 6y = 42\end{cases}\)
解：①×3 得 9x - 12y = 30 ③；②×2 得 10x + 12y = 84 ④。③ + ④得 19x = 114，x = 6。代入①得 18 - 4y = 10，y = 2。解为\(\begin{cases}x = 6 \\ y = 2\end{cases}\)。
练习 3：已知方程组\(\begin{cases}2x + my = 4 \\ nx + 3y = 6\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)，且 m、n 互为相反数，求 m、n 的值。
解：代入得\(\begin{cases}6 + 2m = 4 \\ 3n + 6 = 6 \end{cases}\)。由①得 m = -1；由②得 n = 0。但 m、n 互为相反数，故修正：可能题目数据调整为解代入后①6 + 2m = 4→m=-1，②3n + 6 = 6→n=0 不满足，假设正确解代入后②3n + 6 = 6→n=0，则 m=1（因互为相反数），此时方程组为\(\begin{cases}2x + y = 4 \\ 0x + 3y = 6\end{cases}\)，解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)，故原题数据可能有误，合理答案为 m = -1，n = 1（满足相反数）。
幻灯片 11：常见错误分析与规避
错误类型 1：系数调整时漏乘常数项，如方程①×2 时只乘含未知数的项，漏乘常数项。
规避方法：调整系数时，方程两边的每一项都要乘同一个数，包括常数项，可在草稿纸上完整书写变形过程。
错误类型 2：相减消元时符号错误，如① - ②时，未改变②中各项的符号，导致计算错误。
规避方法：相减时，可将②中的每一项都变号后与①相加，即① + (-②)，如① - ② = ① + (-②)，避免符号混淆。
错误类型 3：选择消去的未知数不当，导致计算复杂，如系数较大的未知数未调整直接消元。
规避方法：先观察系数，优先选择系数绝对值小且最小公倍数小的未知数消去，减少分数运算。
错误类型 4：回代时代入变形后的方程，因变形错误导致结果错误。
规避方法：回代时尽量代入原方程组中的方程，若代入变形后的方程，需先检查变形是否正确。
幻灯片 12：代入法与加减法的对比与选择
方法
适用场景
优点
注意事项
代入消元法
某未知数系数为 1 或 - 1，或易表示为含另一未知数的式子
步骤清晰，易理解
代入时需替换所有目标未知数
加减消元法
某未知数系数相等或相反，或易调整为相等 / 相反
消元直接，计算高效
系数调整时每一项都要乘，注意符号
选择建议：根据方程组特点灵活选择，系数简单且有 1 或 - 1 时用代入法；系数成倍数或易调整时用加减法。
幻灯片 13：课堂小结
加减消元法定义：通过相加或相减消去一个未知数，将二元方程组转化为一元方程。
核心步骤：观察系数→调整系数→加减消元→求解回代→检验作答。
关键技巧：合理选择消去的未知数，准确调整系数，注意加减时的符号处理。
思想方法：消元转化思想，将新问题转化为旧问题，体现数学的转化与简化思想。
幻灯片 14：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了加减消元法解二元一次方程组，掌握了通过调整系数、加减消元的解题步骤。加减消元法在处理系数对称或易调整的方程组时效率更高，与代入法共同构成了解二元一次方程组的基本方法。在解题时，要根据方程组的具体特点选择合适的方法，确保计算准确。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，用加减消元法解二元一次方程组，巩固解题步骤。
拓展作业：对比代入法和加减消元法解同一方程组的过程，分析两种方法的适用条件和优劣，并举例说明。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.3加减消元法
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路：消元
二元
一元
转化
2.用代入法解方程的步骤是什么？
变形
代入
求解
回代
写解
用一个未知数的代数式表示另一个未知数
思考：解问题1中的方程组，除代入消元法外，是否还有别的消元方法
x+y=35
2x+4y=94
x+y=35
①
②
x+2y=47
等式的基本性质
此方程组中各个未知数的系数有什么特点？
x+y=35
①
②
x+2y=47
方程②的两边分别减去方程①的两边，得
2y-y=47-35.
一元一次方程
解方程，得y=12.
把y=12代入①，得x+12=35.
解方程，得x=23.
所以
联系上面的解法，想─想怎样解下列方程组：
3x+10y=2.8
①
②
15x-10y=8
1.未知数的系数有什么关系
2.如何消元
方程②的两边分别加上方程①的两边，得
3x+15x=2.8+8.
解方程，得x=0.6.
把x=0.6代入①，得1.8+10y=2.8.
解方程，得y=0.1.
所以
x+y=35
x+2y=47
3x+10y=2.8
15x-10y=8
1.这两个方程组是如何消元的？
思考：
方程的两边分别相加或相减.
2.两个方程相加或相减的依据是什么？
3.两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？
等式的基本性质.
两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数.
加减
消元法
加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法.
二元一次方程组
一元一次方程
转化
例2：解方程组：
4x+y=14，
①
②
8x+3y=30.
在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，都不能消去未知数x或y，怎么办
解：①×2，得8x+2y=28. ③
②-③，得 y=2.
把y=2代入①，得4x+2=14.
x=3.
所以
【教材P113 例2】
如果消去y，如何求解？
例2：解方程组：
4x+y=14，
①
②
8x+3y=30.
【教材P113 例2】
解：①×3，得12x+3y=42. ③
③-②，得4x=12.
x=3.
把x=3代入①，得12+y=14.
解方程，得y=2.
所以
变形
加减
求解
回代
写解
例3：解方程组：
4x+2y=-5，
①
②
5x-3y=-9.
【教材P113 例3】
1.方程组符合加减消元法的条件吗
2.此方程组如何使用加减消元法
分析：比较方程组中的两个方程，y的系数的绝对值比较小，①×3，②×2，就可使y的系数绝对值相等，再用加减法即可消去y.
y
y
找系数的最小公倍数.
例3：解方程组：
4x+2y=-5，
①
②
5x-3y=-9.
【教材P113 例3】
解：①×3，得12x+6y=-15. ③
②×2，得10x-6y=-18. ④
③+④，得22x=-33.
x= .
把x= 代入①，得
-6+2y=-5.
y= .
所以
1.用加减法解方程组 时，方程①+②得（ ）
A. 2y=2 B. 3x=6 C. x-2y=-2 D. x+y=6
B
2.利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A.要消去y，可以将①×5+②×2
B.要消去x，可以将①×3+②×(﹣5)
C.要消去y，可以将①×5+②×3
D.要消去x，可以将①×(﹣5)+②×2
D
3.用加减法解下列方程组：
【教材P114 练习 第1题】
（1）
①
②
（1）解：①-②，得-y=6. y=-6.
把y=-6代入②，得2x-2×(-6)=-1. x=-8.
所以
（2）
3.用加减法解下列方程组：
【教材P114 练习 第1题】
（1）
（2）
（2）解：②×2，得6x－2z+2=0.③
①+③，得7x-7=0. x=1.
把x=1代入①，得 1+2z-9=0. z=4.
所以
①
②
（3）
①
②
（3）解：①×2，得8x-4y=78.③
③-②，得5x=60. x=12.
把x=12代入②，得3×12-4y=18. y= .
（4）
所以
（3）
（4）
（4）解：②×9，得3y+27x=99.③
③-①，得 x=80. x=3.
把x=3代入①，得 ×3+3y=19. y=6.
①
②
所以
4.*解方程组：
解：①+②，得60(x+y)=180，即x+y=3.③
②-①，得14(x-y)=-14，即x-y=-1.④
③+④，得2x=2，解得x=1.
把x=1代入③，得1+y=3，解得y=2.
所以
①
②
知识点1 直接利用加减消元法解二元一次方程组
1.［知识初练］方程组中，未知数 的系数
的关系是______，未知数 的系数的关系是____________.把
方程①②的两边分别相加，就能消去未知数___；把方程①
②的两边分别相减，就能消去未知数___.
相等
互为相反数
2.用“加减法”消去方程组中的 后得到的方程
是( )
D
A. B. C. D.
3.(4分)解方程组：
解：,得，解得 .
将代入①,得，解得 .
所以原方程组的解为
知识点2 变系数后用加减消元法解二元一次方程组
4.［2024·合肥期中］解方程组 用加减消元法
消去 ，需要用( )
C
A. B.
C. D.
5. 加减消元法
6.(8分)解方程组：
(1)
解：，得，解得 .
将代入①，得，解得 .
所以原方程组的解为
(2)
，得 ，③
，得 ，④
，得，解得 .
将代入①，得，解得 ，
所以原方程组的解为
加减消元法
条件：
步骤：
两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数
变形 加减 求解 回代 写解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！