3.4.2代入消元法 课件（共29张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.2 代入消元法
副标题：二元一次方程组的解法之一
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：上节课我们学习了二元一次方程和二元一次方程组的定义，知道二元一次方程组是由两个含相同未知数的二元一次方程组成，其解是两个方程的公共解。例如，方程组\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 6 \\ y = 4\end{cases}\)，但通过尝试找解的方法效率较低，今天我们学习一种更系统的解法 —— 代入消元法。
情境引入：在生活中，我们常遇到 “用一个量代替另一个量” 的情况，比如用 “1 个苹果的重量” 代替 “2 个橘子的重量” 进行等量交换。在数学中，我们也可以用类似的思路，把二元一次方程组中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，从而消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解。这就是代入消元法的基本思想。
幻灯片 3：代入消元法的定义与核心思想
定义阐述：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
核心思想：消元转化，即把 “二元” 转化为 “一元”，把新问题转化为已学过的旧问题（解一元一次方程）。
关键词解析：
消元：消除方程组中的一个未知数，使方程组的未知数数量由两个变为一个。
代入：将表示一个未知数的式子代入另一个方程，替换相应的未知数。
幻灯片 4：代入消元法的解题步骤
步骤 1：变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来（通常表示为 “y = ax + b” 或 “x = ay + b” 的形式）。
步骤 2：代入：把步骤 1 中所得的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
步骤 3：求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
步骤 4：回代：将求出的未知数的值代入步骤 1 中所得的式子，求出另一个未知数的值。
步骤 5：检验：把求得的两个未知数的值代入原方程组的两个方程中，检验是否同时满足两个方程。
步骤 6：作答：写出方程组的解。
口诀记忆：一变形，二代入，三求解，四回代，五检验，六作答。
幻灯片 5：代入消元法实例分析 1—— 基础型方程组
实例分析 1：解方程组\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16 \end{cases}\)
步骤 1：变形，由方程①得，y = 10 - x ③（选择系数为 1 的 y 进行表示，计算更简便）。
步骤 2：代入，把③代入方程②，得 2x + (10 - x) = 16（用 10 - x 替换方程②中的 y，消去 y）。
步骤 3：求解，解一元一次方程：2x + 10 - x = 16，x + 10 = 16，x = 6。
步骤 4：回代，把 x = 6 代入③，得 y = 10 - 6 = 4。
步骤 5：检验，把 x = 6，y = 4 代入①：6 + 4 = 10 = 右边；代入②：2×6 + 4 = 16 = 右边，符合要求。
步骤 6：作答，方程组的解是\(\begin{cases}x = 6 \\ y = 4\end{cases}\)。
幻灯片 6：代入消元法实例分析 2—— 含系数不为 1 的方程组
实例分析 2：解方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 19 \\ x - y = 4 \end{cases}\)
步骤 1：变形，由方程②得，x = y + 4 ③（方程②中 x 的系数为 1，便于表示）。
步骤 2：代入，把③代入方程①，得 3 (y + 4) + 4y = 19。
步骤 3：求解，去括号得 3y + 12 + 4y = 19，合并同类项得 7y + 12 = 19，7y = 7，y = 1。
步骤 4：回代，把 y = 1 代入③，得 x = 1 + 4 = 5。
步骤 5：检验，代入①：3×5 + 4×1 = 19 = 右边；代入②：5 - 1 = 4 = 右边，正确。
步骤 6：作答，方程组的解是\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 1\end{cases}\)。
幻灯片 7：代入消元法实例分析 3—— 需先化简的方程组
实例分析 3：解方程组\(\begin{cases}2(x + 1) = y - 3 \\ 4(y - 4) = 3(x + 3) \end{cases}\)
步骤 1：化简变形，由①得 2x + 2 = y - 3，整理得 y = 2x + 5 ③；由②得 4y - 16 = 3x + 9，整理得 4y - 3x = 25 ④（选择先化简方程①，因其系数更简单）。
步骤 2：代入，把③代入④，得 4 (2x + 5) - 3x = 25。
步骤 3：求解，去括号得 8x + 20 - 3x = 25，合并得 5x + 20 = 25，5x = 5，x = 1。
步骤 4：回代，把 x = 1 代入③，得 y = 2×1 + 5 = 7。
步骤 5：检验，代入①：2×(1 + 1) = 4，7 - 3 = 4，相等；代入②：4×(7 - 4) = 12，3×(1 + 3) = 12，相等，正确。
步骤 6：作答，方程组的解是\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 7\end{cases}\)。
幻灯片 8：代入消元法的选择技巧
选方程技巧：优先选择含未知数系数为 1 或 - 1 的方程进行变形，这样表示未知数时计算更简单，如方程组\(\begin{cases}5x + 3y = 1 \\ x - 2y = 4 \end{cases}\)，优先选择方程②变形。
选未知数技巧：若方程中某个未知数的系数为 1 或 - 1，优先表示这个未知数；若没有系数为 1 或 - 1 的，选择系数绝对值较小的未知数表示，减少分数计算，如方程 3x + 2y = 7，可表示为 x = \(\frac{7 - 2y}{3}\)或 y = \(\frac{7 - 3x}{2}\)。
避免错误技巧：代入时要替换掉另一个方程中所有的目标未知数，不要漏代；去括号时注意符号和乘法分配律的应用。
幻灯片 9：课堂练习（基础巩固）
练习 1：用代入法解下列方程组。
（1）\(\begin{cases}y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8\end{cases}\)
解：把①代入②得 3x + 2 (2x - 3) = 8，3x + 4x - 6 = 8，7x = 14，x = 2。代入①得 y = 1。解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。
（2）\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - 3y = -5\end{cases}\)
解：由①得 x = 5 - y ③，代入②得 2 (5 - y) - 3y = -5，10 - 2y - 3y = -5，-5y = -15，y = 3。代入③得 x = 2。解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)。
幻灯片 10：课堂练习（能力提升）
练习 2：解方程组\(\begin{cases}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\ 3x + 2y = 10\end{cases}\)
解：化简①得 3x - 2y = 6 ③，由③得 3x = 2y + 6，x = \(\frac{2y + 6}{3}\) ④。代入②得 3×\(\frac{2y + 6}{3}\) + 2y = 10，2y + 6 + 2y = 10，4y = 4，y = 1。代入④得 x = \(\frac{2 + 6}{3}\) = \(\frac{8}{3}\)。解为\(\begin{cases}x = \frac{8}{3} \\ y = 1\end{cases}\)。
练习 3：已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 4 \\ bx + ay = 5\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)，求 a、b 的值。
解：把解代入方程组得\(\begin{cases}2a + b = 4 \\ 2b + a = 5 \end{cases}\)，由①得 b = 4 - 2a ③，代入②得 2 (4 - 2a) + a = 5，8 - 4a + a = 5，-3a = -3，a = 1。代入③得 b = 2。所以 a = 1，b = 2。
幻灯片 11：常见错误分析与规避
错误类型 1：变形方程时出错，如由方程 x - y = 3 表示 y 时，写成 y = x + 3（正确应为 y = x - 3）。
规避方法：变形时注意移项要变号，可通过等式性质逐步推导，如 x - y = 3，两边减 x 得 -y = 3 - x，两边乘 - 1 得 y = x - 3。
错误类型 2：代入时漏代或代错方程，如把表示 y 的式子代入了原来变形的方程，导致出现恒等式（如 0 = 0），无法求解。
规避方法：明确代入的是 “另一个方程”，即未用于变形的那个方程，代入后检查是否只含有一个未知数。
错误类型 3：去括号时符号或乘法分配错误，如代入 3 (y + 2) 时写成 3y + 2（正确应为 3y + 6）。
规避方法：代入后去括号要严格遵循乘法分配律，用括号外的系数乘括号内的每一项，注意符号。
错误类型 4：回代时代入错误的式子，如把求得的 x 值代入原方程而非变形后的式子，增加计算难度。
规避方法：回代时明确使用步骤 1 中变形得到的式子（如 y = ax + b），确保计算简便准确。
幻灯片 12：课堂小结
代入消元法定义：把一个未知数用含另一个未知数的式子表示后代入另一个方程，消元求解。
核心思想：消元转化，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
解题步骤：变形→代入→求解→回代→检验→作答。
关键技巧：优先选择系数简单的方程和未知数进行变形，代入时注意替换完整，计算时细心检查。
幻灯片 13：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了用代入消元法解二元一次方程组，掌握了 “消元转化” 的核心思想和具体解题步骤。代入消元法通过把 “二元” 转化为 “一元”，让我们能用已学的一元一次方程知识解决新问题，体现了数学中的转化思想。在解题过程中，要注意方程变形的准确性、代入的正确性以及计算的细致性。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，用代入消元法解二元一次方程组，巩固解题步骤。
拓展作业：自编一道二元一次方程组，用代入消元法求解，并写出每一步的依据（如变形依据等式性质，代入依据等量代换等）。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.2代入消元法
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
根据已知的x或y的值，求另一个未知数的值，并填入下表.
x+y=10 x … -2 0 2 5 8 …
y … 12 10 8 5 2 …
y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 …
y … 0 4 8 14 20 …
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值.
二元一次方程有无数组解！
x+y=10 x … -2 0 2 5 8 …
y … 12 10 8 5 2 …
y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 …
y … 0 4 8 14 20 …
观察表格可知， 同时满足两个二元一次方程.
所以 是此二元一次方程组的解.
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值.
探索新知
思考：问题1（“鸡兔同笼”）中，我们得到方程组
x+y=35
①
②
怎样求出其中x，y的值呢？
解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.
2x+4(35-x)=94
2x+4y=94
x+y=35
2x+4y=94
①
②
由①，得 y=35-x， ③
把③代入②，得2x+4(35-x)=94，
解方程，得x=23.
把x=23代入③，得y=12.
所以这个二元一次方程组的解是 .
二元一次方程组
一元一次方程
代入消元
转化
代入
消元法
二元一次方程组
一元一次方程
代入消元
转化
代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式， 再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法.
代入
消元法
例1：解方程组.
2x+3y=-7，
①
②
x+2y=3.
解：由②，得x=3-2y，③
把③代入①，得2(3-2y)+3y=-7.
-y=-13.
y=13.
把y=13代入③，得x=3-2×13.
x=-23.
所以
变形
代入
求解
回代
写解
可以用x表示y吗 试试看.
解题步骤：
变
代
解
回
写
【教材P110 例1】
例1：解方程组.
2x+3y=-7，
①
②
x+2y=3.
解：由②，得y= (3-x)，③
把③代入①，得2x+ (3-x)=-7.
x= .
x=-23.
把x=-23代入③，得y= (3+23).
y=13.
所以
用代入消元法解二元一次方程组：
练一练
（1） （2）
①
②
（1）解：把①代入②，得3x+2(2x-3)=8.
x=2.
把x=2代入①，得y=2×2-3=1.
所以
用代入消元法解二元一次方程组：
练一练
（1） （2）
①
②
（2）解：由①，得x=2y-1，③
把③代入②，得2(2y-1)+y=3.
y=1.
把y=1代入③，得x=1.
所以
1.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式：
（1）3x-2y=4； （2）5x-y=5； （3）5x+2y+1=0.
【教材P111 练习 第1题】
解：（1） ；
（3） .
（2）y=5x-5；
（1）
（2）
2.用代入法解下列方程组：
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【教材P111 练习 第2题】
3.已知关于x，y的二元一次方程组 的解为
求a，b的值.
【教材P111 练习 第3题】
解：由 是二元一次方程组 的解，
得
由②，得a=9-3b.③
把③代入①，得3(9-3b)+2b=13.
-7b=-14.
b=2.
把b=2代入③，得a=9-3×2=3.
所以
4.已知关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程3x+2y=17的解，求m的值.
解：将方程②移项，得x=y+9m.③
把③式代入方程①中，得y+9m+2y=3m，所以 y=-2m.
把y用-2m代入③式，得x=7m.
把x用7m，y用-2m代入3x+2y=17中，得21m-4m=17，
解得m=1.
知识点1 二元一次方程(组)的解
1.［知识初练］在 中，
______是方程的解，____是方程 的解，
所以____是方程组 的解.(填序号)
③
③
2.若是关于，的方程的一个解，则 的
值为( )
D
A.3 B. C.1 D.
3.［2025·嘉兴模拟］下列方程可以与 组成方程组的
解为 的是( )
C
A. B.
C. D.
4.创新题·开放题 写出一个解为 的二元一次方程组：
_ ________________________.
(答案不唯一)
知识点2 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数
5.［知识初练］已知方程，改写成用含 的代
数式表示的形式，则 ______.
6.已知二元一次方程，用含的代数式表示 ，
正确的是( )
C
A. B. C. D.
知识点3 代入消元法解二元一次方程组
7.［2025年1月合肥期末］用代入消元法解方程组
将①代入②可得( )
B
A. B.
C. D.
8.用代入法解方程组： 较为简便的方法是
先消去___，具体是将方程____(填“①”或“②”)变形为______
______，再代入方程____(填“①”或“②”).
②
①
9. 代入消元法
10.(4分)用代入法解方程组：
解：由②，得 ,③
将③代入①，得,解得.将 代
入③，得,所以方程组的解为
用一个未知数表示另一个未知数
代入消元
解一元一次方程得到一个未知数的值
求另一个未知数的值
代入法的核心思想是消元
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！