3.4.4选择合适的方法解方程组 课件（共28张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.4.4 选择合适的方法解方程组
副标题：二元一次方程组解法的灵活应用
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：前面我们学习了两种解二元一次方程组的方法 —— 代入消元法和加减消元法。代入消元法通过将一个未知数用含另一个未知数的式子表示后代入另一个方程实现消元；加减消元法则通过方程两边相加或相减消去一个未知数。两种方法各有特点，在解题时若能合理选择，可使计算更简便。
情境导入：在生活中，做事情选择合适的工具能提高效率，比如用扳手拧螺丝比用钳子更方便。解二元一次方程组也是如此，面对不同形式的方程组，选择合适的解法能减少计算量，提高准确性。今天我们就来学习如何根据方程组的特点，选择恰当的方法解方程组。
幻灯片 3：两种消元法的核心特点回顾
代入消元法：
核心步骤：变形表示→代入消元→求解回代。
核心优势：适用于方程组中某未知数系数为 1 或 - 1 的情况，无需调整系数，直接变形代入即可。
典型形式：如\(\begin{cases}y = ax + b \\ cx + dy = e\end{cases}\)或\(\begin{cases}x + my = n \\ px + qy = r\end{cases}\)。
加减消元法：
核心步骤：观察系数→调整系数→加减消元→求解回代。
核心优势：适用于方程组中某未知数系数相等或互为相反数，或通过简单变形可达到此条件的情况，消元过程更直接。
典型形式：如\(\begin{cases}ax + by = c \\ ax + dy = e\end{cases}\)或\(\begin{cases}mx + ny = p \\ -mx + qy = r\end{cases}\)。
幻灯片 4：选择解法的依据与原则
依据 1：未知数系数特征：
若方程组中存在系数为 1 或 - 1 的未知数，优先选择代入消元法。
若方程组中某未知数的系数相等或互为相反数，或系数成倍数关系，优先选择加减消元法。
依据 2：计算简便性：
选择能避免复杂分数运算的方法，如系数较小且最小公倍数易求时用加减法；系数为分数或小数时，先化简再选择方法。
依据 3：方程组形式：
若方程组中一个方程是 “x = ay + b” 或 “y = ax + b” 的形式，直接用代入消元法。
若方程组中两个方程的未知数排列整齐，系数对称，用加减消元法更高效。
基本原则：以 “消元过程简单、计算量小、准确率高” 为目标，灵活选择方法，不局限于单一解法。
幻灯片 5：实例分析 1—— 优先用代入法的方程组
实例分析 1：解方程组\(\begin{cases}x - 2y = 3 \\ 3x + 5y = 21 \end{cases}\)
方法选择：方程①中 x 的系数为 1，适合用代入法。
解题过程：
由①得 x = 2y + 3 ③。
把③代入②得 3 (2y + 3) + 5y = 21，6y + 9 + 5y = 21，11y = 12，y = \(\frac{12}{11}\)。
把 y = \(\frac{12}{11}\)代入③得 x = 2×\(\frac{12}{11}\) + 3 = \(\frac{24}{11}\) + \(\frac{33}{11}\) = \(\frac{57}{11}\)。
检验作答：代入原方程组检验成立，解为\(\begin{cases}x = \frac{57}{11} \\ y = \frac{12}{11}\end{cases}\)。
方法优势：无需调整系数，直接变形代入，步骤简洁。
幻灯片 6：实例分析 2—— 优先用加减法的方程组
实例分析 2：解方程组\(\begin{cases}4x + 7y = 19 \\ 4x - 5y = -17 \end{cases}\)
方法选择：x 的系数都是 4，相等，适合用加减法。
解题过程：
① - ②得 (4x + 7y) - (4x - 5y) = 19 - (-17)，12y = 36，y = 3。
把 y = 3 代入①得 4x + 21 = 19，4x = -2，x = -\(\frac{1}{2}\)。
检验作答：代入原方程组检验成立，解为\(\begin{cases}x = -\frac{1}{2} \\ y = 3\end{cases}\)。
方法优势：直接相减消去 x，计算量小，避免代入时的括号运算。
幻灯片 7：实例分析 3—— 两种方法均可的方程组
实例分析 3：解方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases}\)
方法一：代入法：
由①得 y = 5 - 2x ③。
代入②得 x - 3 (5 - 2x) = 6，x - 15 + 6x = 6，7x = 21，x = 3。
代入③得 y = 5 - 6 = -1。解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = -1\end{cases}\)。
方法二：加减法：
②×2 得 2x - 6y = 12 ③。
① - ③得 (2x + y) - (2x - 6y) = 5 - 12，7y = -7，y = -1。
代入①得 2x - 1 = 5，x = 3。解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = -1\end{cases}\)。
方法对比：两种方法均可，代入法步骤更简，加减法消元直接，可根据个人习惯选择。
幻灯片 8：实例分析 4—— 需先化简再选择方法的方程组
实例分析 4：解方程组\(\begin{cases}\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 2 \\ 3x - 4y = -7 \end{cases}\)
步骤 1：化简方程：①×12 消去分母得 4x + 3y = 24 ③。
方法选择：化简后方程组为\(\begin{cases}4x + 3y = 24 \\ 3x - 4y = -7 \end{cases}\)，无系数为 1 的未知数，x、y 系数无明显倍数关系，可任选方法，此处选加减法。
解题过程：
③×4 得 16x + 12y = 96 ④；②×3 得 9x - 12y = -21 ⑤。
④ + ⑤得 25x = 75，x = 3。
代入②得 9 - 4y = -7，4y = 16，y = 4。
检验作答：解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 4\end{cases}\)，代入原方程成立。
幻灯片 9：实例分析 5—— 含括号的方程组解法选择
实例分析 5：解方程组\(\begin{cases}2(x - 1) = y + 5 \\ 4(y - 1) = 3(x + 5) \end{cases}\)
步骤 1：化简方程：
①化简得 2x - y = 7 ③（y 的系数为 - 1，适合代入法）。
②化简得 3x - 4y = -19 ④。
方法选择：方程③中 y 的系数为 - 1，用代入法。
解题过程：
由③得 y = 2x - 7 ⑤。
代入④得 3x - 4 (2x - 7) = -19，3x - 8x + 28 = -19，-5x = -47，x = \(\frac{47}{5}\)。
代入⑤得 y = 2×\(\frac{47}{5}\) - 7 = \(\frac{94}{5}\) - \(\frac{35}{5}\) = \(\frac{59}{5}\)。
检验作答：解为\(\begin{cases}x = \frac{47}{5} \\ y = \frac{59}{5}\end{cases}\)，检验成立。
幻灯片 10：课堂练习（基础巩固）
练习 1：选择合适的方法解下列方程组。
（1）\(\begin{cases}y = 2x - 1 \\ 3x + 2y = 12\end{cases}\)（代入法）
解：代入得 3x + 2 (2x - 1) = 12，7x = 14，x = 2，y = 3。解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)。
（2）\(\begin{cases}3x + 2y = 17 \\ 2x - 2y = 3\end{cases}\)（加减法）
解：① + ②得 5x = 20，x = 4，代入②得 8 - 2y = 3，y = \(\frac{5}{2}\)。解为\(\begin{cases}x = 4 \\ y = \frac{5}{2}\end{cases}\)。
幻灯片 11：课堂练习（能力提升）
练习 2：解方程组\(\begin{cases}\frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 6 \\ 4(x + y) - 5(x - y) = 2\end{cases}\)
步骤 1：设 a = x + y，b = x - y，方程组化为\(\begin{cases}\frac{a}{2} + \frac{b}{3} = 6 \\ 4a - 5b = 2\end{cases}\)，化简得\(\begin{cases}3a + 2b = 36 \\ 4a - 5b = 2 \end{cases}\)。
步骤 2：用加减法，①×5 + ②×2 得 15a + 8a = 180 + 4，23a = 184，a = 8。代入①得 24 + 2b = 36，b = 6。
步骤 3：\(\begin{cases}x + y = 8 \\ x - y = 6\end{cases}\)，相加得 2x = 14，x = 7，y = 1。解为\(\begin{cases}x = 7 \\ y = 1\end{cases}\)。
练习 3：已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 5 \\ bx + ay = 2\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 3\end{cases}\)，用合适的方法求 a、b 的值。
解：代入得\(\begin{cases}4a + 3b = 5 \\ 4b + 3a = 2 \end{cases}\)，用加减法① + ②得 7a + 7b = 7→a + b = 1 ③；① - ②得 a - b = 3 ④。③ + ④得 2a = 4→a = 2，b = -1。
幻灯片 12：常见错误分析与规避
错误类型 1：盲目选择方法，如对含系数 1 的方程组强行用加减法，增加计算步骤。
规避方法：先观察方程组中是否有系数为 1 或 - 1 的未知数，优先用代入法简化计算。
错误类型 2：加减法调整系数时漏乘常数项，如方程①×2 时只乘未知数项，导致变形错误。
规避方法：调整系数时，严格遵循 “方程两边每一项都乘同一个数” 的原则，在草稿纸完整书写变形过程。
错误类型 3：代入法中替换不完整，如将 y = ax + b 代入时，漏代部分含 y 的项。
规避方法：代入后通读方程，确保所有目标未知数都被替换，可在草稿纸用不同颜色笔标注替换部分。
错误类型 4：未化简方程组直接求解，导致系数复杂，增加计算错误率。
规避方法：遇到含分母、括号的方程组，先化简为标准形式（ax + by = c），再选择解法。
幻灯片 13：方法选择技巧总结
“一看” 系数：看是否有系数为 1 或 - 1 的未知数，优先代入法；看是否有系数相等或相反的未知数，优先加减法。
“二算” 简便：计算两种方法的消元成本，选择步骤少、运算简单的方法，如系数最小公倍数小的用加减法。
“三试” 灵活：若对方法选择不确定，可两种方法各试一步，比较后选择更简便的路径。
“四验” 结果：无论用哪种方法，解出后务必代入原方程组检验，确保结果正确。
幻灯片 14：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了如何根据方程组的特点选择合适的解法，核心是依据未知数系数特征和计算简便性，灵活运用代入消元法和加减消元法。代入法适用于含系数 1 或 - 1 的方程组，加减法适用于系数对称或易调整的方程组。解题时需先化简方程组，再判断选择哪种方法，以提高效率和准确性。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，选择合适的方法解方程组，注明选择依据。
拓展作业：编写两道二元一次方程组，一道适合用代入法，一道适合用加减法，并分别求解，说明编写思路。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.4.4选择合适的方法解方程组
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
交流：1.用代入法、加减法解方程组的基本思路、具体步骤各是什么
基本思路：消元
二元
一元
转化
代入法：
变形
代入
求解
回代
写解
加减法：
变形
加减
求解
回代
写解
交流：2.用代入法、加减法解题时各应注意些什么？
用代入法解二元一次方程组的变形技巧：
1.当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入；
2.当方程组中有未知数的系数为1或﹣1时，选择系数为 1或﹣1的方程进行变形；
3.当未知数的系数都不是1或﹣1时，一般选择未知数系数 的绝对值小的方程变形.
交流：2.用代入法、加减法解题时各应注意些什么？
用加减法解二元一次方程组的变形技巧：
1.当某个未知数的系数的绝对值相等时，直接相加减消去该未知数；
2.当某个未知数的系数成整数倍时，消去该未知数；
3.当两个未知数的系数都成整数倍或者系数的绝对值既不相等，也不成整数倍时，常消去系数绝对值的最小公倍数较小的那个未知数.
探索新知
例4：解方程组：
【教材P115 例4】
2(x-150)=5(3y+50)，
①
②
10%·x+6%·y=8.5%×800.
加减法？
代入法？
2(x-150)=5(3y+50)，
①
②
10%·x+6%·y=8.5%×800.
解：将原方程组化简，得
③+④×5，得27x=17550.
x=650.
将x=650代入④得，5×650+3y=3400.
y=50.
所以
解方程组：
练一练
解：原方程组整理得
②-①，得4y=-16，解得y=-4.
将y=-4代入①，得2x+4=16，解得x=6.
故原方程组的解为
（1）
（2）
1.解下列方程组：
（3）
（4）
【教材P115 练习 第1题】
（1）
解：将原方程组化简，得
②×3，得18x-9y=12.③
③-①，得10x=10. x=1.
把x=1代入②，得6-3y=4. y= .
所以
（2）
解：将原方程组化简，得
②×3，得12m+n=24.③
③-①，得5m=0. m=0.
把m=0代入①，得n=24.
所以
（3）
解：①+②，得16(x+y)=64，即x+y=4.③
①-②，得2(x-y)=-4，即x-y=-2.④
③+④，得2x=2. x=1.
把x=1代入③，得1+y=4. y=3.
所以
①
②
（4）
解：将原方程组化简，得
②-①，得y=20-60. y=-40.
把y=-40代入①，得x-40=60. x=100.
所以
2.解方程组：
解：设x+y=A，x-y=B，则原方程组可变形为
解得
所以
解得
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫作“换元法”.
3.已知关于x，y的二元一次方程(3x-2y+9)+m(2x+y-1)=0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是多少？
解：不论m取何值，方程(3x-2y+9)+m(2x+y-1)=0总有一个固定不变的解，与m的值无关，则这个解满足2x+y-1=0，因而
3x-2y+9=0，解方程组 得
解法1 代入消元法
1.(12分)［2025年1月合肥期末］用代入消元法解下列方程组.
(1)
解：把①代入②，得 ，
解得.把代入①，得 .所以原方程组的解为
(2)
解：由①,得 ，③
把③代入②，得，解得 .
将代入③，得 ,
所以原方程组的解为
(3)
解：原方程组整理为
由②,得 .③
将③代入①，得，解得，将
代入③,得,所以原方程组的解为
解法2 加减消元法
2.(12分)用加减消元法解下列方程组.
(1)
解：,得,解得.把 代入①，得
,解得.所以原方程组的解为
(2)
解：，得 .③
，得,解得 .
把代入①，得,解得 .
所以原方程组的解为
(3)
解：，得 .③
，得 .④
解由③④构成的方程组，可得
解法3 整体代入法
3.(14分) 如何解方程组：
解法4 整体加减法
4.(8分)解方程组:
解：并化简，得 .③
分别把③代入①和②，求得, .所以原方程组的解
为
解法5 换元法
5.(8分)解方程组:
代入法和加减法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程. 我们应该根据方程组的具体情况，选择合适的解法.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！