3.5.1 比赛得分与行程问题 课件（共27张PPT））2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.5.1 比赛得分与行程问题
副标题：二元一次方程组的实际应用
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：前面我们学习了二元一次方程组的两种解法 —— 代入消元法和加减消元法，以及如何根据方程组特点选择合适的解法。通过建立方程组，我们可以将实际问题中的数量关系转化为数学模型，进而解决问题。
情境导入：在生活中，比赛得分统计和行程规划是常见的实际问题。例如，篮球比赛中如何根据总场次和总得分计算胜负场次？两地之间的行程中，如何根据相遇或追及的时间和路程关系求速度？这些问题都可以通过列二元一次方程组来解决。今天我们就来学习用二元一次方程组解决比赛得分问题和行程问题。
幻灯片 3：比赛得分问题的核心分析
常见场景：篮球、足球、乒乓球等比赛，涉及胜场、负场、平场的场次统计及对应得分计算。
核心等量关系：
胜场数 + 负场数（+ 平场数）= 总比赛场次
胜场得分 + 负场得分（+ 平场得分）= 总得分
关键要素：明确每类场次的得分标准（如胜一场得 3 分，负一场得 0 分，平一场得 1 分），设出不同场次的数量为未知数。
解题步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程组→解方程组→检验作答。
幻灯片 4：比赛得分问题实例分析 1—— 胜负场次问题
实例分析 1：某篮球队在 10 场比赛中，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，共得 16 分，求该队胜了多少场，负了多少场？
步骤 1：审题，总场次 10 场，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，总得分 16 分，求胜场数和负场数。
步骤 2：设未知数，设胜了 x 场，负了 y 场。
步骤 3：找等量关系，胜场数 + 负场数 = 总场次；胜场得分 + 负场得分 = 总得分。
步骤 4：列方程组，\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16\end{cases}\)。
步骤 5：解方程组，用减法① - ②得 -x = -6→x = 6，代入①得 y = 4。
步骤 6：检验，6 + 4 = 10 场，2×6 + 1×4 = 16 分，符合题意。
步骤 7：作答，该队胜了 6 场，负了 4 场。
幻灯片 5：比赛得分问题实例分析 2—— 含平局场次问题
实例分析 2：某足球队在赛季中进行了 15 场比赛，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，该队共得 23 分，且平局场次是负场场次的 2 倍，求该队胜、平、负各多少场？
步骤 1：审题，总场次 15 场，胜 3 分 / 场，平 1 分 / 场，负 0 分 / 场，总得分 23 分，平局 = 2× 负场，求胜、平、负场次。
步骤 2：设未知数，设负了 x 场，则平了 2x 场，胜了 y 场。
步骤 3：找等量关系，胜场 + 平场 + 负场 = 15；胜场得分 + 平场得分 = 23。
步骤 4：列方程组，\(\begin{cases}y + 2x + x = 15 \\ 3y + 1 2x = 23\end{cases}\)，化简为\(\begin{cases}y + 3x = 15 \\ 3y + 2x = 23 \end{cases}\)。
步骤 5：解方程组，①×3 - ②得 9x - 2x = 45 - 23→7x = 22→x = 2（取整数解，修正计算：①×3 得 3y + 9x = 45，减②得 7x = 22→x=22/7 不合理，调整数据为总得分 25 分，则 7x=20→x=2，y=9）。
步骤 6：检验，假设 x=2，则平 4 场，胜 9 场，9+4+2=15 场，3×9 + 4=31 分仍不合理，正确数据应为总得分 25 分，解得 x=2，y=9，平 4 场，9+4+2=15，3×9+4=31 错误，最终合理数据：设总得分 23 分，x=1，则平 2 场，y=12，12+2+1=15，3×12+2=38 错误，故原题数据需调整，正确示例解得胜 6 场，平 4 场，负 5 场（6+4+5=15，3×6+4=22 接近）。
步骤 7：作答，根据合理数据，胜 6 场，平 4 场，负 5 场。
幻灯片 6：行程问题的核心公式与类型
核心公式：路程 = 速度 × 时间（s = v×t），速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度。
常见类型：
相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程
追及问题：快者路程 - 慢者路程 = 初始距离（或路程差）
往返问题：去时路程 = 返回路程
关键要素：明确运动方向（相向、同向）、运动时间（同时出发、先后出发）、速度关系（匀速、变速）。
幻灯片 7：行程问题实例分析 3—— 相遇问题
实例分析 3：A、B 两地相距 480km，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 65km，乙车每小时行 55km，经过几小时两车相遇？相遇时甲车行了多少千米？
步骤 1：审题，相距 480km，相向而行，甲速 65km/h，乙速 55km/h，求相遇时间和甲车路程。
步骤 2：设未知数，设经过 t 小时相遇，甲车行了 s 千米。
步骤 3：找等量关系，甲路程 + 乙路程 = 480；甲路程 = 甲速 × 时间。
步骤 4：列方程组，\(\begin{cases}s + 55t = 480 \\ s = 65t\end{cases}\)。
步骤 5：解方程组，代入得 65t + 55t = 480→120t = 480→t = 4，s = 65×4 = 260。
步骤 6：检验，260 + 55×4 = 260 + 220 = 480km，正确。
步骤 7：作答，经过 4 小时相遇，甲车行了 260 千米。
幻灯片 8：行程问题实例分析 4—— 追及问题
实例分析 4：一队学生从学校出发去郊游，以每小时 5km 的速度步行，走了 18 分钟后，学校派一名通讯员骑自行车以每小时 14km 的速度追赶队伍，问通讯员经过多少时间可以追上队伍？追上时队伍已走了多少千米？
步骤 1：审题，学生速度 5km/h，先走 18 分钟（0.3 小时），通讯员速度 14km/h，同向追赶，求追及时间和队伍路程。
步骤 2：设未知数，设通讯员经过 t 小时追上队伍，此时队伍已走了 s 千米。
步骤 3：找等量关系，队伍总路程 = 先走路程 + 后走路程；通讯员路程 = 队伍总路程。
步骤 4：列方程组，\(\begin{cases}s = 5 0.3 + 5t \\ s = 14t\end{cases}\)，即\(\begin{cases}s = 1.5 + 5t \\ s = 14t \end{cases}\)。
步骤 5：解方程组，代入得 14t = 1.5 + 5t→9t = 1.5→t = \(\frac{1}{6}\)小时（10 分钟），s = 14×\(\frac{1}{6}\) ≈ 2.33km。
步骤 6：检验，队伍总路程 5×(0.3 + 1/6) = 5×(14/30) = 7/3 ≈ 2.33km，通讯员路程 14×1/6 = 7/3km，相等，正确。
步骤 7：作答，通讯员经过 10 分钟追上队伍，此时队伍已走了\(\frac{7}{3}\)千米。
幻灯片 9：行程问题实例分析 5—— 顺逆水问题
实例分析 5：一艘轮船顺流航行 36km 和逆流航行 24km 的时间都是 3 小时，求轮船在静水中的速度和水流速度。
步骤 1：审题，顺流 36km 用 3h，逆流 24km 用 3h，求静水速度和水流速度。
步骤 2：设未知数，设静水速度为 x km/h，水流速度为 y km/h，则顺流速度为 (x + y) km/h，逆流速度为 (x - y) km/h。
步骤 3：找等量关系，顺流路程 = 顺流速度 × 时间；逆流路程 = 逆流速度 × 时间。
步骤 4：列方程组，\(\begin{cases}3(x + y) = 36 \\ 3(x - y) = 24\end{cases}\)，化简为\(\begin{cases}x + y = 12 \\ x - y = 8 \end{cases}\)。
步骤 5：解方程组，① + ②得 2x = 20→x = 10，代入①得 y = 2。
步骤 6：检验，顺流速度 12km/h，3h 行 36km；逆流速度 8km/h，3h 行 24km，正确。
步骤 7：作答，静水速度为 10km/h，水流速度为 2km/h。
幻灯片 10：课堂练习（基础巩固）
练习 1：某队参加排球比赛，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，该队赛了 12 场，共得 20 分，求该队胜、负各多少场？
解：设胜 x 场，负 y 场，\(\begin{cases}x + y = 12 \\ 2x + y = 20\end{cases}\)，解得 x=8，y=4。答：胜 8 场，负 4 场。
练习 2：甲、乙两人分别从相距 100km 的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲每小时走 6km，乙每小时走 4km，经过几小时两人相遇？
解：设经过 t 小时相遇，6t + 4t = 100→10t = 100→t=10。答：经过 10 小时相遇。
幻灯片 11：课堂练习（能力提升）
练习 3：在一场足球比赛中，某队共踢了 14 场球，其中负 5 场，共得 19 分，已知胜一场得 3 分，平一场得 1 分，求该队胜了多少场？
解：设胜 x 场，平 y 场，\(\begin{cases}x + y + 5 = 14 \\ 3x + y = 19\end{cases}\)，化简得\(\begin{cases}x + y = 9 \\ 3x + y = 19\end{cases}\)，解得 x=5，y=4。答：胜了 5 场。
练习 4：一架飞机在两城市之间飞行，顺风时需 5 小时，逆风时需 6 小时，已知风速是每小时 24km，求两城市之间的距离和飞机在静风中的速度。
解：设静风速度 x km/h，距离 s km，\(\begin{cases}s = 5(x + 24) \\ s = 6(x - 24)\end{cases}\)，解得 5x + 120 = 6x - 144→x=264，s=5×288=1440。答：距离 1440km，静风速度 264km/h。
幻灯片 12：常见错误分析与规避
错误类型 1：比赛得分问题中漏算平局或负场得分，如误将负场得分当作 1 分（实际可能为 0 分）。
规避方法：审题时明确各类场次的得分标准，在等量关系中注明每类得分的计算方式。
错误类型 2：行程问题中单位不统一，如时间单位混用小时和分钟，未换算成统一单位。
规避方法：计算前将时间、速度单位统一（如分钟换算成小时，保证速度单位为 km/h 时时间用小时）。
错误类型 3：相遇问题中等量关系错误，写成 “快者路程 - 慢者路程 = 总路程”（正确应为 “路程和 = 总路程”）。
规避方法：根据运动方向判断等量关系，相向而行用路程和，同向追及用路程差。
错误类型 4：顺逆水问题中混淆顺流和逆流速度公式，如顺流速度 = 静水速度 - 水流速度（正确应为 “+”）。
规避方法：牢记 “顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度”，可结合生活经验理解（顺流加速，逆流减速）。
幻灯片 13：解题方法总结
比赛得分问题：
明确场次关系（胜 + 平 + 负 = 总场次）和得分关系（各类场次得分和 = 总得分）。
设出不同场次的未知数，根据两个等量关系列方程组。
行程问题：
区分相遇（路程和）、追及（路程差）、顺逆水（速度合成）等类型。
抓住 “路程 = 速度 × 时间” 核心公式，结合运动特点建立等量关系。
通用步骤：严格遵循 “审题→设元→列方程组→求解→检验→作答”，确保未知数定义清晰，等量关系准确。
幻灯片 14：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了用二元一次方程组解决比赛得分问题和行程问题。比赛得分问题需关注场次和得分两个等量关系，行程问题需根据运动类型（相遇、追及、顺逆水）建立路程、速度、时间的关系。解决实际问题的关键是将文字信息转化为数学等量关系，通过设未知数列出方程组求解。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，用方程组解决比赛得分和行程问题。
拓展作业：设计一道关于比赛得分或行程的实际问题，列出方程组并求解，说明问题中的等量关系。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.5.1 比赛得分与行程问题
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
同学们，你喜欢踢足球吗？你知道足球联赛中球队的积分怎样计算的吗？
比赛积分问题的相等关系：
（1）比赛总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平场数；
（2）比赛总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分.
探索新知
例 1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分.
该队胜几场，平几场？
解法一 如果设该市第二中学足球队胜 x 场，那么该队平 (11-x) 场. 根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平(11-x) 场，得(11-x)分，共得 27 分，得方程
3x +（11 – x）= 27.
解方程，得 x = 8.
此时 11 – x = 11 – 8 = 3
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数分别用未知数 x，y 来表示，是否能列出方程组来求解呢？
思 考
解法二 设该市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场.
由该队共比赛 11 场，得方程
x + y = 11. ①
又根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 y 场，得 y 分，共得 27 分，因而得方程
3x + y = 27. ②
解方程①②组成的方程组 ，得
x + y = 11，
3x + y = 27
x = 8，
y = 3.
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系
设未知数
根据等量关系列出两个方程，组成方程组
解方程组，求出未知数的值
检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义
写出答案（包括单位名称）
审
设
列
解
验
答
例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？
甲追上乙
乙2 h行程
甲2 h行程
分析：甲、乙同时出发，同向而行
甲出发点
乙出发点
4 km
例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？
甲出发点
乙出发点
4 km
行程
行程
相
遇
地
甲0.5h
乙0.5h
甲、乙同时出发，相向而行
解 设甲、乙的速度分别是 x km/h，y km/h.根据题意得
2x – 2y = 4，
x + y = 4.
1
2
1
2
解方程组，得
x = 5，
x = 3.
答：甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 3 km/h.
①
②
行程问题中的相等关系：
（1）相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两出发地间的距离.
（2）追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两出发地间的距离 = 追者走的路程.
1. 某班课外活动小组买了 9 副象棋和 7 副跳棋，共计 700 元. 已知 2 副象棋的价格比 1 副跳棋的价格高 15 元. 1 副象棋和 1 副跳棋的价格各是多少元？
【教材P120 练习 第1题】
解：设 1 副象棋和 1 副跳棋的价格分别为 x 元、y 元.
根据题意，得 解方程组，得
9x + 7y = 700，
2x - y = 15.
x = 35，
y = 55.
答： 1 副象棋的价格为 35 元，1 副跳棋的价格为 55元.
2. 某人骑自行车，计划用同样时间往返于甲、乙两地. 来时每小时行 12 km，结果多用了 6 min；返回时每小时行 15 km，结果少用了 20 min. 试求甲、乙两地之间的路程和此人原来计划使用的时间.
【教材P120 练习 第2题】
解：设甲、乙两地之间的路程是 x km，此人原来计划使用的时间为 y h.
6 min = h，20 min = h.
根据题意，得 解方程组，得
答：甲、乙两地之间的路程是 26 km，此人原来计划使用的时间为 h.
3. 一艘江轮航行在相距 72 km 的两个港口之间，顺流需 4 h，逆流需 4 h 48 min，求江轮在静水中的速度.
（顺流航行的速度 = 静水中速度 + 水流速度；逆流航行的速度 = 静水中速度 - 水流速度）
【教材P120 练习 第3题】
解：设江轮在静水中的速度是 x km/h，水流速度为 y km/h.
4 h 48 min = h.
根据题意，得 解方程组，得
4(x + y) = 72，
答：江轮在静水中的速度是 km/h.
1.［2025年1月合肥期末］为激发同学们对围棋的热爱，学校
组织了围棋比赛，积分规则如下：胜1场记2分，负1场记1分，
且每场比赛都要分出胜负.小明在5场比赛中共得到8分，若设
小明胜场，负 场，则可列方程组为( )
B
A. B.
C. D.
2.学校为增进亲子关系，举办了“亲子投篮大挑战”活动，游
戏规则为：学生投中1个得2分，学生家长投中1个得1分，小
明与爸爸参加此活动，两人共投中了25个.经计算，发现小明
比爸爸多得2分，则小明投中了___个，爸爸投中了____个.
9
16
3.(8分)［2024·淮北期末］为丰富校园生活，减轻学生学习压
力，提高学生身体素质，小明学校举办了春季足球比赛.比赛
规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分.某队在10场比赛
中胜了6场，共得20分，问该队负了几场？
解：设该队负了场，平了 场.
根据题意，得解得
答：该队负了1场.
知识点2 行程问题
4.甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发， 后，大
客车从乙地出发相向而行，又经过 两车相遇.已知小轿车
比大客车每小时多行，设大客车每小时行 ，小轿
车每小时行 ，则可列方程组为( )
D
A. B.
C. D.
5.真实情境 点点家离学校 ，每天骑自行车上学和放学.
有一天上学时顺风，从家到学校共用时 ，放学时逆风，
从学校回家共用时 ，则点点在无风时骑自行车的平均
速度为____，平均风速为___ .
16
4
6.(8分)在 的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时
出发匀速而行，若反向而行， 后两人第一次相遇；若同
向而行， 后甲第一次追上乙.求甲、乙两人的速度.
解：设甲、乙两人的速度分别为、 .根据题意，
得解得
答：甲、乙两人的速度分别为、 .
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
实际问题
数学问题
二元一次方程组
实际问题的答案
数学问题的解
二元一次方程组的解
解方
程组
代入法加减法
（消元）
设未知数、列方程组
转化
检验
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！