3.5.2百分率与方案问题 课件（共23张PPT））2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.5.2 百分率与方案问题
副标题：二元一次方程组的实际应用拓展
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：上节课我们学习了用二元一次方程组解决比赛得分和行程问题，掌握了通过分析实际问题中的等量关系建立方程组的方法。在实际生活中，我们还经常遇到与百分率相关的增长、降低问题，以及需要选择最优方案的决策问题，这些也可以通过二元一次方程组来解决。
情境导入：某工厂去年的产值是 500 万元，今年的产值比去年增长了一定的百分率，且今年的产值与去年产值的和是 1100 万元，如何求今年的增长率？又如，学校要购买一批桌椅，有两种不同的优惠方案，如何根据购买数量选择更省钱的方案？今天我们就来学习用二元一次方程组解决百分率问题和方案问题。
幻灯片 3：百分率问题的核心概念与公式
常见类型：增长率问题、降低率问题、利润率问题、浓度问题等。
核心公式：
增长率问题：增长后的量 = 增长前的量 ×(1 + 增长率)；若经过两次增长，最终量 = 初始量 ×(1 + 增长率) 。
降低率问题：降低后的量 = 降低前的量 ×(1 - 降低率)；若经过两次降低，最终量 = 初始量 ×(1 - 降低率) 。
利润率问题：利润 = 成本 × 利润率；售价 = 成本 ×(1 + 利润率)。
关键要素：明确基准量（增长或降低前的量）、百分率、变化后的量，找出不同量之间的等量关系。
幻灯片 4：百分率问题实例分析 1—— 增长率问题
实例分析 1：某企业 2023 年的利润为 200 万元，2024 年的利润比 2023 年增长了 x%，2025 年的利润又比 2024 年增长了 x%，已知 2025 年的利润为 288 万元，求这个增长率 x。
步骤 1：审题，2023 年利润 200 万元，2024 年、2025 年连续以 x% 增长，2025 年利润 288 万元，求 x。
步骤 2：设未知数，设增长率为 x%（即 x 为百分数，计算时化为小数）。
步骤 3：找等量关系，2025 年的利润 = 2023 年利润 ×(1 + x%) 。
步骤 4：列方程，200×(1 + x%) = 288（虽为一元二次方程，但可通过设未知数转化思路）。
步骤 5：解方程，(1 + x%) = 1.44，1 + x% = 1.2（舍去负根），x% = 0.2，x = 20。
步骤 6：检验，2024 年利润 200×1.2 = 240 万元，2025 年 240×1.2 = 288 万元，正确。
步骤 7：作答，增长率为 20%。
幻灯片 5：百分率问题实例分析 2—— 利润率问题
实例分析 2：某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价 20 元，利润率为 20%；乙商品每件进价 30 元，利润率为 50%。若商店购进这两种商品共 100 件，总利润为 2600 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
步骤 1：审题，甲进价 20 元 / 件，利润率 20%；乙进价 30 元 / 件，利润率 50%。共购进 100 件，总利润 2600 元，求各购进数量。
步骤 2：设未知数，设购进甲商品 x 件，乙商品 y 件。
步骤 3：找等量关系，甲数量 + 乙数量 = 100；甲总利润 + 乙总利润 = 2600。
步骤 4：列方程组，\(\begin{cases}x + y = 100 \\ 20 20%x + 30 50%y = 2600\end{cases}\)，化简为\(\begin{cases}x + y = 100 \\ 4x + 15y = 2600 \end{cases}\)。
步骤 5：解方程组，①×4 - ②得 4y - 15y = 400 - 2600→-11y = -2200→y = 200，x = -100（数据错误，调整总利润为 800 元）。
修正后方程组：\(\begin{cases}x + y = 100 \\ 4x + 15y = 800\end{cases}\)，解得 x=100 - y，代入得 400 - 4y + 15y = 800→11y
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
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3.5.2百分率与方案问题
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
百分率一般表示某部分占总体的多少，由此可以求出该部分的数量，再根据“总量 ＝ 各部分量的和”，可以列出方程组后求解.
例 3 玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%. 已知石英砂中含二氧化硅 99%，长石粉中含二氧化硅 67%. 在 3.2 t 原料中，石英砂和长石粉各多少？
原料成分 石英砂 长石粉 总量
质量/t x y
含二氧化硅量/t 99%x 67%y
3.2
70%×3.2
解 设原料中石英砂 x t，长石粉有 y t. 根据题意，得
x + y = 3.2，
99%x + 67%y = 70%×3.2.
解方程组，得
x = 0.3，
y = 2.9.
答：在 3.2 t 原料中，石英砂有 0.3 t，长石粉有 2.9 t.
百分比问题中常见的是增长（下降）率问题、与浓度有关的问题等，其中增长（下降）率问题中的等量关系如下：
（1）增长率 = ×100%；
增长后的量 – 增长前的量
增长前的量
（2）增长后的量 = 增长前的量×（1 + 增长率）；
（3）下降率 = ×100%；
下降前的量 – 下降后的量
下降前的量
（4）下降后的量 = 下降前的量×（1 – 下降率）.
巩固练习
某皮鞋厂前年的利润为 100 万元，去年的总产值比前年增加了 20％ ，总支出比前年减少了 5％ ，去年的利润为 400 万元，那么该皮鞋厂前年的总产值和总支出各是多少万元？
分析:设该皮鞋厂前年的总产值是 x 万元，总支出是 y 万元，
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
前年 x y 100
去年 (1+20%)x (1-5%)y 400
解: 设该皮鞋厂前年的总产值是 x 万元，总支出是 y 万元.
根据题意，得
x - y = 100，
(1+20%)x - (1-5%)y = 400.
解方程组，得
x = 1220，
y = 1120.
答: 该皮鞋厂前年的总产值是 1220 万元，总支出是 1120 万元.
1. 某乡今年春播作物的面积比秋播作物的面积多 630 hm2.
计划明年春播作物的面积增加 20%，秋播作物的面积减少 10%，这样明年春播、秋播作物的总面积将比今年增加 12%.这个乡今年春播与秋播作物的面积各是多少？
【教材P121 练习 第1题】
解: 设这个乡今年春播作物的面积为 x hm2，秋播作物的面积为 y hm2.
根据题意，得
x - y = 630，
x(1+20%) + y(1-10%) = (x+y)(1+12%).
解方程组，得
x = 990，
y = 360.
答: 这个乡今年春播作物的面积为 990 hm2，秋播作物的面积为 360 hm2.
2. 石岭村原有林地、旱地共 162 hm2. 村里把一部分旱地改造为林地，使旱地面积为林地面积的 20%.
求改造后的旱地面积和林地面积.
解: 设改造后的旱地面积为 x hm2，林地面积为 y hm2.
根据题意，得 解方程组，得
x + y = 162，
x = 20%y.
x = 27，
y = 135.
答: 改造后的旱地面积为 27 hm2，林地面积为 135 hm2.
【教材P121 练习 第2题】
知识点1 百分率问题
1.真实情境 某地推广智慧农业技术，将部分传统农田改造为智
能温室种植区.改造后，传统农田面积是智能温室面积的 ，
且传统农田与智能温室总面积为 .设改造后传统农田面
积为，智能温室面积为 ，则可列方程组为 ( )
B
A. B.
C. D.
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银 ，乙种合
金含银，现在要熔制含银的合金 ，设需甲
合金的质量为，乙合金的质量为 ，则可列方程组为
_ _____________________________.
3.甲仓库和乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的
，从乙仓库运出存粮的 ，结果乙仓库所余的粮食比
甲仓库所余的粮食多30吨.则甲仓库原来存粮_____吨,乙仓库
原来存粮_____吨.
240
210
4.(8分)某校去年有学生1 000名，今年比去年增加了 ，
其中寄宿学生增加了，走读学生减少了 ，问该校去年
有寄宿学生与走读学生各多少名？
解：设该校去年有寄宿学生名，走读学生 名.
根据题意，得
解得
答：该校去年有寄宿学生800名，走读学生200名.
知识点2 方案问题
5.［2025年1月合肥期末］已知1辆 型车载满货物一次可运
货1吨，1辆 型车载满货物一次可运货4吨.某公司有14吨货
物，计划同时租用型车和 型车，一次运完，且每辆车都
装满货物，共有租车方案( )
B
A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
6.某校为加强爱读书、读好书、善读书的阅读氛围，准备用
720元购买图书展示架，可供选择的有 种展示架120元/个，
种展示架180元/个，在资金用尽且可以只买其中一种展示
架的情况下，一共有___种购买方案.
3
7.(8分)［2025·广州模拟］某公司组织员工去三星堆参观，现
有，两种客车可以租用.已知3辆种客车和2辆 种客车可
以坐260人，2辆种客车可坐的人数和3辆 种客车可坐的人
数一样多.
(1)请问， 两种客车每辆分别可坐多少人？
解：设种客车每辆可坐人，种客车每辆可坐 人，
根据题意，得解得
答：种客车每辆可坐60人， 种客车每辆可坐40人.
(2)已知该公司共有320名员工，请问如何安排租车方案，可
以使得所有员工恰好坐下？
设租用辆种客车，辆 种客车，根据题意，得
，所以 ，
又因为， 均为非负整数，
所以或或 所以共有3种租车方案，
方案1：租用8辆 种客车；
方案2：租用2辆种客车，5辆 种客车；
方案3：租用4辆种客车，2辆 种客车.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！