3.6 三元一次方程组及其解法 课件（共27张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.6 三元一次方程组及其解法
副标题：从二元到三元的消元拓展
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：前面我们学习了二元一次方程组的定义和解法，通过代入消元法或加减消元法，将 “二元” 转化为 “一元” 来求解。在实际问题中，有时会涉及到三个未知数，这就需要我们学习三元一次方程组的相关知识。
情境导入：小明去超市买水果，买了苹果、香蕉和橙子三种水果，共花费 30 元。已知苹果每斤 5 元，香蕉每斤 3 元，橙子每斤 4 元，且购买的苹果、香蕉和橙子的总重量为 8 斤，其中苹果的重量比香蕉多 1 斤。如何求出购买三种水果各多少斤？这类问题就需要用三元一次方程组来解决。今天我们就来学习三元一次方程组及其解法。
幻灯片 3：三元一次方程组的定义
三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做三元一次方程。例如：\(x + y + z = 8\)，\(5x + 3y + 4z = 30\)。
三元一次方程组：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
三元一次方程组的解：使三元一次方程组中三个方程都成立的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。
注意事项：三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组整体必须含有三个未知数。
幻灯片 4：三元一次方程组的核心思想与解题步骤
核心思想：消元转化，与解二元一次方程组的思想一致，通过消元将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解。
解题步骤：
步骤 1：消元，选择一个未知数作为消去的目标，利用代入法或加减法，将三元一次方程组消去一个未知数，转化为二元一次方程组。
步骤 2：解二元一次方程组，按照解二元一次方程组的方法求出两个未知数的值。
步骤 3：回代，将求出的两个未知数的值代入原方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值。
步骤 4：检验，将三个未知数的值代入原方程组的三个方程中，检验是否同时满足三个方程。
步骤 5：作答，写出三元一次方程组的解。
幻灯片 5：三元一次方程组实例分析 1—— 代入消元法
实例分析 1：解方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 3 \\ 3x - y + z = 8 \end{cases}\)
步骤 1：消元，选择消去 z。① + ②得：\(3x + 2y = 9\) ④；② + ③得：\(5x = 11\)→\(x=\frac{11}{5}\) ⑤。
步骤 2：解二元一次方程组，将⑤代入④得：\(3\times\frac{11}{5}+2y = 9\)→\(\frac{33}{5}+2y=9\)→\(2y=9-\frac{33}{5}=\frac{12}{5}\)→\(y=\frac{6}{5}\)。
步骤 3：回代，将\(x = \frac{11}{5}\)，\(y=\frac{6}{5}\)代入①得：\(\frac{11}{5}+\frac{6}{5}+z = 6\)→\(\frac{17}{5}+z=6\)→\(z=6-\frac{17}{5}=\frac{13}{5}\)。
步骤 4：检验，将\(x=\frac{11}{5}\)，\(y = \frac{6}{5}\)，\(z=\frac{13}{5}\)代入①②③均成立。
步骤 5：作答，方程组的解是\(\begin{cases}x=\frac{11}{5} \\ y=\frac{6}{5} \\ z=\frac{13}{5}\end{cases}\)。
幻灯片 6：三元一次方程组实例分析 2—— 加减消元法
实例分析 2：解方程组\(\begin{cases}3x + 4y + z = 14 \\ x + 5y + 2z = 17 \\ 2x + 2y - z = 3 \end{cases}\)
步骤 1：消元，选择消去 z。① + ③得：\(5x + 6y = 17\) ④；② + ③×2 得：\(x + 5y + 2z+4x + 4y-2z = 17 + 6\)→\(5x + 9y = 23\) ⑤。
步骤 2：解二元一次方程组，⑤ - ④得：\(3y = 6\)→\(y = 2\)。将\(y = 2\)代入④得：\(5x+12 = 17\)→\(5x = 5\)→\(x = 1\)。
步骤 3：回代，将\(x = 1\)，\(y = 2\)代入③得：\(2\times1+2\times2 - z = 3\)→\(2 + 4 - z = 3\)→\(z = 3\)。
步骤 4：检验，将\(x = 1\)，\(y = 2\)，\(z = 3\)代入①②③均成立。
步骤 5：作答，方程组的解是\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3\end{cases}\)。
幻灯片 7：三元一次方程组实例分析 3—— 含缺失未知数的方程组
实例分析 3：解方程组\(\begin{cases}x - 2y = 5 \\ 3y - z = 3 \\ x + y + z = 6 \end{cases}\)
步骤 1：消元，由①得\(x = 2y + 5\) ④；由②得\(z = 3y - 3\) ⑤。将④⑤代入③消去 x 和 z。
步骤 2：解一元一次方程，\(2y + 5 + y + 3y - 3 = 6\)→\(6y + 2 = 6\)→\(6y = 4\)→\(y=\frac{2}{3}\)。
步骤 3：回代，将\(y=\frac{2}{3}\)代入④得\(x = 2\times\frac{2}{3}+5=\frac{4}{3}+5=\frac{19}{3}\)；代入⑤得\(z = 3\times\frac{2}{3}-3 = 2 - 3=-1\)。
步骤 4：检验，将\(x=\frac{19}{3}\)，\(y=\frac{2}{3}\)，\(z=-1\)代入①②③均成立。
步骤 5：作答，方程组的解是\(\begin{cases}x=\frac{19}{3} \\ y=\frac{2}{3} \\ z=-1\end{cases}\)。
幻灯片 8：三元一次方程组的消元技巧
选择消元对象：优先消去系数最简单的未知数，或在三个方程中出现次数较多且系数绝对值较小的未知数。
消元方法选择：当某个方程中某未知数的系数为 1 或 - 1 时，优先用代入消元法；当方程组中某未知数的系数相等或互为相反数时，优先用加减消元法。
分步消元：每次消去一个未知数，逐步将三元转化为二元，再转化为一元，避免一次消去两个未知数导致混乱。
检验重要性：三元一次方程组计算步骤较多，解出后务必代入三个方程检验，确保结果正确。
幻灯片 9：课堂练习（基础巩固）
练习 1：解方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ y + z = 5 \\ z + x = 4\end{cases}\)
解：① + ② + ③得\(2x + 2y + 2z = 12\)→\(x + y + z = 6\) ④。④ - ①得\(z = 3\)；④ - ②得\(x = 1\)；④ - ③得\(y = 2\)。解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3\end{cases}\)。
练习 2：解方程组\(\begin{cases}2x + y + 3z = 11 \\ 3x + 2y - z = 1 \\ x + 3y - 2z = 2\end{cases}\)
解：②×3 + ①得\(11x + 7y = 14\) ④；②×2 - ③得\(5x + y = 0\)→\(y=-5x\) ⑤。将⑤代入④得\(11x-35x = 14\)→\(x=-1\)，\(y = 5\)，代入②得\(z = 2\)。解为\(\begin{cases}x=-1 \\ y = 5 \\ z = 2\end{cases}\)。
幻灯片 10：课堂练习（能力提升）
练习 3：已知方程组\(\begin{cases}ax + by = 2 \\ bx + cy = 3 \\ cx + az = 4\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3\end{cases}\)，求 a、b、c 的值。
解：代入得\(\begin{cases}a + 2b = 2 \\ b + 2c = 3 \\ c + 3a = 4 \end{cases}\)。由①得\(a = 2 - 2b\) ④，代入③得\(c + 3(2 - 2b)=4\)→\(c - 6b=-2\) ⑤。②×6 + ⑤得\(13c = 16\)→\(c=\frac{16}{13}\)，代入②得\(b=\frac{23}{13}\)，代入④得\(a=-\frac{10}{13}\)。
练习 4：一个三位数，个位数字是百位数字的 2 倍，十位数字比百位数字大 1，若将百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原三位数大 297，求原三位数。
解：设百位数字 x，十位数字 y，个位数字 z，\(\begin{cases}z = 2x \\ y = x + 1 \\ 100z + 10y + x-(100x + 10y + z)=297\end{cases}\)，解得\(x = 3\)，\(y = 4\)，\(z = 6\)，原三位数 346。
幻灯片 11：常见错误分析与规避
错误类型 1：消元过程中漏项或计算错误，导致转化后的二元一次方程组错误。
规避方法：消元时仔细计算，将方程两边的每一项都参与运算，消元后检查是否只含有两个未知数。
错误类型 2：回代时代入错误的方程，导致第三个未知数的值计算错误。
规避方法：回代时选择原方程组中形式最简单的方程，代入前检查已求出的两个未知数的值是否正确。
错误类型 3：未检验结果，导致计算错误未被发现。
规避方法：解三元一次方程组步骤多，计算量大，解出后必须代入三个原方程检验，确保每个方程都成立。
错误类型 4：消元目标不明确，一次尝试消去两个未知数，导致方程混乱。
规避方法：明确每次只消去一个未知数，分步骤进行，先转化为二元一次方程组，再求解。
幻灯片 12：解题方法总结
定义理解：明确三元一次方程和三元一次方程组的概念，把握含有三个未知数且未知数次数为 1 的核心特征。
消元策略：根据方程组特点选择代入或加减消元法，优先消去系数简单的未知数，分步将三元转化为二元、一元。
计算要求：消元、解二元一次方程组、回代等步骤都要细心计算，避免因一步错误导致整个结果错误。
检验习惯：养成解后检验的习惯，将解代入原方程组的三个方程，确保结果正确。
幻灯片 13：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了三元一次方程组的定义和解法，核心思想仍是消元转化，通过代入或加减消元法将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组和一元一次方程求解。在解题过程中，要注意选择合适的消元对象和方法，仔细计算并检验结果。三元一次方程组的学习是对二元一次方程组解法的拓展，体现了数学中从简单到复杂、逐步转化的思想。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，解三元一次方程组，巩固解题步骤。
拓展作业：编一道含有三个未知数的实际问题，列出三元一次方程组并求解，说明解题过程中消元方法的选择依据。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.6 三元一次方程组及其解法
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
5x + 4y = 18，
15x + 10y = 50.
3x + 2y + z = 39，
2x + 3y + z = 34，
x + 2y + 3z = 26.
二元一次方程组
？
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组.
下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
x + 2y = 1，
y + 2z = 2，
z + = 3.
a + b + c = 1，
a - b = 4，
4a – 2b + c = 7.
x2 - 4 = 0，
y + 1 = x，
x – z = -3.
-x + y + 3z = -1，
x – y + z = 3，
2x + m - z = 0.
A.
B.
C.
D.
B
三元一次方程组满足的条件：
（1）方程组中一共含有三个未知数；
（2）每个方程必须是一次方程；
（3）含有三个方程；
（4）必须是整式方程.
解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢？
思 考
x + y + 2z = 3, ①
-2x - y + z = -3, ②
x + 2y - 4z = -5. ③
解方程组：
例
1
解: 先用加减消元法消去 x.
② + ①×2，得
y + 5z = 3. ④
③ - ①，得
y - 6z = -8. ⑤
④ - ⑤，得
11z = 11.
下面解由④⑤联立成的二元一次方程组.
z = 1. ⑥
将⑥代入④，得
y = -2.
将 y，z 的值代入①，得
x = 3.
所以
x = 3，
y = -2，
z = 1.
y + 5z = 3. ④
y - 6z = -8. ⑤
巩固练习
解下列三元一次方程组：
（1）
x + 3y + 2z = 2， ①
3x + 2y - 4z = 3，②
2x–y = 7. ③
解：①×2 + ②，得 5x + 8y = 7. ④
③×8 + ④，得 21x = 63，
两边都除以 21，得 x = 3.
把 x 用 3 代入方程③，得 y = -1.
把 x 用 3，y 用 -1 代入方程①，
得 z = 1.
因此， 是原三元一次方程组
的解.
x = 3.
y = -1，
z = 1
（2）
x + y - z = 2， ①
2x - y + 3z = 2， ②
x–4y - 2z = -6. ③
① + ②，得 3x + 2z = 4. ④
①×4 + ③，得 5x-6z = 2.⑤
④×3+⑤，得 14x = 14，解得 x = 1.
把 x 用 1 代入方程④，得 z = 0.5.
把 x 用 1，z 用 0.5 代入方程①，
得 y = 1.5.
因此， 是原三元一次方程组
的解.
x = 1，
y = 1.5，
z = 0.5
解三元一次方程组的思路：
三元一次
方程组
二元一次
方程组
二元一次
方程组
消元
消元
解三元一次方程组的一般步骤：
（1）消元：利用代入消元法或加减消元法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另两个未知数的二元一次方程组.
（2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值.
（3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程.
（4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值.
（5）写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起，即是三元一次方程组的解.
某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量.
例
2
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x，y，z 份，
请根据题意列出方程组；
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C 的份数.
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
解：（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x、y、z 份，由题意得
5x + 5y + 10z = 35， ①
20x + 10y + 10z = 70， ②
5x + 15y + 5z = 35. ③
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（2）由①得 x = 7-y-2z. ④
将④代入②③，得
y + 3z = 7， ⑤
2y – z = 0. ⑥
解这个方程组，得
y = 1，
z = 2.
将 代入④，得 x = 2.
y = 1，
z = 2
所以
x = 2，
y = 1，
z = 2.
答：A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份.
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为 7，求这三个数.
例
3
解 设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得
x + y = 3， ①
y + z = 6， ②
x + z = 7. ③
①+②+③，两边同除以 2，得 x + y + z = 8. ④
④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1.
答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5.
练 习
【教材P127 练习 第1题】
1. 解下列方程组：
（1）
3x + y - 4z = 13，
5x - y + 3z = 5，
x + y–z = 3；
（2）
3x - y + z = 4，
2x + 3y - z = 12，
x + y + z = 6.
x = 2，
y = -1，
z = -2.
x = 2，
y = 3，
z = 1.
2. 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商场用 120 000 元购买上述三种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部. 求该商场购买上述三种型号手机各多少部.
【教材P127 练习 第2题】
解：设商场购买了甲型号手机 x 部，乙型号手机 y 部，丙型号手机 z 部.
x + y + z = 40，
3 600x + 1 200y + 2 400z = 120 000，
x - z = 24.
根据题意，得
x = 28，
y = 8，
z = 4.
解方程组，得
答：商场购买了甲型号手机 28 部，乙型号手机 8 部，丙型号手机 4 部.
知识点1 三元一次方程组的概念
1.下列方程组是三元一次方程组的是( )
B
A. B.
C. D.
知识点2 三元一次方程组的解法
2.解方程组 最简便的消元方法是( )
B
A.先消去 B.先消去
C.先消去 D.先消去常数项
3.(4分)解方程组：
解：由,得，由 ,得
，由,得，所以 ，
把代入①,得，把代入③,得 ，所以
方程组的解为
知识点3 三元一次方程组的简单应用
4.(8分)今年小新一家三口的年龄总和是80岁,爸爸比妈妈大3
岁,妈妈的年龄恰好是小新年龄的5倍.问:今年爸爸、妈妈和
小新分别几岁
解：设今年小新的年龄为岁，妈妈的年龄为 岁，爸爸的年
龄为 岁.
由题意,得解得
答：今年爸爸38岁，妈妈35岁，小新7岁.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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