4.4.2角的度量与运算 课件（共28张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.4.2 角的度量与运算
副标题：掌握角的大小测量与计算方法
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：上节课我们学习了角的定义和表示方法，知道角是由有公共端点的两条射线组成的图形，并且可以用不同的方法来表示。在实际生活中，我们不仅需要认识角，还需要知道角的大小，进行角的度量和相关运算。
情境导入：展示两个大小不同的角的图形，提问：这两个角哪个大？大多少？如何准确测量出一个角的大小？在几何图形中，如何计算两个角的和或差？今天我们就来学习角的度量与运算。
幻灯片 3：角的度量单位
基本单位：角的度量单位是度、分、秒，分别用符号 “°”“′”“″” 表示。
单位定义：
把一个周角平均分成 360 等份，每一份所对的角的大小是 1 度，记作 1°。
把 1 度的角平均分成 60 等份，每一份所对的角的大小是 1 分，记作 1′。
把 1 分的角平均分成 60 等份，每一份所对的角的大小是 1 秒，记作 1″。
单位换算关系：
1 周角 = 360°
1 平角 = 180°
1° = 60′
1′ = 60″
1° = 3600″
幻灯片 4：度、分、秒的换算
换算方法：
由高级单位向低级单位换算时，乘以进率 60。例如：2° = 2×60′ = 120′；3′ = 3×60″ = 180″；1.5° = 1° + 0.5×60′ = 1°30′。
由低级单位向高级单位换算时，除以进率 60。例如：120′ = 120÷60° = 2°；180″ = 180÷60′ = 3′；90″ = 90÷3600° = 0.025° 或 90″ = 1′30″。
实例分析：
例 1：将 3.25° 换算成度、分、秒的形式。
解：0.25° = 0.25×60′ = 15′，所以 3.25° = 3°15′。
例 2：将 2°30′换算成度的形式。
解：30′ = 30÷60° = 0.5°，所以 2°30′ = 2.5°。
例 3：将 1°24′36″换算成度的形式。
解：36″ = 36÷60′ = 0.6′，24.6′ = 24.6÷60° = 0.41°，所以 1°24′36″ = 1.41°。
幻灯片 5：角的度量工具与方法
度量工具：量角器，量角器的形状是半圆形，上面标有刻度，量程通常是 0° 到 180°。
度量步骤：
步骤 1：把量角器的中心与角的顶点重合。
步骤 2：把量角器的 0° 刻度线与角的一条边重合。
步骤 3：角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
注意事项：
读数时要注意区分量角器的内圈刻度和外圈刻度，当角的一边与内圈 0° 刻度线重合时，读内圈刻度；与外圈 0° 刻度线重合时，读外圈刻度。
度量时量角器要放正，确保中心与顶点、0° 刻度线与角的一边紧密重合。
图形示意：画出量角器度量角的示意图，标注中心、0° 刻度线、角的顶点和边以及对应的刻度。
幻灯片 6：角的大小比较
叠合法：把两个角的顶点重合，一条边重合，观察另一条边的位置。如果另一条边也重合，那么两个角相等；如果一个角的另一条边在另一个角的内部，那么这个角小；如果在外部，那么这个角大。
度量法：用量角器分别测量出两个角的度数，然后比较度数的大小，度数大的角大，度数小的角小，度数相等则角相等。
实例分析：已知∠1 = 30°，∠2 = 45°，则∠1 < ∠2；已知∠A = 60°，∠B = 60°，则∠A = ∠B。
幻灯片 7：角的和与差运算
角的和：两个角的和是指把两个角叠合在一起，组成的一个新角的度数等于这两个角的度数之和。例如：∠AOB = ∠AOC + ∠COB。
角的差：两个角的差是指从一个角中减去另一个角，得到的一个新角的度数等于这两个角的度数之差。例如：∠AOC = ∠AOB - ∠COB（假设∠AOB > ∠COB）。
实例分析：
例 1：已知∠1 = 35°，∠2 = 45°，求∠1 + ∠2 的度数。
解：∠1 + ∠2 = 35° + 45° = 80°。
例 2：已知∠α = 120°，∠β = 50°，求∠α - ∠β 的度数。
解：∠α - ∠β = 120° - 50° = 70°。
例 3：已知∠AOB = 90°，∠BOC = 30°，求∠AOC 的度数（分两种情况：点 C 在∠AOB 内部和外部）。
解：① 当点 C 在∠AOB 内部时，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 90° - 30° = 60°；② 当点 C 在∠AOB 外部时，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 30° = 120°。
幻灯片 8：角的倍与分运算
角的倍：一个角的 n 倍是指这个角的度数乘以 n。例如：∠α 的 2 倍是 2∠α。
角的分：一个角的 n 等分是指把这个角的度数除以 n，每一份的度数就是这个角的 n 分之一。例如：把∠β 平均分成 2 份，每份是\(\frac{1}{2}\)∠β。
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。若 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC = ∠COB = \(\frac{1}{2}\)∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB。
实例分析：
例 1：已知∠A = 30°，求 2∠A 的度数。
解：2∠A = 2×30° = 60°。
例 2：已知∠B = 120°，求\(\frac{1}{3}\)∠B 的度数。
解：\(\frac{1}{3}\)∠B = 120°÷3 = 40°。
例 3：OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB = 80°，求∠AOC 的度数。
解：因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB = \(\frac{1}{2}\times80 ° = 40 °\)。
幻灯片 9：课堂练习（基础巩固）
练习 1：完成下列单位换算。
（1）3° = ______′ （2）15′ = ______″ （3）240′ = ______° （4）3600″ = ______°
答案：（1）180；（2）900；（3）4；（4）1。
练习 2：用量角器测量下图中各角的度数。（展示几个不同的角的图形）
答案：根据实际测量结果填写，如∠1 = 50°，∠2 = 120° 等。
练习 3：已知∠α = 35°15′，∠β = 25°45′，求∠α + ∠β 和∠α - ∠β 的度数。
解：∠α + ∠β = 35°15′ + 25°45′ = 61°；∠α - ∠β = 35°15′ - 25°45′ = 9°30′。
幻灯片 10：课堂练习（能力提升）
练习 4：一个角的度数是它的补角的 3 倍，求这个角的度数（补角：和为 180° 的两个角互为补角）。
解：设这个角的度数为 x，则它的补角为 180° - x，由题意得 x = 3 (180° - x)，解得 x = 135°。
练习 5：如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠AOC 的平分线，已知∠AOB = 80°，求∠COD 的度数。
解：因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB = 40°，又因为 OD 是∠AOC 的平分线，所以∠COD = \(\frac{1}{2}\)∠AOC = 20°。
练习 6：从下午 2 点到下午 2 点 30 分，钟表的分针转过的角度是多少？时针转过的角度是多少？
解：分针 30 分钟转过的角度是 30×6° = 180°（因为分针每分钟转 6°）；时针 30 分钟转过的角度是 30×0.5° = 15°（因为时针每小时转 30°，每分钟转 0.5°）。
幻灯片 11：常见错误分析与规避
错误类型 1：度、分、秒换算时，进率错误，如将 1° = 100′进行换算。
规避方法：牢记度、分、秒之间是六十进制，即 1° = 60′，1′ = 60″，换算时严格按照进率计算，可通过反复练习强化记忆。
错误类型 2：使用量角器度量角时，看错内圈或外圈刻度，导致测量结果错误。
规避方法：度量时明确角的一边与量角器的哪一圈 0° 刻度线重合，读数时就读对应一圈的刻度，测量后可再检查一遍。
错误类型 3：进行角的和差运算时，单位不统一，如直接将度与分相加。
规避方法：运算前确保单位统一，相同单位的数相加、减，满 60 进 1，不够减时借 1 当 60。
错误类型 4：对角平分线的概念理解不清，认为角平分线是线段或直线。
规避方法：明确角平分线是从角的顶点出发的一条射线，它把角分成两个相等的角，通过画图直观认识角平分线的特征。
幻灯片 12：知识拓展 —— 角在科学与生活中的应用
天文观测：在天文观测中，通过测量天体之间的夹角来确定它们的位置和距离，角度的精确测量对天文研究至关重要。
工程测量：在建筑、桥梁、道路等工程测量中，需要精确测量角度来确定建筑物的方向、坡度等，保证工程的质量和安全。
军事领域：在军事瞄准、武器射击等方面，角度的测量和计算直接影响命中率，是军事技术的重要组成部分。
幻灯片 13：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了角的度量单位度、分、秒及其换算方法，掌握了用量角器度量角的大小的步骤，学习了角的和、差、倍、分运算以及角平分线的概念和应用。角的度量和运算在几何学习和实际生活中都有着广泛的应用，准确掌握这些知识是解决几何问题的基础。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，完成度、分、秒的换算和角的运算练习。
实践作业：用量角器测量生活中 5 个不同角的度数，并记录下来；画出一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线。
拓展作业：已知一个角的余角是它的补角的\(\frac{1}{3}\)，求这个角的度数（余角：和为 90° 的两个角互为余角）。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.2角的度量与运算
第4章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
我们可以度量角吗？如果可以，那你知道角的度量单位有哪些吗？度量单位之间的关系是怎样的呢？
1°
角的度量单位是“度、分、秒”. 把一个周角360等分，每一等份是1度的角，1度记作1°，如图.
知识点1
角的度量及换算
把1°的角60等分，每一等份是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一等份是1秒的角，1秒记作1″. 即
1°=60′， 1′=60″
1°
解：（1）因为0.26°=60′×0.26 = 15.6′，
0.6′ =60″×0.6 = 36″，
所以30.26°=30°15′36″.
例 1 计算：
（1）用度、分、秒表示30.26°；
（2）42°18′15″等于多少度？（精确到0.001°）
例 1 计算：
（1）用度、分、秒表示30.26°；
（2）42°18′15″等于多少度？（精确到0.001°）
解：（2）因为15″ = ×15 = 0.25′，
18.25′ = ×18.25 ≈ 0.304°，
所以42°18′15″ ≈ 42.304°.
例 2 把一个周角17等分，每份是多少？（精确到1′）
解：360°÷17 = 21°+3°÷17
= 21°+180′ ÷17
≈21°11′.
方法总结：
（1）将度用度、分、秒表示的方法：先将度的小数部分化为分，再将分的小数部分化为秒.
（2）将度、分、秒用度表示的方法：先将秒化为分，再将分化为度，也可以直接将分除以60，秒除以3600，再相加.
如图，我们如何描述射线OA，射线OB表示的方向呢？
知识点2
方向角
O
A
B
东
西
北
南
30°
40°
射线OA表示北偏东30°方向
射线OB表示南偏东40°方向
O
A
B
东
西
北
南
30°
40°
射线OA表示北偏东30°方向
射线OB表示南偏东40°方向
平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫作方向角.
注意：
（1）习惯上，把南或北写在前，把偏东或偏西的角度写在后.
（2）“东北方向”指的是北偏东45°， 西北方向、东南方向、西南方向同理.
练习
1. 填空：
15
0
52.32
【教材P155 练习 第1题】
2.计算:
（1）25°23′17′′+46°53′43″；
（2）75°23′12″-46°53′43″；
（3）19°20′24″×4；
（4）134°22′÷3.
解：（1）原式=72°17′
（2）原式=28°29′29″
（3）原式=77°21′36″
（4）原式=44°47′20″
【教材P155 练习 第2题】
1.已知∠α=18°18′，∠β=18.18°，∠γ=18.3°，下列结论正确的是（ ）
A.∠α=∠β B.∠α<∠β
C.∠α=∠γ D.∠β>∠γ
C
随堂练习
2.如图，直线AB，∠AMC=52°48′，∠BMD=74°30′，则∠CMD=__________.
52°42′
3.计算:
（1）48°39′+67°45′
（2）180°-87°19′42″.
解：（1）48°39′+67°45′
=115°84′
=116°24′.
（2）180°-87°19′42″
=179°59′60″-87°19′42″
=92°40′18″.
4. 如图，指出OA是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
（1）射线OB：南偏东40°；
（2）射线OC：南偏西60°；
（3）射线OD：西北方向.
解:射线OA表示北偏东40°方向.
（1）射线OB如图所示.
（2）射线OC如图所示.
（3）射线OD如图所示.
B
C
D
40°
60°
45°
知识点1 角的度量
1.用度、分、秒表示 为( )
D
A. B. C. D.
2.(1)__________ ；
(2)____________ ；
(3)________ .
15
3.(16分)计算下列各题.
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
原式 .
(3) ；
解：原式
.
(4) .
原式
.
知识点2 方向角与钟面角
4.(8分)教材改编题 如图所示.
(1)射线表示____偏____ 方向；射
线 表示______方向；
北
东
西北
(2)请在图中标出南偏西 方向的射线 ，东南方向的射
线 .
解：如图.
5.［2024·广西中考］如图，2时整，钟表的时针
和分针所成的锐角为( )
C
A. B. C. D.
1°=60′ 1′=60″
度分秒的换算：
课堂小结
平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫作方向角.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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