4.5.3用尺规作角 课件（共29张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.5.3 用尺规作角
副标题：掌握尺规作图的基本方法
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境导入
复习回顾：上节课我们学习了补角和余角的概念及性质，知道了角之间的特殊数量关系。在几何学习中，除了测量和计算角的大小，有时还需要精确地作出一个角，而尺规作图就是一种重要的作图方法。
情境导入：展示一个已知角∠AOB，提问：如何利用没有刻度的直尺和圆规，作出一个角等于∠AOB 呢？尺规作图与用刻度尺和量角器作图有什么不同？今天我们就来学习用尺规作角的方法。
幻灯片 3：尺规作图的工具
直尺：没有刻度，用于画直线、射线或线段。
圆规：由带有针尖的脚和带有铅笔的脚组成，用于画圆或圆弧，也可以截取线段的长度。
工具特点：尺规作图不依赖工具的刻度，而是通过圆规截取等长线段、直尺连接点来完成作图，具有精确性和规范性的特点。
注意事项：使用圆规时，要保持针尖和铅笔尖的距离不变，确保截取的线段长度相等；使用直尺时，要保证画出的线是直线。
幻灯片 4：用尺规作一个角等于已知角（步骤详解）
已知：∠AOB。
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' = ∠AOB。
作图步骤：
步骤 1：作射线 O'A'。
操作：用直尺画一条射线，端点为 O'，这条射线将作为新作角的一边。
图形示意：画出射线 O'A'，标注端点 O' 和射线上的点 A'。
步骤 2：以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA 于点 C，交 OB 于点 D。
操作：将圆规的针尖固定在 O 点，调整圆规两脚间的距离（任意长度），画一段圆弧，使圆弧与 OA、OB 分别相交于 C、D 两点。
图形示意：在∠AOB 上画出圆弧 CD，标注交点 C、D。
步骤 3：以点 O' 为圆心，OC 长为半径画弧，交 O'A' 于点 C'。
操作：保持圆规两脚间的距离不变（即 OC 的长度），将针尖固定在 O' 点，画一段圆弧，使圆弧与 O'A' 相交于 C' 点。
图形示意：在射线 O'A' 上画出圆弧，标注交点 C'。
步骤 4：以点 C' 为圆心，CD 长为半径画弧，与步骤 3 中所画的弧相交于点 D'。
操作：调整圆规两脚间的距离，使针尖落在 C 点，铅笔尖落在 D 点（即截取 CD 的长度），然后将针尖固定在 C' 点，画一段圆弧，与步骤 3 中的圆弧相交于 D' 点。
图形示意：画出圆弧交步骤 3 的弧于 D' 点，标注交点 D'。
步骤 5：过点 D' 作射线 O'B'。∠A'O'B' 就是所求作的角。
操作：用直尺连接 O' 和 D'，并延长成射线 O'B'。
图形示意：画出射线 O'B'，标注∠A'O'B'，并说明∠A'O'B' = ∠AOB。
幻灯片 5：作图原理分析
原理：通过尺规作图，我们构造了两个全等的三角形△OCD 和△O'C'D'。
由作图步骤可知，OC = O'C'（步骤 2 和步骤 3 中圆规半径相同），OD = O'D'（步骤 2 和步骤 3 中圆规半径相同），CD = C'D'（步骤 4 中圆规半径相同）。
根据 “边边边”（SSS）全等判定定理，△OCD ≌ △O'C'D'，因此对应角∠AOB = ∠A'O'B'。
图形示意：在两个角中分别标出△OCD 和△O'C'D'，用全等符号表示两个三角形全等。
幻灯片 6：作图步骤总结与注意事项
步骤总结：
作一条射线作为新角的一边。
在已知角上画弧，确定两个交点。
在新射线的端点画弧，得到一个交点。
以新交点为圆心，已知角上两交点间的距离为半径画弧，得到另一个交点。
过新交点画射线，得到所求角。
注意事项：
步骤 2 中圆规的半径可以任意选取，但一旦确定，步骤 3 中圆规的半径必须与步骤 2 相同。
步骤 4 中圆规的半径必须等于已知角上 C、D 两点间的距离，确保 CD = C'D'。
画弧时要保证圆弧相交，交点要清晰，便于后续连接射线。
幻灯片 7：实例演示 —— 用尺规作角等于已知角
实例：已知∠α，用尺规作∠β，使∠β = ∠α。
分步演示：按照步骤 1 至步骤 5，逐步展示作图过程，每一步都配有清晰的图形标注，强调圆规半径的一致性和交点的准确性。
验证方法：作图完成后，可以用量角器分别测量∠α 和∠β 的度数，验证所作角是否等于已知角（实际教学中可省略，尺规作图本身具有严谨性）。
幻灯片 8：课堂练习（基础巩固）
练习 1：已知∠1（图形展示），用尺规作一个角等于∠1，并写出作图步骤。
答案：按照作图步骤完成作图，步骤参考幻灯片 4。
练习 2：用尺规作一个角等于已知直角（可先给出直角图形）。
答案：按照尺规作角的步骤，作出一个角等于已知直角，作图完成后可标注直角符号。
练习 3：判断下列作图步骤是否正确，错误的请改正。
（1）作角时，第一步可以不画射线，直接画弧。（错误，第一步必须先画一条射线作为角的一边）
（2）在已知角上画弧时，半径必须是固定的 1cm。（错误，半径可以任意选取）
（3）画弧时，只要能相交即可，不需要考虑交点的位置。（错误，交点位置要准确，确保后续能画出射线）
幻灯片 9：课堂练习（能力提升）
练习 4：已知∠AOB，用尺规作∠A'O'B'，使∠A'O'B' = 2∠AOB（提示：先作一个角等于∠AOB，再在其外部作一个相等的角）。
答案：先按照步骤作出∠A'O'C' = ∠AOB，再以 O' 为顶点，O'C' 为一边，在∠A'O'C' 的外部作∠C'O'B' = ∠AOB，则∠A'O'B' = 2∠AOB。
练习 5：用尺规作一个角，使它等于已知角∠α 与∠β 的和（已知∠α 和∠β 的图形）。
答案：先作∠AOC = ∠α，再以 O 为顶点，OC 为一边，在∠AOC 的外部作∠COB = ∠β，则∠AOB = ∠α + ∠β。
练习 6：用尺规作一个角等于平角的一半（即直角），并说明作图依据。
答案：先作一条直线 AB，取中点 O，以 O 为顶点，OA 为一边，用尺规作∠AOC 等于某个直角（或通过作平角再平分），作图依据是平角为 180°，其一半为 90°。
幻灯片 10：常见错误分析与规避
错误类型 1：作图过程中圆规半径改变，导致 OC ≠ O'C' 或 CD ≠ C'D'。
规避方法：作图时牢记每一步圆规半径的要求，步骤 2 和步骤 3 的半径要相同，步骤 4 的半径要等于 CD 的长度，必要时可在圆规上做标记保持半径不变。
错误类型 2：第一步没有先画射线，直接开始画弧，导致无法确定角的顶点和一边。
规避方法：严格按照步骤进行，第一步必须先画出一条射线作为新角的一边，明确角的顶点和起始边。
错误类型 3：画弧时圆弧不相交或交点不明显，影响后续作图。
规避方法：画弧时确保圆规的半径足够大，使圆弧能够清晰相交，对于较小区的角，可适当增大圆规半径。
错误类型 4：连接射线时没有通过交点，导致所作角与已知角不相等。
规避方法：连接 O' 和 D' 时，要用直尺对准两点，确保射线 O'B' 经过 D' 点，保证作图的准确性。
幻灯片 11：知识拓展 —— 尺规作图的历史与意义
历史起源：尺规作图起源于古希腊，古希腊数学家认为通过尺规作图可以得到最简洁、最精确的图形，许多几何问题都通过尺规作图来解决。
三大作图难题：历史上著名的三大尺规作图难题是 “三等分任意角”“倍立方体”“化圆为方”，这些问题后来被证明在尺规作图的限制下是无法解决的，推动了数学的发展。
教育意义：尺规作图能培养学生的空间想象能力、动手操作能力和逻辑推理能力，是几何学习中不可或缺的重要内容。
幻灯片 12：课堂总结与作业布置
课堂总结：本节课学习了用尺规作一个角等于已知角的方法，掌握了作图的五个关键步骤，理解了作图的原理是基于全等三角形的判定。尺规作图不依赖刻度，通过圆规截取等长线段和直尺连接点来保证作图的精确性，是几何作图的基础方法。
作业布置：
基础作业：教材课后对应习题 [具体页码和题号]，用尺规作出指定的角，写出作图步骤。
实践作业：用尺规作一个角等于已知角∠AOB，然后用量角器测量两个角的度数，验证作图是否准确。
拓展作业：尝试用尺规作一个角等于已知角的两倍，并用文字描述作图步骤。
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
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4.5.3用尺规作角
第4章 几何图形初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
图形的绘制，图案的设计，时常需要画线段和角.
之前我们已经学会了用尺规作线段，那我们这节课来学一下如何用尺规作角吧！
新知探究
知识点
作一个角等于已知角
例 3 已知∠M，画∠AOB，使得∠AOB=∠M.
M
解 用量角器量得∠M=110°.
画∠AOB=110°，∠AOB即为符合题意的角.
M
O
A
B
操 作
如图，张开圆规，当圆规两足末端的距离为a时，圆规的张角为∠α. 将圆规闭合后重新张开，如何调整圆规使张角仍为∠α？
调整圆规，使圆规两足末端的距离为a ，这时圆规张角仍为∠α.
基于上面的发现，
尺规作图 作一个角等于已知角.
已知：∠AOB.
求作：∠DEF，使得∠DEF=∠AOB.
A
O
B
作法：（1）作射线EG.
（2）在∠AOB上以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA和OB于点P，Q；
（3）以点E为圆心，线段OP长为半径画弧，交射线EG于点D.
A
O
B
E
G
P
Q
D
A
O
B
E
G
P
Q
D
（4）以点D 为圆心，线段PQ长为半径画弧，与（3）中所画弧交于点F；
（5）作射线EF. ∠DEF即为所求作的角.
F
例 4 如图，已知两个角∠1和∠2（∠1＞∠2），求作这两个角的和.
1
2
作法 作∠AOB =∠1，以O为顶点，OB为一边在∠AOB外作∠BOC =∠2，那么∠AOC=∠1 +∠2.
1
2
O
A
B
C
1
2
1.如图，已知∠α，用尺规作∠AOB=2∠α.
练习
α
【教材P162 练习 第1题】
解:如图所示.
作法:（1）作射线OD.
（2）以∠α的顶点M为圆心,任意长为半径画弧,分别与∠α的两边交于点P,Q.
（3）以点О为圆心,线段MP长为半径画弧,交射线OD于点A.
（4）以点A为圆心,线段PQ长为半径画弧,与（3）中所画弧交于点E.
（5）以点E为圆心,线段PQ长为半径画弧,交（3）中所画弧于点B（不在OD上）.
（6）作射线OB.∠AOB=2∠α即为所求作的角.
2.参考例4，作给定两角的差.
α
β
【教材P162 练习 第2题】
解：如图所示.已知∠α，∠β,求作∠α-∠β.
作法:①作∠AOC= ∠α.
②以点О为角的顶点,OC为一边,在∠AOC的内部作∠COB=∠β,则∠AOB= ∠α-∠β即为所求作的角.
1. 如图，利用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点О为圆心、适当长为半径作弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么作图痕迹②的作法是（ ）
A. 以点F为圆心、OE长为半径作弧
B. 以点F为圆心、EF长为半径作弧
C. 以点E为圆心、OE长为半径作弧
D. 以点E为圆心、EF长为半径作弧
随堂练习
D
2. 如图①，以点B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作图在∠CAD内部作∠EBC，使∠EBC=∠A.
解:如图②，以点B为顶点，BC为一边在∠CAD内部作∠EBC=∠A. ∠EBC即为所求作的角.
3. 如图①，已知∠α，∠β，求作一个角使它等于2∠α-∠β（保留作图痕迹，不写作法）.
解: 如图，∠AOC即为所求作的2∠α-∠β.
知识点 利用尺规作一个角等于已知角
1.如图，作一个角等于已知角
(尺规作图)的正确顺序是
____________.(填序号)
2.如图，用尺规作图作的第一步是以点 为圆
心，任意长为半径画弧①，分别交，于点， ，那么
第二步的作图痕迹②的作法是( )
D
A.以点为圆心， 长为半径画弧
B.以点为圆心， 长为半径画弧
C.以点为圆心， 长为半径画弧
D.以点为圆心， 长为半径画弧
3.(8分)如图，已知 ， ，作一个角，使它等于 与
的和.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图, 即为所求作.
4.如图， ， ，根据图中尺规作
图的痕迹，可知____ .
35
5.(8分)［2025·上海月考］如图，已知 和 ，利用尺规
作，使 .
解：如图， 即为所求作的角.
步骤 作图
（1）作射线EG
（2）在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA和OB于点P，Q
（3）以点E为圆心，线段OP长为半径画弧，交射线EG于点D
（4）以点D为圆心，线段PQ长为半径画弧，与（3）中所画弧交于点F
（5）作射线EF.∠DEF即为所求作的角
用尺规作∠DEF=∠AOB的步骤：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！