第3章 一次方程与方程组【章末复习】 课件（共39张PPT）2025-2026学年七年级数学上册（沪科版版2024）

(共39张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第 3 章 一次方程与方程组章末复习
副标题：深化方程思想，提升解题技能
姓名：[教师姓名]
日期：[复习日期]
幻灯片 2：本章知识框架
方程的基本概念：方程、方程的解、解方程、一元一次方程的定义及标准形式。
一元一次方程的解法：等式的基本性质，解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1）。
二元一次方程组的相关概念：二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解的定义。
二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法。
方程与方程组的应用：列方程（组）解决实际问题的步骤与类型（行程问题、工程问题、利润问题等）。
知识联系图：以思维导图形式展示各知识点关联，如一元一次方程是基础，二元一次方程组通过消元转化为一元一次方程求解，实际应用是方程思想的具体体现。
幻灯片 3：核心知识点回顾 —— 方程的基本概念
方程：含有未知数的等式叫做方程。
实例：3x + 5 = 14，2y - 7 = 3y + 1 都是方程。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
实例：x = 3 是方程 2x + 3 = 9 的解（左边 = 2×3 + 3=9，右边 = 9）。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
标准形式：ax + b = 0（a、b 为常数，a ≠ 0）。
实例：5x - 8 = 0，\(\frac{1}{2}y + 3 = 2y\)都是一元一次方程；x + 2x = 5（未知数次数为 2）、\(\frac{3}{x} + 1 = 4\)（分母含未知数）不是一元一次方程。
幻灯片 4：核心知识点回顾 —— 等式的基本性质
性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果 a = b，那么 a ± c = b ± c。
实例：由 x + 5 = 8，两边减 5 得 x = 8 - 5 = 3。
性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。即：如果 a = b，那么 ac = bc；如果 a = b（c ≠ 0），那么\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\)。
实例：由 3x = 12，两边除以 3 得 x = 4；由\(\frac{y}{2} = 5\)，两边乘 2 得 y = 10。
注意事项：
应用性质 2 时，除数不能为 0，否则无意义。
等式两边不能同时除以含未知数的整式（可能为 0）。
幻灯片 5：核心知识点回顾 —— 解一元一次方程的步骤
步骤详解：
去分母：在方程两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母。
注意：不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时要加括号。
实例：解方程\(\frac{x - 1}{2} + 1 = \frac{2x + 1}{3}\)，两边同乘 6 得 3 (x - 1) + 6 = 2 (2x + 1)。
去括号：按照去括号法则去掉括号，注意符号和漏乘问题。
实例：3 (x - 1) + 6 = 2 (2x + 1) 去括号得 3x - 3 + 6 = 4x + 2。
移项：把含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，移项要变号。
实例：3x - 3 + 6 = 4x + 2 移项得 3x - 4x = 2 + 3 - 6。
合并同类项：把方程化为 ax = b（a ≠ 0）的形式。
实例：3x - 4x = 2 + 3 - 6 合并同类项得 - x = -1。
系数化为 1：在方程两边同除以未知数的系数 a，得 x = \(\frac{b}{a}\)。
实例：-x = -1 系数化为 1 得 x = 1。
注意事项：步骤可根据方程特点灵活调整，不一定全用到。
幻灯片 6：核心知识点回顾 —— 二元一次方程（组）的概念
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。
标准形式：ax + by = c（a、b、c 为常数，a ≠ 0，b ≠ 0）。
实例：2x + 3y = 7，x - y = 1 都是二元一次方程；x + y = 5（未知数次数为 2）、\(\frac{x}{y} + 1 = 3\)（不是整式方程）不是二元一次方程。
二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组（方程组中未知数个数为 2，含每个未知数的项次数为 1）。
实例：\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)，\(\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ x = 2 \end{cases}\)都是二元一次方程组。
方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
实例：\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)是方程组\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)的解（代入后两个方程都成立）。
幻灯片 7：核心知识点回顾 —— 解二元一次方程组的方法
代入消元法：
步骤：
从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来（如 y = kx + b）。
将这个式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。
解一元一次方程，求出一个未知数的值。
将求出的未知数的值代入步骤 1 的式子，求出另一个未知数的值。
写出方程组的解。
实例：解方程组\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)
由①得 y = 5 - x ③，代入②得 2x - (5 - x) = 1，解得 x = 2，代入③得 y = 3，所以解为\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)。
加减消元法：
步骤：
使方程组中某一个未知数的系数绝对值相等（若不相等，可在方程两边同乘适当数）。
把两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一元一次方程。
解一元一次方程，求出一个未知数的值。
将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值。
写出方程组的解。
实例：解方程组\(\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 5x - 2y = 11 \end{cases}\)
① + ②得 8x = 24，解得 x = 3，代入①得 3×3 + 2y = 13，解得 y = 2，所以解为\(\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}\)。
幻灯片 8：核心知识点回顾 —— 列方程（组）解决实际问题
步骤：
审：审题，明确题意和数量关系，找出已知量和未知量。
设：设未知数（直接设或间接设，根据问题选择）。
列：根据等量关系列出方程（组）。
解：解所列方程（组），求出未知数的值。
验：检验解是否符合实际意义（既要满足方程，又要符合题意）。
答：写出答案，注明单位。
常见等量关系类型：
行程问题：路程 = 速度 × 时间（相遇问题：路程和 = 总路程；追及问题：路程差 = 初始距离）。
工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间（总工作量通常设为 1）。
利润问题：利润 = 售价 - 成本，利润率 = \(\frac{ }{ } 100\%\)。
和差倍分问题：根据 “多、少、倍、分” 等关键词找等量关系。
幻灯片 9：典型例题解析（基础巩固）
例题 1：解下列一元一次方程：
（1）5(x - 2) = 3(2x - 7)
解：5x - 10 = 6x - 21，移项得 5x - 6x = -21 + 10，合并同类项得 - x = -11，系数化为 1 得 x = 11。
（2）\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1\)
解：两边同乘 6 得 2 (2x - 1) - 3 (x + 1) = 6，去括号得 4x - 2 - 3x - 3 = 6，合并同类项得 x - 5 = 6，移项得 x = 11。
例题 2：解下列二元一次方程组：
（1）\(\begin{cases} x = 2y \\ x + 4y = 12 \end{cases}\)
解：将①代入②得 2y + 4y = 12，解得 y = 2，代入①得 x = 4，所以解为\(\begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}\)。
（2）\(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 2y = 0 \end{cases}\)
解：由②得 x = 2y ③，代入①得 4y + y = 5，解得 y = 1，代入③得 x = 2，所以解为\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}\)。
幻灯片 10：典型例题解析（能力提升）
例题 3：当 k 为何值时，方程 2 (x - 1) = kx + 5 的解是整数？
解：2x - 2 = kx + 5，移项得 (2 - k) x = 7，解得 x = \(\frac{7}{2 - k}\)。因为 x 是整数，所以 2 - k 是 7 的因数，即 2 - k = ±1 或 ±7。当 2 - k = 1 时，k = 1；当 2 - k = -1 时，k = 3；当 2 - k = 7 时，k = -5；当 2 - k = -7 时，k = 9。所以 k 的值为 1、3、-5、9。
例题 4：解方程组\(\begin{cases} 3x + 4y = 16 \\ 5x - 6y = 33 \end{cases}\)
解：①×3 得 9x + 12y = 48 ③，②×2 得 10x - 12y = 66 ④，③ + ④得 19x = 114，解得 x = 6，代入①得 3×6 + 4y = 16，解得 y = -\(\frac{1}{2}\)，所以解为\(\begin{cases} x = 6 \\ y = -\frac{1}{2} \end{cases}\)。
例题 5：某车间有 28 名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓 12 个或螺母 18 个。问：如何分配工人才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？
解：设 x 人生产螺栓，y 人生产螺母，根据题意得\(\begin{cases} x + y = 28 \\ 2 12x = 18y \end{cases}\)，化简第二个方程得 4x = 3y，由第一个方程得 x = 28 - y，代入得 4 (28 - y) = 3y，解得 y = 16，x = 12。答：分配 12 人生产螺栓，16 人生产螺母。
幻灯片 11：典型例题解析（实际应用）
例题 6：A、B 两地相距 480km，一列慢车从 A 地出发，每小时行驶 60km，一列快车从 B 地出发，每小时行驶 90km。
（1）两车同时出发，相向而行，多少小时后相遇？
解：设 x 小时后相遇，根据题意得 60x + 90x = 480，解得 150x = 480，x = 3.2。答：3.2 小时后相遇。
（2）快车先开 1 小时，慢车再出发，两车同向而行（快车追慢车），快车出发多少小时后追上慢车？
解：设快车出发 y 小时后追上慢车，根据题意得 90y = 60 (y - 1) + 480，解得 90y = 60y - 60 + 480，30y = 420，y = 14。答：快车出发 14 小时后追上慢车。
例题 7：某商店购进一批衬衫，甲种衬衫每件进价 15 元，售价 20 元；乙种衬衫每件进价 20 元，售价 30 元。购进两种衬衫共 100 件，获利 800 元，求购进甲、乙两种衬衫各多少件？
解：设购进甲种衬衫 m 件，乙种衬衫 n 件，根据题意得\(\begin{cases} m + n = 100 \\ (20 - 15)m + (30 - 20)n = 800 \end{cases}\)，化简得\(\begin{cases} m + n = 100 \\ 5m + 10n = 800 \end{cases}\)，解得\(\begin{cases} m = 40 \\ n = 60 \end{cases}\)。答：购进甲种衬衫 40 件，乙种衬衫 60 件。
幻灯片 12：常见错误分析与规避
错误类型 1：解一元一次方程去分母时漏乘不含分母的项，如解方程\(\frac{x}{2} + 1 = x\)时，两边同乘 2 得 x + 1 = 2x（漏乘 1）。
规避方法：去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，包括常数项。
错误类型 2：移项时忘记变号，如由 3x + 5 = 2x - 1 得 3x + 2x = -1 - 5（2x 移项未变号）。
规避方法：牢记 “移项要变号”，把项从方程一边移到另一边时，正号变负号，负号变正号。
错误类型 3：解二元一次方程组代入消元时，代入原方程而非另一个方程，导致无法消元。
规避方法：明确代入消元的原理，用一个方程的表达式代入另一个方程，才能消去一个未知数。
错误类型 4：列方程（组）解应用题时，等量关系找错或单位不统一。
规避方法：仔细审题，圈出关键词，明确数量关系；统一题目中的单位
2025-2026学年沪科版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第3章 一次方程与方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
等式的基本性质
1
性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式. 即
如果 a＝b，那么 a＋c＝b＋c，a-c＝b-c.
1
2
性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式. 即
如果 a＝b，那么 ac＝bc， （c≠0）.
3
性质3：如果 a＝b，那么 b＝a.（对称性）.
例如，由 -4=x，得 x=-4.
在解题过程中，根据等式的传递性，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换.
4
性质4：如果 a＝b，b=c，那么 a＝c.（传递性）.
例如，x=3，又y=x，所以y=3.
一元一次方程
2
只含有一个未知数(元)，未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程.
使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解. 一元方程的解也叫作根.
步骤 根据 注意事项
去分母 等式性质2 ①不漏乘不含分母的项；
②注意给分子添括号.
去括号 分配律、 去括号法则 ①不漏乘括号里的项；
②括号前是“-”号，要变号.
移项 移项法则 移项要变号
合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项
系数化1 等式性质2 两边同除以未知数的系数或乘以未知数系数的倒数.
解一元一次方程
3
弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题里的未知数；
分析题意，找出相等关系（可借助于示意图、表格等）；
根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；
解这个方程，求出未知数的值；
检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）.
1
2
3
4
5
列方程解应用题的步骤
4
二元一次方程组
5
含有两个未知数的一次方程，叫作二元一次方程.
由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组.
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解. 二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程.
解二元一次方程组的基本思路是消元.
解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入消元法和加减消元法.
二元一次方程组有哪两种解法？
消去两个未知数中的一个．
解二元一次方程组中“代入”与“加减”的目的是什么？
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)；
②将变形后的方程代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；
④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；
⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解.
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）如果某个未知数的系数的绝对值相等时，采用加减消去一个未知数.
（2）如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元.
（3）对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑.
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组.
三元一次方程组的解法：通过消元转化成解二元一次方程组的问题，再消元转化成解一元一次方程的问题.
三元一次方程组
6
联系：都是消元，转化为一元一次方程，最后求出方程组的解。
区别：未知数和方程的个数不同。
解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系和区别？
解：x＝6－2y的正整数解有
x = 4，
y = 1，
x = 2，
y = 2；
把
x = 4，
y = 1，
x = 2，
y = 2
分别代入方程x－y＝9－3k，
得k＝2或k＝3.
[解析] 因为两个方程的解相同，先求出方程2x＝ 的解，再将其代入方程3(x＋a)＝a－5x 中得到关于a的一元一次方程，从而求出a的值．
解：将4x－y=5和3x+y=9组成方程组，得
4x－y=5，
3x+y=9，
x = 2，
y = 3.
解得
将x = 4，y = 3代入方程ax+ay=－1，
得2a+3b=－1，则(2a+3b)2017= －1.
解：设方程●x＋●y＝22中x，y的系数分别为a，b，方程3x－●y＝8中y的系数为c，由题意，得方程组
4a+2b=22，
12－2c=8，
a+6b=22.
a = 4，
b = 3
c = 2.
解得
所以原方程组为
4x+3y=22，
3x－2y=8.
例5 某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告. 15秒广告每播1次收费0.8万元，30秒广告每播1次收费1.5万元.若要求每种广告播放不少于2次．
(1)两种广告的播放次数有几种安排方式？
(2)电视台选择哪种方式播放收益较大？
解：（1）设15秒的广告播放x次，30秒的广告播放y次，则15x＋30y＝120.
又因为每种广告播放不少于2次，故该方程的解为
x=2，
y=3
x = 4，
y = 2.
或
故电视台有两种播放方式：15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次或15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次．
（2）当x＝4，y＝2时，
0.8×4＋1.5×2＝6.2(万元)；
当x＝2，y＝3时，
0.8×2＋1.5×3＝6.1(万元)．
所以，选择15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次收益较大．
整合1 方程(组)的相关概念及等式的基本性质
1.已知关于的方程 是一元一次方程，
则 ( )
C
A. B.2 C. D.
2.［2025年1月安庆期末］已知是关于， 的方程
的一个解，则 的值为( )
A
A.1 B. C.2 D.
3.［2025年1月滁州期末］下列各式中，正确的是( )
B
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
整合2 方程(组)的解法
4.(12分)解方程(组)
(1) ；
解： ，去分母，得
，去括号，得
，移项，得
，合并同类项，得
，两边同除以，得 .
(2)
解：整理，得，得 ,解得
.把代入②，得,解得 .所以原
方程组的解为
(3)
解：，得,解得.,得 ,解得
.将,代入③，得 .所以原方程组的解为
整合3 方程(组)的应用
5.某商场举办“迎元旦送大礼”促销活动，某品牌冰箱若按标
价的八折销售，每件可获利200元，其利润率为 ，若按
标价的八五折销售，每件可获利( )
D
A.475元 B.375元 C.562.5元 D.337.5元
6.［2025·天津模拟］甲地距乙地 ，有一段上坡路与
一段下坡路，一天李海同学保持上坡路每小时走 ，下坡
路每小时走的速度，从甲地到乙地共用了 .若设
李海同学上坡路用了，下坡路用了 ，可列出方程
组为_ ______________.
7.(8分) 数学文化 [2025年1月合肥期末] 我国传统数学名著
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛
二、羊五，直金十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“5头
牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子.问每
头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，解答以
下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子；
解：设每头牛值两银子，每只羊值 两银子，根据题意，得
解得
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求：既有牛也有羊，
且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法？列出所有
的购买方法.
设购买头牛，只羊，依题意有 ，所以
，因为，都是正整数，所以或 或
所以有三种购买方法：①购买1头牛，8只羊；②购买
3头牛，5只羊；③购买5头牛，2只羊.
整合4 两种数学思想
8.整体思想 已知关于，的二元一次方程组
的解互为相反数，则 的值为___.
1
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！