1.1.2 有理数的分类 课件（共23张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.1.2 有理数的分类
副标题：梳理数的类型，明确分类标准
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
回顾旧知：上节课我们学习了具有相反意义的量，知道可以用正数和负数表示这些量，还认识了 “0” 既不是正数也不是负数。
思考问题：我们学过的数有哪些？比如 1，-3，0，\(\frac{1}{2}\)，-0.5，5.3 等，这些数可以分为几类？它们之间有什么关系？本节课我们将系统学习有理数的分类。
幻灯片 3：有理数的定义
整数：像 - 3，-2，-1，0，1，2，3 这样的数称为整数，整数包括正整数、0 和负整数。
例如：正整数（1，2，3，…）、0、负整数（-1，-2，-3，…）。
分数：像\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{3}{4}\)，0.5，-1.2 这样的数称为分数，分数包括正分数和负分数。
例如：正分数（\(\frac{1}{3}\)，0.7，…）、负分数（\(-\frac{2}{5}\)，-3.14，…）。
有理数的定义：整数和分数统称为有理数。也就是说，有理数包括所有可以表示为两个整数之比的数（其中分母不为 0）。
幻灯片 4：有理数的分类标准一（按定义分类）
分类框架：\(
°\begin{cases}
°\begin{cases}
° 1 2 3 \\
0 \\
è ° -1 -2 -3
\end{cases} \\
°\begin{cases}
° \frac{1}{2} 0.3 5.2 \\
è ° -\frac{3}{4} -0.7 -2.5
\end{cases}
\end{cases}
\)
注意事项：
0 是整数，也是有理数，但 0 既不是正数也不是负数。
有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们属于分数（如 0.5 = \(\frac{1}{2}\)，-3.3 = \(-\frac{33}{10}\)）。
整数可以看作分母为 1 的分数（如 5 = \(\frac{5}{1}\)），但通常不这样分类。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 按定义分类
题目：把下列各数填入相应的括号内：\(3\)，\(-5\)，\(0\)，\(\frac{3}{4}\)，\(-\frac{1}{2}\)，\(6.7\)，\(-0.8\)，\(100\)，\(-15\)
正整数：{ }
负整数：{ }
整数：{ }
正分数：{ }
负分数：{ }
分数：{ }
有理数：{ }
解答：
正整数：{ \(3\)，\(100\) }
负整数：{ \(-5\)，\(-15\) }
整数：{ \(3\)，\(-5\)，\(0\)，\(100\)，\(-15\) }
正分数：{ \(\frac{3}{4}\)，\(6.7\) }
负分数：{ \(-\frac{1}{2}\)，\(-0.8\) }
分数：{ \(\frac{3}{4}\)，\(-\frac{1}{2}\)，\(6.7\)，\(-0.8\) }
有理数：{ \(3\)，\(-5\)，\(0\)，\(\frac{3}{4}\)，\(-\frac{1}{2}\)，\(6.7\)，\(-0.8\)，\(100\)，\(-15\) }
幻灯片 6：有理数的分类标准二（按性质分类）
分类框架：\(
°\begin{cases}
°\begin{cases}
° 1 2 3 \\
° \frac{1}{2} 0.3
\end{cases} \\
0 \\
è °\begin{cases}
è ° -1 -2 -3 \\
è ° -\frac{3}{4} -0.7
\end{cases}
\end{cases}
\)
核心区别：按性质分类是根据数的正负性划分，将有理数分为正有理数、0 和负有理数三大类，其中正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 按性质分类
题目：将下列有理数按性质分类填入相应的括号内：\(2.5\)，\(-7\)，\(0\)，\(10\)，\(-\frac{4}{5}\)，\(3\frac{1}{2}\)，\(-1.2\)，\(1\)
正有理数：{ }
负有理数：{ }
有理数：{ }
解答：
正有理数：{ \(2.5\)，\(10\)，\(3\frac{1}{2}\)，\(1\) }
负有理数：{ \(-7\)，\(-\frac{4}{5}\)，\(-1.2\) }
有理数：{ \(2.5\)，\(-7\)，\(0\)，\(10\)，\(-\frac{4}{5}\)，\(3\frac{1}{2}\)，\(-1.2\)，\(1\) }
方法总结：先判断数的正负性，正数（包括正整数和正分数）归入正有理数，负数（包括负整数和负分数）归入负有理数，0 单独一类。
幻灯片 8：两种分类方法的对比
分类标准
类别划分
特点
按定义分类
整数、分数
突出数的本质属性（是否为整数或分数）
按性质分类
正有理数、0、负有理数
突出数的正负特征
联系：两种分类方法没有对错之分，只是划分标准不同，但都包含所有有理数，且 0 在两种分类中都单独存在（按定义是整数，按性质是独立类别）。
幻灯片 9：易错点辨析
误区 1：认为 “分数就是小数” 或 “小数就是分数”。
辨析：有限小数和无限循环小数是分数，但无限不循环小数（如\(\pi\)）不是分数，也不是有理数。
误区 2：将 0 归为正有理数或负有理数。
辨析：0 既不是正数也不是负数，是有理数中独立的一类。
误区 3：认为 “整数只包括正整数和负整数”。
辨析：整数包括正整数、0 和负整数，0 是整数的重要组成部分。
误区 4：混淆 “正整数” 与 “自然数” 的概念。
辨析：在初中数学中，自然数通常指正整数和 0（即非负整数），而正整数不包括 0。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
下列说法正确的是（ ）
A. 有理数分为正整数、0 和负整数
B. 分数不是有理数
C. 0 是最小的有理数
D. 整数和分数统称为有理数
下列各数：\(-5\)，\(0.3\)，\(0\)，\(\frac{1}{7}\)，\(-1.2\)，\(8\)，\(-\frac{3}{2}\)中，属于负分数的是 {}，属于正有理数的是 {}。
有理数中，最小的正整数是______，最大的负整数是______。
答案
D（A 漏了分数，B 分数是有理数，C 没有最小的有理数）
负分数：{ \(-1.2\)，\(-\frac{3}{2}\) }；正有理数：{ \(0.3\)，\(\frac{1}{7}\)，\(8\) }
\(1\)，\(-1\)
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：
请写出 3 个既是负数又是分数的数：、、______。
下列说法是否正确？若不正确，请说明理由。
（1）所有整数都是有理数。
（2）所有有理数都是整数。
（3）所有分数都是有理数。
（4）所有小数都是有理数。
把下列各数填入相应的集合中：\(15\)，\(-\frac{1}{9}\)，\(-5\)，\(\frac{2}{15}\)，\(0.1\)，\(-5.32\)，\(-80\)，\(123\)，\(2.333\)
整数集合：{ }
分数集合：{ }
正有理数集合：{ }
负有理数集合：{ }
解答提示：
如\(-\frac{1}{2}\)，\(-0.3\)，\(-\frac{3}{4}\)（答案不唯一）。
（1）正确；（2）不正确，有理数还包括分数；（3）正确；（4）不正确，无限不循环小数不是有理数。
整数集合：{ \(15\)，\(-5\)，\(-80\)，\(123\) }；
分数集合：{ \(-\frac{1}{9}\)，\(\frac{2}{15}\)，\(0.1\)，\(-5.32\)，\(2.333\) }；
正有理数集合：{ \(15\)，\(\frac{2}{15}\)，\(0.1\)，\(123\)，\(2.333\) }；
负有理数集合：{ \(-\frac{1}{9}\)，\(-5\)，\(-5.32\)，\(-80\) }。
幻灯片 12：有理数分类的实际意义
知识梳理：通过分类可以将复杂的数系条理化，明确各类数之间的包含关系（如整数是有理数的一部分，正分数是正有理数的一部分）。
后续应用：在学习有理数的运算、大小比较等知识时，分类思想有助于我们分情况讨论，简化问题（如正数、负数、0 的运算规则不同）。
数学思想：分类是一种重要的数学思想，体现了 “化整为零、分别研究、整合结论” 的思维方法，在后续数学学习中会经常用到。
幻灯片 13：课堂小结
核心内容：有理数的两种分类方法 —— 按定义分为整数和分数，按性质分为正有理数、0 和负有理数。
关键概念：
整数包括正整数、0、负整数。
分数包括正分数、负分数（有限小数和无限循环小数属于分数）。
0 是有理数，但既不是正数也不是负数。
注意事项：分类时要遵循 “不重不漏” 的原则，即每个数都要归入相应类别，且不能重复归类。
幻灯片 14：课后作业
基础题
下列各数中，哪些是整数？哪些是分数？哪些是正有理数？哪些是负有理数？\(6\)，\(-3\)，\(0\)，\(\frac{1}{4}\)，\(-0.5\)，\(3.2\)，\(-1\frac{1}{2}\)，\(10\)
判断题（对的打 “√”，错的打 “×”）：
（1）0 是最小的整数。（ ）
（2）所有有理数都可以表示为分数。（ ）
（3）负分数一定是负有理数。（ ）
提高题
已知数\(a\)是正整数，数\(b\)是负分数，试写出符合条件的\(a\)和\(b\)，并说明它们属于有理数的哪一类。
请用圆圈图表示有理数、整数、分数、正有理数、负有理数之间的关系。
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1.2 有理数的分类
第一章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
观察：+2， －3，+8， －13，+20， －6，+290， －123，+20， －53，+22， －43，
这些数有什么特征？你能将这些数进行分类吗？说一说你分类的依据。
定义：像－3，－13，－6，－123，－53，－43等这种形式的数，它们都是在已学过的数(0除外）的前面添上“－”得到的，这样的数叫做负数；像－3，+20，+290，+20，+22等这种形式的数，它们都是在已学过的数(0除外）的前面添上“+”得到的，这样的数叫做正数；0既不是正数也不是负数。“+”号通常可以省略不写。
学生活动一 【一起探究】
思考：
（1）“－”为什么不能省略不写呢？
（2）结合小学学过的各种数，请任意写出10个正数，10个负数（形式尽量多样）
对表示具有相反意义的量有什么启发？
思考：你能将上述正负数再进行分类吗？说一说你分类的依据。
学生活动二 【探究有理数及分类】
例如：
正数： + 7， ，998 ，4 ，70 ， + 1.8% ， ， + 17，3.8 ， + .
负数： －9， －4.5， － ， －4， －2，－2.7%， －8， －2.7， －.
对表示具有相反意义的量有什么启发？
正整数：+ 7，998，4 ，70，+ 17
正分数： ， + 1.8% ， ，3.8 ， +
负整数： －9，－4，－2，－8
负分数： － 4.5， － ， －2.7%，－2.7， －
正整数、0、负整数统称为整数，
正分数和负分数统称为分数，
整数和分数统称为有理数。
思考：有理数有几种分类方法？说一说你的看法。
1.读出下列各数，并把它们填在相应的圈里.
－8 ， ，+7，－2.7， － ，3.8， + ，0
正数：
负数：
整数：
负分数：
，+7，
3.8，+
－8， －2.7 ，
－
－8， +7， 0
－2.7，－
2.判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”
类别 整数 正数 分数 负数 有理数
2025 √ √ √
－3.2
0
－12
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
3.填空
（1）非负数包括 和 ；
（2）既是分数又是负数的数是 ；
（3）非正数包括 和 ；
（4）非负整数包括 和 ，又称为 。
0
正数
负分数
0
负数
0
正整数
自然数
4.下列说法：
①0是整数； ②－1 是负分数；
③2π是有理数；④自然数一定是正数；
⑤负分数一定是负有理数.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
1. ［2025石家庄新华区月考］下列各数：0，， ，
，， （相邻两个1之间0的个数逐次
加1）， ，其中负数的个数是( )
B
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 在，，0，，， ，2，， 这些数中，有
理数有个，自然数有个，分数有个，则 的值为
( )
A
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
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3. 下列语句正确的有( )
①不带“-”号的数都是正数；
②如果是正数，那么 一定是负数；
③一个有理数不是正数就是负数；
④一个整数不是正整数就是负整数；
⑤非正数就是负数;
不是有理数,是整数.
B
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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4. 请写出一个既是整数，又是负数的有理
数:__________________.
（答案不唯一）
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5. 中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世
纪,摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法
是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵
横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数上划上斜线以
表示负数.如果 表示 ， 表示
，那么 表示________.
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6.把下列各数填在对应的大括号内：
，，0，，，，， ，
，，， .
正分数：{ …}；
负整数：{ …}；
整数：{ …}；
正有理数：{ …}；
负数：{ …}；
非负整数：{ …}；
分数：{ …}.
【解】正分数：,,,,… ；
负整数：,, ；
整数：,0,,,, ；
正有理数：,,,,,,… ；
负数：,,,, ；
非负整数：,,, ；
分数：,,,,,,… .
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7. ［2025保定模拟］如图，
某品牌乒乓球的产品参数中标
明球的直径是
，下列乒乓
球的直径中，不合格的是
( )
A
A. B.
C. D.
本节课我们研究了正数和负数及有理数的概念，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)有理数有几种分类方法？分别是什么？
(2)在学习有理数的过程中，你经历了什么？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！