1.3 绝对值与相反数 课件（共36张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.3 绝对值与相反数
副标题：理解数的几何意义与对称关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
生活中的问题：
小明家在学校东边 3 千米处，小红家在学校西边 3 千米处，若以学校为基准，如何表示两家的位置？它们到学校的距离有什么关系？
数轴上表示\(5\)和\(-5\)的点，到原点的距离有什么特点？表示\(2\)和\(-2\)的点呢？
思考问题：上述例子中，成对出现的数（如 3 和 - 3，5 和 - 5）有什么共同特征？它们到基准点（学校、原点）的距离有什么规律？这就是本节课要学习的绝对值与相反数。
幻灯片 3：绝对值的定义与几何意义
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。数\(a\)的绝对值记作\(|a|\)。
几何意义：绝对值表示的是数轴上某点到原点的 “距离”，距离没有方向，因此绝对值一定是非负数。
示例：
数轴上表示\(5\)的点到原点的距离是\(5\)，所以\(|5| = 5\)。
数轴上表示\(-3\)的点到原点的距离是\(3\)，所以\(|-3| = 3\)。
数轴上表示\(0\)的点到原点的距离是\(0\)，所以\(|0| = 0\)。
符号表示：\(|a|\)读作 “\(a\)的绝对值”，表示数\(a\)到原点的距离。
幻灯片 4：绝对值的性质与计算
性质总结：
正数的绝对值是它本身（若\(a > 0\)，则\(|a| = a\)）。
负数的绝对值是它的相反数（若\(a < 0\)，则\(|a| = -a\)）。
0 的绝对值是 0（若\(a = 0\)，则\(|a| = 0\)）。
任何有理数的绝对值都是非负数，即\(|a| \geq 0\)。
例题讲解 1：计算下列各数的绝对值。\(|3| = 3\)，\(|-7| = 7\)，\(|0| = 0\)，\(|2.5| = 2.5\)，\(|-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}\)。
方法技巧：求一个数的绝对值，只需看这个数是正数、负数还是 0，直接套用对应性质即可，结果一定是非负的。
幻灯片 5：相反数的定义与特征
定义：只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数。
特殊规定：0 的相反数是 0。
特征：
互为相反数的两个数，符号相反，绝对值相等（如\(5\)和\(-5\)，\(|5| = |-5| = 5\)）。
互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称（分居原点两侧，到原点的距离相等）。
一个数\(a\)的相反数记作\(-a\)（读作 “负\(a\)”），如\(3\)的相反数是\(-3\)，\(-2\)的相反数是\(2\)。
示例：\(6\)与\(-6\)互为相反数，\(-\frac{1}{2}\)与\(\frac{1}{2}\)互为相反数，\(0\)的相反数是\(0\)。
幻灯片 6：相反数的表示与性质
符号表示：若\(a\)与\(b\)互为相反数，则\(a = -b\)或\(b = -a\)，且\(a + b = 0\)（互为相反数的两数之和为 0）。
多重符号化简：
一个数前面有 “\(+\)” 号，可省略不写（如\(+5 = 5\)）。
一个数前面有奇数个 “\(-\)” 号，结果为负数（如\(-(+3) = -3\)，\(-(-2) = 2\)，\(-(-(-4)) = -4\)）。
一个数前面有偶数个 “\(-\)” 号，结果为正数（如\(-(-5) = 5\)，\(-(-(-(-6))) = 6\)）。
例题讲解 2：写出下列各数的相反数，并化简多重符号。\(5\)的相反数是\(-5\)；\(-3.2\)的相反数是\(3.2\)；\(-(+7) = -7\)；\(-(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}\)。
幻灯片 7：绝对值与相反数的关系
联系：
互为相反数的两个数，绝对值相等（如\(|a| = |-a|\)）。
绝对值相等的两个数，可能相等或互为相反数（如\(|5| = |5|\)，\(|5| = |-5|\)）。
区别：
绝对值是一个非负数，相反数是一个数（可正、可负、可零）。
绝对值表示距离，相反数表示符号相反的数。
示例：\(|6| = |-6| = 6\)（互为相反数的两数绝对值相等）；\(|x| = 4\)则\(x = 4\)或\(x = -4\)（绝对值相等的两数互为相反数）。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 绝对值的应用
题目：
若\(|x| = 5\)，则\(x = \)______。
若\(|a - 3| = 0\)，则\(a = \)______。
比较\(-| -2 |\)与\(-(-2)\)的大小。
解答步骤：
绝对值为 5 的数有两个，即\(5\)和\(-5\)，所以\(x = 5\)或\(x = -5\)。
绝对值为 0 的数只有 0，因此\(a - 3 = 0\)，解得\(a = 3\)。
化简：\(-| -2 | = -2\)，\(-(-2) = 2\)，因为\(-2 < 2\)，所以\(-| -2 | < -(-2)\)。
方法总结：绝对值等于某正数的数有两个，互为相反数；绝对值为 0 的数唯一，就是 0 本身。
幻灯片 9：例题讲解 4 - 相反数的应用
题目：
若\(a\)与\(b\)互为相反数，则\(a + b = \)；若\(x + 2\)与\(4 - x\)互为相反数，则\(x = \)。
已知\(|a| = 3\)，\(|b| = 5\)，且\(a\)与\(b\)互为相反数，求\(a\)和\(b\)的值。
解答步骤：
互为相反数的两数之和为 0，所以\(a + b = 0\)；
由题意得\((x + 2) + (4 - x) = 0\)，化简得\(6 = 0\)？（此处题目有误，应为\(x + 2\)与\(x - 4\)互为相反数）
修正后：\((x + 2) + (x - 4) = 0\)，解得\(x = 1\)。
由\(|a| = 3\)得\(a = 3\)或\(a = -3\)；由\(|b| = 5\)得\(b = 5\)或\(b = -5\)；
因为\(a\)与\(b\)互为相反数，所以\(a = 3\)时\(b = -3\)（不满足\(|b| = 5\)），矛盾；
正确应为题目条件修正为\(|a| = 5\)，则\(a = 5\)，\(b = -5\)或\(a = -5\)，\(b = 5\)。
注意事项：利用相反数的性质解题时，需结合绝对值的条件，确保结果符合所有已知信息。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
计算：\(| -9 | = \)，\(| 0.6 | = \)，\(-| -3 | = \)______。
写出下列各数的相反数：\(7\)的相反数是______，\(-\frac{1}{4}\)的相反数是______，\(-(+5) = \)______。
若\(|m| = | -4 |\)，则\(m = \)；若\(|x - 2| = 0\)，则\(x = \)。
答案
\(9\)，\(0.6\)，\(-3\)。
\(-7\)，\(\frac{1}{4}\)，\(-5\)。
\(4\)或\(-4\)；\(2\)。
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：
比较下列各组数的大小：
（1）\(| -5 |\)\(| 3 |\) （2）\(-| -2 |\)\(-( -2 )\) （3）\(| a |\)______\(0\)（\(a\)为有理数）
若\(a\)与\(b\)互为相反数，\(c\)与\(d\)互为相反数，且\(a = 3\)，则\(b = \)，\(c + d = \)。
已知\(|x| = 2\)，\(|y| = 3\)，且\(x > y\)，求\(x\)和\(y\)的值。
解答提示：
（1）\(>\)（\(5 > 3\)）；（2）\(<\)（\(-2 < 2\)）；（3）\(\geq\)（绝对值非负）。
\(b = -3\)（\(a\)的相反数）；\(c + d = 0\)（互为相反数之和为 0）。
由\(|x| = 2\)得\(x = 2\)或\(x = -2\)；由\(|y| = 3\)得\(y = 3\)或\(y = -3\)；
因为\(x > y\)，所以\(x = 2\)时\(y = -3\)；\(x = -2\)时\(y = -3\)，即\(x = \pm 2\)，\(y = -3\)。
幻灯片 12：易错点提醒
对绝对值的非负性理解不足，误认为\(|a| = a\)对所有数成立（忽略负数的绝对值是它的相反数，如\(|-5| = 5 = -(-5)\)）。
混淆相反数与倒数的概念，相反数是符号相反、绝对值相等的数，倒数是乘积为 1 的数（如\(2\)的相反数是\(-2\)，倒数是\(\frac{1}{2}\)）。
多重符号化简错误，如认为\(-(-(-4)) = 4\)（实际应为\(-4\)，奇数个负号结果为负）。
忽略 0 的特殊性，如认为 “0 没有相反数” 或 “\(|0| = 1\)”（正确应为 0 的相反数是 0，\(|0| = 0\)）。
解决绝对值方程时漏解，如由\(|x| = 3\)只得出\(x = 3\)，忽略\(x = -3\)。
幻灯片 13：课堂小结
核心概念：
绝对值：数轴上数\(a\)到原点的距离，记作\(|a|\)，具有非负性（\(|a| \geq 0\)）。
相反数：只有符号不同的两个数，记作\(a\)与\(-a\)，互为相反数的两数之和为 0（\(a + (-a) = 0\)）。
关键性质：
绝对值：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数，0 的绝对值是 0。
相反数：关于原点对称，绝对值相等，和为 0。
应用技巧：
求绝对值看符号，结果非负；求相反数变符号，0 不变。
多重符号化简：“负负得正，正负得负”，看负号个数（奇数个为负，偶数个为正）。
幻灯片 14：课后作业
基础题
计算：\(| -12 | = \)，\(-| 7.5 | = \)，\(| 0 | - | -3 | = \)______。
写出下列各数的相反数并化简：\(-( -6 ) = \)，\(-| -2.5 | = \)。
若\(|a| = 4\)，则\(a = \)；若\(a\)的相反数是\(-3\)，则\(a = \)。
提高题
已知\(|x - 1| + |y + 2| = 0\)，求\(x\)和\(y\)的值（提示：非负数之和为 0，则每个非负数均为 0）。
若\(a\)是负数，比较\(|a|\)与\(-a\)的大小，并说明理由。
在数轴上表示出绝对值小于 3 的所有整数，并写出它们的相反数。
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.3 绝对值与相反数
第一章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.思考：数轴三要素是什么？画数轴时应注意什么？
2. 如图：
（1）数轴上A、B、C、D、E表示的有理数分别是什么？
（2）这些数到原点的距离分别是多少？
定义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值用“| |”表示。
学生活动一 【探究绝对值的概念】
例1：
（1）在数轴上表示下列数：－4、－2.5、－2、
－1.5、1、+1.5、+2、3、3.5、4.
（2）观察表示这些数的点到原点的距离，并写出
这些数的绝对值。
解：|－4|=4 |－2.5|=2.5 |－2|=2 |－1.5|=1.5 |1|=1
|+1.5|=1.5 |+2|=2 |3|=3 |3.5|=3.5 |4|=4
思考：如何求一个数的绝对值？
步骤：①在数轴上用点表示这个有理数
② 求这个点到原点的距离
③ 写出这个数的绝对值。
思考：例1中有到原点的距离相等的点吗？请找出来，并说明这些数有什么特征？在数轴上的位置又有什么特征？（从数与形的角度考虑）
学生活动二 【探究相反数的概念】
到原点距离相等的点有：
－4与4，－2与2，－1.5与+1.5；
每组数的符号不同，绝对值相同；
在数轴上在原点的两侧，且到原点的距离相等。
定义： 像－4与4，－2与2，－1.5与+1.5这样符号不同，绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，这两个数互为相反数，0的相反数是0.
思考：（1）互为相反数的两个数在现实生活中有什么意义呢？举例说明。
（2）如何表示一个数的相反数呢？
有理数a的相反数可以表示为－a.
（3）设a是一个正数，数轴上与原点距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？
在数轴上，与原点距离是a的点有____个,
分别表示 和 .
2
a
－a
例2：先说出下列各数表示的意义，再化简下列各数：
－（－11），－（+2），－（－3.75），－（+），
－[－（－3）]，－[+(－2.3)]
解：－（－11）表示-11的相反数，故－（－11）=11；
－（+2）表示+2的相反数，故－（+2）=-2；
－（－3.75）表示－3.75的相反数，故－（－3.75）=－3.75；
－（+ ）表示+ 的相反数，故－（+ ）=－ ；
－[－（-3）]表示－3的相反数的相反数，故－[－（-3）]=－ 3；
－[+（－2.3）]表示－2.3的本身的相反数，故－[+（－2.3）]=2. 3
思考：上述化简的过程，你发现结果的符号有何规律？
如果一个数前面有奇数个“－”，结果为“－”；
如果一个数前面有偶数个“－”，结果为“＋”。
思考：求一个数的绝对值时，不画数轴能求吗？请结合例1进行思考。
说说你发现的规律？从哪几个方面考虑？
学生活动三 【探究绝对值的性质】
归纳总结：
一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.
如果有理数用a表示，则有：
当a是正数时，|a |=a；
当a=0时，|a |=0；
当a是负数时，|a |= －a。
思考：
如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是 ；如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是 。
非负数
非正数
若|a |=a，则a ；若|a |= －a，则a .
符号语言：
≥0
≤0
例3：求下列各数的绝对值
－2.5 ， 2.5 ， － ，
解：| －2.5|=2.5 |2.5|=2.5 | － ||=
1.如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等,那么点A表示的数是( )
A. －4 B. －2 C.0 D.4
B
2.下列各组数中互为相反数的是( )
A. －( － 5 )与 －｜－ 5｜ B.｜－ 3｜与｜+3｜
C. － (－ 1)与｜－ 1｜ D.｜m｜与｜－ m｜
A
3.某车间生产了一批圆形机器零件，从中抽取6个进行检查，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下表：
编号 1 2 3 4 5 6
结果 －0．3 －0．2 ＋0．3 ＋0．2 －0．4 －0．1
指出第几个零件好些？请用学过的绝对值知识来说明．
解：因为|－0.3|＝0.3，|－0.2|＝0.2，
|＋0.3|＝ | 0.3|， | ＋0.2|＝0.2，|－0.4|＝0.4，
|－0.1|＝0.1，
所以|－0.1|最小，即第6号零件更好些．
绝对值 越接近零件的标准尺寸，也就是说这个零件更好些．
越小
1. 数，，， 在数轴上对应点的位置
如图所示，这四个数中绝对值最小的是( )
B
A. B. C. D.
2. 下列各组数中，互为相反数的是( )
B
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
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3. ［2025张家口模拟］如图，若的相反数是，则表示
的点落在( )
C
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
【点拨】因为的相反数是 ，
所以 .
因为 ，
所以表示 的点落在段③.
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4. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，
绝对值越小表示信号越强，则下列信号（单位： ）最强
的是( )
D
A. B.
C. D.
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5.下列说法正确的有___个.
一定是负数；
②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等；
③若，则与 一定互为相反数；
④若，则 是非正数.
1
【点拨】因为，所以，故 一定是非
正数，故①错误；两个数相等或互为相反数时，它们的绝对
值相等，故②错误；若，则与互为相反数或 ，
故③错误；若，则，则 是非正数，故④正确.
故答案为1.
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6.若，则___；若，则 ____.
5
【点拨】因为，所以；因为 ，所
以，所以 .
返回
7. 和它的相反数之间的整数有___个.
8.［2025温州期中］如图（图中每小隔代表1个单位长度），
若点和点表示的数互为相反数，则点 表示的数是____.
1
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9.已知 为整数.
（1）有最____（填“大”或“小”）值是___，此时 ___.
（2） 有最____（填“大”或“小”）值是___，此时
___.
小
2
0
大
2
1
返回
10.若 ，求
的值.
【解】由题意，得，， ，解
得，， .
所以原式 .
返回
本节课我们研究了相反数与绝对值，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)如何求一个数的相反数？如何求一个数的绝对值？
(2)在学习相反数与绝对值的过程中，你经历了什么？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！