1.8.2 有理数的乘法运算律 课件（共28张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.8.2 有理数的乘法运算律
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握有理数的乘法交换律、结合律和分配律。
能够运用乘法运算律简化有理数的乘法运算。
体会运用运算律简化计算的便捷性，进一步培养运算能力。
幻灯片 3：复习回顾
回顾：上节课学习了有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。
问题：在进行多个有理数相乘时，按照从左到右的顺序计算可能不够简便，有没有类似加法运算律的乘法运算律可以简化计算呢？本节课我们就来探究有理数的乘法运算律。
幻灯片 4：乘法交换律探究
实例 1：计算 (+ 3) × ( + 5 ) 和 ( + 5 ) × ( + 3 ) 。
( + 3 ) × ( + 5 ) = 15 ；
( + 5 ) × ( + 3 ) = 15 。
结果：(+ 3) × ( + 5 ) = ( + 5 ) × ( + 3 ) 。
实例 2：计算 (- 4) × ( - 6 ) 和 ( - 6 ) × ( - 4 ) 。
( - 4 ) × ( - 6 ) = 24 ；
( - 6 ) × ( - 4 ) = 24 。
结果：(- 4) × ( - 6 ) = ( - 6 ) × ( - 4 ) 。
实例 3：计算 (- 2) × ( + 7 ) 和 ( + 7 ) × ( - 2 ) 。
( - 2 ) × ( + 7 ) = - 14 ；
( + 7 ) × ( - 2 ) = - 14 。
结果：(- 2) × ( + 7 ) = ( + 7 ) × ( - 2 ) 。
结论：两个有理数相乘，交换因数的位置，积相等。这就是有理数的乘法交换律，用字母表示为：a × b = b × a 。
幻灯片 5：乘法结合律探究
实例 1：计算 [(+ 2) × ( + 3 )] × ( + 4 ) 和 ( + 2 ) × [( + 3 ) × ( + 4 )] 。
[( + 2 ) × ( + 3 )] × ( + 4 ) = 6 × 4 = 24 ；
( + 2 ) × [( + 3 ) × ( + 4 )] = 2 × 12 = 24 。
结果：[(+ 2) × ( + 3 )] × ( + 4 ) = ( + 2 ) × [( + 3 ) × ( + 4 )] 。
实例 2：计算 [(- 5) × ( - 3 )] × ( + 2 ) 和 ( - 5 ) × [( - 3 ) × ( + 2 )] 。
[( - 5 ) × ( - 3 )] × ( + 2 ) = 15 × 2 = 30 ；
( - 5 ) × [( - 3 ) × ( + 2 )] = - 5 × ( - 6 ) = 30 。
结果：[(- 5) × ( - 3 )] × ( + 2 ) = ( - 5 ) × [( - 3 ) × ( + 2 )] 。
结论：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。这就是有理数的乘法结合律，用字母表示为：(a × b) × c = a × (b × c) 。
幻灯片 6：乘法分配律探究
实例 1：计算 (+ 5) × ( 2 + 4 ) 和 ( + 5 ) × 2 + ( + 5 ) × 4 。
( + 5 ) × ( 2 + 4 ) = 5 × 6 = 30 ；
( + 5 ) × 2 + ( + 5 ) × 4 = 10 + 20 = 30 。
结果：(+ 5) × ( 2 + 4 ) = ( + 5 ) × 2 + ( + 5 ) × 4 。
实例 2：计算 (- 3) × ( 4 - 6 ) 和 ( - 3 ) × 4 + ( - 3 ) × ( - 6 ) 。
( - 3 ) × ( 4 - 6 ) = - 3 × ( - 2 ) = 6 ；
( - 3 ) × 4 + ( - 3 ) × ( - 6 ) = - 12 + 18 = 6 。
结果：(- 3) × ( 4 - 6 ) = ( - 3 ) × 4 + ( - 3 ) × ( - 6 ) 。
结论：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。这就是有理数的乘法分配律，用字母表示为：a × (b + c) = a × b + a × c 。其逆用形式为：a × b + a × c = a × (b + c) 。
幻灯片 7：乘法运算律的应用原则
交换律与结合律应用：
把互为倒数的数结合相乘（乘积为 1）。
把能凑成整十、整百的数结合相乘。
把符号相同的数或便于约分的数结合相乘。
分配律应用：
当一个数与多个数的和或差相乘时，可运用分配律展开计算。
当式子是多个积的和或差，且各项有相同因数时，可逆用分配律简化计算。
幻灯片 8：例题 1—— 运用交换律和结合律简化计算
题目：计算：
（1）( - 8 ) × ( - 5 ) × ( - 0.125 ) ；
（2）( - \(\frac{1}{3}\) ) × ( - 6 ) × 2 × ( - \(\frac{1}{2}\) ) 。
解答过程：
（1）观察到 - 8 和 - 0.125 相乘可凑整，运用交换律和结合律。
原式 = [( - 8) × ( - 0.125 ) ] × ( - 5 ) （交换律和结合律）
= 1 × ( - 5 )
= - 5 。
（2）将便于约分的数结合相乘。
原式 = [ ( - \(\frac{1}{3}\) ) × ( - 6 ) ] × [ 2 × ( - \(\frac{1}{2}\) ) ] （交换律和结合律）
= 2 × ( - 1 )
= - 2 。
总结：合理运用交换律和结合律，将能简化计算的数优先结合相乘。
幻灯片 9：例题 2—— 运用分配律简化计算
题目：计算：
（1）( - 12 ) × ( \(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{6}\) ) ；
（2）3.14 × 15 + 3.14 × 45 + 3.14 × 40 。
解答过程：
（1）运用分配律展开计算。
原式 = (- 12) × \(\frac{1}{3}\) + ( - 12 ) × ( - \(\frac{1}{4}\) ) + ( - 12 ) × \(\frac{1}{6}\) （分配律）
= - 4 + 3 - 2
= - 3 。
（2）各项都有因数 3.14，逆用分配律。
原式 = 3.14 × (15 + 45 + 40) （逆用分配律）
= 3.14 × 100
= 314 。
总结：直接计算复杂时，分配律能将乘法转化为加法或简化因数，逆用分配律可提取公因式。
幻灯片 10：多个有理数相乘的符号规律
规律：几个不是 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：
负因数的个数是偶数时，积为正；
负因数的个数是奇数时，积为负。
示例：
(- 2) × 3 × ( - 4 ) ，负因数个数为 2（偶数），积为正，即 ( - 2 ) × 3 × ( - 4 ) = 24 。
(- 1) × ( - 2 ) × ( - 3 ) × 4 ，负因数个数为 3（奇数），积为负，即 ( - 1 ) × ( - 2 ) × ( - 3 ) × 4 = - 24 。
注意：几个数相乘，如果其中有因数为 0，积就为 0 。
幻灯片 11：例题 3—— 多个有理数相乘计算
题目：计算：(- 3) × ( - \(\frac{1}{2}\) ) × ( - \(\frac{1}{3}\) ) × ( - 4 ) 。
解答过程：
观察到负因数个数为 4（偶数），积为正；且 - 3 与 - \(\frac{1}{3}\) 相乘、 - \(\frac{1}{2}\) 与 - 4 相乘可简化。
原式 = [( - 3) × ( - \(\frac{1}{3}\) ) ] × [ ( - \(\frac{1}{2}\) ) × (- 4) ] （交换律和结合律）
= 1 × 2
= 2 。
总结：多个有理数相乘，先确定积的符号，再运用运算律将便于计算的数结合相乘。
幻灯片 12：运算律应用注意事项
运用乘法交换律交换因数位置时，要连同因数前面的符号一起交换。
分配律展开时，要将括号外的数与括号内的每一项都相乘，注意符号不要出错。
多个有理数相乘，若有一个因数为 0，则积为 0，可直接得出结果。
幻灯片 13：巩固练习
题目 1：计算：
（1）( - 5 ) × 6 × ( - \(\frac{1}{5}\) ) × ( - \(\frac{1}{6}\) ) ；
（2）( \(\frac{1}{2}\) - \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{3}{4}\) ) × ( - 12 ) ；
（3）99 × ( - 15 ) + 15 。
题目 2：某商店一周内每天的利润如下（盈利为正）：- 50 元，+ 30 元，- 10 元，+ 20 元，- 20 元，+ 40 元，- 10 元。用简便方法计算这一周的总利润。
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：
（1）( - 5 ) × 6 × ( - \(\frac{1}{5}\) ) × ( - \(\frac{1}{6}\) ) = [ ( - 5 ) × ( - \(\frac{1}{5}\) ) ] × [ 6 × ( - \(\frac{1}{6}\) ) ] = 1 × ( - 1 ) = - 1 ；
（2）( \(\frac{1}{2}\) - \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{3}{4}\) ) × ( - 12 ) = \(\frac{1}{2}\) × ( - 12 ) - \(\frac{2}{3}\) × ( - 12 ) + \(\frac{3}{4}\) × ( - 12 ) = - 6 + 8 - 9 = - 7 ；
（3）99 × ( - 15 ) + 15 = 15 × ( - 99 + 1 ) = 15 × ( - 98 ) = - 1470 。
题目 2 答案：(- 50) + 30 + ( - 10 ) + 20 + ( - 20 ) + 40 + ( - 10 ) = [ ( - 50 ) + ( - 10 ) + ( - 20 ) + ( - 10 ) ] + ( 30 + 20 + 40 ) = ( - 90 ) + 90 = 0（元），所以这一周总利润为 0 元。
幻灯片 14：课堂总结
乘法运算律：
交换律：a × b = b × a 。
结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 。
分配律：a × (b + c) = a × b + a × c （逆用：a × b + a × c = a × (b + c) ）。
多个有理数相乘符号规律：负因数个数为偶正奇负，有 0 则积为 0 。
应用技巧：合理结合、巧用分配，简化计算过程。
幻灯片 15：作业布置
教材课后对应习题，运用乘法运算律进行有理数乘法计算。
思考：如何灵活运用多种运算律解决复杂的有理数混合运算问题？
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.8.2 有理数的乘法运算律
第一章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
思考：（1）有理数的乘法法则是什么？
（2）进行有理数的乘法运算的运算步骤是什么？
两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，
任何数同0相乘，仍得0．
①先判断同号、异号或是同0相乘；②再确定积的符号；
③最后将绝对值相乘
（3）小学学过哪些乘法的运算律？
乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律.
思考：小学学过的乘法运算律，在有数范围内适用吗？
请设计研究思路，并进行研究.
由特殊到一般的方法
学生活动一 【一起探究】
问题一：在有理数的范围内，乘法交换律是否仍然适用？
（1） （－4）×8＝_______，8×（－4）＝________.
（2） （－5）×（－7）＝_______，
（－7）×（－5）＝_______.
－32
－32
35
35
思考：你能得到什么结论？你能用语言表达这一结论吗？
乘法交换律：ab＝ba.
问题二：在有理数的范围内，乘法结合律是否仍然适用？
（1）[（－3）×2]×（－5）＝_____×（－5）＝______ ，
（－3）×[2×（－5）]＝（－3）×_____＝_______.
（2） [（－4）× （－）] ×（－6）＝ _____ ×（－6）＝ _____，
（－4）× [（－）× （－）] ＝（－4）× _____ ＝ _____.
－6
30
－10
30
2
－12
－3
－12
思考：你能得到什么结论？你能用语言表达这一结论吗？
乘法结合律：(ab)c＝a(bc).
问题三：在有理数的范围内，乘法对加法的分配律是否仍然适用？
（1） （－6）× [＋（－）] ＝_____ ，
（－6）× +（－6）×（－） ＝_______.
思考：你能得到什么结论？你能用语言表达这一结论吗？
－1
－1
乘法分配律：a（b+c）＝ab+ac.
例1：计算
（1）(－0.25)××(－4)；
（2） (－8)×(－6)×(－0.5)×.
学生活动二 【探究乘法运算律的应用】
解:(1)　(－0.25)××(－4)
=(－0.25)×(－4)×(乘法交换律)
=[(－0.25)×(－4)]×(乘法结合律)
=1×
=－.
(2)　(－8)×(－6)×(－0.5)×
=(－8)×(－0.5)×(－6)×(乘法交换律)
=[(－8)×(－0.5)]×(乘法结合律)
=4×(－2)
=－8.
例2 计算
（－24）×（ －＋ ＋ ）
解：(－24)×
=(－24)×+(－24)×+(－24)×(乘法分配律)
=16－18－2
=－4.
思考：观察下面各式的积，它们的积是正的还是负的？
（1）1×2×3×4
（2）（－1）×2×3×4
（3）（－1）×（－2）×3×4
（4）（－1）×（－2）×（－3）×4
（5）（－1）×（－2）×（－3）×（－4）
+
－
+
－
+
积的符号与什么因素有关系？什么关系？
学生活动三 【探究多个有理数相乘积的符号规律】
归纳总结：
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由．
7.8×（8.1）×0×（19.6）
归纳总结：
几个数相乘，如果有一个因数为0，积就为0.
1.算式(－12)×=(－12)×+(－12)×中,运用了 ( D )
A.加法交换律 B.加法结合律
C.乘法交换律 D.乘法对加法的分配律
2.如果4个数的乘积为负数,那么这4个数中,正数有 ( B )
A.1个或2个 B.1个或3个
C.2个或4个 D.3个或4个
1. 下列运算过程中，有错误的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
2. 小康在计算一道老师布置的作业题：计
B
A. B. C. 53 D. 95
算 时，
老师告诉他，被|盖住的数是, ,53,95其中一个，并且
这道题直接计算非常简便，则算式中被|盖住的数是( )
返回
3. 如图，这6个方格中每个方格里都有一个数，且每相邻三
个数之积为6，则 的值为( )
2
B
A. B. C. 1 D. 2
4.四个有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中，
正数有______个.
1或3
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5.若4个不相等的正整数,,, 满足
，则 ____.
24
【点拨】因为，,, 是4个不相等的正整数，
，
所以四个括号内的值分别是， .
不妨令,,, ，
解得,,, ，
所以 .
返回
6.已知，，，， 五个数，取其中任意三个数，
积最小是_____.
返回
7.计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式
.
（3） .
原式
.
返回
8. 在整数， ，0，6，2中，若选取两个整数分别
填入“”的和 中，并使等式成立，则填入“ ”
的数有( )
D
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
9. 若，则 的值可表示为
( )
B
A. B.
C. D.
返回
10. 如图，数轴上点，，， 所表示
的数分别是，，，，若， ，则原点的
位置在( )
D
A. 点的左边 B. 线段 上
C. 线段上 D. 线段 上
本节课我们研究了有理数的乘法运算律，请同学们带着以下问题进行总结：
（1）有理数的乘法运算律有哪些？如何确定多个有理数相乘积的符号？
（2）在学习有理数的乘法运算律的过程中，你经历了什么？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！