1.10 有理数的乘方 课件（共24张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.10 有理数的乘方
幻灯片 2：学习目标
理解有理数乘方的定义，掌握乘方的表示方法及各部分名称。
能够熟练进行有理数的乘方运算，掌握乘方运算的符号规律。
体会从特殊到一般的数学思想，感受乘方在简化运算中的作用。
幻灯片 3：情境引入
情境 1：边长为 5 的正方形，它的面积是多少？列式：5×5 = 25 。
情境 2：棱长为 3 的正方体，它的体积是多少？列式：3×3×3 = 27 。
情境 3：某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个，经过 5 小时，这种细胞由 1 个能分裂成多少个？（1 个细胞 30 分钟后分裂为 2 个，1 小时后分裂为 2×2 个，1.5 小时后分裂为 2×2×2 个……5 小时共分裂 10 次，列式：2×2×…×2（10 个 2 相乘））
引入：像这样多个相同因数的乘法运算，是否有更简便的表示方法？这就是本节课要学习的有理数的乘方。
幻灯片 4：乘方的定义
定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
表示方法：n 个 a 相乘，记作\(a^n\)，即\(a\times a\times\cdots\times a\)（n 个 a）\(=a^n\) 。
各部分名称：在\(a^n\)中，a 叫做底数，n 叫做指数，\(a^n\)读作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次幂”。
示例：在\(5^2\)中，底数是 5，指数是 2，读作 “5 的 2 次方” 或 “5 的平方”，表示 2 个 5 相乘，即\(5^2=5\times5=25\)；在\(3^3\)中，底数是 3，指数是 3，读作 “3 的 3 次方” 或 “3 的立方”，表示 3 个 3 相乘，即\(3^3=3\times3\times3=27\)。
幻灯片 5：乘方的读写与意义
读写示例：
\((-2)^4\)读作 “-2 的 4 次方” 或 “-2 的 4 次幂”，表示 4 个 - 2 相乘，即\((-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\) 。
\(-2^4\)读作 “2 的 4 次方的相反数”，表示\(-(2\times2\times2\times2)\) （注意与\((-2)^4\)的区别）。
\(\left(\frac{3}{4}\right)^2\)读作 “\(\frac{3}{4}\)的 2 次方”，表示 2 个\(\frac{3}{4}\)相乘，即\(\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}\) 。
意义强调：乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果；指数 n 表示相同因数的个数，底数 a 表示相同的因数。
幻灯片 6：有理数乘方运算的符号规律探究
实例 1（正数的乘方）：
\(2^1=2\)，\(2^2=4\)，\(2^3=8\)，\(2^4=16\)…… 结果都是正数。
结论：正数的任何次幂都是正数。
实例 2（负数的乘方）：
\((-2)^1=-2\)，\((-2)^2=4\)，\((-2)^3=-8\)，\((-2)^4=16\)，\((-2)^5=-32\)……
观察：当指数是奇数时，结果为负数；当指数是偶数时，结果为正数。
结论：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
实例 3（0 的乘方）：
\(0^1=0\)，\(0^2=0\)，\(0^3=0\)…… 结果都是 0。
结论：0 的任何正整数次幂都是 0。
幻灯片 7：乘方运算符号规律总结
正数：正数的任何次幂都是正数。
负数：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
0：0 的任何正整数次幂都是 0。
记忆口诀：正数乘方皆为正，负数乘方看指数，奇次幂负偶次正，0 的正幂都是 0。
幻灯片 8：例题 1—— 乘方的基本运算
题目：计算：
（1）\(3^4\) ；
（2）\((-2)^3\) ；
（3）\(-2^4\) ；
（4）\(\left(-\frac{1}{2}\right)^2\) ；
（5）\(0^{10}\) 。
解答过程：
（1）\(3^4=3\times3\times3\times3=81\) ；
（2）\((-2)^3=(-2)\times(-2)\times(-2)=-8\) （负数的奇次幂为负）；
（3）\(-2^4=-(2\times2\times2\times2)=-16\) （注意与\((-2)^4\)的区别）；
（4）\(\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\left(-\frac{1}{2}\right)\times\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\) （负数的偶次幂为正）；
（5）\(0^{10}=0\) （0 的正整数次幂为 0）。
总结：计算乘方时，先确定底数和指数，再根据符号规律确定结果的符号，最后计算绝对值的乘方。
幻灯片 9：例题 2—— 较复杂的乘方运算
题目：计算：
（1）\((-1)^{2023}\) ；
（2）\(-(-3)^2\) ；
（3）\(\left(\frac{2}{3}\right)^3\times\left(-\frac{3}{4}\right)^2\) 。
解答过程：
（1）\((-1)^{2023}=-1\) （-1 的奇次幂为 - 1）；
（2）\(-(-3)^2=-(9)=-9\) （先算乘方，再算相反数）；
（3）\(\left(\frac{2}{3}\right)^3\times\left(-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{8}{27}\times\frac{9}{16}=\frac{1}{6}\) （分别计算乘方，再算乘法）。
总结：含有多个运算时，要遵循运算顺序，先算乘方，再算乘除；注意区分底数的符号和整体的符号。
幻灯片 10：乘方运算的注意事项
底数是负数或分数时，必须用括号将底数括起来，例如\((-2)^3\)不能写成\(-2^3\)，\(\left(\frac{1}{2}\right)^2\)不能写成\(\frac{1}{2}^2\) 。
指数是 1 时，通常省略不写，例如\(a^1=a\) 。
不要将乘方与乘法混淆，乘方是特殊的乘法（相同因数的乘法），但运算结果和意义不同。
计算\(-a^n\)时，要明确是 a 的 n 次方的相反数，而不是\(-a\)的 n 次方（除非有括号）。
幻灯片 11：巩固练习
题目 1：计算：
（1）\((-4)^2\) ；
（2）\(-3^3\) ；
（3）\(\left(-\frac{2}{5}\right)^3\) ；
（4）\(1^{2024}\) ；
（5）\(-(-1)^5\) 。
题目 2：一个数的平方等于它本身，这个数是多少？一个数的立方等于它本身，这个数是多少？
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：
（1）\((-4)^2=16\) ；
（2）\(-3^3=-27\) ；
（3）\(\left(-\frac{2}{5}\right)^3=-\frac{8}{125}\) ；
（4）\(1^{2024}=1\) ；
（5）\(-(-1)^5=-(-1)=1\) 。
题目 2 答案：平方等于它本身的数是 0 和 1；立方等于它本身的数是 0、1 和 - 1。
幻灯片 12：课堂总结
乘方定义：n 个相同因数 a 的积的运算，记作\(a^n\)，其中 a 是底数，n 是指数，结果是幂。
符号规律：正数的任何次幂为正；负数奇次幂为负，偶次幂为正；0 的正整数次幂为 0。
注意事项：底数为负数或分数时需加括号，区分\(-a^n\)与\((-a)^n\)的意义。
幻灯片 13：作业布置
教材课后对应习题，进行有理数乘方计算练习。
思考：有理数的混合运算中，乘方与其他运算的顺序是怎样的？
2024冀教版数学七年级上册
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1.10 有理数的乘方
第一章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔高度是8844.43米.
把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰.
阅读下面一段话，讨论这个说法是否正确.
有一张超级大超级大的纸。这一张纸的厚度是A4纸的厚度0.088毫米，把这个纸对折一次裁开然后叠在一块，不停的对折，第二次的时候一共有四层，厚度就变成了0.352毫米，叠了三次大约是0.7毫米，到第23次对折的时候它有多高呢，是628米很高！到27次的时候它的高度已经达到了11811米，还比珠穆朗玛峰高不少，地球到月球的距离的是38.4万公里，当我们折到42次时候已经达到38.7万公里，已经达到了月球了。
尝试列出每一次的算式.
对折2次可裁成4层，即2×2层；
对折3次可裁成8层，即2×2×2层；
问题：若对折10次共几层？请用一个算式表示（不用算出结果）
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
问题：若对折100次呢？
学生活动一 【一起探究】
上述式子有简便的记法吗？
2×2 =22
2×2×2=23
……
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=210
……
2×2×2……2×2=2100
100个
根据你的经验，填空：
①5×5×5记作_________，3×3×3×3记作_________．
②（－4）×（－4）×（－4）×（－4）记作________．
（－）×（－）×（－）记作__________ ．
③a×a记作_________， a×a×a记作_________，
记作_________．
53
34
（－4）4
（－ ）3
a2
a3
an
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果an叫做幂．a叫做底数，n叫做指数。
an
底数
指数
幂
an读做“ a的n次方”，或读做“a的n次幂”．
1.读出下列各数，并指出底数、指数和幂：
（－2）3， 42， 54，－26，6，（－ ）4
2.计算：（1）（－2）3 （2）（－ ）4 （3）－26
解：（1）（－2）3=（－2）×（－2）×（－2）=－8
（2） （－ ）4=（－ ）（－ ）（－ ）（－ ）=+
（3）－26= －2×2×2×2×2×2=－64
思考：－26的底数是多少？它与（－2）6表示的意义相同吗？
底数 指数 意义
－26
(－2)6
2
－2
6
6
6个2相乘的相反数
6个－2相乘的积
学生活动二 【一起探究】
31 32 33 34 24 25 …
…
计算，填表：
3
9
27
81
16
32
学生活动三 【探究幂的符号法则】
（－2）1 （－2）2 （－2）3 （－2）4 （－2）5 （－2）6 …
…
－2
4
－8
16
－32
64
31 32 33 34 24 25 …
…
3
9
27
81
16
32
你发现了什么规律？
正数的任何次幂都是正数，
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
归纳总结：
不计算，判断下列幂的符号：
（1）(－5)5 （2）(－3)8 （3）(－8)7 （4）(+5)9
负
正
负
正
1.下列关于－74的说法正确的是（ ）
A.底数是－7 B.表示4个－7相乘
C.表示4个7相乘的相反数
D.表示7个－4相乘
C
2.下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A.－23与（－2)3 B.｜－22｜与－(－22)
C.－34与（－3)4 D.102与210
C
3.某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．请问3小时后1个细胞可以分裂成多少个细胞？
解：30分钟=0.5小时
3÷0.5=6
26=2×2×2×2×2×2=64
∴3小时后1个细胞可以分裂成64个细胞。
1. ［2025沧州期末］下列计算结果不相等的是( )
D
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
2. 当是正整数时， ( )
B
A. 2 B. C. 0 D. 2或
3. ［2025承德模拟］ ( )
A
A. B. C. D.
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4. 如图，某种细胞每过 便由1个分
裂成2个.经过 ，这种细胞能由1个分裂成( )
D
A. 12个 B. 个
C. 个 D. 个
5.已知有理数，满足，则 ____.
16
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6.已知，，，那么，， 的
大小关系为__________.（用“ ”连接）
【点拨】因为， ，
，
所以 .
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本节课我们研究了有理数的乘方及幂的符号法则，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)an中底数和指数分别是什么？表示的意义是什么？
（ －a）n与 －an有什么区别？如何确定幂的符号？
(2)在学习有理数的乘方的过程中，你经历了什么？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！