2.7 角的和与差 课件（共35张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.7 角的和与差
幻灯片 2：学习目标
理解角的和与差的概念，能结合图形表示角的和与差关系。
掌握角平分线的定义及性质，能运用角平分线进行角的计算。
培养利用图形分析角之间关系的能力，提高几何推理的准确性。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的角和差
展示图片：把两个三角尺的角拼在一起形成的新角（和）、用一个大角减去一个小角得到的剩余角（差）。
提问：用两个已知角可以拼成一个新角，这个新角的度数与原来两个角的度数有什么关系？从一个大角中去掉一个小角，剩余角的度数又如何计算？
引入：和线段的和与差类似，角也存在和与差的关系，本节课我们将学习角的和与差的表示方法及相关计算。
幻灯片 4：角的和
概念：如图，射线 OB 在∠AOC 的内部，那么∠AOC 的度数等于∠AOB 与∠BOC 的度数之和，记作∠AOC = ∠AOB + ∠BOC。
图形表示：（配图：∠AOC内部有射线 OB，形成∠AOB 和∠BOC，标注三个角）
说明：因为 OB 在∠AOC 内部，所以∠AOC 是由∠AOB 和∠BOC 组合而成的，因此∠AOC 的度数是∠AOB 与∠BOC 度数的和。
几何语言：∵ 射线 OB 在∠AOC 内部，∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC。
实例：若∠AOB = 30°，∠BOC = 40°，则∠AOC = 30° + 40° = 70°。
幻灯片 5：角的差
概念：如图，射线 OB 在∠AOC 的内部，那么∠AOB 的度数等于∠AOC 与∠BOC 的度数之差，记作∠AOB = ∠AOC - ∠BOC；∠BOC 的度数等于∠AOC 与∠AOB 的度数之差，记作∠BOC = ∠AOC - ∠AOB。
图形表示：（同角的和的配图，标注三个角）
说明：从∠AOC 中去掉∠BOC，剩下的部分就是∠AOB；去掉∠AOB，剩下的部分就是∠BOC。
几何语言：∵ 射线 OB 在∠AOC 内部，∴ ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC，∠BOC = ∠AOC - ∠AOB。
实例：若∠AOC = 70°，∠BOC = 40°，则∠AOB = 70° - 40° = 30°；若∠AOC = 70°，∠AOB = 30°，则∠BOC = 70° - 30° = 40°。
幻灯片 6：角平分线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
图形表示：（配图：∠AOB 的平分线 OC，标注∠AOC = ∠COB）
说明：射线 OC 是∠AOB 的平分线，它将∠AOB 分成两个度数相等的角。
几何语言：
∵ OC 是∠AOB 的平分线，∴ ∠AOC = ∠COB = \(\frac{1}{2}\)∠AOB（或∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB）。
反之，∵ ∠AOC = ∠COB（且 OC 在∠AOB 内部），∴ OC 是∠AOB 的平分线。
实例：若 OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB = 80°，则∠AOC = ∠COB = 40°。
幻灯片 7：利用图形分析角和差关系
步骤：
第一步：观察图形，确定各射线的位置关系（是否在角的内部，是否为角平分线等）。
第二步：根据位置关系，写出角之间的和差关系式或角平分线性质式。
第三步：代入已知角的度数，计算未知角的度数。
实例：如图，∠AOB = 100°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠AOC 的平分线，求∠COD 的度数。（配图：∠AOB 内有 OC、OD 两条射线，OC 平分∠AOB，OD 平分∠AOC）
分析：OC 平分∠AOB→∠AOC = 50°；OD 平分∠AOC→∠COD = 25°。
计算：∠COD = \(\frac{1}{2}\)∠AOC = \(\frac{1}{2}\)×(\(\frac{1}{2}\)∠AOB) = \(\frac{1}{4}\)×100° = 25°。
幻灯片 8：例题 1—— 基本的角和差计算
题目：如图，∠AOB = 65°，∠BOC = 25°，求∠AOC 的度数。
解答过程：
（配图：∠AOC 内有射线 OB，形成∠AOB 和∠BOC）
∵ 射线 OB 在∠AOC 内部，∴ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC（角的和）。
代入数值：∠AOC = 65° + 25° = 90°。
总结：明确射线在角内部的位置关系，直接利用角和的关系式计算。
幻灯片 9：例题 2—— 含角平分线的和差计算
题目：已知∠AOB = 120°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠BOC 的平分线，求∠AOD 的度数。
解答过程：
（配图：∠AOB 内有 OC、OD 两条射线，OC 平分∠AOB，OD 平分∠BOC）
∵ OC 是∠AOB 的平分线，∠AOB = 120°，∴ ∠AOC = ∠BOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB = 60°（角平分线性质）。
∵ OD 是∠BOC 的平分线，∴ ∠BOD = ∠COD = \(\frac{1}{2}\)∠BOC = 30°（角平分线性质）。
计算∠AOD：∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 60° + 30° = 90°（角的和）。
总结：多次运用角平分线性质确定部分角的度数，再通过角的和求出目标角。
幻灯片 10：例题 3—— 角的差的综合应用
题目：如图，∠AOC = 110°，∠BOC = 40°，OD 是∠AOB 的平分线，求∠AOD 的度数。
解答过程：
（配图：∠AOC 内有射线 OB，OD 平分∠AOB）
首先计算∠AOB 的度数：∵ 射线 OB 在∠AOC 内部，∴ ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 110° - 40° = 70°（角的差）。
∵ OD 是∠AOB 的平分线，∴ ∠AOD = \(\frac{1}{2}\)∠AOB = \(\frac{1}{2}\)×70° = 35°（角平分线性质）。
总结：先利用角的差求出中间角的度数，再结合角平分线性质计算目标角。
幻灯片 11：例题 4—— 复杂图形中的角和差
题目：如图，点 A、O、B 在同一直线上，OC 是∠AOD 的平分线，∠COD = 35°，求∠BOD 的度数。
解答过程：
（配图：直线 AB 上有一点 O，OC、OD 是射线，OC 平分∠AOD）
∵ OC 是∠AOD 的平分线，∠COD = 35°，∴ ∠AOD = 2∠COD = 70°（角平分线性质）。
∵ 点 A、O、B 在同一直线上，∴ ∠AOB = 180°（平角定义）。
计算∠BOD：∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 70° = 110°（角的差）。
总结：结合平角等特殊角的度数，利用角的差关系求解，注意图形中隐含的特殊角。
幻灯片 12：易错点提醒
确定射线的位置是关键，射线在角的内部还是外部，会影响角和差关系式的建立，需仔细观察图形。
运用角平分线性质时，要明确角平分线平分的是哪个角，避免混淆不同角的平分线。
计算角度时要注意单位的一致性，结果需带单位 “°”。
涉及平角、周角等特殊角时，要牢记它们的度数（平角 = 180°，周角 = 360°），并灵活运用。
幻灯片 13：巩固练习
题目 1：∠AOB = 80°，∠BOC = 30°，且 OC 在∠AOB 内部，求∠AOC 的度数。
题目 2：∠AOB = 150°，OC 平分∠AOB，OD 平分∠AOC，求∠BOD 的度数。
题目 3：如图，∠AOC = 90°，∠BOD = 90°，∠AOB = 25°，求∠COD 的度数。（配图：∠AOC 和∠BOD 有公共顶点 O，OB 在∠AOC 内部）
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：∵ OC 在∠AOB 内部，∴ ∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 80° - 30° = 50°。
题目 2 答案：∵ OC 平分∠AOB，∠AOB = 150°，∴ ∠AOC = ∠BOC = 75°。∵ OD 平分∠AOC，∴ ∠AOD = 37.5°。∴ ∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 150° - 37.5° = 112.5°。
题目 3 答案：∵ ∠AOC = 90°，∠AOB = 25°，∴ ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 65°。∵ ∠BOD = 90°，∴ ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 90° - 65° = 25°。
幻灯片 14：课堂总结
角的和：若射线 OB 在∠AOC 内部，则∠AOC = ∠AOB + ∠BOC。
角的差：若射线 OB 在∠AOC 内部，则∠AOB = ∠AOC - ∠BOC，∠BOC = ∠AOC - ∠AOB。
角平分线：将角分成两个相等的角，性质为∠AOC = ∠COB = \(\frac{1}{2}\)∠AOB（OC 是∠AOB 平分线）。
解题步骤：观察图形确定射线位置→写出和差关系式或角平分线性质式→代入已知度数计算→得出结果。
核心能力：准确分析图形中角的位置关系，灵活运用和差关系与角平分线性质。
幻灯片 15：作业布置
教材课后对应习题，练习角的和与差及角平分线相关计算。
如图，∠AOB = 100°，OC 是∠AOB 外部的一条射线，∠BOC = 30°，求∠AOC 的度数。（配图提示：OC 在∠AOB 外部）
自己画一个角，作出它的角平分线，测量并验证角平分线将角分成两个相等的角。
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.7 角的和与差
第二章 几何图形的初步认识
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
线段可以比较长短，可以进行线段的和差运算；类似地，角可以比较大小，也可以进行角的和差运算，那么如何进行和差运算呢？
你们能用手中三角板拼出哪些角度的角？如何拼的？
拼出的角如何表示？小组合作完成，汇报展示.
学生活动一【三角板拼角】
如图，在∠AOB的内部做射线OC，思考下列问题：
（1）如图，图中都有哪些角？
（2）这些角之间有怎样的关系？
学生活动二【角的和与差】
在∠AOB的内部做射线，有没有特殊的线？特殊的原因？
角的平分线定义：
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线．
学生活动三【角的平分线】
（文字语言）射线OP是∠AOB的平分线．
（图形语言）如图，
（符号语言）∠AOP=∠BOP
∠AOP＝∠AOB，∠BOP＝∠AOB,
∠AOB=2∠AOP， ∠AOB=2∠BOP
拿出半透明纸，在纸上画出一个角，你能不能折出这个角的平分线？（实际操作，并说一说你是怎样折的？）
(1)在半透明纸上画出∠AOB.
(2)折纸时,过顶点,使角的两边重合.
(3)把纸展开,以O为端点,沿折痕画射线OP,如图所示.
1.如果∠AOC=∠DOB ，那么∠AOD与 ∠COB相等吗？说明理由 .
学生活动四【探究角的基本模型】
2.如图： 已知OP是∠AOC 的平分线 ， OQ是 ∠COB的平分线。
（1）已知∠POC=21 °，求∠AOC的度数。
（2）已知∠BOC=40 °，求∠COQ的度数。
（3）∠AOB=82 ° 请指明∠POQ的度数，并说明理由
解:(1)因为OP是∠AOC的平分线,∠POC=21°,
所以∠AOC=2∠POC=42°.
(2)OQ是∠COB的平分线,∠BOC=40°,
所以∠COQ=∠COB=×40°=20°.
(3)因为OP是∠AOC的平分线,OQ是∠COB的平分线,
所以∠POC=∠AOC,∠COQ=∠COB.
所以∠POQ=∠POC+∠COQ=∠AOC+∠COB
=(∠AOC+∠COB)=∠AOB.
因为∠AOB=82°,所以∠POQ=×82°=41°.
如图，已知∠1＝103°24′28" ，∠2＝ 30°54"，
求∠1+∠2 和∠1－∠2 的度数 .
学生活动五【角的和与差的计算】
∠1+∠2 ＝ 103°24′28" ＋30°54" .
103°24′ 28"
＋30° 54"
133°24′ 82"
所以∠1+∠2 ＝ 133°25′22" .
(82" ＝ 1′22" )
解：
∠1 － ∠2 ＝ 103°24′28" ＋30°54" .
103°24′ 28"
－30° 54"
73°23′ 34"
所以∠1-∠2 ＝ 73°23′ 34"
(24′28"＝ 23′88")
解：
解： ∠1+ ∠2=22°17′+∠2=90°
∠3+∠4=124°15′+55°45′=180°
计算：
（1）若∠1=22°17′ ，∠2=67°43′， 求∠1+ ∠2？
（2）若∠3=124°15′ ， ∠4=55°45′，求∠3+ ∠4？
学生活动六【余角与补角】
如果两个角的和等于90 °，那么就说这两个角互为余角，简称互余．其中一个角叫做另一个角的余角．
如果两个角的和等于180 °，那么就说这两个角互为补角，简称互补．其中一个角叫做另一个角的补角．
∵∠α+∠β=90°
∴∠α与∠β互为余角
∵∠α+∠β=180°
∴∠α与∠β互为补角
数学语言：
在图（1）中，∠AOB=90°；在图⑵中，∠DSE=180°．
写出互为余角、互为补角的角。
解:∠AOC与∠BOC互为余角,∠DSF与∠ESF互为补角.
一起探究
1．如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等吗
试着说说理由．
2．如果∠3和∠4都是∠β的补角，那么∠3和∠4相等吗
试着说说理由．
性质：
同角（或等角）的余角相等，
同角（或等角）的补角相等
1.如图,已知∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,请写出∠1,∠2,∠3,∠4中的等量关系,并试着说说理由.
解:∠1=∠2,∠3=∠4.
理由:因为∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,
所以∠1=∠2.
因为∠1+∠3=90°,∠1+∠4=90°,所以∠3=∠4(同角的余角相等).
2.如图，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1＋∠2＝180°. 找出图中与∠2相等的角，并说明理由.
解：因为∠1＋∠3＝180°，
∠1＋∠2＝180°，所以∠3＝∠2.
因为∠1＋∠4＝180°，∠1＋∠2＝180°，
所以∠4＝∠2.
因为∠2＋∠5＝180°，∠6＋∠5＝180°，
所以∠2＝∠6.
所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.
（第1题）
1. 根据如图所示，下列式子错误的是( )
A
A.
B.
C.
D.
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（第2题）
2. ［2024广东］如图，一把直尺、
两个含 的三角板拼接在一起，
则 的度数为( )
C
A. B.
C. D.
3. 两个角的度数之比是，它们的差是 ，则这两个角
的关系是( )
B
A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 无法判断
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4. 计算：
（1） ________；
（2） __________.
（第5题）
5.如图，已知 ，
，则 的度数为____.
6.与互余，与互补， ,那么 ______.
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7.如图，有一长方形纸片,为 边的中点，将纸片沿
,折叠，使点落在点处，点落在点 处.若
，则 ______.
（第7题）
（第7题）
【点拨】因为 ，所以
.由折叠的性质可得 平分
，平分，所以 .
所以 .
（第7题）
返回
8. 已知 ，以 为端点作射线
，使 ，则 ___________.
或
【点拨】当射线在 的内部时，
；当射线 在
的外部时，
.综上，
或 .
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9.［2025保定期末］如图，是的平分线，是
的平分线. ， .求 的度数.
【解】因为 ， ，
所以 .
因为是的平分线，是 的平
分线，
所以 ，
.
所以 .
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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