3.2.3 列代数式解决较复杂的实际问题 课件（共16张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

幻灯片 1：封面
标题：3.2.3 列代数式解决较复杂的实际问题
幻灯片 2：学习目标
能从较复杂的实际问题中梳理多层数量关系，并用代数式准确表示。
掌握拆解复杂问题的方法，学会分步分析并列出代数式。
提升运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学建模意识。
幻灯片 3：情境引入 —— 复杂问题的挑战
展示场景：
某公司员工的月薪由基本工资、绩效工资和全勤奖组成，基本工资为 2500 元，绩效工资是当月销售额的 3%，全勤奖为 300 元（当月无缺勤时获得）。若某员工当月销售额为 s 元且全勤，他的月薪是多少元？
为准备运动会，学校购买了一批运动器材，篮球每个 85 元，足球每个比篮球贵 15 元，排球每个比足球便宜 20 元。若购买了 a 个篮球、b 个足球和 c 个排球，一共需要支付多少钱？
提问：这些问题涉及多个数量和多层关系，如何清晰地列出代数式表示结果？
引入：较复杂的实际问题往往包含多个已知量、未知量和运算关系，需要我们分步拆解分析，本节课将学习列代数式解决这类问题的方法。
幻灯片 4：解决较复杂实际问题的核心方法
分步拆解：将复杂问题分解为若干个简单的小问题，逐一分析每个小问题的数量关系。
确定关键量：找出问题中的核心未知量或基准量，以此为基础表示其他相关量。
梳理关系链：用箭头或文字梳理数量之间的依赖关系，明确 “谁由谁决定”“谁与谁相关”。
分层列式：先表示出中间量，再根据最终目标列出综合代数式。
检验验证：通过代入简单数值检验代数式是否符合实际意义。
幻灯片 5：实例 1—— 多因素薪资问题
题目：某公司销售人员的薪酬结构为：每月固定底薪 1800 元，销售提成规则为：销售额不超过 10000 元的部分提成 5%，超过 10000 元但不超过 20000 元的部分提成 8%，超过 20000 元的部分提成 10%。若某销售人员当月销售额为 x 元（x > 20000），他当月的薪酬是多少元？
分析过程：
拆解问题：薪酬 = 底薪 + 各档提成之和；需分别计算三档销售额的提成。
关键量：销售额 x 元（x > 20000）。
中间量计算：
第一档（≤10000 元）提成：10000×5% = 500 元。
第二档（10000~20000 元）提成：（20000 - 10000）×8% = 800 元。
第三档（>20000 元）提成：（x - 20000）×10% = 0.1x - 2000 元。
列代数式：薪酬 = 1800 + 500 + 800 + 0.1x - 2000 = 0.1x + 1100（元）。
答案：他当月的薪酬是（0.1x + 1100）元。
幻灯片 6：实例 2—— 多商品采购问题
题目：某文具店促销，文具套装原价每套 45 元，现买 3 套送 1 套；单独购买笔记本每本 8 元，购买超过 10 本后，超出部分每本 6 元。若学校购买了 a 套文具套装（a 是 4 的倍数）和 b 本笔记本（b > 10），总共需要支付多少钱？
分析过程：
拆解问题：总费用 = 文具套装费用 + 笔记本费用，分别计算两类费用。
文具套装费用：买 3 送 1 即付 3 套的钱得 4 套，每套实际单价为 45×3÷4 = 33.75 元，a 套费用为 33.75a 元。
笔记本费用：前 10 本费用 10×8 = 80 元，超出部分（b - 10）本费用 6（b - 10）元，总费用为 80 + 6b - 60 = 6b + 20 元。
列代数式：总费用 = 33.75a + 6b + 20（元）。
答案：总共需要支付（33.75a + 6b + 20）元。
幻灯片 7：实例 3—— 几何组合图形问题
题目：如图，一个大长方形内有一个小长方形空缺（小长方形在大长方形内部，且各边与大长方形平行），大长方形的长为 m 厘米，宽为 n 厘米，小长方形的长比大长方形的长少 5 厘米，宽比大长方形的宽少 3 厘米。求阴影部分（大长方形减去小长方形）的面积。
分析过程：
拆解问题：阴影面积 = 大长方形面积 - 小长方形面积，需先表示小长方形的长和宽。
小长方形的长 = m - 5 厘米，宽 = n - 3 厘米。
大长方形面积 = m×n = mn 平方厘米。
小长方形面积 = （m - 5）（n - 3） = mn - 3m - 5n + 15 平方厘米。
列代数式：阴影面积 = mn - （mn - 3m - 5n + 15） = 3m + 5n - 15（平方厘米）。
答案：阴影部分的面积是（3m + 5n - 15）平方厘米。
幻灯片 8：实例 4—— 增长率问题
题目：某工厂 2023 年的年产值为 p 万元，2024 年比 2023 年增长了 15%，2025 年由于技术升级，比 2024 年增长了 20%。求该工厂 2025 年的年产值。
分析过程：
拆解问题：2024 年产值基于 2023 年，2025 年产值基于 2024 年，需分步计算。
2024 年产值 = 2023 年产值 ×（1 + 15%） = p×1.15 = 1.15p 万元。
2025 年产值 = 2024 年产值 ×（1 + 20%） = 1.15p×1.2 = 1.38p 万元。
列代数式：2025 年年产值 = 1.38p 万元。
答案：该工厂 2025 年的年产值是 1.38p 万元。
幻灯片 9：实例 5—— 分段计费与优惠叠加问题
题目：某超市实行会员制，非会员购物无优惠，会员购物享受以下优惠：
消费不超过 300 元，打 9 折；
超过 300 元的部分，打 8 折，且额外赠送 20 元优惠券（下次使用）。
若某会员一次性购物消费 x 元（x > 300），他实际需要支付的金额是多少元（不考虑优惠券下次使用）？
分析过程：
拆解问题：会员支付金额 = 300 元以内的折扣价 + 超过 300 元部分的折扣价。
300 元以内支付：300×0.9 = 270 元。
超过 300 元部分：x - 300 元，支付（x - 300）×0.8 元。
列代数式：实际支付金额 = 270 + 0.8（x - 300） = 270 + 0.8x - 240 = 0.8x + 30（元）。
答案：他实际需要支付（0.8x + 30）元。
幻灯片 10：易错点深度剖析
多层关系遗漏：忽略问题中的间接关系，例如计算增长率问题时忘记 “基于上一年” 的递进关系。
优惠规则误解：对 “买送”“满减” 等规则理解错误，如 “买 3 送 1” 误算为 “打 75 折” 但未考虑购买数量是否为 4 的倍数（实例 2 中 a 是 4 的倍数才成立）。
符号与单位混乱：在代数式中遗漏括号导致单位错误，或在多层运算中符号出错，例如实例 3 中去括号时忘记变号。
关键量选择不当：未选对基准量导致代数式复杂，例如在多商品问题中不分别计算单价而直接叠加。
幻灯片 11：巩固练习
题目 1：某手机套餐月租费 20 元，包含 100 分钟免费通话，超过 100 分钟的部分按 0.15 元 / 分钟收费，流量费用为每 GB 10 元。若某用户当月通话 t 分钟（t > 100），使用流量 g GB，该用户当月话费是多少元？
题目 2：一个梯形的上底为 a 米，下底是上底的 1.5 倍，高比上底与下底的和少 2 米。另一个三角形的底等于梯形的下底，高等于梯形的高，求梯形与三角形的面积之和。（梯形面积 S? = \(\frac{1}{2}\)(上底 + 下底)× 高；三角形面积 S? = \(\frac{1}{2}\)× 底 × 高）
题目 3：某商店第一年的利润为 x 万元，第二年利润比第一年增长了 m%，第三年利润比第二年下降了 n%，求第三年的利润。
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：通话费用为 20 + 0.15 (t - 100) + 10g = 0.15t + 10g + 5（元）。
题目 2 答案：梯形下底 = 1.5a，高 = a + 1.5a - 2 = 2.5a - 2；S? = \(\frac{1}{2}\)(a + 1.5a)(2.5a - 2) = 3.125a? - 2.5a；三角形 S? = \(\frac{1}{2}\)×1.5a×(2.5a - 2) = 1.875a? - 1.5a；面积和 = 5a? - 4a（平方米）。
题目 3 答案：第二年利润 = x (1 + m%)，第三年利润 = x (1 + m%)(1 - n%)（万元）。
幻灯片 12：课堂总结
核心方法：分步拆解复杂问题，确定关键量，梳理关系链，分层列式。
关键技巧：处理多层运算时先算中间量，注意 “基于前一步” 的递进关系（如增长率），准确理解优惠规则。
常见误区：避免遗漏多层关系、误解规则、符号错误和单位混乱。
能力提升：通过分析实际问题中的数量关系，培养数学建模和逻辑推理能力。
幻灯片 13：作业布置
教材课后对应提升习题，练习列代数式解决复杂实际问题。
某小区物业费收费标准：住宅面积不超过 100 平方米的部分，每平方米 1.2 元 / 月；超过 100 平方米的部分，每平方米 1.5 元 / 月。若某住户房屋面积为 s 平方米（s > 100），且每月需额外支付公摊水电费 50 元，用代数式表示该住户每月的物业费总费用。
某水果商从产地收购苹果，收购价为每千克 4 元，运输过程中损耗 5%，运输费用为每吨 200 元（1 吨 = 1000 千克）。若收购了 x 千克苹果，售价为每千克 6 元，用代数式表示卖出所有苹果后的利润（利润 = 销售额 - 收购成本 - 运输费用）。
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.3 列代数式解决较复杂的实际问题
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
经过练习，小亮和大华的打字速度都有了提高，小亮的打字速度达到80个/分，大华比小亮每分钟多打 10个字.
(1)小亮和大华amin分别能打多少个字?
(2)bmin 大华比小亮多打多少个字?
(3)将同为c个字的两篇文章分别交给小亮和大华打，如果要求他们同时完成任务，那么小亮比大华要提前多少分钟开始打字?
学生活动【用代数式表示和差关系的实际应用】
涉及三个基本的量：打字速度、时间、打字的个数.
问题中涉及了几个基本的量？这些量之间具有怎样的关系？
打字速度×时间=打字的个数
解： (1)小亮a min 打的字就等于80与a的积，即80a个字；大华a min 打的字就等于(80+10)与a的积，即90a个字.
(2)b min 大华比小亮多打的字数就等于b与10的积，即10b个字.
归纳：对每个问题，要表示的是哪个量，用哪些量来表示，怎样表示.
(3)求小亮要比大华提前多少分钟开始打字，就是求小亮打c个字比大华打c个字多用的时间，也就是求“c除以80 的商与c除以(80+10)的商的差”，即（c80 － c80+10)?） min.
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从A地乘火车到北京，普通票价格为40元/人，学生票价格为20元/人星期日，A地育才学校组织部分师生到天安门广场观看升旗仪式.
(1)如果有教师14 人，学生 180人，那么买单程火车票共需多少元?
(2)如果有教师x人，学生y人，那么买单程火车票共需多少元?
(3)如果教师人数恰好是学生人数的112?，将教师的人数或学生的人数用字母表示，那么买单程火车票共需要多少元?
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例3
解：(1)40×14+20 × 180=4 160(元)
(2)(40x+20y)元.
(3)如果设教师有x人，那么学生有12x人，买单程车票共需(40x+20×12x)元;
如果设学生有y人，那么教师有y12人,买单程车票共需 40× y12 +20y元.
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1. ［2025北京东城区期末］牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质.
已知?????g牛奶中含?????g蛋白质，比?????g鸡蛋中含的蛋白质少?????g ，
则?????g 鸡蛋中蛋白质的含量是( )
?
B
A. ??????????????????g B. ????????+?????????g
C. ??????????????????g D. ????????+?????????g
?
2. 已知每个人做某项工作的效率相同，????个人做???? 天可以完
成，若增加???? 人，则完成工作所需的天数为( )
?
D
A. ????+???? B. ?????????C. ????????+???? D. ????????????+????
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返回
3. 已知甲、乙码头相距?????km,某船在静水中的速度为?????km/h ,
水流速度为?????km/h????>???? ,则该船一次往返两个码头所需的
时间为( )
?
D
A. 2????????+?????h B. 2??????????????h
C. ??????????????????h D. ????????+????+??????????????h
?
返回
4. 中国快递物流企业加速了企业国际化的进
程.现有一个长、宽、高分别为????，????，???? 的箱子，按如图所示
的方式打包，则打包带的长（不计接头处的长）至少应为
_____________.
?
4????+4????+8????
?
返回
5. 我国是一个水资源短缺的国家，为提高
水资源的利用率，某小区安装了循环用水装置.经测算，原来
????天需用水?????t ，现在这些水可多用4天，那么现在每天比原来
少用水_ _________t .
?
?????????????????+4
?
6. 随着我国国产芯片自主研发的突破，某种
型号芯片两次降价，第一次下降了10%，第二次下降了20% ，
则芯片价格从原来的每片???? 元下降到每片_________________
__________________________________________________元.
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????1?10%1?20%
?
返回
7.某停车场24?h 营业，其收费方式如下表所示.已知王叔叔某
日10：00进场停车，停了?????h后离场（???? 为整数），若离场时
间在当日20：00～24：00 间，则此次停车的费用为________
_________元.
?
停车时段
收费方式
08:00～20:00
5元/h ，该时段最多收费40元
20:00～08:00
2元/h ，该时段最多收费16元
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
停车时段
收费方式
若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费
[40+2?????10]
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归纳：列代数式的关键要分析数量关系，能准确地把文字语言翻译成数学语言．
认真分析问题中有关术语的含义．如和、差、积、商、多、少、几倍、几分之一、增加了、增加到、减少、减少到、扩大、缩小等；
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！