3.3 数量之间的关系 课件（共21张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.3 数量之间的关系
幻灯片 2：学习目标
能从实际问题中识别并分析数量之间的关系，理解数量关系的本质。
掌握用表格、代数式、图形等方式表示数量关系的方法。
学会分析数量关系的变化规律，能根据数量关系解决简单问题，培养数据分析能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的数量关系
展示场景：
小明骑自行车上学，速度为每小时 12 千米，骑行时间与路程的关系。
商店里笔记本的单价为 5 元，购买数量与总价的关系。
正方形的边长与周长、面积的关系。
提问：这些场景中都存在着两个或多个数量，它们之间是如何相互影响的？你能描述这些数量之间的关系吗？
引入：在现实生活中，数量之间往往存在着密切的联系，一个数量的变化会引起另一个数量的变化，本节课我们将学习如何分析和表示数量之间的关系。
幻灯片 4：数量关系的概念与本质
概念：数量之间的关系是指不同数量之间的相互依存、相互影响的对应关系，通常表现为一个数量的变化会导致另一个数量按照一定规律变化。
本质：数量关系反映了事物之间的内在联系，是数学建模的基础，例如 “路程 = 速度 × 时间” 反映了路程、速度、时间三个数量之间的必然联系。
常见类型：
正比例关系：两个数量的比值一定，如单价一定时，总价与数量成正比例。
反比例关系：两个数量的乘积一定，如路程一定时，速度与时间成反比例（后续将学习）。
其他关系：如加减关系（爸爸年龄 = 小红年龄 + 30）、乘方关系（正方形面积 = 边长 ）等。
幻灯片 5：用表格表示数量关系
方法：将两个相关联的数量的对应值列在表格中，清晰展示数量之间的对应变化。
步骤：
确定两个相关联的数量（自变量和因变量）。
选取自变量的若干个值。
根据数量关系计算出对应的因变量的值。
将对应值填入表格。
实例：笔记本单价为 5 元，购买数量与总价的关系表格：
购买数量（本）
1
2
3
4
5
...
总价（元）
5
10
15
20
25
...
特点：直观明了，能直接看出数量的对应值，但数据有限，难以展示整体规律。
幻灯片 6：用代数式表示数量关系
方法：用含字母的代数式表示两个或多个数量之间的一般关系，体现数量关系的普遍性。
步骤：
确定自变量（用字母表示）。
分析数量关系，找出因变量与自变量之间的运算规律。
用代数式表示因变量。
实例：
笔记本单价 5 元，购买数量为 x 本，总价 y 元，则 y = 5x。
正方形边长为 a，周长 C = 4a，面积 S = a 。
小明今年 m 岁，爸爸比他大 30 岁，爸爸年龄 n = m + 30。
特点：简洁抽象，能表示所有可能的对应值，便于进行一般性分析和计算。
幻灯片 7：用图形表示数量关系（初步）
方法：在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量，将表格中的对应值作为点的坐标描出，再连接成图形（后续将深入学习）。
实例：笔记本购买数量与总价的关系图形（配图：横轴为数量，纵轴为总价，描出 (1,5)、(2,10) 等点并连成直线）。
特点：形象直观，能清晰展示数量关系的变化趋势（如递增、递减、线性、非线性等）。
幻灯片 8：实例 1—— 行程问题中的数量关系
题目：一辆汽车以每小时 60 千米的速度匀速行驶，行驶时间为 t 小时，行驶的路程为 s 千米。
（1）用表格表示 t = 1,2,3,4,5 时 s 的值；
（2）用代数式表示 s 与 t 的关系；
（3）根据代数式计算 t = 6 时的路程。
解答过程：
（1）表格：
t（小时）
1
2
3
4
5
s（千米）
60
120
180
240
300
（2）根据路程 = 速度 × 时间，得 s = 60t。
（3）当 t = 6 时，s = 60×6 = 360（千米）。
总结：匀速运动中，路程与时间成正比例关系，用代数式可简洁表示其规律。
幻灯片 9：实例 2—— 几何图形中的数量关系
题目：一个长方形的长为 5 厘米，宽为 b 厘米。
（1）用代数式表示长方形的周长 C 和面积 S；
（2）当 b = 3,4,5 时，分别计算 C 和 S 的值，并用表格表示；
（3）分析宽 b 变化时，周长 C 和面积 S 的变化规律。
解答过程：
（1）周长 C = 2×(5 + b) = 10 + 2b；面积 S = 5×b = 5b。
（2）表格：
b（厘米）
3
4
5
C（厘米）
16
18
20
S（平方厘米）
15
20
25
（3）规律：宽 b 每增加 1 厘米，周长 C 增加 2 厘米，面积 S 增加 5 平方厘米。
总结：几何图形中，周长和面积随边长的变化而变化，变化规律由代数式决定。
幻灯片 10：实例 3—— 增长率问题中的数量关系
题目：某公司 2023 年的利润为 100 万元，预计每年利润比上一年增长 x%。
（1）用代数式表示 2024 年和 2025 年的利润；
（2）当 x = 10 时，计算 2025 年的利润；
（3）分析增长率 x 对利润的影响。
解答过程：
（1）2024 年利润 = 100×(1 + x%) 万元；2025 年利润 = 100×(1 + x%)×(1 + x%) = 100 (1 + x%) 万元。
（2）当 x = 10 时，2025 年利润 = 100×(1 + 10%) = 100×1.21 = 121（万元）。
（3）影响：增长率 x 越大，利润增长越快，利润与增长率成正相关关系。
总结：增长率问题中，后期数量与增长率的关系是乘方形式，体现复利增长的规律。
幻灯片 11：分析数量关系的步骤
第一步：识别相关数量：从问题中找出相互关联的两个或多个数量，区分自变量和因变量（主动变化的量和随之变化的量）。
第二步：确定关系类型：分析数量之间是加减、乘除、乘方还是其他关系，是否存在比例关系。
第三步：选择表示方法：根据问题需求，选择表格、代数式或图形表示数量关系。
第四步：分析变化规律：通过计算、观察或推理，总结数量随自变量变化的规律。
第五步：应用解决问题：利用数量关系进行计算、预测或决策。
幻灯片 12：易错点提醒
混淆自变量和因变量：不能正确区分哪个数量是主动变化的，哪个是被动变化的，例如在 “路程 = 速度 × 时间” 中，时间是自变量，路程是因变量（速度一定时）。
数量关系分析错误：对关键词理解不清导致关系错误，例如 “增长了” 与 “增长到” 混淆，或误把 “差的平方” 写成 “平方的差”。
表格数据不对应：制作表格时，自变量与因变量的对应值填写错误，影响对规律的观察。
忽视实际意义：在表示数量关系时，未考虑数量的实际取值范围，例如人数不能为负数，边长不能为零。
幻灯片 13：巩固练习
题目 1：某班有 45 名学生，其中男生有 m 名，女生有 n 名。
（1）用代数式表示 m 与 n 的关系；
（2）当 m = 23 时，求 n 的值。
题目 2：一个三角形的底为 10 厘米，高为 h 厘米，面积为 S 平方厘米。
（1）用代数式表示 S 与 h 的关系；
（2）当 h = 6,8,10 时，计算 S 的值并填入表格；
（3）分析 h 变化时 S 的变化规律。
题目 3：某手机套餐月租 20 元，包含 100 分钟通话，超过部分按 0.1 元 / 分钟收费，设每月通话时间为 t 分钟（t ≥ 100），话费为 y 元。用代数式表示 y 与 t 的关系，并计算 t = 150 时的话费。
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：（1）m + n = 45（或 n = 45 - m）；（2）当 m = 23 时，n = 45 - 23 = 22。
题目 2 答案：（1）S = \(\frac{1}{2}\)×10×h = 5h；（2）表格：
h（厘米）
6
8
10
S（平方厘米）
30
40
50
（3）h 每增加 1 厘米，S 增加 5 平方厘米。
题目 3 答案：y = 20 + 0.1 (t - 100) = 0.1t + 10；当 t = 150 时，y = 0.1×150 + 10 = 25（元）。
幻灯片 14：课堂总结
数量关系的本质：数量之间的相互依存和变化规律，是事物内在联系的数学体现。
表示方法：表格（直观对应）、代数式（普遍规律）、图形（变化趋势）。
分析步骤：识别数量→确定关系→选择方法→分析规律→解决问题。
核心能力：能从实际问题中抽象出数量关系，并用合适的方法表示和分析，为解决复杂问题奠定基础。
幻灯片 15：作业布置
教材课后对应习题，练习分析和表示数量关系。
某商店出售一种商品，每件成本为 50 元，售价为 x 元（x > 50），每件的利润为 y 元。用代数式表示 y 与 x 的关系，当 x = 80,100 时，计算 y 的值，并分析售价对利润的影响。
观察生活中的一个数量关系实例（如身高与年龄、用电量与电费等），用表格和代数式两种方式表示，并描述其变化规律。
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.3 数量之间的关系
第三章 代数式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
仔细观察，按你发现的规律填空：
(1) 1,2,3,4, ， ，...， （第n个数）；
(2) 2,4,6,8, ， ，...， （第n个数）；
(3)2,4,8,16, ， ，...， （第n个数）；
(4)1,4,9,16, ， ，...， （第n个数）；
(5)1,2,3,6,10， ， ，...， （第n个数）.
学生活动一 【用代数式表示数的变化规律】
5
6
n
10
12
2n
32
64
2n
25
36
n2
15
21
这是一个由1~120 的连续整数排成的“数阵”如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
...
115 116 117 118 119 120
(1)如果设方框左上角的数为a，
用含a的代数式表示这9个数的和;
(2)如果设方框正中间的数为m，用含m的代数式表示这9个数的和;
解:(1)设方框左上角的数为a,则其他8个数分别为a+1,a+2,a+6,a+7,a+8,a+12,a+13,a+14,这9个数的和为a+a+1+a+2+a+6+a+7+a+8+a+12+a+13+a+14=9a+63.
(2)设方框正中间的数为m,则其他8个数分别为m－7,m－6,
m－5,m－1,m+1,m+5,m+6,m+7,
所以S为m－7+m－6+m－5+m－1+m+m+1+m+5+m+6+m+7=9m.
即S=9m.
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
...
115 116 117 118 119 120
(3)如果将方框由左向右平行移动一列，那么9个数的和会有怎样的变化
如果方框由上向下平行移动一行，那么9个数的和又有怎样的变化
(3)将方框由左向右平行移动一列,和增加9;
方框由上向下平行移动一行,和增加54.
图1是由点组成的n行n列的方阵，图2是由每条边上n个点围成的空心方阵.
图1
图2
1.图1中方阵的总点数为多少？
2.图2中方阵的总点数是多少？你还有其他的计算方法吗？
n2
n2 －（n－2）2
学生活动二 【用代数式表示图形的变化规律】
图2方阵的总点数
4（n-1）
4n-4
4（n-2）+4
2n+2（n-2）
将点阵进行分组，然后用不同的代数式表达出来
同一量可以用不同代数式来表示
观察：
1×3=22-1，
2×4=32-1，
3×5=42-1，
...
请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律.
n× （n+2）= （n+1）2 －1
学生活动三 【用代数式表示等式的变化规律】
如图所示，用火柴摆图形
（1）填写下表：
三角形的数量/个 1 2 3 4 5 ...
火柴的数量/根
3
5
7
9
11
（2）要拼出有 n(n>1)个三角形的图形，需要多少根火柴
（3）要拼出有18个与40个三角形的图形，分别需要多少根火柴
(2)要拼出有n(n>1)个三角形的图形,需要(2n+1)根火柴.
(3)当n=18时,2n+1=2×18+1=37;当n=40时,2n+1=2×40+1=81.
所以要拼出有18个三角形的图形,需要37根火柴;要拼出有40个三角形的图形,需要81根火柴.
1. 按规律排列的一组数据：,,□,,,, ,其中□内应填的
数是( )
D
A. B. C. D.
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2. 小明用长度相同的木棒按如图所示的规律拼摆图形，第
个图形所需木棒的根数可以表示为( )
B
第1个图形
第2个图形
第3个图形
A. B. C. D.
【点拨】由所给图形可知，第1个图形所需木棒的根数为
；第2个图形所需木棒的根数为 ；
第3个图形所需木棒的根数为； ，所以第
个图形所需木棒的根数为 .故选B.
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3. ［2025邢台期末］为庆祝国庆节，嘉淇用大小相等的五角
星按一定规律摆出如下图所示的图案，则第15个图案五角星
的颗数为( )
C
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
A. 44 B. 45 C. 46 D. 48
【点拨】第1个图案中有4颗五角星，第2个图案中有7颗五角
星，第3个图案中有10颗五角星，第4个图案中有13颗五角
星， ，故第个图案中有颗五角星.当 时，
，故选C.
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4.观察由 组成的图案和算式，则
____.
；
；
；
.
返回
5. 将从1开始的连续自然数按如图所示的方
式排列：
则2 026在第____行.
46
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6.观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有4个
点，第2个图形中共有12个点，第3个图形中共有24个点，按
此规律，第10个图形中共有_____个点.
220
第1个图形
第2个图形
第3个图形
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7. 把自然数按下面的方式进行排列，按照这样的规律推断，
从2 025到 ，箭头的方向应是( )
B
A. B. C. D.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！