4.2.2 合并同类项的应用 课件（共23张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.2.2 合并同类项的应用
幻灯片 2：学习目标
能运用合并同类项解决实际问题中的数量计算，理解其在简化运算中的作用。
掌握通过合并同类项化简多项式后求值的方法，提高计算效率。
学会利用合并同类项解决多项式中的系数问题，培养综合运用知识的能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 合并同类项的实用价值
展示场景：
某商店销售三种文具：笔记本每本 5 元，买了 x 本；钢笔每支 8 元，买了 y 支；橡皮每块 2 元，买了 x 块。计算总费用时，如何简化计算？
化简多项式 3x + 2x - 5 + 4x - x + 7，若不合并同类项直接代入 x=2 计算，与合并后再计算，哪种更简便？
提问：合并同类项在实际问题和代数式计算中能发挥怎样的作用？
引入：合并同类项不仅是一种代数运算，更能简化实际问题的计算和代数式的求值过程，本节课我们将学习合并同类项的具体应用。
幻灯片 4：应用场景 1—— 解决实际问题中的费用、数量计算
核心思路：在实际问题中，先根据题意列出含同类项的多项式，再通过合并同类项化简，最后代入数值计算结果。
步骤：
分析问题，确定数量关系，列出代数式（含多个同类项）。
合并同类项，简化代数式。
代入已知条件，计算实际结果并解释意义。
实例：某班购买运动会道具，买了 a 个单价为 15 元的花环，b 个单价为 8 元的气球，又买了 a 个单价为 5 元的彩带。
列代数式：总费用 = 15a + 8b + 5a。
合并同类项：(15a + 5a) + 8b = 20a + 8b。
若 a = 10，b = 20，总费用 = 20×10 + 8×20 = 200 + 160 = 360（元）。
幻灯片 5：例题 1—— 实际购物费用计算
题目：某超市促销，苹果每千克 6 元，香蕉每千克 4 元。妈妈买了 x 千克苹果和 y 千克香蕉，后来又买了 2 千克苹果。
（1）用含 x、y 的代数式表示妈妈购买水果的总费用；
（2）若 x = 3，y = 2，计算总费用。
解答过程：
（1）第一次买苹果费用 6x 元，香蕉费用 4y 元，第二次买苹果费用 6×2 = 12 元，总费用 = 6x + 4y + 12。合并同类项后仍为 6x + 4y + 12（无其他同类项）。
（2）当 x = 3，y = 2 时，总费用 = 6×3 + 4×2 + 12 = 18 + 8 + 12 = 38（元）。
答案：（1）总费用为（6x + 4y + 12）元；（2）总费用为 38 元。
幻灯片 6：应用场景 2—— 化简多项式后求值
核心思路：对于复杂多项式，先通过合并同类项化简为最简形式，再代入字母的值计算，可减少运算步骤和错误。
优势：化简后多项式项数减少，系数简化，代入计算更快捷，尤其适合含多个同类项的多项式。
步骤：
对多项式进行合并同类项化简。
将字母的具体值代入化简后的多项式。
计算结果。
幻灯片 7：例题 2—— 化简求值
题目：先合并同类项，再求值：
多项式 3x y - 2xy + 5xy - 3x y + xy - 2xy，其中 x = 2，y = -1。
解答过程：
合并同类项：
(3x y - 3x y) + (-2xy + xy ) + (5xy - 2xy)
= 0x y - xy + 3xy
= -xy + 3xy。
代入求值：当 x = 2，y = -1 时，
原式 = -2×(-1) + 3×2×(-1)
= -2×1 + (-6)
= -2 - 6 = -8。
答案：化简结果为 - xy + 3xy，值为 - 8。
幻灯片 8：应用场景 3—— 解决多项式中的系数问题
核心思路：若多项式化简后不含某类项，则该类项的系数为 0，据此可求解字母参数的值。
关键：合并同类项后，令不含的项的系数等于 0，建立方程求解。
步骤：
合并多项式中的同类项。
找出题目中 “不含的项”，令其系数为 0。
解方程求出字母参数的值。
幻灯片 9：例题 3—— 多项式不含某项求系数
题目：已知多项式 2x + ax - y + 6 - (bx - 3x + 5y - 1) 化简后不含 x 项和 x 项，求 a、b 的值。
解答过程：
去括号（后续将学习去括号法则，此处暂按分配律处理）：
2x + ax - y + 6 - bx + 3x - 5y + 1。
合并同类项：
(2x - bx ) + (ax + 3x) + (-y - 5y) + (6 + 1)
= (2 - b) x + (a + 3) x - 6y + 7。
不含 x 项和 x 项，令系数为 0：
2 - b = 0 → b = 2；
a + 3 = 0 → a = -3。
答案：a = -3，b = 2。
幻灯片 10：应用场景 4—— 几何图形中的面积、周长计算
核心思路：在几何图形问题中，用字母表示边长、半径等，列出面积或周长的多项式，合并同类项后简化表达式，再代入计算。
实例：一个长方形的长为 (3x + 2) 厘米，宽为 (x - 1) 厘米，另一个长方形的长为 (2x - 1) 厘米，宽为 x 厘米。求两个长方形的面积之和。
面积之和 = (3x + 2)(x - 1) + (2x - 1) x（后续学习整式乘法后可展开），展开后合并同类项得简化结果。
幻灯片 11：例题 4—— 几何图形周长计算
题目：一个三角形的三边长分别为 (2a + b) 厘米、(a - 2b) 厘米和 (3a + b) 厘米，求该三角形的周长。若 a = 3，b = 1，周长是多少厘米？
解答过程：
周长 = (2a + b) + (a - 2b) + (3a + b)。
合并同类项：
2a + b + a - 2b + 3a + b
= (2a + a + 3a) + (b - 2b + b)
= 6a + 0b = 6a。
代入求值：当 a = 3，b = 1 时，周长 = 6×3 = 18（厘米）。
答案：周长为 6a 厘米，当 a = 3，b = 1 时，周长为 18 厘米。
幻灯片 12：易错点提醒
实际问题列代数式错误：忽略同类项的存在，列出的代数式未包含所有同类项，例如购物问题中遗漏第二次购买的同类商品费用。
化简不彻底：合并同类项时未将所有同类项合并，导致后续代入计算复杂，例如遗漏常数项的合并。
系数为 0 的理解错误：在 “不含某项” 的问题中，误将该项的字母或指数去掉，而不是令系数为 0，例如认为不含 x 项则 x 项消失，而非系数为 0。
代入数值符号错误：代入负数或分数时未加括号，导致计算错误，例如代入 y = -1 到 - xy 中写成 - x -1 ，而非 - x×(-1) 。
几何图形公式记错：在几何应用中，误用面积或周长公式，导致列出的多项式错误，影响后续合并。
幻灯片 13：巩固练习
题目 1：某工厂第一天生产零件 (5x + 2y) 个，第二天生产零件 (3x - y) 个，第三天生产零件 (2x + 3y) 个。
（1）三天共生产零件多少个？（用含 x、y 的代数式表示）
（2）若 x = 100，y = 50，三天共生产零件多少个？
题目 2：先合并同类项，再求值：5a - 4a b + 7a - 4a b - 6ab ，其中 a = -1，b = 2。
题目 3：若多项式 (2x + mx - 8) - (nx - 2x + 7) 化简后不含 x 项和 x 项，求 m + n 的值。
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：
（1）(5x + 2y) + (3x - y) + (2x + 3y) = 10x + 4y；
（2）当 x = 100，y = 50 时，10×100 + 4×50 = 1000 + 200 = 1200（个）。
题目 2 答案：合并得 (5a + 7a ) + (-4a b - 4a b) - 6ab = 12a - 8a b - 6ab ；代入得 12×(-1) - 8×(-1) ×2 - 6×(-1)×2 = 12 - 16 + 24 = 20。
题目 3 答案：化简得 (2 - n) x + (m + 2) x - 15；不含 x 项和 x 项，故 2 - n = 0，m + 2 = 0 → n = 2，m = -2；m + n = 0。
幻灯片 14：课堂总结
实际问题应用：列代数式→合并同类项→代入求值，简化费用、数量等计算。
化简求值应用：先合并同类项化简多项式，再代入计算，减少运算量。
系数问题应用：合并后令不含项的系数为 0，求解字母参数。
几何应用：结合图形公式列多项式，合并后简化表达式再计算。
核心价值：合并同类项是简化代数式和解决实际问题的重要工具，能提高计算准确性和效率。
幻灯片 15：作业布置
教材课后对应提升习题，练习合并同类项的各类应用。
某小区计划种植两块草坪，第一块草坪面积为 (3x - 2xy + y ) 平方米，第二块草坪面积为 (x + 4xy - 2y ) 平方米。
（1）两块草坪的总面积是多少平方米？
（2）若 x = 5，y = 3，总面积是多少平方米？
已知多项式 3x + mx + nx + 42 能被多项式 x - 5x + 6 整除（即化简后不含余式），且合并同类项后 x 项和 x 项的系数为 0，求 m、n 的值。
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.2.2 合并同类项的应用
第四章 整式的加减
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
当a=时，求多项式 5a2－5a+4－3a2+6a－5.
解：当a=时，
原式=52－5×＋4－ 3×2＋6×
=5－5×＋4－ 3×6×
=＋4－5
=
方法一
解：原式=2a2+a －1，
当a=，
原式=2×()2 ＋ －1
= ＋ －1
=
方法二
观察上面两种解法，
哪种方法更简单？
当a=时，求多项式 5a2－5a+4－3a2+6a－5.
在通常情况下，先化简，再求值比较简单。
例 某学校组织七、八年级全体同学参观革命老区西柏坡．七年级租用45座大巴车x辆，60座大巴车y辆；八年级租用60座大巴车x辆，30座中巴车y辆(以上三种车型，座位均不含司机)．当每辆车恰好坐满时：
(1)用含x，y的代数式表示该学校七、八年级学生人数．
(2)当x=4，y=7时，该学校七、八年级共有多少学生？
(1)用含x，y的代数式表示该学校七、八年级学生 人数．
解：由题意可得七年级有学生(45x+60y)人，
八年级有学生(60x+30y)人．
七、八年级共有学生的人数为
45x+60y+60x+30y
=105x+90y
(2)当x=4，y=7时，该学校七、八年级共有多少学生？
当x=4，y=7时，
105x+90y
=105 × 4+90×7
=1050
答：当x=4，y=7时，该学校七、八年级共有1050名学生.
1.合并同类项：
x3－x2y+xy2+x2y－xy2+y3
2.当a= －2时，求4a+3a3－6a－2a3+13的值
解：原式= x3+y3
解：原式=－2a+a3+13
当a=－2时，原式=4+（－8）+13=9.
3.已知5ab－a2+2a2－7ab－6a2=ma2+nab.求m+n的值.
解：由题可知n=－2， m=－5
∴m+n=－2+(－5)=-7
4.已知x+y=1，求3（x+y）2-7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）的值.
解：原式=11（x+y）2+7（x+y）
因为x+y=1，
所以原式=18.
5.某公园门票的成人票价是40元，儿童票价是20元，甲旅行团有a名成人和b名儿童，乙旅行团的成人人数是甲旅行团的，儿童人数是甲旅行团的 ，两旅行团的门票费用共为多少元？若a=20，b=10，则两旅行团的门票费用为多少元？
b）
=40a+20b+60a+15b
=100a+35b(元).
当a=20,b=10时,原式=100×20+35×10=2 000+350=2 350.
答:两旅行团的门票费用共为(100a+35b)元,
当a=20,b=10时,两旅行团的门票费用为2 350元.
1. 当时，代数式 的值为( )
B
A. B. C. 79 D.
2.若关于，的代数式 为单项式，则有理数
___.
1
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3.为了美化环境，清新空气，有三个队要进行植树，第一队
植树 棵，第二队植树比第一队的3倍少15棵，第三队植树比
第一队的一半多32棵.
（1）用含 的整式表示三个队一共植树_ _________棵；
（2）当 时，三个队一共植树_____棵.
377
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4. 教材P142例2 先化简，再求值：
（1），其中， ；
【解】 ，
当， 时，
原式 .
（2），其中， .
.
当， 时，
原式 .
返回
5.已知 ，求
的值.
【解】由 ，
得，，所以， .
则
，
当， 时，
原式 .
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6. 西柏坡位于河北省石家庄市平山县中部，
曾是中共中央所在地，为我国革命圣地之一，是国家重点文
物保护单位，又是 级景区．清明节某学校组织七、八年级
全体学生去西柏坡研学．七年级租用45座大巴车 辆，55座
大巴车辆；八年级租用30座大巴车辆，55座大巴车 辆.当
每辆车恰好坐满时.
（1）用关于, 的整式表示该学校七、八年级的总人数：
____________;
（2）当, 时，该学校七、八年级的总人数为_____.
960
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