5.2 一元一次方程 课件（共23张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

幻灯片 1：封面
标题：5.2 一元一次方程
幻灯片 2：学习目标
理解一元一次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元一次方程。
掌握一元一次方程的标准形式，明确其结构特点。
能根据实际问题列出一元一次方程，加深对概念的应用。
幻灯片 3：情境引入 —— 从方程到一元一次方程
回顾旧知：上节课我们学习了方程的概念，知道含有未知数的等式是方程，例如 3x + 5 = 14、x + y = 10、x? - 4 = 0 等都是方程。
观察思考：这些方程在未知数的个数和次数上有什么不同？3x + 5 = 14 只含一个未知数，且未知数的次数是 1；x + y = 10 含两个未知数；x? - 4 = 0 中未知数的次数是 2。
引入：像 3x + 5 = 14 这样只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的方程叫做一元一次方程，本节课我们将深入学习一元一次方程的相关知识。
幻灯片 4：一元一次方程的概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
关键词解析：
“一元”：只含有一个未知数，例如方程中的未知数可以是 x、y、z 等，但只能有一个。
“一次”：未知数的最高次数是 1，即未知数的指数为 1（通常省略不写）。
“整式方程”：等号两边的式子都是整式，分母中不含未知数。
实例辨析：
是一元一次方程：5x + 3 = 18（含一个未知数 x，次数 1，整式方程）；2 (y - 1) = 6（含一个未知数 y，次数 1，整式方程）；\(\frac{x}{3}\) - 2 = 1（含一个未知数 x，次数 1，整式方程）。
不是一元一次方程：
x + y = 5（含两个未知数，不符合 “一元”）；
x? - 2x = 3（未知数次数是 2，不符合 “一次”）；
\(\frac{1}{x}\) + 2 = 5（分母含未知数，不是整式方程）；
3x + 2（不是等式，不是方程）。
幻灯片 5：一元一次方程的标准形式
标准形式：ax + b = 0（a、b 为常数，且 a ≠ 0）。
说明：
在标准形式中，x 是未知数，a 是未知数的系数，b 是常数项。
a ≠ 0 是因为如果 a = 0，方程变为 0x + b = 0，即 b = 0，此时若 b = 0，方程有无数解；若 b ≠ 0，方程无解，不再是一元一次方程。
实例：
方程 3x - 6 = 0 是标准形式，其中 a = 3，b = -6。
方程 2x + 5 = 3 可化为 2x + 2 = 0，标准形式中 a = 2，b = 2。
方程 5 (x - 1) = 3x + 2 展开并整理得 2x - 7 = 0，标准形式中 a = 2，b = -7。
幻灯片 6：一元一次方程的其他形式
常见形式：除标准形式外，一元一次方程还可以表示为 ax = b（a、b 为常数，a ≠ 0），这是移项后的简化形式。
转化方法：通过移项（利用等式性质 1）可以将 ax + b = 0 转化为 ax = -b。
实例：
方程 3x + 9 = 0 移项得 3x = -9，即 ax = b 形式（a = 3，b = -9）。
方程 2y - 5 = 3 移项得 2y = 8，即 ax = b 形式（a = 2，b = 8）。
幻灯片 7：例题 1—— 判断一元一次方程
题目：下列方程中，哪些是一元一次方程？为什么？
（1）3x + 5 = 14；（2）x + y = 8；（3）2x? - 5 = 3；（4）\(\frac{y}{4}\) - 1 = 2；（5）\(\frac{1}{x}\) + x = 3；（6）7 - 3 = 4。
解答过程：
（1）3x + 5 = 14：只含一个未知数 x，次数 1，是整式方程，所以是一元一次方程。
（2）x + y = 8：含两个未知数 x、y，不符合 “一元”，不是一元一次方程。
（3）2x? - 5 = 3：未知数 x 的次数是 2，不符合 “一次”，不是一元一次方程。
（4）\(\frac{y}{4}\) - 1 = 2：可化为\(\frac{1}{4}\)y - 1 = 2，只含一个未知数 y，次数 1，是整式方程，所以是一元一次方程。
（5）\(\frac{1}{x}\) + x = 3：分母含未知数 x，不是整式方程，不是一元一次方程。
（6）7 - 3 = 4：不含未知数，不是方程，更不是一元一次方程。
答案：（1）（4）是一元一次方程。
幻灯片 8：例题 2—— 将方程化为标准形式
题目：将下列一元一次方程化为标准形式 ax + b = 0（a ≠ 0），并指出 a 和 b 的值：
（1）5x - 8 = 2；（2）3(x - 2) = x + 4；（3）\(\frac{x}{2}\) + 1 = x - 3。
解答过程：
（1）移项得 5x - 8 - 2 = 0，即 5x - 10 = 0；其中 a = 5，b = -10。
（2）去括号得 3x - 6 = x + 4；移项得 3x - x - 6 - 4 = 0，即 2x - 10 = 0；其中 a = 2，b = -10。
（3）两边同乘 2 去分母得 x + 2 = 2x - 6；移项得 x - 2x + 2 + 6 = 0，即 - x + 8 = 0（或 x - 8 = 0，a = 1，b = -8）；通常取 a 为正数，化为 x - 8 = 0，其中 a = 1，b = -8。
答案：
（1）5x - 10 = 0，a = 5，b = -10；
（2）2x - 10 = 0，a = 2，b = -10；
（3）x - 8 = 0，a = 1，b = -8。
幻灯片 9：例题 3—— 根据实际问题列一元一次方程
题目：根据下列问题列出一元一次方程：
（1）某数的 2 倍与 3 的差是 7，设这个数为 x。
（2）小明今年 15 岁，爷爷的年龄是小明的 4 倍还多 5 岁，爷爷今年多少岁？设爷爷今年 x 岁。
（3）一个长方形的周长是 30cm，长是宽的 2 倍，求宽是多少厘米？设宽为 x cm。
解答过程：
（1）某数的 2 倍是 2x，与 3 的差是 2x - 3，根据题意列方程：2x - 3 = 7。
（2）爷爷年龄是 x 岁，小明年龄的 4 倍还多 5 岁是 4×15 + 5，根据题意列方程：x = 4×15 + 5（或 x - 5 = 4×15）。
（3）宽为 x cm，则长为 2x cm，长方形周长公式为 2×(长 + 宽)，根据题意列方程：2×(2x + x) = 30。
答案：（1）2x - 3 = 7；（2）x = 4×15 + 5；（3）2×(2x + x) = 30。
幻灯片 10：例题 4—— 根据方程特征求参数值
题目：已知关于 x 的方程 (2 - m) x? + 3x - 5 = 0 是一元一次方程，求 m 的值。
解答过程：
因为方程是一元一次方程，所以未知数的最高次数必须是 1，且二次项系数为 0。
二次项系数为 2 - m，令 2 - m = 0，解得 m = 2。
当 m = 2 时，方程化为 0x? + 3x - 5 = 0，即 3x - 5 = 0，是一元一次方程，符合题意。
答案：m = 2。
幻灯片 11：易错点提醒
忽略 “整式方程” 条件：误将分母含未知数的方程当作一元一次方程，例如认为\(\frac{1}{x}\) + 2 = 5 是一元一次方程，而它不是整式方程。
对 “次数” 理解错误：将未知数的次数误认为是所有字母的指数和，或忽略次数为 1 的条件，例如认为 2x + y = 3 是一元一次方程（含两个未知数），或认为 x? = 4 是一元一次方程（次数是 2）。
标准形式中 a ≠ 0 的遗漏：在确定标准形式时，忘记 a ≠ 0 的条件，例如将 0x + 5 = 0 当作一元一次方程，而此时 a = 0，不符合定义。
列方程时等量关系错误：根据实际问题列方程时，未能正确表达数量关系，导致方程中未知数次数不为 1 或含多个未知数，例如 “一个数的平方与 5 的和是 9” 误列为 2x + 5 = 9，正确应为 x? + 5 = 9（但这不是一元一次方程）。
参数问题分析不全：在含参数的方程中，只关注未知数次数，忽略系数不为 0 的条件，例如例题 4 中只考虑次数为 1，忘记令二次项系数为 0。
幻灯片 12：巩固练习
题目 1：下列方程中，是一元一次方程的在括号内打 “√”，不是的打 “×”：
（1）4x - 7 = 0（ ）；（2）3x? + 2x = 5（ ）；（3）x + \(\frac{1}{x}\) = 2（ ）；（4）2(x + 1) = 3x - 5（ ）。
题目 2：将方程 3x - 2 = 5x + 4 化为标准形式，并指出 a 和 b 的值。
题目 3：根据下列问题列出一元一次方程：
（1）x 的 3 倍比 x 的 2 倍大 5，求 x。
（2）某数与 6 的和的一半是 12，设这个数为 y。
（3）一个三角形的内角和是 180°，其中一个角是 50°，另一个角是 x°，第三个角是 70°。
题目 4：已知方程 (3k - 2) x? + (k - 1) x - 4 = 0 是关于 x 的一元一次方程，求 k 的值。
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：（1）√；（2）×；（3）×；（4）√。
题目 2 答案：移项得 3x - 5x - 2 - 4 = 0，即 - 2x - 6 = 0（或 2x + 6 = 0）；a = -2，b = -6（或 a = 2，b = 6）。
题目 3 答案：（1）3x - 2x = 5；（2）\(\frac{y + 6}{2}\) = 12；（3）50 + x + 70 = 180。
题目 4 答案：由题意得 3k - 2 = 0 且 k - 1 ≠ 0，解得 k = \(\frac{2}{3}\)（k - 1 = -\(\frac{1}{3}\) ≠ 0，符合条件）。
幻灯片 13：课堂总结
一元一次方程概念：只含一个未知数，未知数次数是 1，等号两边是整式的方程，核心是 “一元”“一次”“整式方程”。
标准形式：ax + b = 0（a、b 为常数，a ≠ 0），ax = b（a ≠ 0）是常见简化形式。
判断方法：紧扣概念，检查未知数个数、次数及是否为整式方程。
应用：能根据实际问题列出一元一次方程，解决含参数的一元一次方程问题。
幻灯片 14：作业布置
教材课后对应习题，练习判断一元一次方程及化为标准形式。
写出 3 个不同的一元一次方程，并将它们化为标准形式。
根据下列问题列一元一次方程：
（1）一个数的\(\frac{1}{2}\)与 4 的和是 10，求这个数（设为 x）。
（2）某商店卖出 5 件衬衫，每件售价 x 元，共收入 150 元。
（3）甲、乙两地相距 240km，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60km，行驶 t 小时后距离乙地还有 60km。
若关于 x 的方程 (2m - 1) x + 3 = 0 是一元一次方程，求 m 的取值范围。
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2 一元一次方程
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.等式的基本性质是什么？
1.等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式,结果仍是等式,即如果a=b,那么a±c=b±c.
2.等式的两边乘(或除以)同一个数(除数不等于0),结果仍是等式,即
如果a=b,那么ac=bc或ac=bc,c≠0.
?
2.方程的概念是什么？
含有未知数的等式叫作方程.
学生活动 【探究一元一次方程及其解的概念】
问题1:(1)小明骑自行车从甲村出发去乙村,甲村到乙村的路程是18 km,小明行驶的速度是12 km/h.当小明骑行的时间为t h时,距乙村的路程还有3 km.请根据题意列出方程.
(2)一张长方形纸片的周长为20 cm,面积为24 cm2.设长方形的长为x cm,请根据题意列出方程.
12t+3=18.
x(10－x)=24.
(3)某市为创建优美宜居城市,计划经过若干年使城区绿化总面积增加360万平方米.自2020年初开始实施计划后,实际每年新增绿化面积是原计划的1.25倍,这样可提前2年完成任务.设原计划每年新增绿化面积为x万平方米,请根据题意列出方程.
360x=3601.25x+2.
?
思考：方程的解的概念？
对于方程12t+3=18,
当t=1时,左边=15,左边<右边;
当t=2时,左边=27,左边>右边;
当t=1.25时,左边=18,左边=右边.
我们把能使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解.
t=1.25就是方程12t+3=18的解.
问题2:观察上面得到的方程,它们有什么共同点?
解:只含有一个未知数,且未知数的次数是1.
360x=3601.25x+2
?
12t+3=18
x(10 －x)=24
如果方程中只含有一个未知数(也称元),并且未知数的次数是1,我们把这样的方程叫作一元一次方程.能使一元一次方程两边相等的未知数的值,叫作一元一次方程的解.
例1　下列方程中,哪些是一元一次方程?
①x+y=1,②x－1=3,③2x2=1,④xy=10,⑤2x+4=0.
解:②和⑤是一元一次方程.
归纳总结一元一次方程的特点:
(1)只含有一个未知数(即“元”);
(2)未知数的最高次数为1(即“次”);
(3)整式方程.
注意:整式方程即分母中不含未知数的方程.
例2　说明x=12,x=2,x=5,x=－5分别是下列哪个方程的解.
①x+5=0,②3x－15=0,③5x=1,④2x－1=0,⑤2x－4=0,⑥12x=2.
解:x=12是方程④的解;x=2是方程⑤的解;
x=5是方程②的解;x=－5是方程①的解.
?
归纳总结
判断未知数是否是方程解的方法:根据方程的解的概念,把未知数的值代入到方程中,看方程的左右两边是不是相等,如果相等就是方程的解,如果不相等就不是方程的解.
1. ［2025唐山月考］下列各式中，一元一次方程的个数有
( )
①2?????1；②3????=5；③????+????=1 ；
④?????32+5=?????2；⑤????2?2????+3=0 .
?
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. 教材P161练习T2 下列方程中，解为????=1 的是
( )
?
A. ????+1=0 B. 2?????1=????
C. ??????2=???? D. 1?12????=3
?
B
返回
3. ［2025邢台月考］已知????=3是关于????的方程2????+????=0 的
解，则???? 的值是( )
?
C
A. ?4 B. ?5 C. ?6 D. ?7
?
4. 长方形的周长为18?cm，长比宽多1?cm，设宽为?????cm ，依
题意列方程，下列正确的是( )
?
B
A. ????+(????+1)=18 B. 2????+2(????+1)=18
C. ????+(?????1)=18 D. 2????+2(?????1)=18
?
返回
5. 请写一个未知数的系数是?3 且方程的解
是1的一元一次方程:___________________________.
6.［2025保定期末］已知方程(?????1)????|????|+4=0是关于???? 的
一元一次方程，则???? 的值是____.
?
?3????+3=0（答案不唯一）
?
?1
?
【点拨】因为方程(?????1)????|????|+4=0是关于???? 的一元一次方
程，所以?????1≠0且|????|=1，所以????=?1 .
?
返回
7.检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解.
（1）2????+5=10?????3(????=1) ；
?
【解】当????=1 时，
左边=2????+5=7，右边=10?????3=7 ，
左边=右边，所以????=1 是该方程的解.
?
（2）????2?5(?????2)=6(????=0) .
?
当????=0 时，
左边=0?5×(0?2)=10，右边=6 ，
左边≠右边，所以????=0 不是该方程的解.
?
返回
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有
四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；
若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，
多少辆车？设共有???? 人，可列方程( )
?
A
A. ????4+1=?????93 B. ????4+1=????3?9
C. ????4?1=????+93 D. ????4+1=????+93
?
返回
9.小明在解方程5?????????=13?（????为未知数）时，误将????? 看作
+????，得方程的解为????=?2 ，则原方程的解为______.
?
????=2
?
【点拨】由题意知，????=?2是方程5????+????=13 的解，所以
5????+(?2)=13，解得????=3，把????=3代入5?????????=13 ，得
15?????=13，解得????=2 .
?
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