5.4.1 用一元一次方程解决和差倍分问题 课件（共21张PPT））冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：5.4.1 用一元一次方程解决和差倍分问题
幻灯片 2：学习目标
理解和差倍分问题的基本特征，能准确分析问题中的数量关系。
掌握列一元一次方程解决和差倍分问题的步骤，能正确设未知数并列出方程。
体会方程思想在解决实际问题中的应用，提高分析和解决问题的能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的和差倍分问题
展示场景：
学校图书馆共有故事书和科技书 1200 本，其中故事书的数量是科技书的 3 倍，故事书和科技书各有多少本？
小明和小红共有零花钱 80 元，小明比小红多 20 元，两人各有多少零花钱？
某工厂今年的产量比去年增加了 20%，今年生产产品 5000 件，去年的产量是多少件？
提问：这些问题都涉及数量之间的和、差、倍、分关系，如何用数学方法解决这类问题？
引入：和差倍分问题是实际生活中常见的数学问题，通过列一元一次方程可以清晰、高效地解决，本节课我们将学习如何用一元一次方程解决和差倍分问题。
幻灯片 4：和差倍分问题的基本数量关系
和差关系：
和：A + B = 总和；
差：A - B = 差（A > B）；
变形：A = B + 差，B = A - 差，总和 = A + B = (B + 差) + B = 2B + 差。
倍分关系：
倍：A = n×B（A 是 B 的 n 倍）；
分：A = \(\frac{m}{n}\)×B（A 是 B 的\(\frac{m}{n}\)）；
增长 / 减少：A = B×(1 + 增长率)，A = B×(1 - 减少率)。
关键：找到问题中的 “和、差、倍、分” 关键词，确定数量之间的等量关系。
幻灯片 5：列方程解决和差倍分问题的步骤
第一步：审清题意：明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系，找出关键的 “和、差、倍、分” 关键词。
第二步：设未知数：根据问题选择合适的未知量设为 x（直接设未知数：问什么设什么；间接设未知数：当直接设未知数不易列方程时，设与未知量相关的量为 x）。
第三步：找等量关系：根据和差倍分关系，用含未知数的代数式表示相关量，列出等量关系式。
第四步：列方程：根据等量关系列出一元一次方程。
第五步：解方程：运用去括号、去分母、移项等方法解出方程的解。
第六步：检验并作答：将解代入原问题检验是否符合题意，最后写出答案。
幻灯片 6：类型 1—— 和差问题
特征：已知两个量的和与差，求这两个量。
等量关系：大数 + 小数 = 和，大数 - 小数 = 差。
例题 1：
题目：甲、乙两数的和是 15，甲数比乙数大 3，求甲、乙两数分别是多少？
解答过程：
设乙数为 x，则甲数为 x + 3（根据 “甲数比乙数大 3”）；
等量关系：甲数 + 乙数 = 15；
列方程：(x + 3) + x = 15；
解方程：2x + 3 = 15 → 2x = 12 → x = 6；
甲数 = 6 + 3 = 9；
检验：9 + 6 = 15，9 - 6 = 3，符合题意。
答案：甲数是 9，乙数是 6。
幻灯片 7：类型 2—— 倍数问题
特征：已知一个量是另一个量的几倍（或几分之几），以及它们的和（或差），求这两个量。
等量关系：A = n×B，A + B = 和（或 A - B = 差）。
例题 2：
题目：某班共有学生 54 人，男生人数是女生人数的 2 倍，求男生和女生各有多少人？
解答过程：
设女生人数为 x，则男生人数为 2x（根据 “男生人数是女生人数的 2 倍”）；
等量关系：男生人数 + 女生人数 = 总人数；
列方程：2x + x = 54；
解方程：3x = 54 → x = 18；
男生人数 = 2×18 = 36；
检验：36 + 18 = 54，36 ÷ 18 = 2，符合题意。
答案：男生有 36 人，女生有 18 人。
幻灯片 8：类型 3—— 倍差问题
特征：已知一个量是另一个量的几倍多（或少）几，以及它们的和（或差），求这两个量。
等量关系：A = n×B + m（或 A = n×B - m），A + B = 和（或 A - B = 差）。
例题 3：
题目：商店运来苹果和梨共 300 千克，苹果的重量比梨的 2 倍少 60 千克，苹果和梨各运来多少千克？
解答过程：
设梨的重量为 x 千克，则苹果的重量为 (2x - 60) 千克（根据 “苹果的重量比梨的 2 倍少 60 千克”）；
等量关系：苹果重量 + 梨重量 = 总重量；
列方程：(2x - 60) + x = 300；
解方程：3x - 60 = 300 → 3x = 360 → x = 120；
苹果重量 = 2×120 - 60 = 180（千克）；
检验：180 + 120 = 300，180 = 2×120 - 60，符合题意。
答案：苹果运来 180 千克，梨运来 120 千克。
幻灯片 9：类型 4—— 分率问题（含增长率 / 减少率）
特征：已知一个量是另一个量的几分之几（或百分之几），或增长率 / 减少率，求相关量。
等量关系：部分量 = 总量 × 分率，现量 = 原量 ×(1 + 增长率)，现量 = 原量 ×(1 - 减少率)。
例题 4：
题目：某学校去年有学生 800 人，今年的学生人数比去年增加了 5%，今年有学生多少人？若明年计划在今年的基础上再增加 4%，明年计划有学生多少人？
解答过程：
今年学生人数：设今年有学生 x 人，根据 “今年比去年增加 5%”，列方程 x = 800×(1 + 5%)；
解方程：x = 800×1.05 = 840（人）；
明年学生人数：设明年计划有学生 y 人，根据 “明年比今年增加 4%”，列方程 y = 840×(1 + 4%)；
解方程：y = 840×1.04 = 873.6，人数需为整数，故 y = 874（人）；
检验：800×5% = 40，800 + 40 = 840；840×4% = 33.6，840 + 33.6 = 873.6 ≈ 874，符合题意。
答案：今年有学生 840 人，明年计划有学生 874 人。
幻灯片 10：例题 5—— 综合和差倍分问题
题目：甲、乙、丙三个数的和是 90，甲数是乙数的 2 倍，乙数是丙数的 3 倍，求甲、乙、丙三个数分别是多少？
解答过程：
分析：丙数最小，设丙数为 x，则乙数为 3x（乙数是丙数的 3 倍），甲数为 2×3x = 6x（甲数是乙数的 2 倍）；
等量关系：甲数 + 乙数 + 丙数 = 90；
列方程：6x + 3x + x = 90；
解方程：10x = 90 → x = 9；
乙数 = 3×9 = 27，甲数 = 6×9 = 54；
检验：54 + 27 + 9 = 90，54 ÷ 27 = 2，27 ÷ 9 = 3，符合题意。
答案：甲数是 54，乙数是 27，丙数是 9。
幻灯片 11：易错点提醒
设未知数不当：未选择最合适的未知量设为 x，导致方程复杂，例如在多个量的倍数关系中，未设最小的量为 x，增加计算难度。
等量关系错误：混淆 “和、差、倍、分” 的表述，例如将 “甲数比乙数的 2 倍多 3” 错误表示为 2 (甲) + 3 = 乙，正确应为甲 = 2× 乙 + 3。
单位不统一：在涉及分率或增长率问题时，未注意单位是否统一，例如将 “增加 5%” 误理解为增加 5 个单位。
忽略实际意义：解出方程后未检验解是否符合实际情况，例如人数、数量出现负数或小数（非整数）时未调整。
漏写答案或单位：解方程后忘记写出完整答案，或答案未带单位，不符合规范。
幻灯片 12：巩固练习
题目 1：某工厂第一季度生产 A、B 两种产品共 500 件，其中 A 产品的数量比 B 产品多 100 件，A、B 两种产品各生产多少件？
题目 2：果园里桃树的棵数是杏树的 4 倍，桃树比杏树多 120 棵，桃树和杏树各有多少棵？
题目 3：某班女生人数是男生人数的\(\frac{3}{4}\)，全班共有 49 人，求男生和女生的人数。
题目 4：一件商品原价为 x 元，现打八折销售，售价为 160 元，求原价 x。
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：设 B 产品生产 x 件，则 A 产品生产 x + 100 件，列方程 x + (x + 100) = 500，解得 x = 200，A 产品 300 件，B 产品 200 件。
题目 2 答案：设杏树有 x 棵，则桃树有 4x 棵，列方程 4x - x = 120，解得 x = 40，桃树 160 棵，杏树 40 棵。
题目 3 答案：设男生有 x 人，则女生有\(\frac{3}{4}\)x 人，列方程 x + \(\frac{3}{4}\)x = 49，解得 x = 28，男生 28 人，女生 21 人。
题目 4 答案：列方程 0.8x = 160，解得 x = 200，原价为 200 元。
幻灯片 13：课堂总结
问题特征：涉及数量之间的和、差、倍、分关系，关键词有 “和、共、多、少、倍、几分之几、增长、减少” 等。
解题步骤：审清题意→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验作答。
关键技巧：
设未知数时，优先设较小的量或 “1 倍量” 为 x，简化计算；
准确翻译文字表述为数学等量关系，例如 “甲比乙的 3 倍少 5” 翻译为 “甲 = 3× 乙 - 5”；
解后检验解的实际意义，确保符合问题情境。
幻灯片 14：作业布置
教材课后对应习题，练习用一元一次方程解决和差倍分问题。
学校组织植树活动，七年级和八年级共植树 300 棵，八年级植树的棵数比七年级的 2 倍少 30 棵，七年级和八年级各植树多少棵？
甲、乙两个仓库共有粮食 800 吨，从甲仓库运出 100 吨后，甲仓库的粮食是乙仓库的 2 倍，原来甲、乙两个仓库各有粮食多少吨？
某商品原价为 200 元，经过两次降价后售价为 162 元，若每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率（设百分率为 x，列方程即可）。
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.4.1 用一元一次方程解决
和差倍分问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
阅读下列对话,你能帮小敏解答困惑吗
小红:“小敏,我能猜出你的年龄.”
小敏:“我不信.”
小红:“你的年龄乘2减5等于多少 ”
小敏:“21.”
小红:“你13岁.”
小敏:她怎么知道我的年龄的呢
学生活动一 【一起探究】
问题1:某学校七年级同学参加一次公益活动,其中15%的同学去作保护环境的宣传,剩下的170名同学去植树.七年级共有多少名同学参加了这次公益活动
本题的等量关系是什么 请根据等量关系列出方程,并求解.
作保护环境宣传的人数+植树的人数=参加公益活动的同学人数.
解:设七年级共有x名同学参加了这次公益活动,则作保护环境宣传的同学有15%x名.
根据题意,得15%x+170=x.
解这个方程,得x=200.
答:七年级共有200名同学参加了这次公益活动.
还有其他的列法吗
解:设七年级共有x名同学参加了这次公益活动,则作保护环境宣传的同学有(x－170)名.根据题意,得15%x=x－170.
问题2:如何根据和、差、倍分问题列方程
找关键词,确定等量关系,设未知数,再列方程.
有哪些等量关系呢
学生活动二 【一起探究】
和(差)关系,
如总量=各分量之和,大数=小数+大数与小数的差;
倍(分)关系,
如几倍后的量=基础量×倍数,分量=总量×分量对总量所占的分数.
思考:列一元一次方程解应用题的步骤有哪些
(1)认真审题,寻找等量关系.
(2)设未知数.用字母表示题目中的未知数时,一般采用直接设法,当直接设法列方程有困难时,可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写.
(3)列方程.可借助图表等分析题中的已知量与未知量之间的关系,列出等式两边的代数式.列方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量.
(4)解方程.应根据等式的基本性质和运算法则求解.
(5)检验并作答.检查方程的解是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位.
大、小两台拖拉机一天共耕地19公顷.其中,大拖拉机耕地面积比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷.这两台拖拉机一天各耕地多少公顷
分析:大拖拉机耕地面积+小拖拉机耕地面积=总耕地面积.
大拖拉机耕地面积=小拖拉机耕地面积×2+1.
解:设小拖拉机一天耕地x公顷,则大拖拉机一天耕地(2x+1)公顷.
根据题意,得x+(2x+1)=19.解得x=6.
所以2x+1=13.
答:大拖拉机一天耕地13公顷,小拖拉机一天耕地6公顷.
1. 《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中
《颂》的部分有40篇，比《风》的篇数少 ，求《风》的篇数.
若设《风》有 篇，则下列说法正确的是( )
D
A. 依题意,得
B. 依题意,得
C. 依题意,得
D. 《诗经》中《风》有160篇
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2.某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防
止沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分
沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的.设把 公顷
沙漠改为绿州，则可列方程为______________________.
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3.一个大于0的两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果
将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原
来的两位数为____.
45
【点拨】设原数的个位数字是，则十位数字是 .根据题
意，得，解得 ，
，则原来的两位数为45.
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4. “阳光爱心社”积极开展“爱心助教”的公
益活动，现准备将6 000本笔记本发往， 两所学校，其中
发往学校的笔记本的数量比发往 学校的笔记本数量的1.5
倍少1 000本，则发往 学校的笔记本是_______本.
3 200
【点拨】设发往学校的笔记本为本，则发往 学校的笔记
本为 本.根据题意，得
，解得 所以
.所以发往 学校的笔记本为3 200本.
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5.某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞
镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分/分 3 1
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次.
（1）求珍珍第一局的得分；
【解】由题意可得
（分）.
答：珍珍第一局的得分为6分.
（2）在第二局中，珍珍投中A区 次，B区3
次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高
了13分，求 的值.
由题意可得 ,
解得 .
即 的值为6.
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