5.4.2 用一元一次方程解决行程问题与工程问题 课件（共26张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：5.4.2 用一元一次方程解决行程问题与工程问题
幻灯片 2：学习目标
理解行程问题和工程问题的基本数量关系，能准确分析问题中的等量关系。
掌握列一元一次方程解决相遇、追及等行程问题以及工程问题的步骤。
体会方程思想在解决实际问题中的应用，提高分析和解决复杂问题的能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的行程与工程问题
展示场景：
小明和小红分别从相距 2000 米的两地同时出发，相向而行，小明每分钟走 60 米，小红每分钟走 40 米，经过几分钟两人相遇？
一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？
一辆汽车从 A 地开往 B 地，每小时行 80 千米，行驶 3 小时后距离 B 地还有 120 千米，A、B 两地相距多少千米？
提问：这些问题涉及物体的运动和工程的完成，如何用数学方法分析其中的数量关系并解决？
引入：行程问题和工程问题是实际生活中常见的数学问题，其核心是找到等量关系，通过列一元一次方程可以有效解决，本节课我们将学习具体的解决方法。
第一部分：行程问题
幻灯片 4：行程问题的基本数量关系
核心公式：路程 = 速度 × 时间（s = v×t）。
变形公式：
速度 = 路程 ÷ 时间（v = s÷t）；
时间 = 路程 ÷ 速度（t = s÷t）。
常见类型：
相遇问题：两人（或物体）从两地相向而行，相遇时总路程 = 两者路程之和；
追及问题：两人（或物体）同向而行，追及时快者路程 = 慢者路程 + 初始距离；
同向行驶（同地不同时或同时不同地）：根据路程关系列等量关系；
往返问题：往返路程相等，速度不同时根据时间关系列等量关系。
幻灯片 5：类型 1—— 相遇问题
特征：两人（或物体）从两地同时出发，相向而行，最终相遇。
等量关系：甲的路程 + 乙的路程 = 两地总距离。
例题 1：
题目：A、B 两地相距 300 千米，甲车从 A 地出发，每小时行 60 千米，乙车从 B 地出发，每小时行 40 千米，两车同时出发相向而行，经过几小时两车相遇？
解答过程：
设经过 x 小时两车相遇；
甲车行驶的路程为 60x 千米，乙车行驶的路程为 40x 千米；
等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = A、B 两地距离；
列方程：60x + 40x = 300；
解方程：100x = 300 → x = 3；
检验：60×3 + 40×3 = 180 + 120 = 300，符合题意。
答案：经过 3 小时两车相遇。
幻灯片 6：类型 2—— 追及问题（同地不同时）
特征：两人（或物体）从同一地点出发，先后同向行驶，快者追上慢者。
等量关系：快者行驶的路程 = 慢者行驶的路程。
例题 2：
题目：小明以每分钟 50 米的速度从家出发去学校，10 分钟后，爸爸发现他忘带课本，以每分钟 150 米的速度骑车去追小明，爸爸经过几分钟能追上小明？
解答过程：
设爸爸经过 x 分钟能追上小明；
小明先出发 10 分钟，行驶的路程为 50×10 = 500 米，之后又行驶了 50x 米，总路程为 (500 + 50x) 米；
爸爸行驶的路程为 150x 米；
等量关系：爸爸行驶路程 = 小明总行驶路程；
列方程：150x = 500 + 50x；
解方程：100x = 500 → x = 5；
检验：爸爸路程 150×5 = 750 米，小明路程 50×(10 + 5) = 750 米，符合题意。
答案：爸爸经过 5 分钟能追上小明。
幻灯片 7：类型 3—— 追及问题（同时不同地）
特征：两人（或物体）从不同地点同时出发，同向而行，快者追上慢者。
等量关系：快者路程 = 慢者路程 + 两地初始距离。
例题 3：
题目：甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道一圈长 400 米，甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 200 米，两人同时从同一地点出发同向而行，经过几分钟甲第一次追上乙？
解答过程：
设经过 x 分钟甲第一次追上乙；
甲行驶的路程为 300x 米，乙行驶的路程为 200x 米；
等量关系：甲的路程 = 乙的路程 + 跑道一圈长度；
列方程：300x = 200x + 400；
解方程：100x = 400 → x = 4；
检验：300×4 = 1200 米，200×4 + 400 = 1200 米，符合题意。
答案：经过 4 分钟甲第一次追上乙。
第二部分：工程问题
幻灯片 8：工程问题的基本数量关系
核心概念：
工作总量：通常把整个工程的工作量看作单位 “1”；
工作效率：单位时间内完成的工作量，例如 “甲单独做需 10 天完成”，则甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\)；
工作时间：完成工程所需的时间。
核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。
等量关系：
各部分工作量之和 = 总工作量（通常为 1）；
合作时的工作效率 = 各单独工作效率之和。
幻灯片 9：类型 1—— 单人工程问题
特征：已知单人完成工程的时间，求工作效率或部分工作量。
等量关系：工作效率 × 工作时间 = 完成的工作量。
例题 4：
题目：一项工程，甲单独做需要 12 天完成，甲每天的工作效率是多少？甲工作 3 天后完成了工程的几分之几？还剩几分之几未完成？
解答过程：
甲的工作效率 = 1÷12 = \(\frac{1}{12}\)；
甲工作 3 天完成的工作量 = \(\frac{1}{12}\)×3 = \(\frac{1}{4}\)；
剩余工作量 = 1 - \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)。
答案：甲每天的工作效率是\(\frac{1}{12}\)，工作 3 天后完成工程的\(\frac{1}{4}\)，还剩\(\frac{3}{4}\)未完成。
幻灯片 10：类型 2—— 合作工程问题
特征：多人合作完成工程，已知各自单独完成时间，求合作时间或分工完成的工作量。
等量关系：甲的工作量 + 乙的工作量 + ... = 总工作量（1）。
例题 5：
题目：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成这项工程？
解答过程：
设两人合作需要 x 天完成；
甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{15}\)，合作效率为\(\frac{1}{10}\) + \(\frac{1}{15}\)；
等量关系：合作效率 × 合作时间 = 总工作量；
列方程：(\(\frac{1}{10}\) + \(\frac{1}{15}\))x = 1；
解方程：通分得\(\frac{3 + 2}{30}\)x = 1 → \(\frac{5}{30}\)x = 1 → \(\frac{1}{6}\)x = 1 → x = 6；
检验：(\(\frac{1}{10}\) + \(\frac{1}{15}\))×6 = \(\frac{1}{6}\)×6 = 1，符合题意。
答案：两人合作需要 6 天完成这项工程。
幻灯片 11：类型 3—— 分工合作工程问题
特征：多人分阶段合作完成工程，部分人先做，部分人后加入或退出。
等量关系：前期工作量 + 后期合作工作量 = 总工作量（1）。
例题 6：
题目：一项工程，甲单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成，甲先单独做 5 天后，乙加入合作，还需多少天才能完成这项工程？
解答过程：
设乙加入后还需 x 天完成；
甲的工作效率为\(\frac{1}{20}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{30}\)；
甲先做 5 天的工作量为\(\frac{1}{20}\)×5 = \(\frac{1}{4}\)；
两人合作 x 天的工作量为 (\(\frac{1}{20}\) + \(\frac{1}{30}\))x；
等量关系：前期工作量 + 合作工作量 = 1；
列方程：\(\frac{1}{4}\) + (\(\frac{1}{20}\) + \(\frac{1}{30}\))x = 1；
解方程：通分得\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{12}\)x = 1 → \(\frac{1}{12}\)x = \(\frac{3}{4}\) → x = 9；
检验：\(\frac{1}{4}\) + (\(\frac{1}{20}\) + \(\frac{1}{30}\))×9 = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) = 1，符合题意。
答案：还需 9 天才能完成这项工程。
幻灯片 12：易错点提醒
行程问题：
混淆相遇和追及的等量关系，例如相遇问题误用 “快者路程 - 慢者路程 = 总距离”。
忽略单位统一，例如速度单位是千米 / 小时，时间单位是分钟，未统一单位就计算。
环形追及问题中，未明确 “追上一次” 意味着快者比慢者多跑一圈的路程。
工程问题：
未将工作总量设为单位 “1”，导致无法计算工作效率。
合作效率计算错误，例如甲效率\(\frac{1}{10}\)、乙效率\(\frac{1}{15}\)，合作效率误算为\(\frac{1}{10 + 15}\) = \(\frac{1}{25}\)，正确应为\(\frac{1}{10}\) + \(\frac{1}{15}\) = \(\frac{1}{6}\)。
分阶段工作时，漏算某段时间的工作量，例如甲先做 3 天，合作 x 天，总工作量误写成合作工作量。
幻灯片 13：巩固练习
行程问题：
题目 1：两地相距 450 千米，快车每小时行 60 千米，慢车每小时行 30 千米，两车同时从两地相向而行，几小时后两车相距 90 千米？（两种情况：相遇前和相遇后）
题目 2：一列火车长 200 米，以每秒 20 米的速度通过一座长 800 米的大桥，从车头上桥到车尾离桥需要多少秒？
工程问题：
题目 3：一项工程，甲单独做需 15 天，乙单独做需 20 天，丙单独做需 25 天，三人合作需要多少天完成？
题目 4：某工程甲单独做 6 天完成，乙单独做 8 天完成，若甲先做 2 天，余下的由乙单独做，还需几天完成？
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：设 x 小时后相距 90 千米，相遇前：60x + 30x + 90 = 450 → x = 4；相遇后：60x + 30x - 90 = 450 → x = 6。
题目 2 答案：总路程 = 车长 + 桥长 = 1000 米，时间 = 1000÷20 = 50 秒。
题目 3 答案：设 x 天完成，(\(\frac{1}{15}\) + \(\frac{1}{20}\) + \(\frac{1}{25}\))x = 1 → x = \(\frac{300}{47}\) ≈ 6.38，取 7 天。
题目 4 答案：设还需 x 天，\(\frac{1}{6}\)×2 + \(\frac{1}{8}\)x = 1 → x = \(\frac{16}{3}\) ≈ 5.33，取 6 天。
幻灯片 14：课堂总结
行程问题：
核心公式：s = v×t，关键是根据运动方向（相向、同向）确定等量关系。
相遇问题：路程和 = 总距离；追及问题：路程差 = 初始距离。
工程问题：
核心公式：工作量 = 效率 × 时间，总工作量设为单位 “1”。
合作问题：效率和 × 时间 = 总工作量，分阶段工作需累加各阶段工作量。
解题步骤：审清题意→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验作答。
幻灯片 15：作业布置
教材课后对应习题，练习行程问题和工程问题的求解。
行程问题：甲、乙两人分别从相距 1800 米的两地出发，甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 80 米，甲先出发 2 分钟后乙再出发，乙出发后几分钟两人相遇？
工程问题：一项工程，甲单独做需 12 天，乙单独做需 18 天，甲先做 3 天，乙加入合作，完成工程时甲共做了多少天？
附加题：一辆汽车从 A 地到 B 地，前半段路程每小时行 60 千米，后半段路程每小时行 40 千米，全程的平均速度是多少？（提示：设总路程为 2s）
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.4.2 用一元一次方程解决
行程问题与工程问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
小红和小华家相距5 km,周末两人约好出去玩,两人同时从家里出发,相对而行,小红每小时走3 km,小华每小时走2 km,问她们出发后几小时在途中相遇
学生活动一 【探究行程问题】
问题1:请尝试找出上一活动中的问题的等量关系.
解:小红所走的路程+小华所走的路程=小红家和小华家之间的路程.
解:设两人出发后x h相遇,
则根据题意,可列出方程为3x+2x=5.解得x=1.
答:她们出发后1小时在途中相遇.
思考:在行程问题中有哪些数量关系 如何列方程
解方程应用题的关键就是要“抓住基本量,找出相等关系”,
行程问题中有三个基本量:路程、时间、速度.
路程=速度×时间.
相遇问题:①相遇时间×速度和=路程和;②s甲+s乙=s.
学生活动二【探究工程问题】
问题2:一项工作,小李单独做需要6 h完成,小王单独做需要9 h完成,如果小李先做2 h后,再由两人合做,那么还需两人合做几小时才能完成
分析：小李单独做6 h的工作量=小王单独做9 h的工作量,
小李单独做2 h的工作量+两人合做的工作量=总工作量,
工作效率×工作时间=工作量.
如果设还需两人合做x h才能完成,则有
解:设还需两人合做x h才能完成.
根据题意,得×2+(+)x=1.
解这个方程,得x=.
答:还需两人合做 h才能完成这项工作.
思考:工程问题的基本量是什么 基本关系式呢
工程问题中的基本量:工作效率、工作时间、工作量.
基本关系式:工作量=工作效率×工作时间;
工作效率=工作量÷工作时间;
工作时间=工作量÷工作效率.
这三个量中,如果有两个量是已知的或是已设的未知量,则可用它们表示出第三个量.
注意:在有关工程问题中,通常把全部工作量视为“1”,分析这类问题的关键是抓住工作效率.
例　甲、乙两地间的路程为375 km,一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90 km/h,公共汽车的平均速度为60 km/h.它们出发后多长时间相遇
分析:(1)本题中的等量关系:轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=甲、乙两地之间的总路程.
(2)设两车出发后x h相遇,根据下图可列方程.
解:设两车出发后x h相遇.
根据题意,可得90x+60x=375.解得x=2.5.
答:两车出发后2.5小时相遇.
1. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题
（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，
大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、
北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过 天相遇，则下列
方程正确的是( )
A
A. B.
C. D.
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2. ［2024烟台］《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著
作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日
织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：
现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每
天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一
尺布，30天完工，问一共织了多少布？( )
C
A. 45尺 B. 88尺
C. 90尺 D. 98尺
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3.一学生队伍以 的速度从学校出发步行前往某地参加
劳动.出发半小时后，学校有紧急通知要传给队长，立即派了
一名通讯员骑自行车以 的速度原路去追，该通讯员
要用____ 才能追上学生队伍.
0.2
【点拨】设通讯员要用 才能追上学生队伍。根据题意，得
，解得.故通讯员要用 才能追上学
生队伍.
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4. 师徒二人检修管道，____，求师傅与徒
弟每小时各检修多长的管道？
条件：
①该管道长 ；
②师傅每小时比徒弟多检修 ；
③两人从管道两端同时开始检修， 后完成任务；
④师傅先检修，两人再一起检修 后完成任务.
在上述四个条件中选择____（选3个，填序号，写一种即
可），并完成解答.
【解】答案不唯一，写一种即可.
当选择①②③时，设师父每小时检修 ，则徒弟每小时检
修 .
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择①②④时，设师父每小时检修 ，则徒弟每小时检
修 .
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择②③④时，设师父每小时检修 ，则徒弟每小时检
修 .
由题意，得 ，
解得，所以 ，
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
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5.一客轮沿江从A港顺流到达B港需要 ，从B港逆流到A港
需要.一天，客轮从A港出发开往B港， 后，客轮上的一
位旅客的帽子不慎落入江中，则帽子漂流到B港需要____ .
32
【点拨】设A港到B港的路程为1，则顺水速度为 ，逆水速度
为，水流速度为.设帽子漂流到B港需要的时间是 ，
由题意，得，解得 .故帽子漂流到B港
需要 .
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