5.4.3 同一个量的不同表示问题 课件（共26张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：5.4.3 同一个量的不同表示问题
幻灯片 2：学习目标
理解 “同一个量的不同表示” 的含义，能识别问题中同一量的不同表达形式。
掌握根据同一个量的不同表示建立等量关系列方程的方法。
能运用该方法解决实际问题，提高分析和转化数量关系的能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的同一量不同表示
展示场景：
小明买了 3 支钢笔和 2 本笔记本，共花了 32 元。已知每本笔记本 5 元，每支钢笔多少元？（钢笔总价 + 笔记本总价 = 总花费，总花费可表示为 32 元，也可表示为钢笔总价与笔记本总价之和）
一个长方形的周长是 40cm，长比宽多 5cm，求长方形的长和宽。（周长可表示为 40cm，也可表示为 2×(长 + 宽)）
某班学生分组参加活动，若每组 6 人，则多 4 人；若每组 7 人，则少 3 人。该班有多少学生？（学生总数可表示为 6× 组数 + 4，也可表示为 7× 组数 - 3）
提问：这些问题中都存在一个量可以用两种不同的方式表示，如何利用这种特点解决问题？
引入：在实际问题中，常常会遇到同一个量可以通过不同的数量关系来表示的情况，利用这一特点建立等量关系是列方程解决问题的重要思路，本节课我们将学习如何解决这类问题。
幻灯片 4：同一个量不同表示的核心思想
概念：在一个问题中，存在某个关键量（如总价、总长度、总人数等），它可以通过两种不同的途径或数量关系用代数式表示出来，这两种表示形式所代表的是同一个量，因此它们相等，据此可建立方程。
核心公式：量的第一种表示形式 = 量的第二种表示形式。
关键步骤：
确定问题中的关键量（即同一个量）；
找到这个量的两种不同表示方法，分别用含未知数的代数式表示；
根据 “两种表示形式相等” 列出方程。
幻灯片 5：类型 1—— 经济问题中的同一量不同表示
特征：涉及总价、单价、数量等，总价可通过不同商品的单价和数量表示，或通过总花费的不同构成表示。
等量关系：总价的第一种表示 = 总价的第二种表示。
例题 1：
题目：某商店将一批苹果按原价提高 50% 后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每千克苹果仍获利 2 元。已知这批苹果的原价是每千克多少元？
解答过程：
设这批苹果的原价是每千克 x 元；
关键量是每千克苹果的售价（也是成本 + 利润）；
第一种表示：提高 50% 后标价为 (1 + 50%) x = 1.5x 元，8 折优惠卖出价为 1.5x×0.8 = 1.2x 元；
第二种表示：获利 2 元，即售价 = 原价 + 2 = x + 2 元；
等量关系：1.2x = x + 2；
解方程：0.2x = 2 → x = 10；
检验：原价 10 元，标价 15 元，8 折后 12 元，12 - 10 = 2 元，符合题意。
答案：这批苹果的原价是每千克 10 元。
幻灯片 6：类型 2—— 几何问题中的同一量不同表示
特征：涉及几何图形的周长、面积、体积等，这些量可通过公式或边长、角度等关系用不同方式表示。
等量关系：几何量的第一种表示 = 几何量的第二种表示。
例题 2：
题目：一个三角形的周长是 30cm，其中一条边是另一条边的 2 倍，第三条边比最短边长 5cm，求三角形三条边的长度。
解答过程：
设最短边的长度为 x cm，则另一条边为 2x cm，第三条边为 (x + 5) cm；
关键量是三角形的周长；
第一种表示：周长 = 30cm；
第二种表示：周长 = x + 2x + (x + 5) = 4x + 5 cm；
等量关系：4x + 5 = 30；
解方程：4x = 25 → x = 6.25；
三条边长度分别为 6.25cm、12.5cm、11.25cm；
检验：6.25 + 12.5 + 11.25 = 30cm，符合题意，且满足三角形三边关系。
答案：三角形三条边的长度分别为 6.25cm、12.5cm、11.25cm。
幻灯片 7：类型 3—— 分配问题中的同一量不同表示
特征：涉及人员分配、物品分配等，总人数或总物品数可通过不同的分配方案表示。
等量关系：总数量的第一种表示 = 总数量的第二种表示。
例题 3：
题目：某班组织学生参加社会实践活动，若每辆车坐 4 人，则有 3 人没有座位；若每辆车坐 5 人，则刚好空出一辆车。问有多少辆车？多少名学生？
解答过程：
设共有 x 辆车；
关键量是学生总人数；
第一种表示：每车坐 4 人，3 人无座，总人数 = 4x + 3；
第二种表示：每车坐 5 人，空出一辆车，即 (x - 1) 辆车坐满，总人数 = 5 (x - 1)；
等量关系：4x + 3 = 5 (x - 1)；
解方程：4x + 3 = 5x - 5 → x = 8；
学生人数 = 4×8 + 3 = 35（名）；
检验：8 辆车每车坐 4 人剩 3 人，共 35 人；每车坐 5 人需 7 辆车，35 人刚好，符合题意。
答案：有 8 辆车，35 名学生。
幻灯片 8：类型 4—— 浓度问题中的同一量不同表示
特征：涉及溶液、溶质、浓度，溶质质量可通过溶液质量和浓度或稀释 / 浓缩前后的关系表示。
等量关系：溶质质量的第一种表示 = 溶质质量的第二种表示。
例题 4：
题目：现有浓度为 20% 的盐水 500 克，要将其稀释成浓度为 10% 的盐水，需要加入多少克水？
解答过程：
设需要加入 x 克水；
关键量是盐的质量（稀释前后盐的质量不变）；
第一种表示：稀释前盐的质量 = 500×20% = 100 克；
第二种表示：稀释后盐水总质量 = (500 + x) 克，盐的质量 = (500 + x)×10%；
等量关系：(500 + x)×10% = 100；
解方程：50 + 0.1x = 100 → 0.1x = 50 → x = 500；
检验：加入 500 克水后盐水 1000 克，10% 的盐为 100 克，与原来盐质量相等，符合题意。
答案：需要加入 500 克水。
幻灯片 9：解决同一量不同表示问题的步骤
第一步：审清题意：通读问题，明确问题中的已知条件和未知量，找出核心的 “同一个量”。
第二步：设未知数：根据问题设合适的未知数（直接设或间接设），用含未知数的代数式表示相关量。
第三步：找两种表示形式：针对确定的 “同一个量”，从不同角度或通过不同数量关系找到它的两种表达形式。
第四步：列方程：根据 “两种表示形式相等” 建立一元一次方程。
第五步：解方程：运用之前学过的方法解出方程的解。
第六步：检验并作答：将解代入原问题，检验是否符合实际意义，最后写出答案。
幻灯片 10：例题 5—— 综合应用问题
题目：某书店推出优惠活动，购买图书不超过 100 元的按原价付款，超过 100 元的部分按 8 折付款。小明购买图书实际付款 180 元，他购买的图书原价是多少元？
解答过程：
设图书原价是 x 元；
关键量是实际付款金额；
因为 180 元 > 100 元，所以实际付款分两部分：100 元 + 超过 100 元部分的 8 折；
第一种表示：实际付款 = 180 元；
第二种表示：实际付款 = 100 + (x - 100)×0.8 = 100 + 0.8x - 80 = 0.8x + 20；
等量关系：0.8x + 20 = 180；
解方程：0.8x = 160 → x = 200；
检验：原价 200 元，超过 100 元部分 100 元，8 折后 80 元，总付款 100 + 80 = 180 元，符合题意。
答案：他购买的图书原价是 200 元。
幻灯片 11：易错点提醒
找不到关键量：无法识别问题中哪个量是可以用两种方式表示的同一个量，导致无法建立等量关系。
表示形式错误：对同一个量的两种表示方法分析错误，例如在分配问题中，总人数的两种表示漏算或多算部分人数。
忽略实际意义：解出方程后未检验解是否符合实际情况，例如几何问题中边长为负数，经济问题中价格为负数等。
等量关系颠倒：错误地将两种表示形式的位置颠倒，但由于方程是等式，这通常不影响结果，但需注意逻辑合理性。
单位不统一：在涉及不同单位的问题中，未统一单位就进行表示和计算，导致方程错误。
幻灯片 12：巩固练习
题目 1：某商品按定价的 8 折出售，仍能获得 20% 的利润，若该商品的进价为 100 元，求它的定价。（提示：售价可表示为定价 ×80%，也可表示为进价 ×(1 + 20%)）
题目 2：一个长方形的长减少 5cm，宽增加 2cm 后变成正方形，且面积保持不变，求原长方形的长和宽。
题目 3：某班同学去划船，若每条船坐 6 人，则少一条船；若每条船坐 8 人，则多一条船。问有多少条船？多少名同学？
题目 4：有含盐 15% 的盐水 200 克，要使盐水含盐 20%，需要加盐多少克？（提示：加盐前后水的质量不变）
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：设定价为 x 元，0.8x = 100×(1 + 20%) → x = 150 元。
题目 2 答案：设正方形边长为 x cm，则原长 (x + 5) cm，原宽 (x - 2) cm，(x + 5)(x - 2) = x → x = \(\frac{10}{3}\)，原长\(\frac{25}{3}\)cm，宽\(\frac{4}{3}\)cm。
题目 3 答案：设船有 x 条，6 (x + 1) = 8 (x - 1) → x = 7，同学 48 名。
题目 4 答案：设加盐 x 克，200×(1 - 15%) = (200 + x)×(1 - 20%) → x = 12.5 克。
幻灯片 13：课堂总结
核心思想：同一个量可以通过两种不同的方式表示，利用这两种表示形式相等建立方程。
关键步骤：确定关键量→找到两种表示形式→列方程求解→检验作答。
常见类型：经济问题、几何问题、分配问题、浓度问题等，核心都是围绕同一量的不同表示找等量关系。
能力要求：提高分析问题中数量关系的能力，能准确识别同一量的不同表达形式。
幻灯片 14：作业布置
教材课后对应习题，练习同一个量不同表示问题的求解。
某商店将彩电按进价提高 40% 后标价，然后在广告上写 “大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍获利 270 元，求彩电的进价。
一个梯形的上底比下底短 5cm，高是 6cm，面积是 45cm ，求梯形的上底和下底的长度。
某学校组织学生参加春游，若租用 45 座客车，则有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，其余车刚好坐满。问租用了多少辆车？参加春游的学生有多少人？
有含酒精 70% 的溶液 500 克，要配制成含酒精 50% 的溶液，需要加入多少克水？
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.4.3 同一个量的不同表示问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
当我们站在一望无垠的麦田中央,倾听流泻而出的风的声音,初升的日光照射在麦田上,绿油油的麦苗泛着青涩的光,犹如一幅美丽的图画.这幅美丽的图画离不开农民伯伯的辛苦劳动,大家知道农民伯伯是怎样施肥的吗
学生活动一 【探究方案问题】
问题1:某农场要对一块麦田施底肥,现有化肥若干千克.若每公顷施肥400kg,则余下化肥800kg;若每公顷施肥500 kg,则缺少化肥300kg.那么,这块麦田的面积是多少公顷 现有化肥多少千克
设这块麦田为x公顷,由“若每公顷施肥400kg,那么余下化肥800 kg”,可得表示化肥质量的式子是怎样的
解:400x+800.
由“若每公顷施肥500kg,那么缺少化肥300kg”,可得表示化肥质量的式子又是怎样的
解:500x－300.
这两个代数式应有怎样的关系
解:化肥质量是相同的,所以有400x+800=500x－300.
解:设这块麦田的面积是x公顷.
由题意,得400x+800=500x－300.解得x=11.
现有化肥为400x+800=5 200.
答:这块麦田的面积是11公顷,现有化肥5 200千克.
思考:此题是否还有其他解法 能否设现有化肥数为y千克
解:设现有化肥数为y千克,
由题意,得=.解得y=5 200.
这块麦田的面积是=11.
答:这块麦田的面积是11公顷,现有化肥5 200千克.
思考:解决此类问题如何寻找等量关系
方案问题是较复杂的应用题之一,解决此类问题的思路是设问题中的多个未知量中的一个为x,利用与未知量密切相关的一个等量关系式表示出另一个未知量,最后利用另外一个等量关系列出方程,即同一个量的不同表示形式.
学生活动二【探究追及问题】
问题2:某学校七年级师生进行了一次徒步活动.带队教师和学生以4 km/h的速度从学校出发,20 min后,小王骑自行车前往追赶.如果小王以12 km/h的速度骑行,那么小王要用多少时间才能追上队伍 此时,队伍已行走了多远
分析:小王追上队伍,也就是小王和队伍走过的路程相等;小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程,如分析图所示.
解:设小王要用x h才能追上队伍,此时队伍行走的时间为(+x)h.
由题意,得12x=4.解得x=.
所以12x=12×=2.
答:小王用 h可追上队伍,此时,队伍已行走了2 km.
此题还有其他解法吗
解:小王追上队伍所用的时间和队伍在小王追赶时到追赶上行驶的路程所用的时间是相等的.
根据这一关系,可设此时队伍行走的路程为y km.
由题意,得=－.
追及问题中的等量关系:
1.同地不同时出发:
(1)s快=s慢.
(2)v快t=v慢(t+a)(a为慢者先走的时间).
2.同时不同地出发:
(1)s快－s慢=s间隔距离.
(2)t快=t慢.
注意:计算时要统一单位.
例1　甲、乙两人相距6 km,二人同时出发.同向而行,甲3小时可追上乙;相向而行,1小时后相遇.二人的平均速度各是多少
解:设甲每小时走x km,则乙每小时走(6－x)km,
由题意,得3x=3(6－x)+6.解得x=4.
所以乙每小时走6－4=2(km).
答:甲的速度为每小时4 km,乙的速度为每小时2 km.
例2　某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船4小时.已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度每小时2.5千米,若A,C两地距离为10千米,求A,B两地间的距离.
解:设A,B两地之间的距离为x km.则B,C两地的距离为(x－10)千米或(x+10)千米.
当C地在A,B两地之间时,
根据题意,得+=4.解得x=20.
当C地在A地上游时,
根据题意,得+=4.解得x=.
答:A,B两地之间的距离为20 km或 km.
1. 《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今
有共买琎 ，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数、
琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多4
钱；每人出 钱，又差3钱.问人数和琎石的价格各是多少？设
人数为 ，则可列方程为( )
D
A. B.
C. D.
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2. 用一根铁丝围成一个三边长度都是 的三角形，如果
将其改围一个正方形，则这个正方形的面积为( )
B
A. B. C. D.
返回
3. 现有一把无刻度
的直尺和四块一样的矩形纸片，已知
纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片
和直尺按如图所示的方式摆放在桌面
上，则根据图中给出的数据可知直尺
的长度是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】设矩形纸片的宽为 ，则
长为 .根据题意，得
，解得
.经检验： 是方程的解，并
符合题意，所以
，即直尺
的长度是 .
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4. 我国古代数学的经典著作《九章算术》中
有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五：
人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙
买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱.问
合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为_____钱.
150
【点拨】设合伙人数为，则，解得 .
所以羊价为 （钱）.
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5. ［2025秦皇岛期末］《算法统宗》是中国古代数学名著，
是明代数学家程大位著.《算法统宗》中记载了这样—个题目：
隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两
分之少半斤.其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，
则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：在明代1
斤 两，故有“半斤八两”这个成语）.下列说法中错误的是
( )
A. 设这群人人数为，则可列方程为
B. 设所分银子的数量为两，则可列方程为
C. 这群人人数为6
D. 所分银子的数量为46两
√
通过本节课的学习，你有哪些收获？
回顾本节课的学习目标，看你是否完成了本节课的任务？
这节课你还有哪些疑惑？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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