5.4.5 用一元一次方程解决几何问题与分段计费问题 课件（共22张PPT）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

(共22张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：5.4.5 用一元一次方程解决几何问题与分段计费问题
幻灯片 2：学习目标
掌握几何问题中常见图形的周长、面积、体积等计算公式，能运用方程解决几何图形的边长、角度等问题。
理解分段计费问题的收费规则，能准确分析不同计费段的费用构成，建立方程解决实际问题。
提高从实际问题中抽象出数学模型的能力，体会方程思想在几何和经济生活中的应用。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的几何与分段计费
展示场景：
一个长方形的周长是 50cm，长比宽多 5cm，求长方形的长和宽分别是多少？
某城市出租车的收费标准为：3 公里以内起步价 8 元，超过 3 公里后每公里加收 2 元，小明乘坐出租车行驶了 8 公里，应付多少车费？
一个三角形的内角和是 180°，其中一个角是另一个角的 2 倍，第三个角比最小的角大 30°，求这三个角的度数。
提问：如何利用图形的基本性质解决几何量的计算问题？分段计费中不同阶段的费用如何计算？
引入：几何问题和分段计费问题在生活中十分常见，几何问题需依托图形公式找等量关系，分段计费问题需按不同标准分段分析，本节课我们将学习用一元一次方程解决这两类问题。
第一部分：几何问题
幻灯片 4：几何问题的基本类型与公式
常见图形及公式：
长方形：周长 = 2×(长 + 宽)，面积 = 长 × 宽。
正方形：周长 = 4× 边长，面积 = 边长 × 边长。
三角形：内角和 = 180°，面积 = \(\frac{1}{2}\)× 底 × 高。
梯形：面积 = \(\frac{1}{2}\)×(上底 + 下底)× 高。
圆：周长 = 2πr（r 为半径），面积 = πr （暂不涉及方程求解复杂圆问题）。
核心思路：根据图形的性质或公式，用未知数表示相关几何量，结合已知条件列出等量关系。
幻灯片 5：类型 1—— 周长与边长问题
特征：已知图形的周长、边长关系，求边长或相关几何量。
等量关系：图形周长公式，边长之间的和差倍分关系。
例题 1：
题目：一个长方形的周长是 60cm，长是宽的 2 倍，求这个长方形的面积。
解答过程：
设长方形的宽为 x cm，则长为 2x cm；
等量关系：长方形周长 = 2×(长 + 宽)；
列方程：2×(2x + x) = 60；
解方程：2×3x = 60 → 6x = 60 → x = 10；
长 = 2×10 = 20cm，面积 = 20×10 = 200cm ；
检验：周长 = 2×(20 + 10) = 60cm，符合题意。
答案：这个长方形的面积是 200cm 。
幻灯片 6：类型 2—— 三角形内角和问题
特征：已知三角形内角之间的关系，求各内角的度数。
等量关系：三角形内角和 = 180°，内角之间的和差倍分关系。
例题 2：
题目：在一个三角形中，最大角的度数是最小角的 3 倍，另一个角比最小角大 20°，求这个三角形三个角的度数。
解答过程：
设最小角的度数为 x，则最大角为 3x，另一个角为 x + 20°；
等量关系：三个角的度数和 = 180°；
列方程：x + 3x + (x + 20°) = 180°；
解方程：5x + 20° = 180° → 5x = 160° → x = 32°；
最大角 = 3×32° = 96°，另一个角 = 32° + 20° = 52°；
检验：32° + 96° + 52° = 180°，符合题意。
答案：三个角的度数分别是 32°、52°、96°。
幻灯片 7：类型 3—— 图形变换问题
特征：图形经过拼接、分割或变形后，相关几何量（如周长、面积）发生变化，根据变化关系求解。
等量关系：变换前后的周长或面积关系，图形边长的转化关系。
例题 3：
题目：将一个边长为 10cm 的正方形铁丝框架改围成一个长方形，且长方形的长比宽多 2cm，求长方形的长和宽。
解答过程：
正方形周长 = 4×10 = 40cm，即长方形周长为 40cm；
设长方形的宽为 x cm，则长为 x + 2 cm；
等量关系：长方形周长 = 2×(长 + 宽)；
列方程：2×(x + 2 + x) = 40；
解方程：2×(2x + 2) = 40 → 4x + 4 = 40 → 4x = 36 → x = 9；
长 = 9 + 2 = 11cm；
检验：周长 = 2×(11 + 9) = 40cm，符合题意。
答案：长方形的长是 11cm，宽是 9cm。
第二部分：分段计费问题
幻灯片 8：分段计费问题的基本特征与思路
核心特征：计费标准按数量分段划分，不同区间的单价或收费方式不同，总费用为各段费用之和。
常见类型：
出租车计费（起步价 + 超程费）；
水电费计费（基础用量价 + 超额用量价）；
电话费 / 网费（套餐费 + 超额费用）；
阶梯票价（不同人数 / 数量对应不同单价）。
解题思路：
确定分段节点（如 3 公里、100 度电）；
明确各段的计费标准；
根据总量判断属于哪几段，用未知数表示各段费用；
总费用 = 各段费用之和，建立方程。
幻灯片 9：类型 1—— 出租车计费问题
特征：费用由起步价和超程费用组成，超程后按单价计费。
等量关系：总费用 = 起步价 + 超程距离 × 超程单价。
例题 4：
题目：某城市出租车收费标准为：3 公里以内（含 3 公里）收费 10 元，超过 3 公里的部分，每公里收费 2.5 元（不足 1 公里按 1 公里计算）。小李乘坐出租车付费 27.5 元，他最多乘坐了多少公里？
解答过程：
设小李乘坐的距离超过 3 公里的部分为 x 公里；
总费用 = 起步价 + 超程费用，即 10 + 2.5x = 27.5；
解方程：2.5x = 17.5 → x = 7；
总距离 = 3 + 7 = 10 公里；
检验：10 + 7×2.5 = 10 + 17.5 = 27.5 元，符合题意。
答案：他最多乘坐了 10 公里。
幻灯片 10：类型 2—— 阶梯水电费问题
特征：按用量分段计费，基础用量单价低，超额用量单价高。
等量关系：总费用 = 基础用量费用 + 超额用量费用。
例题 5：
题目：某地区居民电费收费标准为：每月用电量不超过 100 度的部分，每度 0.5 元；超过 100 度的部分，每度 0.6 元。小明家 10 月份电费为 62 元，他家 10 月份用电量是多少度？
解答过程：
100 度电的费用 = 100×0.5 = 50 元，62 元 > 50 元，说明用电量超过 100 度；
设超过 100 度的部分为 x 度；
等量关系：总费用 = 100 度费用 + 超额费用；
列方程：50 + 0.6x = 62；
解方程：0.6x = 12 → x = 20；
总用电量 = 100 + 20 = 120 度；
检验：100×0.5 + 20×0.6 = 50 + 12 = 62 元，符合题意。
答案：他家 10 月份用电量是 120 度。
幻灯片 11：类型 3—— 分段票价问题
特征：按购买数量或人数分段定价，购买数量越多，单价可能越低。
等量关系：总费用 = 第一段数量 × 第一段单价 + 第二段数量 × 第二段单价。
例题 6：
题目：某景区门票收费标准为：个人票每人 50 元；团体票（30 人及以上）每人 40 元。某旅游团有 25 人，如何购票更省钱？若人数为 x（x < 30），当 x 为何值时，购买团体票比个人票省钱？
解答过程：
25 人购买个人票费用 = 25×50 = 1250 元，购买团体票费用 = 30×40 = 1200 元，1200 < 1250，所以购买团体票更省钱；
设人数为 x 时，团体票费用 < 个人票费用；
列不等式：30×40 <50x → 1200 < 50x → x> 24；
因为 x 为整数且 x < 30，所以 x = 25,26,...,29 时，购买团体票更省钱。
答案：25 人购买团体票更省钱；当人数为 25 到 29 人时，购买团体票比个人票省钱。
幻灯片 12：解决几何与分段计费问题的步骤
几何问题步骤：
识别图形类型，确定相关公式（如周长、面积公式）；
设未知数表示关键几何量（如边长、角度）；
根据图形性质或已知条件列出等量关系（如周长等于已知值、内角和为 180°）；
列方程并求解；
检验解是否符合几何实际（如边长为正、角度在 0°-180° 之间）。
分段计费问题步骤：
明确分段标准和各段计费规则；
判断总量所在的分段区间（或设未知数表示超额部分）；
按分段规则表示总费用，建立等量关系；
列方程并求解；
检验解是否符合计费规则（如费用为正、分段节点正确）。
幻灯片 13：易错点提醒
几何问题：
公式记忆错误，例如将长方形周长公式写成 “长 + 宽 ×2”，正确应为 “2×(长 + 宽)”。
图形变换后忽略关键量不变，例如铁丝改围图形时周长不变，误将面积当作不变量。
角度计算结果不符合三角形内角和或角度范围，例如出现负角度或大于 180° 的角。
分段计费问题：
未判断总量所在分段，直接按单一标准计算，例如电费超过 100 度却按 0.5 元 / 度全程计算。
超额部分计算错误，例如出租车超程距离误算为总距离，未减去起步里程。
忽略 “不足一段按一段计算” 的规则，例如行驶 3.2 公里按 3 公里计算超程费用。
幻灯片 14：巩固练习
几何问题：
题目 1：一个梯形的上底是 5cm，下底是上底的 2 倍，高是 4cm，求梯形的面积。若将下底缩短 x cm 后变成平行四边形，求 x 的值。
题目 2：一个等腰三角形的周长是 40cm，腰长比底边长多 5cm，求三角形的腰长和底边长。
分段计费问题：
题目 3：某电话套餐每月月租 20 元，包含 100 分钟通话，超过 100 分钟的部分每分钟 0.15 元。若某月通话费用为 32 元，该月通话多少分钟？
题目 4：某超市购物，不超过 500 元的部分不打折，超过 500 元的部分打九折。妈妈购物付款 530 元，她购买的商品原价是多少元？
解答：（学生解答后展示正确答案）
题目 1 答案：下底 = 10cm，面积 = \(\frac{1}{2}\)×(5 + 10)×4 = 30cm ；x = 5cm（下底 = 上底时为平行四边形）。
题目 2 答案：设底边长 x cm，腰长 x + 5 cm，x + 2 (x + 5) = 40 → x = 10，腰长 15cm，底边长 10cm。
题目 3 答案：设超过 100 分钟的部分为 x 分钟，20 + 0.15x = 32 → x = 80，总通话 180 分钟。
题目 4 答案：设超过 500 元的部分为 x 元，500 + 0.9x = 530 → x = \(\frac{100}{3}\)，原价 500 + \(\frac{100}{3}\) ≈ 533.33 元。
幻灯片 15：课堂总结
几何问题：
核心是利用图形公式和性质建立等量关系，关键在于准确表示几何量和应用公式。
常见类型：周长与边长、内角和、图形变换，需注意解的几何合理性。
分段计费问题：
核心是按分段标准拆分费用，总费用为各段费用之和，关键在于判断分段区间。
常见类型：出租车、水电费、票价，需注意超额部分的计算和特殊规则。
共性方法：设未知数→找等量关系→列方程→求解检验，体现方程思想的实际应用。
幻灯片 16：作业布置
教材课后对应习题，练习几何问题和分段计费问题的求解。
几何问题：一个长方形的长减少 3cm，宽增加 2cm 后变成正方形，且面积减少 5cm ，求原长方形的长和宽。
分段计费问题：某自来水公司收费标准为：每户每月用水不超过 15 吨的部分，每吨 2 元；超过 15 吨的部分，每吨 3 元。某月甲、乙两户共交水费 90 元，甲户用水量是乙户的 1.5 倍，且两户用水量都超过 15 吨，求甲、乙两户该月的用水量。
拓展题：用一根长 60cm 的铁丝围成一个长方形，怎样围能使长方形的面积最大？最大面积是多少？（提示：设长为 x cm，面积为 y cm ，找 y 与 x 的关系）
2024冀教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.4.5 用一元一次方程解决
几何问题与分段计费问题
第五章 一元一次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
有四位同学到营业厅办理电话计费业务,营业员出示了如下两种计费方式:
月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/(元/分) 被叫
方案一 58 150 0.25 免费
方案二 88 350 0.19 免费
1.你知道什么是“月使用费”、“主叫限定时间”、“主叫超时费”吗
2.如何选择最划算呢
学生活动一 【探究分段计费问题】
方案一:当主叫时间0≤t≤150时,方案一的费用为58元.
当主叫时间t>150时,
方案一的费用=58+0.25×(t－150)=20.5+0.25t.
方案二:当主叫时间0≤t≤350时,方案二的费用为88元.
当主叫时间t>350时,
方案二的费用=88+0.19×(t－350)=21.5+0.19t.
思考:(1)当150解:当两个方案计费相同时,列方程为20.5+0.25t=88,
解得t=270.
所以当t=270时,方案一和方案二费用相等.
(2)①你能写出当t>350时,方案一计费的另一种表达式吗
58+0.25(t－150)= (含有(t－350)项).
②结论:当t≥350时,选择 省钱.
综合以上的分析,可以发现:
当 时,选择方案一省钱;
当 时,选择方案一与方案二费用相等;
当 时,选择方案二省钱.
108+0.25(t－350)
方案二
0≤t<270
t=270
t>270
解决分段计费问题的方法:
(1)确定未知数的临界点,划分为不同区间,分类讨论.
(2)列方程,在每个区间内根据对应的单价和数量,列出总费用的一元一次方程.
(3)解方程.
(4)检验所求解是否符合题目要求.
学生活动二 【探究几何问题】
将一张长和宽分别为40 cm,30 cm的长方形薄纸板按图1中的实线剪开,再按虚线折叠,恰好折叠成如图2所示的长方体盒子,如果这个盒子的宽∶高=4∶1,那么这个长方体盒子的体积是多少
解:设减去的正方形边长为x cm,
则30－2x=4x.解得x=5.
所以长方体盒子的体积为
(40－2x)(30－2x)x=(40－10)×(30－10)×5=3 000.
答:那么这个长方体盒子的体积是3 000cm2.
为鼓励居民节约用电,某市实行每月阶梯电价收费制度,具体执行方案如下:
档次 每户每月用电量/(千瓦·时) 执行电价/[元/(千瓦·时)]
第一档 小于或等于240 0.5
第二档 大于240且小于或等于400时,超出240的部分 0.6
第三档 大于400时,超出400约部分 0.3
某户居民6月、7月共用电520千瓦·时,用电费用为268元.已知该用户7月的用电量大于6月的用电量,且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时.那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时
解:依题意可知, 6月、7月的用电量不可能都在第一档.
若6月,7月的用电量都在第二档,则这两个月用电的总费用为240×0.5+240×0.5+40×0.6=246≠268,
故6月、7月的用电量也不可能都在第二档.
又因为7月的用电量大于6月的,所以6月的用电量应在第一档,
7月的用电量应在第二档.
设6月的用电量为x千瓦·时,则7月的用电量为(520－x) 千瓦·时.
依题意,得0.5x+240×0.5+(520－x－240)×0.6=268.
解得x=200.
520－200=320.
答:该用户6月的用电量为200千瓦·时,
7月的用电量为320千瓦·时.
1. 如图，一雕塑的底面呈正方形，
在其左右侧及后方种植宽度均为
的草坪.若草坪总面积为 ，设雕
塑的底面边长为 ，则有( )
B
A. B.
C. D.
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2. 某市为提倡节约用水，采取分段收费.
若每户每月用水不超过 ，每立方米收费2元；若用水超
过 ，超过部分每立方米加收1元.小明家5月份缴纳水费
64元，则他家该月用水( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】设小明家5月份用水，当用水量为 时，应
缴纳水费（元）.因为，所以 .根据
题意，得，解得 .故选A.
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3.［2025秦皇岛期末］如图，
把一个长为，宽为
的长方形硬纸板四个角各剪去
10
【点拨】设剪去的小正方形的边长为 ，则折成的长方体
盒子的高为.根据题意，得 ,
解得.所以该长方体盒子的高为 .
一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子，使
得该长方体盒子的底面周长是 ，则该长方体盒子的高
为____ .
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4.某保险公司的汽车保险中的汽车修理费是分段赔偿的，具
体赔偿细则如下表.某人在汽车修理后在该保险公司得到的赔
偿金是2 000元，那么此人的汽车修理费是__________.
汽车修理费 元 赔偿率
… …
元
通过本节课的学习，你有哪些收获？
回顾本节课的学习目标，看你是否完成了本节课的任务？
这节课你还有哪些疑惑？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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