4.3.1正比例函数的图象与性质 课件（共36张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

(共36张PPT)
4.3.1 正比例函数的图象与性质
正比例函数作为一次函数的特殊形式，其图象和性质具有鲜明的特点。通过研究正比例函数的图象，我们可以直观地理解它的变化规律，为后续学习更复杂函数的图象和性质提供基础。本节将重点学习正比例函数图象的绘制方法、图象特征以及函数的性质，揭示比例系数对函数图象和性质的影响。
一、正比例函数的图象
（一）图象的绘制
正比例函数的图象是一条经过原点的直线，绘制其图象通常采用两点法，具体步骤如下：
确定两点坐标：对于正比例函数\(y = kx\)（\(k \neq 0\)），选取两个易于计算的点。由于当\(x = 0\)时，\(y = 0\)，因此原点\((0, 0)\)是必选的点；再选取一个非原点的点，通常取\(x = 1\)时，\(y = k\)，即点\((1, k)\)。
描点：在平面直角坐标系中准确标出所选的两个点。
连线：用直尺连接这两个点，得到的直线就是正比例函数\(y = kx\)的图象。
（二）实例解析
例 1：画出正比例函数\(y = 2x\)和\(y = -2x\)的图象。
解：
绘制\(y = 2x\)的图象：
确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 0\)，即点\((0, 0)\)；当\(x = 1\)时，\(y = 2 1 = 2\)，即点\((1, 2)\)。
描点：在坐标系中描出\((0, 0)\)和\((1, 2)\)。
连线：连接两点，得到\(y = 2x\)的图象（如图 1 所示）。
绘制\(y = -2x\)的图象：
确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 0\)，即点\((0, 0)\)；当\(x = 1\)时，\(y = -2 1 = -2\)，即点\((1, -2)\)。
描点：在坐标系中描出\((0, 0)\)和\((1, -2)\)。
连线：连接两点，得到\(y = -2x\)的图象（如图 1 所示）。
（三）图象特征
正比例函数\(y = kx\)的图象是一条经过原点的直线，这是正比例函数图象最显著的特征。无论比例系数\(k\)取何非零值，其图象都必然经过坐标原点\((0, 0)\)。
二、比例系数\(k\)对图象的影响
比例系数\(k\)的符号和绝对值大小直接影响正比例函数图象的位置和倾斜程度。
（一）\(k\)的符号对图象位置的影响
当\(k > 0\)时，正比例函数\(y = kx\)的图象经过第一、三象限。例如，\(y = 2x\)的图象经过第一、三象限，从左到右呈上升趋势。
当\(k < 0\)时，正比例函数\(y = kx\)的图象经过第二、四象限。例如，\(y = -2x\)的图象经过第二、四象限，从左到右呈下降趋势。
（二）\(k\)的绝对值对图象倾斜程度的影响
\(k\)的绝对值\(|k|\)决定了直线的倾斜程度，\(|k|\)越大，直线越靠近\(y\)轴，倾斜程度越陡；\(|k|\)越小，直线越靠近\(x\)轴，倾斜程度越缓。例如：
函数\(y = 3x\)和\(y = \frac{1}{2}x\)中，\(|3| > |\frac{1}{2}|\)，因此\(y = 3x\)的图象比\(y = \frac{1}{2}x\)的图象更陡；
函数\(y = -3x\)和\(y = -\frac{1}{2}x\)中，\(|-3| > |-\frac{1}{2}|\)，因此\(y = -3x\)的图象比\(y = -\frac{1}{2}x\)的图象更陡。
（三）例题解析
例 2：判断下列正比例函数图象经过的象限，并比较图象的倾斜程度：
（1）\(y = 3x\)；（2）\(y = -\frac{1}{3}x\)；（3）\(y = 1.5x\)；（4）\(y = -4x\)。
解：
（1）对于\(y = 3x\)，\(k = 3 > 0\)，因此图象经过第一、三象限。
（2）对于\(y = -\frac{1}{3}x\)，\(k = -\frac{1}{3} < 0\)，因此图象经过第二、四象限。
（3）对于\(y = 1.5x\)，\(k = 1.5 > 0\)，因此图象经过第一、三象限。
（4）对于\(y = -4x\)，\(k = -4 < 0\)，因此图象经过第二、四象限。
比较倾斜程度：\(|3| = 3\)，\(|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}\)，\(|1.5| = 1.5\)，\(|-4| = 4\)。
因为\(4 > 3 > 1.5 > \frac{1}{3}\)，所以图象倾斜程度从陡到缓依次为：\(y = -4x\)、\(y = 3x\)、\(y = 1.5x\)、\(y = -\frac{1}{3}x\)。
三、正比例函数的性质
正比例函数的性质是其图象特征的代数描述，主要体现在函数值随自变量的变化规律上，这些性质与比例系数\(k\)密切相关。
（一）函数的增减性
当\(k > 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。即当自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值也随之增大；当\(x\)的值减小时，\(y\)的值也随之减小。例如，对于\(y = 2x\)，当\(x = 1\)时，\(y = 2\)；当\(x = 2\)时，\(y = 4\)，\(x\)增大，\(y\)也增大。
当\(k < 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。即当自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值随之减小；当\(x\)的值减小时，\(y\)的值随之增大。例如，对于\(y = -2x\)，当\(x = 1\)时，\(y = -2\)；当\(x = 2\)时，\(y = -4\)，\(x\)增大，\(y\)减小。
（二）函数的对称性
正比例函数\(y = kx\)的图象关于原点对称。即如果点\((x, y)\)在函数图象上，那么点\((-x, -y)\)也一定在该函数图象上。这是因为当\(x\)取\(-x\)时，\(y = k (-x) = -kx = -y\)。例如，点\((2, 4)\)在\(y = 2x\)的图象上，那么点\((-2, -4)\)也在该图象上。
（三）例题解析
例 3：已知正比例函数\(y = (m - 1)x\)，回答下列问题：
（1）若函数图象经过第一、三象限，求\(m\)的取值范围；
（2）若\(y\)随\(x\)的增大而减小，求\(m\)的取值范围；
（3）若函数图象经过点\((2, 4)\)，求\(m\)的值。
解：
（1）因为函数图象经过第一、三象限，所以比例系数\(k > 0\)，即\(m - 1 > 0\)，解得\(m > 1\)。因此，\(m\)的取值范围是\(m > 1\)。
（2）因为\(y\)随\(x\)的增大而减小，所以比例系数\(k < 0\)，即\(m - 1 < 0\)，解得\(m < 1\)。因此，\(m\)的取值范围是\(m < 1\)。
（3）因为函数图象经过点\((2, 4)\)，将点的坐标代入函数关系式中，可得\(4 = (m - 1) 2\)，解得\(2(m - 1) = 4\)，\(m - 1 = 2\)，\(m = 3\)。因此，\(m\)的值为 3。
例 4：已知正比例函数\(y = kx\)的图象经过点\((-3, 6)\)，判断点\((2, -4)\)是否在该函数的图象上。
解：
首先，将点\((-3, 6)\)代入函数关系式\(y = kx\)中，可得\(6 = k (-3)\)，解得\(k = -2\)。因此，该正比例函数的关系式为\(y = -2x\)。
接下来，判断点\((2, -4)\)是否在该函数图象上，将\(x = 2\)代入\(y = -2x\)中，得\(y = -2 2 = -4\)，与点\((2, -4)\)的纵坐标相等。因此，点\((2, -4)\)在该函数的图象上。
四、正比例函数图象与性质的应用
正比例函数的图象和性质在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决与比例关系相关的问题。
（一）利用图象解决实际问题
通过绘制正比例函数的图象，可以直观地反映变量之间的关系，便于分析和预测。例如，在匀速运动中，路程与时间的关系是正比例函数关系，通过图象可以快速看出不同时间对应的路程，或不同路程对应的时间。
（二）利用性质比较函数值大小
根据正比例函数的增减性，可以比较不同自变量对应的函数值大小。
例 5：已知正比例函数\(y = 2x\)，比较当\(x_1 = -1\)和\(x_2 = 2\)时对应的函数值\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解：
因为正比例函数\(y = 2x\)中\(k = 2 > 0\)，所以\(y\)随\(x\)的增大而增大。
由于\(x_1 = -1 < x_2 = 2\)，因此\(y_1 < y_2\)。
例 6：已知正比例函数\(y = -3x\)，比较当\(x_1 = 3\)和\(x_2 = 1\)时对应的函数值\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解：
因为正比例函数\(y = -3x\)中\(k = -3 < 0\)，所以\(y\)随\(x\)的增大而减小。
由于\(x_1 = 3 > x_2 = 1\)，因此\(y_1 < y_2\)。
五、常见误区
图象绘制错误：绘制正比例函数图象时，没有经过原点，或只选取了一个点就绘制直线，导致图象错误。实际上，正比例函数的图象必过原点，且两点才能确定一条直线。
对\(k\)的符号影响判断错误：混淆\(k > 0\)和\(k < 0\)时图象经过的象限，例如错误地认为\(k > 0\)时图象经过第二、四象限。
增减性理解偏差：不能正确根据\(k\)的符号判断函数的增减性，例如当\(k < 0\)时，误认为\(y\)随\(x\)的增大而增大。
忽略\(k \neq 0\)的条件：在解决问题时，忘记正比例函数中\(k \neq 0\)这一重要条件，导致参数取值范围错误。例如，在例 3 中，若忽略\(k \neq 0\)，可能会得出错误的\(m\)取值范围。
图象倾斜程度与\(|k|\)关系混淆：错误地认为\(|k|\)越小，直线倾斜程度越陡，或不能比较不同\(k\)值对应的直线倾斜程度。
六、课堂总结
正比例函数的图象：是一条经过原点的直线，绘制方法采用两点法（通常选取\((0, 0)\)和\((1, k)\)）。
\(k\)对图象的影响：
\(k > 0\)时，图象经过第一、三象限；\(k < 0\)时，图象经过第二、四象限。
\(|k|\)越大，直线倾斜程度越陡；\(|k|\)越小，直线倾斜程度越缓。
正比例函数的性质：
当\(k > 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(k < 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
图象关于原点对称。
应用：利用图象解决实际问题，利用性质比较函数值大小等。
正比例函数的图象和性质是函数学习的基础，通过本节的学习，我们应掌握图象的绘制方法，理解\(k\)对图象和性质的影响，能够运用性质解决相关问题，为后续学习一次函数的图象和性质做好准备。
七、课后作业
画出下列正比例函数的图象，并指出它们经过的象限：
（1）\(y = 4x\)；（2）\(y = -\frac{1}{2}x\)。
已知正比例函数\(y = (2m + 1)x\)，若\(y\)随\(x\)的增大而增大，求\(m\)的取值范围。
已知正比例函数的图象经过点\((-2, 6)\)，求该函数的关系式，并判断点\((4, -12)\)是否在该函数的图象上。
比较下列正比例函数中，当\(x = 3\)时对应的函数值的大小：
（1）\(y = 2x\)和\(y = 3x\)；（2）\(y = -x\)和\(y = -4x\)。
已知正比例函数\(y = kx\)的图象经过第一、三象限，且经过点\((m, n)\)和\((-m, p)\)，试比较\(n\)和\(p\)的大小。
2024北师大版数学八年级上册
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4.3.1正比例函数的图象与性质
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本，学生会画正比例函数的图象，能够通过图象总结出正比例函数的性质，提高学生解决问题的能力．
2．通过合作学习及教师讲评，学生体会从特殊到一般的思想方法和分类讨论思想方法的应用．
3．通过动手实践、合作交流，增强学生与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践能力和探究精神．
重点
难点
视频导入
情境导入
一天，小明以80米/分的速度去学校，请问小明离家的距离s(米)与小明出发的时间t(分)之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ 图中的图象能表示上面问题中的s与t的关系吗？
画出下列正比例函数的图象：
（1）y=2x， ；（2）y=-1.5x，y=-4x.
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
知识点 1
正比例函数的图象
y=2x
②描点；
③连线.
同样可以画出
函数 的图象.
看图发现：这两个图象都是经过原点的 ．
而且都经过第 象限；
一、三
直线
探究新知
画函数图像的一般步骤：
（1）列表；
（2）描点；（3）连线.
解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
y=-4x
y=-1.5x
看图发现：这两个函数图象都是经过原点和第 象限的直线.
二、四
探究新知
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
探究新知
提示：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx.
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-3x； （2）
怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
两点
作图法
提示：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.
巩固练习
O
x 0 1
y=-3x
0
-3
0
y=-3x
函数y=-3x， 的图象如下：
解：列表如下：
巩固练习
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围
是________.
例 已知正比例函数y=(k-3)x.
k＞3
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k-3>0，解得k>3.
探究新知
（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.
解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k-3)·2，解得k=5.
=5
素养考点 1
利用正比例函数的图像特征求字母的值
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_______.
已知正比例函数y=(k+5)x.
k<-5
解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+5<0，解得k<-5.
（2）若函数图象经过点（3，-9），则k_____.
解析：将坐标（3，-9）带入函数解析式中，得-9=(k+5)·3，
解得k=-8.
=-8
巩固练习
变式训练
讨论 在函数y=x , y=3x, 和 y=-4x 中，随着x的增大,y的值分别如何变化
分析：对于函数y=x,当x=-1时，y= ;当x=1时，y= ;当x=2时，y= ;不难发现y的值随x的增大而 .
-1
1
2
增大
分析：对于函数y=-4x,当x=-1时，y= ;当x=1时，y= ;当x=2时，y= ;不难发现y的值随x的增大而 .
4
-4
-8
减小
知识点 2
正比例函数的性质
探究新知
数值分析
我们还可以借助函数图象分析此问题.
观察图象可以发现：①直线y=x,y=3x向右逐渐 ,
即y的值随x的增大而增大;
②直线 ,y=-4x向右逐渐 ，即y的值随x的增大而减小.
上升
下降
探究新知
图像分析
在正比例函数y=kx中：
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
探究新知
O
x
y
y=kx(k>0)
O
x
y
y=kx(k<0)
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
解： y=3x增加得更快.
y=3x的函数值的增加量大于y=x的函数值的增加量. 故y=3x增加得更快.
探究新知
想一想
探究新知
（2）类似地，正比例函数y= x和y=-4x中，随着x值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
解：y=-4x减小得更快.
在自变量的变化情况相同的条件下y=-4x的函数值的减小量大于y= x的函数值的减小量.
故y=-4x减小得更快.
结论：
越大，直线越陡，越靠近y轴，相应的函数值上升或下降得越快.
y=3x
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
6
-5
-6
y=x
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
6
-5
-6
y=-4x
y=
探究新知
例 已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解: 因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,
所以4=m·m，解得m=±2.
又因为y的值随着x值的增大而减小，
所以m<0，故m=－2.
探究新知
素养考点 1
利用正比例函数的性质求字母的值
已知正比例函数y=kx的图象经过点（k，25），且y的值随着x值的增大而增大，求k的值.
解：因为正比例函数y=kx的图象经过点（k，25）,
所以25=k·k，解得k=±5.
又因为y的值随着x值的增大而增大，
所以k>0，故k=5 .
巩固练习
变式训练
1.函数y＝5x的图象经过的象限是_________．
2. 若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
一、三
连接中考
A
知识点1 正比例函数的图象
1.正比例函数 的图象是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.正比例函数 的图象经过( )
B
A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限 D.第三、四象限
返回
3.已知正比例函数 ，则下列坐标对应的点在该函数图象上的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
4.［2024天津中考］若正比例函数是常数， 的图象经过
第一、三象限，则 的值可以是_________________（写出一个即可）。
1（答案不唯一）
返回
5.［教材尝试·思考 变式］ 在如图所示的直角坐标系内画出下
列函数图象。
（1）； （2） 。
解：如图所示。
返回
知识点2 正比例函数的性质
6.关于正比例函数 ，下列结论正确的是( )
D
A. B.图象必经过点
C.图象不经过原点 D.随 的增大而减小
返回
7.已知正比例函数为常数，且的函数值随 的增大而减
小，那么这个函数图象不可能经过的点是( )
A
A.点 B.点 C.点 D.点
返回
8.［2024山西中考］已知点,都在正比例函数 的
图象上，若，则与 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
返回
9.已知点在正比例函数 的图象上。
（1）求 的值；
解：因为点在正比例函数 的图象上，
所以，所以 。
（2）若点在此正比例函数的图象上，求 的值；
解：由（1）知正比例函数的表达式为 。
因为点在正比例函数的图象上，所以 ，所以
。
（3）若点，， 都在此正比例函数的图象上，比较
，， 的大小。
解：因为正比例函数的表达式为，且，所以随 的增大
而减小。
因为，所以 。
返回
10.若点，在正比例函数 的图象上，且当
时，，则 的值可以是( )
D
A.2 B.1 C. D.
返回
11.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数
，，， 的图象分
别为，，， ，则下列关系中正确的是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
正比例函数的图象和性质
图象：经过原点的直线.
当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.
性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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