5.2.2加减消元法 课件（共31张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）
文档属性
| 名称 | 5.2.2加减消元法 课件（共31张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-09 00:00:00 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
5.2.2 加减消元法
除了代入消元法，加减消元法也是解二元一次方程组的重要方法。当方程组中两个方程的某个未知数的系数相反或相等时，通过将两个方程相加或相减，可以直接消去这个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。这种方法操作简便，尤其适用于系数较为整齐的方程组。本节将学习加减消元法的基本原理、解题步骤，并通过实例掌握这一方法。
一、加减消元法的基本原理
加减消元法的核心思想仍然是 “消元”，其基本思路是：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，消去这个未知数；当某个未知数的系数相等时，将两个方程相减，消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程后，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
例如，对于方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ 3x - y = 10\end{cases}\)，两个方程中\(y\)的系数分别为 1 和 - 1，互为相反数，将两个方程相加可消去\(y\)；对于方程组\(\begin{cases}5x + 2y = 12 \\ 5x - 3y = 2\end{cases}\)，两个方程中\(x\)的系数都是 5，相等，将两个方程相减可消去\(x\)。
二、用加减消元法解二元一次方程组的步骤
用加减消元法解二元一次方程组通常遵循以下步骤：
（一）观察系数
观察方程组中两个方程的未知数的系数，确定要消去的未知数，判断该未知数的系数是否相等或互为相反数。
（二）调整系数（若需要）
如果要消去的未知数的系数既不相等也不互为相反数，根据等式的基本性质，给两个方程分别乘以适当的数，使该未知数的系数变为相等或互为相反数。
（三）加减消元
将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的一元一次方程。
（四）求解一元一次方程
解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
（五）回代求解
将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
（六）写出方程组的解
用大括号将两个未知数的值联立起来，表示方程组的解。
（七）检验（可选）
将求得的解代入原方程组的两个方程中，验证左右两边是否相等，确保解的正确性。
三、实例解析
（一）系数互为相反数或相等的情况
例 1：解方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ 3x - y = 10\end{cases}\)。
解：
观察系数：两个方程中\(y\)的系数分别为 1 和 - 1，互为相反数，可消去\(y\)。
加减消元：将两个方程相加：\((2x + y) + (3x - y) = 5 + 10\)
合并同类项：\(5x = 15\)
求解一元一次方程：\(x = 3\)
回代求解：将\(x = 3\)代入第一个方程\(2x + y = 5\)中，得：\(2 3 + y = 5 \Rightarrow 6 + y = 5 \Rightarrow y = -1\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = -1\end{cases}\)
检验：将\(x = 3\)，\(y = -1\)代入原方程组：
第一个方程：左边\(= 2 3 + (-1) = 5\)，右边\(= 5\)，左边 = 右边；
第二个方程：左边\(= 3 3 - (-1) = 10\)，右边\(= 10\)，左边 = 右边。
因此，解是正确的。
例 2：解方程组\(\begin{cases}5x + 2y = 12 \\ 5x - 3y = 2\end{cases}\)。
解：
观察系数：两个方程中\(x\)的系数都是 5，相等，可消去\(x\)。
加减消元：用第一个方程减去第二个方程：\((5x + 2y) - (5x - 3y) = 12 - 2\)
去括号、合并同类项：\(5y = 10\)
求解一元一次方程：\(y = 2\)
回代求解：将\(y = 2\)代入第一个方程\(5x + 2y = 12\)中，得：\(5x + 2 2 = 12 \Rightarrow 5x + 4 = 12 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = \frac{8}{5} \\ y = 2\end{cases}\)
（二）需要调整系数的情况
例 3：解方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 16 \\ 5x - 6y = 33\end{cases}\)。
解：
观察系数：\(x\)的系数分别为 3 和 5，\(y\)的系数分别为 4 和 - 6，既不相等也不互为相反数。选择消去\(y\)，需将\(y\)的系数调整为相等或互为相反数。
调整系数：给第一个方程乘以 3，第二个方程乘以 2，使\(y\)的系数都变为 12 和 - 12：
第一个方程 ×3：\(9x + 12y = 48\) （1）
第二个方程 ×2：\(10x - 12y = 66\) （2）
加减消元：将（1）和（2）相加：\((9x + 12y) + (10x - 12y) = 48 + 66\)
合并同类项：\(19x = 114\)
求解一元一次方程：\(x = 6\)
回代求解：将\(x = 6\)代入第一个原方程\(3x + 4y = 16\)中，得：\(3 6 + 4y = 16 \Rightarrow 18 + 4y = 16 \Rightarrow 4y = -2 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 6 \\ y = -\frac{1}{2}\end{cases}\)
例 4：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 1 \\ 3x - 2y = 8\end{cases}\)。
解：
观察系数：选择消去\(x\)，\(x\)的系数分别为 2 和 3，需调整为 6 和 6。
调整系数：第一个方程 ×3，第二个方程 ×2：
第一个方程 ×3：\(6x + 9y = 3\) （1）
第二个方程 ×2：\(6x - 4y = 16\) （2）
加减消元：用（1）减去（2）：\((6x + 9y) - (6x - 4y) = 3 - 16\)
去括号、合并同类项：\(13y = -13\)
求解一元一次方程：\(y = -1\)
回代求解：将\(y = -1\)代入第一个原方程\(2x + 3y = 1\)中，得：\(2x + 3 (-1) = 1 \Rightarrow 2x - 3 = 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}\)
（三）需要先化简的方程组
例 5：解方程组\(\begin{cases}\frac{x + 1}{3} = 2y \\ 2(x + 1) - y = 11\end{cases}\)。
解：
首先化简方程组：
第一个方程：\(\frac{x + 1}{3} = 2y \Rightarrow x + 1 = 6y \Rightarrow x - 6y = -1\) （1）
第二个方程：\(2(x + 1) - y = 11 \Rightarrow 2x + 2 - y = 11 \Rightarrow 2x - y = 9\) （2）
观察系数：选择消去\(x\)，调整（1）式系数：
（1）式 ×2：\(2x - 12y = -2\) （3）
加减消元：用（2）减去（3）：\((2x - y) - (2x - 12y) = 9 - (-2)\)
去括号、合并同类项：\(11y = 11\)
求解一元一次方程：\(y = 1\)
回代求解：将\(y = 1\)代入（1）式：\(x - 6 1 = -1 \Rightarrow x = 5\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 1\end{cases}\)
四、代入消元法与加减消元法的比较
方法
适用场景
优点
注意事项
代入消元法
某一未知数的系数为 1 或 - 1
步骤简单，直接代入
代入多项式时需加括号，避免符号错误
加减消元法
未知数系数相等或互为相反数，或易调整为相等 / 相反数
消元过程直观，计算量小
调整系数时需乘以同一个数，注意符号变化
在实际解题中，应根据方程组的特点选择合适的方法。当方程组中存在系数为 1 或 - 1 的未知数时，优先选择代入消元法；当未知数系数较为整齐（如成倍数关系）时，优先选择加减消元法。
五、常见误区
系数调整错误：在调整未知数系数时，只给方程的一边乘以倍数，忽略另一边，导致方程变形错误。例如，将方程\(2x + 3y = 5\)乘以 2 时，错误地写成\(4x + 3y = 5\)。
加减时符号错误：两个方程相减时，忘记改变第二个方程各项的符号，导致计算错误。例如，计算\((3x + 2y) - (x - y)\)时，错误地写成\(3x + 2y - x - y\)，而正确应为\(3x + 2y - x + y\)。
选择消元对象不当：未观察系数特点，盲目选择消元对象，增加计算难度。例如，对于方程组\(\begin{cases}7x + 2y = 9 \\ 7x - 3y = 4\end{cases}\)，未发现\(x\)系数相等，反而选择消去\(y\)，增加了调整系数的步骤。
回代计算错误：将求得的未知数的值回代时，代入计算出现失误，导致另一个未知数的值错误。
忽略检验：在系数调整或加减过程中容易出现符号错误，忽略检验可能导致错误解未被发现。
六、课堂总结
加减消元法的核心思想：通过加减方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
解题步骤：观察系数→调整系数（若需要）→加减消元→求解一元一次方程→回代求解→写出方程组的解（可选检验）。
关键技巧：优先消去系数简单或易调整的未知数，加减时注意符号变化，调整系数时遵循等式基本性质。
方法选择：根据方程组特点灵活选择代入法或加减法，提高解题效率。
加减消元法是解二元一次方程组的重要工具，通过本节的学习，我们应能根据方程组的系数特征熟练运用这一方法，准确求解方程组，为解决实际问题中的等量关系奠定基础。
七、课后作业
用加减消元法解下列方程组：
\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 3\end{cases}\)
\(\begin{cases}3x + 2y = 13 \\ 3x - 2y = 5\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ 3x + 2y = 8\end{cases}\)
\(\begin{cases}4x - 3y = 5 \\ 2x - y = 2\end{cases}\)
\(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \\ 2x + 3y = 28\end{cases}\)
\(\begin{cases}3(x - 1) = y + 5 \\ 5(y - 1) = 3(x + 5)\end{cases}\)（用加减法解，与代入法对比）
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.2加减消元法
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过自主探究和合作学习，学生会应用加减消元法解二元一次方程组，通过解二元一次方程组，培养学生的运算能力．
2．通过教师讲评，学生理解“消元”思想，体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．
重点
难点
复习导入
上节课我们学习了用代入法解二元一次方程组，请同学们回顾一下，回答下面的问题：
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2、用代入法解方程组的步骤是什么？
问题导入
视频导入
一个长方形的周长是50cm，长比宽多5cm,设长为xcm,
宽为ycm，可列出的二元一次方程组是
x – y = 5 ①
2x+ 2y = 50 ②
上面方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
探究新知
知识点
加减法解二元一次方程组
把②变形得：
代入①，不就消去x了！
小明
探究新知
把②变形得
可以直接代入①呀！
小亮
探究新知
（3x＋5y）+（2x－5y）＝ 21 + (－11)
3x+5y = 21
2x－5y = -11
和
互为相反数……
按小丽的思路，你能消去
一个未知数吗？
小丽
分析：
，①
. ②
①左边 + ②左边 = ①右边 + ②右边
探究新知
探究新知
把x＝2代入①，得y＝3，
的解是
所以
x＝2
3x+5y+2x－5y＝10
5x+0y＝10
5x＝10
2x-3y=7，①
2x+y=3. ②
参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，即都是2．所以把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，得到一个一元一次方程．
探究新知
解：由 ②－①得：4y＝－4
y＝－1
把y =-1代入①，得
2x－3×（-1）＝7
解得：x＝2
所以原方程组的解是
探究新知
上面这些方程组的特点是什么？
解这类方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
主要步骤：
特点：
基本思路：
写解
求解
加减
二元
一元.
加减消元：
消去一个元；
分别求出两个未知数的值；
写出原方程组的解.
同一个未知数的系数相同或互为相反数.
探究新知
解下列二元一次方程组
解：由②-①得：
解得：
把
代入①，得：
注意:要检验哦!
解得：
方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
探究新知
素养考点 1
加减法解系数相等的二元一次方程组
例1
所以方程组的解为
①
②
3x+2y=23
5x+2y=33
解方程组
解：
由②－①得:
将x=5代入①得：
15+2y=23
y=4.
所以原方程组的解是
x=5
y=4
2x=10
x=5.
与前面的代入法相比，是不是更加简单了！
巩固练习
变式训练
3x +10 y=2.8 ①
15x -10 y=8 ②
解：把 ①+②得: 18x＝10.8 x＝0.6
把x＝0.6代入①，得：
3×0.6+10y＝2.8
解得:y＝0.1
例2 解方程组
所以这个方程组的解是
x=0.6
y=0.1
探究新知
素养考点 2
加减法解系数为相反数的二元一次方程组
互为相反数
相加
同一未知数的
系数 _
时，把两个方程
的两边分别 ！
①
②
解:由①+②得:
把x＝1代入①，得：
y=-1
x=1
7x=7
解二元一次方程组:
巩固练习
变式训练
所以原方程组的解是
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加减法.
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.
探究新知
用加减法解方程组：
①
②
解: ①×3得:
6x + 9y ＝36 ③
③ - ④得：
y ＝2
把y ＝2代入①，得：
x ＝3
所以原方程组的解是
x ＝3
y ＝2
｛
探究新知
素养考点 3
加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组
②×2得:
6x + 8y ＝34 ④
例3
能否使两个方程中x(或y）的系数相等（或相反）呢？
同一未知数的系数 时，利用等
式的性质，使得未知数的系数 .
不相等也不互为相反数
相等或互为相反数
找系数的最小公倍数
探究新知
知识点1 直接用加减消元法解二元一次方程组
1.在方程组中, 的系数的特点是______，所以可以直接将
两个方程相____,消去未知数___，进而求出方程组的解；在方程组
中, 的系数的特点是____________，所以可以直接将两个
方程相____,消去未知数___，进而求出方程组的解，这两个解方程组的
方法是______
消元法。
相等
减
互为相反数
加
加减
返回
2.在解方程组时，若用 ，所得到的一元一次方
程是_________。
返回
3.［教材P随堂练习T 变式］用加减消元法解下列方程组：
（1）
解：，得 ,
解得,将 代入①，
得,解得 。
所以方程组的解为
（2）
解：，得，解得 ，
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
（3）
解：,得 。
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
（4）
解：，得，解得 。
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
返回
知识点2 变形后用加减消元法解二元一次方程组
4.［2025西安月考］利用加减消元法解方程组 下列
做法正确的是( )
C
A.要消去，可以将
B.要消去，可以将
C.要消去，可以将
D.要消去，可以将
返回
解二元一次方程组
基本思路“消元”
加减法解二元一次方程组的一般步骤
化系数
加减
解
检验
写出解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
5.2.2 加减消元法
除了代入消元法，加减消元法也是解二元一次方程组的重要方法。当方程组中两个方程的某个未知数的系数相反或相等时，通过将两个方程相加或相减，可以直接消去这个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。这种方法操作简便，尤其适用于系数较为整齐的方程组。本节将学习加减消元法的基本原理、解题步骤，并通过实例掌握这一方法。
一、加减消元法的基本原理
加减消元法的核心思想仍然是 “消元”，其基本思路是：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，消去这个未知数；当某个未知数的系数相等时，将两个方程相减，消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程后，再将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
例如，对于方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ 3x - y = 10\end{cases}\)，两个方程中\(y\)的系数分别为 1 和 - 1，互为相反数，将两个方程相加可消去\(y\)；对于方程组\(\begin{cases}5x + 2y = 12 \\ 5x - 3y = 2\end{cases}\)，两个方程中\(x\)的系数都是 5，相等，将两个方程相减可消去\(x\)。
二、用加减消元法解二元一次方程组的步骤
用加减消元法解二元一次方程组通常遵循以下步骤：
（一）观察系数
观察方程组中两个方程的未知数的系数，确定要消去的未知数，判断该未知数的系数是否相等或互为相反数。
（二）调整系数（若需要）
如果要消去的未知数的系数既不相等也不互为相反数，根据等式的基本性质，给两个方程分别乘以适当的数，使该未知数的系数变为相等或互为相反数。
（三）加减消元
将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的一元一次方程。
（四）求解一元一次方程
解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
（五）回代求解
将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
（六）写出方程组的解
用大括号将两个未知数的值联立起来，表示方程组的解。
（七）检验（可选）
将求得的解代入原方程组的两个方程中，验证左右两边是否相等，确保解的正确性。
三、实例解析
（一）系数互为相反数或相等的情况
例 1：解方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ 3x - y = 10\end{cases}\)。
解：
观察系数：两个方程中\(y\)的系数分别为 1 和 - 1，互为相反数，可消去\(y\)。
加减消元：将两个方程相加：\((2x + y) + (3x - y) = 5 + 10\)
合并同类项：\(5x = 15\)
求解一元一次方程：\(x = 3\)
回代求解：将\(x = 3\)代入第一个方程\(2x + y = 5\)中，得：\(2 3 + y = 5 \Rightarrow 6 + y = 5 \Rightarrow y = -1\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = -1\end{cases}\)
检验：将\(x = 3\)，\(y = -1\)代入原方程组：
第一个方程：左边\(= 2 3 + (-1) = 5\)，右边\(= 5\)，左边 = 右边；
第二个方程：左边\(= 3 3 - (-1) = 10\)，右边\(= 10\)，左边 = 右边。
因此，解是正确的。
例 2：解方程组\(\begin{cases}5x + 2y = 12 \\ 5x - 3y = 2\end{cases}\)。
解：
观察系数：两个方程中\(x\)的系数都是 5，相等，可消去\(x\)。
加减消元：用第一个方程减去第二个方程：\((5x + 2y) - (5x - 3y) = 12 - 2\)
去括号、合并同类项：\(5y = 10\)
求解一元一次方程：\(y = 2\)
回代求解：将\(y = 2\)代入第一个方程\(5x + 2y = 12\)中，得：\(5x + 2 2 = 12 \Rightarrow 5x + 4 = 12 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = \frac{8}{5} \\ y = 2\end{cases}\)
（二）需要调整系数的情况
例 3：解方程组\(\begin{cases}3x + 4y = 16 \\ 5x - 6y = 33\end{cases}\)。
解：
观察系数：\(x\)的系数分别为 3 和 5，\(y\)的系数分别为 4 和 - 6，既不相等也不互为相反数。选择消去\(y\)，需将\(y\)的系数调整为相等或互为相反数。
调整系数：给第一个方程乘以 3，第二个方程乘以 2，使\(y\)的系数都变为 12 和 - 12：
第一个方程 ×3：\(9x + 12y = 48\) （1）
第二个方程 ×2：\(10x - 12y = 66\) （2）
加减消元：将（1）和（2）相加：\((9x + 12y) + (10x - 12y) = 48 + 66\)
合并同类项：\(19x = 114\)
求解一元一次方程：\(x = 6\)
回代求解：将\(x = 6\)代入第一个原方程\(3x + 4y = 16\)中，得：\(3 6 + 4y = 16 \Rightarrow 18 + 4y = 16 \Rightarrow 4y = -2 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 6 \\ y = -\frac{1}{2}\end{cases}\)
例 4：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y = 1 \\ 3x - 2y = 8\end{cases}\)。
解：
观察系数：选择消去\(x\)，\(x\)的系数分别为 2 和 3，需调整为 6 和 6。
调整系数：第一个方程 ×3，第二个方程 ×2：
第一个方程 ×3：\(6x + 9y = 3\) （1）
第二个方程 ×2：\(6x - 4y = 16\) （2）
加减消元：用（1）减去（2）：\((6x + 9y) - (6x - 4y) = 3 - 16\)
去括号、合并同类项：\(13y = -13\)
求解一元一次方程：\(y = -1\)
回代求解：将\(y = -1\)代入第一个原方程\(2x + 3y = 1\)中，得：\(2x + 3 (-1) = 1 \Rightarrow 2x - 3 = 1 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}\)
（三）需要先化简的方程组
例 5：解方程组\(\begin{cases}\frac{x + 1}{3} = 2y \\ 2(x + 1) - y = 11\end{cases}\)。
解：
首先化简方程组：
第一个方程：\(\frac{x + 1}{3} = 2y \Rightarrow x + 1 = 6y \Rightarrow x - 6y = -1\) （1）
第二个方程：\(2(x + 1) - y = 11 \Rightarrow 2x + 2 - y = 11 \Rightarrow 2x - y = 9\) （2）
观察系数：选择消去\(x\)，调整（1）式系数：
（1）式 ×2：\(2x - 12y = -2\) （3）
加减消元：用（2）减去（3）：\((2x - y) - (2x - 12y) = 9 - (-2)\)
去括号、合并同类项：\(11y = 11\)
求解一元一次方程：\(y = 1\)
回代求解：将\(y = 1\)代入（1）式：\(x - 6 1 = -1 \Rightarrow x = 5\)
写出方程组的解：\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 1\end{cases}\)
四、代入消元法与加减消元法的比较
方法
适用场景
优点
注意事项
代入消元法
某一未知数的系数为 1 或 - 1
步骤简单，直接代入
代入多项式时需加括号，避免符号错误
加减消元法
未知数系数相等或互为相反数，或易调整为相等 / 相反数
消元过程直观，计算量小
调整系数时需乘以同一个数，注意符号变化
在实际解题中，应根据方程组的特点选择合适的方法。当方程组中存在系数为 1 或 - 1 的未知数时，优先选择代入消元法；当未知数系数较为整齐（如成倍数关系）时，优先选择加减消元法。
五、常见误区
系数调整错误：在调整未知数系数时，只给方程的一边乘以倍数，忽略另一边，导致方程变形错误。例如，将方程\(2x + 3y = 5\)乘以 2 时，错误地写成\(4x + 3y = 5\)。
加减时符号错误：两个方程相减时，忘记改变第二个方程各项的符号，导致计算错误。例如，计算\((3x + 2y) - (x - y)\)时，错误地写成\(3x + 2y - x - y\)，而正确应为\(3x + 2y - x + y\)。
选择消元对象不当：未观察系数特点，盲目选择消元对象，增加计算难度。例如，对于方程组\(\begin{cases}7x + 2y = 9 \\ 7x - 3y = 4\end{cases}\)，未发现\(x\)系数相等，反而选择消去\(y\)，增加了调整系数的步骤。
回代计算错误：将求得的未知数的值回代时，代入计算出现失误，导致另一个未知数的值错误。
忽略检验：在系数调整或加减过程中容易出现符号错误，忽略检验可能导致错误解未被发现。
六、课堂总结
加减消元法的核心思想：通过加减方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
解题步骤：观察系数→调整系数（若需要）→加减消元→求解一元一次方程→回代求解→写出方程组的解（可选检验）。
关键技巧：优先消去系数简单或易调整的未知数，加减时注意符号变化，调整系数时遵循等式基本性质。
方法选择：根据方程组特点灵活选择代入法或加减法，提高解题效率。
加减消元法是解二元一次方程组的重要工具，通过本节的学习，我们应能根据方程组的系数特征熟练运用这一方法，准确求解方程组，为解决实际问题中的等量关系奠定基础。
七、课后作业
用加减消元法解下列方程组：
\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 3\end{cases}\)
\(\begin{cases}3x + 2y = 13 \\ 3x - 2y = 5\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ 3x + 2y = 8\end{cases}\)
\(\begin{cases}4x - 3y = 5 \\ 2x - y = 2\end{cases}\)
\(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \\ 2x + 3y = 28\end{cases}\)
\(\begin{cases}3(x - 1) = y + 5 \\ 5(y - 1) = 3(x + 5)\end{cases}\)（用加减法解，与代入法对比）
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.2加减消元法
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过自主探究和合作学习，学生会应用加减消元法解二元一次方程组，通过解二元一次方程组，培养学生的运算能力．
2．通过教师讲评，学生理解“消元”思想，体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．
重点
难点
复习导入
上节课我们学习了用代入法解二元一次方程组，请同学们回顾一下，回答下面的问题：
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
2、用代入法解方程组的步骤是什么？
问题导入
视频导入
一个长方形的周长是50cm，长比宽多5cm,设长为xcm,
宽为ycm，可列出的二元一次方程组是
x – y = 5 ①
2x+ 2y = 50 ②
上面方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
探究新知
知识点
加减法解二元一次方程组
把②变形得：
代入①，不就消去x了！
小明
探究新知
把②变形得
可以直接代入①呀！
小亮
探究新知
（3x＋5y）+（2x－5y）＝ 21 + (－11)
3x+5y = 21
2x－5y = -11
和
互为相反数……
按小丽的思路，你能消去
一个未知数吗？
小丽
分析：
，①
. ②
①左边 + ②左边 = ①右边 + ②右边
探究新知
探究新知
把x＝2代入①，得y＝3，
的解是
所以
x＝2
3x+5y+2x－5y＝10
5x+0y＝10
5x＝10
2x-3y=7，①
2x+y=3. ②
参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，即都是2．所以把这两个方程两边分别相减，就可以消去未知数x，得到一个一元一次方程．
探究新知
解：由 ②－①得：4y＝－4
y＝－1
把y =-1代入①，得
2x－3×（-1）＝7
解得：x＝2
所以原方程组的解是
探究新知
上面这些方程组的特点是什么？
解这类方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
主要步骤：
特点：
基本思路：
写解
求解
加减
二元
一元.
加减消元：
消去一个元；
分别求出两个未知数的值；
写出原方程组的解.
同一个未知数的系数相同或互为相反数.
探究新知
解下列二元一次方程组
解：由②-①得：
解得：
把
代入①，得：
注意:要检验哦!
解得：
方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
探究新知
素养考点 1
加减法解系数相等的二元一次方程组
例1
所以方程组的解为
①
②
3x+2y=23
5x+2y=33
解方程组
解：
由②－①得:
将x=5代入①得：
15+2y=23
y=4.
所以原方程组的解是
x=5
y=4
2x=10
x=5.
与前面的代入法相比，是不是更加简单了！
巩固练习
变式训练
3x +10 y=2.8 ①
15x -10 y=8 ②
解：把 ①+②得: 18x＝10.8 x＝0.6
把x＝0.6代入①，得：
3×0.6+10y＝2.8
解得:y＝0.1
例2 解方程组
所以这个方程组的解是
x=0.6
y=0.1
探究新知
素养考点 2
加减法解系数为相反数的二元一次方程组
互为相反数
相加
同一未知数的
系数 _
时，把两个方程
的两边分别 ！
①
②
解:由①+②得:
把x＝1代入①，得：
y=-1
x=1
7x=7
解二元一次方程组:
巩固练习
变式训练
所以原方程组的解是
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减消元法,简称加减法.
当方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时,可以把方程的两边分别相加(系数互为相反数)或相减(系数相等)来消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得二元一次方程组的解.
探究新知
用加减法解方程组：
①
②
解: ①×3得:
6x + 9y ＝36 ③
③ - ④得：
y ＝2
把y ＝2代入①，得：
x ＝3
所以原方程组的解是
x ＝3
y ＝2
｛
探究新知
素养考点 3
加减法解找系数最小公倍数的二元一次方程组
②×2得:
6x + 8y ＝34 ④
例3
能否使两个方程中x(或y）的系数相等（或相反）呢？
同一未知数的系数 时，利用等
式的性质，使得未知数的系数 .
不相等也不互为相反数
相等或互为相反数
找系数的最小公倍数
探究新知
知识点1 直接用加减消元法解二元一次方程组
1.在方程组中, 的系数的特点是______，所以可以直接将
两个方程相____,消去未知数___，进而求出方程组的解；在方程组
中, 的系数的特点是____________，所以可以直接将两个
方程相____,消去未知数___，进而求出方程组的解，这两个解方程组的
方法是______
消元法。
相等
减
互为相反数
加
加减
返回
2.在解方程组时，若用 ，所得到的一元一次方
程是_________。
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3.［教材P随堂练习T 变式］用加减消元法解下列方程组：
（1）
解：，得 ,
解得,将 代入①，
得,解得 。
所以方程组的解为
（2）
解：，得，解得 ，
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
（3）
解：,得 。
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
（4）
解：，得，解得 。
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
返回
知识点2 变形后用加减消元法解二元一次方程组
4.［2025西安月考］利用加减消元法解方程组 下列
做法正确的是( )
C
A.要消去，可以将
B.要消去，可以将
C.要消去，可以将
D.要消去，可以将
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解二元一次方程组
基本思路“消元”
加减法解二元一次方程组的一般步骤
化系数
加减
解
检验
写出解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
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