4.4.2利用一个一次函数的图象解决问题 课件（共34张PPT）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

(共34张PPT)
4.3.2 一次函数的图象与性质
一次函数是初中数学中最基本的函数类型之一，其图象和性质是函数学习的核心内容。与正比例函数相比，一次函数的图象和性质更为丰富，它不仅包含了正比例函数的特征，还因常数项的存在而呈现出新的规律。本节将在正比例函数图象与性质的基础上，学习一次函数图象的绘制方法、图象特征，探究参数对图象的影响，并总结一次函数的性质及应用。
一、一次函数的图象
（一）图象的绘制
一次函数的图象是一条直线，绘制其图象同样可以采用两点法，具体步骤如下：
确定两点坐标：对于一次函数\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)），选取两个易于计算的点。通常选取与坐标轴的交点：当\(x = 0\)时，\(y = b\)，即与\(y\)轴的交点\((0, b)\)；当\(y = 0\)时，\(x = -\frac{b}{k}\)（\(k \neq 0\)），即与\(x\)轴的交点\((-\frac{b}{k}, 0)\)。也可选取其他简单点，如\(x = 1\)时，\(y = k + b\)，即点\((1, k + b)\)。
描点：在平面直角坐标系中准确标出所选的两个点。
连线：用直尺连接这两个点，得到的直线就是一次函数\(y = kx + b\)的图象。
（二）实例解析
例 1：画出一次函数\(y = 2x + 3\)和\(y = -2x + 1\)的图象。
解：
绘制\(y = 2x + 3\)的图象：
确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 3\)，即点\((0, 3)\)；当\(y = 0\)时，\(2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\)，即点\((-\frac{3}{2}, 0)\)。
描点：在坐标系中描出\((0, 3)\)和\((-\frac{3}{2}, 0)\)。
连线：连接两点，得到\(y = 2x + 3\)的图象（如图 2 所示）。
绘制\(y = -2x + 1\)的图象：
确定两点：当\(x = 0\)时，\(y = 1\)，即点\((0, 1)\)；当\(y = 0\)时，\(-2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)，即点\((\frac{1}{2}, 0)\)。
描点：在坐标系中描出\((0, 1)\)和\((\frac{1}{2}, 0)\)。
连线：连接两点，得到\(y = -2x + 1\)的图象（如图 2 所示）。
（三）一次函数与正比例函数图象的关系
一次函数\(y = kx + b\)的图象可以看作是由正比例函数\(y = kx\)的图象平移得到的：
当\(b > 0\)时，将正比例函数\(y = kx\)的图象向上平移\(b\)个单位长度，得到一次函数\(y = kx + b\)的图象；
当\(b < 0\)时，将正比例函数\(y = kx\)的图象向下平移\(|b|\)个单位长度，得到一次函数\(y = kx + b\)的图象。
例如：
函数\(y = 2x + 3\)的图象是由\(y = 2x\)的图象向上平移 3 个单位长度得到的；
函数\(y = -2x - 1\)的图象是由\(y = -2x\)的图象向下平移 1 个单位长度得到的。
二、参数\(k\)和\(b\)对图象的影响
一次函数的图象位置和倾斜程度由参数\(k\)和\(b\)共同决定，其中\(k\)决定直线的倾斜方向和倾斜程度，\(b\)决定直线与\(y\)轴的交点位置。
（一）参数\(k\)的影响
倾斜方向：
当\(k > 0\)时，直线从左到右呈上升趋势；
当\(k < 0\)时，直线从左到右呈下降趋势。
倾斜程度：
\(|k|\)越大，直线越靠近\(y\)轴，倾斜程度越陡；
\(|k|\)越小，直线越靠近\(x\)轴，倾斜程度越缓。这一特征与正比例函数一致。
（二）参数\(b\)的影响
参数\(b\)是一次函数图象与\(y\)轴交点的纵坐标，即交点坐标为\((0, b)\)：
当\(b > 0\)时，直线与\(y\)轴交于正半轴；
当\(b = 0\)时，直线经过原点（此时为正比例函数）；
当\(b < 0\)时，直线与\(y\)轴交于负半轴。
（三）直线经过的象限
一次函数\(y = kx + b\)的图象经过的象限由\(k\)和\(b\)的符号共同决定：
当\(k > 0\)，\(b > 0\)时，直线经过第一、二、三象限；
当\(k > 0\)，\(b < 0\)时，直线经过第一、三、四象限；
当\(k < 0\)，\(b > 0\)时，直线经过第一、二、四象限；
当\(k < 0\)，\(b < 0\)时，直线经过第二、三、四象限。
（四）例题解析
例 2：判断下列一次函数图象经过的象限，并说明\(k\)和\(b\)的符号：
（1）\(y = 3x + 2\)；（2）\(y = -2x + 5\)；（3）\(y = \frac{1}{2}x - 1\)；（4）\(y = -x - 3\)。
解：
（1）对于\(y = 3x + 2\)，\(k = 3 > 0\)，\(b = 2 > 0\)，因此直线经过第一、二、三象限。
（2）对于\(y = -2x + 5\)，\(k = -2 < 0\)，\(b = 5 > 0\)，因此直线经过第一、二、四象限。
（3）对于\(y = \frac{1}{2}x - 1\)，\(k = \frac{1}{2} > 0\)，\(b = -1 < 0\)，因此直线经过第一、三、四象限。
（4）对于\(y = -x - 3\)，\(k = -1 < 0\)，\(b = -3 < 0\)，因此直线经过第二、三、四象限。
例 3：已知一次函数\(y = (m - 2)x + m + 1\)的图象经过第一、二、四象限，求\(m\)的取值范围。
解：
因为一次函数图象经过第一、二、四象限，所以需满足：\(
\begin{cases}
k < 0 \\
b > 0
\end{cases}
\)
即：\(
\begin{cases}
m - 2 < 0 \\
m + 1 > 0
\end{cases}
\)
解第一个不等式：\(m - 2 < 0 \Rightarrow m < 2\)；
解第二个不等式：\(m + 1 > 0 \Rightarrow m > -1\)。
因此，\(m\)的取值范围是\(-1 < m < 2\)。
三、一次函数的性质
一次函数的性质是其图象特征的代数表达，主要体现在函数值随自变量的变化规律以及图象的对称性等方面，这些性质与参数\(k\)密切相关。
（一）函数的增减性
当\(k > 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。即自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值也随之增大；\(x\)的值减小时，\(y\)的值也随之减小。例如，对于\(y = 2x + 3\)，当\(x = 1\)时，\(y = 5\)；当\(x = 2\)时，\(y = 7\)，\(x\)增大，\(y\)也增大。
当\(k < 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。即自变量\(x\)的值增大时，函数值\(y\)的值随之减小；\(x\)的值减小时，\(y\)的值随之增大。例如，对于\(y = -2x + 1\)，当\(x = 1\)时，\(y = -1\)；当\(x = 2\)时，\(y = -3\)，\(x\)增大，\(y\)减小。
（二）函数的对称性
一次函数\(y = kx + b\)的图象是一条直线，关于其上任一点成中心对称，关于其垂直平分线成轴对称，但不关于原点对称（除非\(b = 0\)，即正比例函数）。
（三）例题解析
例 4：已知一次函数\(y = (2k - 1)x + 3\)，根据下列条件求\(k\)的取值范围：
（1）\(y\)随\(x\)的增大而增大；
（2）\(y\)随\(x\)的增大而减小。
解：
（1）因为\(y\)随\(x\)的增大而增大，所以比例系数\(k > 0\)，即\(2k - 1 > 0\)，解得\(2k > 1 \Rightarrow k > \frac{1}{2}\)。因此，\(k\)的取值范围是\(k > \frac{1}{2}\)。
（2）因为\(y\)随\(x\)的增大而减小，所以比例系数\(k < 0\)，即\(2k - 1 < 0\)，解得\(2k < 1 \Rightarrow k < \frac{1}{2}\)。因此，\(k\)的取值范围是\(k < \frac{1}{2}\)。
例 5：已知一次函数\(y = -3x + 2\)，比较当\(x_1 = -1\)和\(x_2 = 3\)时对应的函数值\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解：
因为一次函数\(y = -3x + 2\)中\(k = -3 < 0\)，所以\(y\)随\(x\)的增大而减小。
由于\(x_1 = -1 < x_2 = 3\)，因此\(y_1 > y_2\)。
四、一次函数图象与性质的应用
一次函数的图象和性质在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决与线性变化相关的问题。
（一）利用图象解决实际问题
通过绘制一次函数的图象，可以直观地反映变量之间的线性关系，便于分析变化趋势、预测结果或确定最优方案。例如，在成本与产量的关系、行程问题等场景中，一次函数图象能清晰呈现变量间的对应关系。
（二）利用性质解决函数值问题
根据一次函数的增减性，可以求解函数值的范围、比较函数值大小或确定自变量的取值范围。
例 6：已知一次函数\(y = 2x - 1\)，当\(x\)取何值时，\(y > 0\)？
解：
由\(y > 0\)可得\(2x - 1 > 0\)，解得\(2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\)。
因此，当\(x > \frac{1}{2}\)时，\(y > 0\)。
例 7：某商店销售某种商品，每件成本为 3 元，售价为\(x\)元（\(3 < x \leq 10\)），每天的销售量为\(y\)件，且\(y\)与\(x\)之间的函数关系为\(y = -10x + 100\)。
（1）写出每天的利润\(w\)（元）与售价\(x\)（元）之间的函数关系式；
（2）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
解：
（1）每天的利润 =（售价 - 成本）× 销售量，因此\(w\)与\(x\)之间的函数关系式为：\(w = (x - 3)(-10x + 100) = -10x^2 + 130x - 300\)（\(3 < x \leq 10\)）。
（2）对于二次函数\(w = -10x^2 + 130x - 300\)，由于二次项系数\(-10 < 0\)，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。对称轴为\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{130}{2 (-10)} = 6.5\)。
因为\(3 < 6.5 \leq 10\)，所以当\(x = 6.5\)时，\(w\)取得最大值，最大值为：\(w = -10 (6.5)^2 + 130 6.5 - 300 = -10 42.25 + 845 - 300 = -422.5 + 845 - 300 = 122.5\)（元）。
因此，当售价为 6.5 元时，每天的利润最大，最大利润是 122.5 元。
五、常见误区
图象绘制错误：绘制一次函数图象时，选取的两点计算错误或连线不直，导致图象失真；或混淆平移方向，将\(y = kx + b\)的图象平移方向弄反。
参数影响判断错误：对\(k\)和\(b\)的符号与象限关系记忆混淆，例如错误地认为\(k > 0\)、\(b < 0\)时直线经过第二象限。
增减性应用错误：在利用增减性比较函数值或求解自变量范围时，忽略\(k\)的符号对增减性的影响，导致结论错误。
忽略自变量取值范围：在实际问题中，未考虑自变量的实际意义，导致函数关系式的应用超出合理范围。
平移规律理解偏差：错误地认为一次函数图象的平移是对\(x\)进行加减，而非对整个函数值进行平移，例如将\(y = 2x + 3\)看作\(y = 2(x + 3)\)的平移结果。
六、课堂总结
一次函数的图象：是一条直线，绘制方法采用两点法，可通过正比例函数图象平移得到（\(b > 0\)上移，\(b < 0\)下移）。
参数对图象的影响：
\(k\)决定倾斜方向（\(k > 0\)上升，\(k < 0\)下降）和倾斜程度（(|k
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.2利用一个一次函数的图象解决问题
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系.
2. 通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识和数学阅读能力，发展形象思维；通过具体问题的解决，发展学生的数学应用能力；引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式.
3.在解决实际问题中，使学生认识到数学与生活是密不可分的，培养学生学习数学的兴趣，进而解决实际问题.
重点
难点
问题导入
由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量 V (万米3)与干旱持续时间t (天)的关系如下图所示，回答下列问题：
(1)水库干旱前的蓄水量是多少？
(2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？
(3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？
(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
视频导入
由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V(万m3)与干旱持续时间 t(天)的关系如图所示,
知识点 1
一次函数图像的实际应用
交流探究
0 10 20 30 40 50 t/天
V/
根据
图像
回答
下列
问题:
(2)干旱持续10天,蓄水量为多少 连续干旱23天呢
1000
(1)水库干旱前的蓄水量是多少
1200
1200
1000
800
600
400
200
(23,？)
探究新知
0 10 20 30 40 50 t/天
V/
(3)蓄水量小于400时,将发生严重的干旱警报.干旱多少天后将发出干旱警报
40天
(4)按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将干涸
60天
1200
100
800
600
400
200
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图所示：
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
探究新知
例
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(1)油箱最多可储油多少升？
解:当x=0时，y=10.因此，油箱最多可储油10L.
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
解:当y=0时,x=500,因此一箱汽油可供摩托车行驶500km.
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(3)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油
解: x从100增加到200时,y从8减少到6,减少了2,因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油.
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(4)油箱中的剩余油量小于1升时将自动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报警
解:当y=1时,x=450,因此行驶了450千米后,摩托车将自动报警.
探究新知
根据
图像
回答
下列
问题:
1.理解横纵坐标分别表示的实际意义；
3.利用数形结合的思想：
将“数”转化为“形” 由“形”定“数”
2.分析已知条件，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值；
探究新知
归纳小结
9
6
3
12
15
18
21
24
y/cm
l
2
4
6
8
10
12
14
t/天
某植物t天后的高度为ycm,图中的l反映了y与t之间的关系，根据图象回答下列问题：
（1）植物刚栽的时候多高？
（2）3天后该植物多高？
（3）几天后该植物高度可达21cm？
9cm
12cm
12天
（3，12）
（12，21）
巩固练习
0
我们先来看下面两个问题：
（1）解方程0.5x+1=0.
（2）当自变量x为何值时函数y=0.5x+1的值为0？
思考
1.对于0.5x+1=0 和y=0.5x+1，从形式上看，有什么相同和不同？
2.从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
探究新知
知识点 2
一次函数与一元一次方程
思考 函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0
与x轴的交点(-2,0)
即当x=-2时，函数y=0.5x+1的值为0，这说明方程0.5x+1=0的解是x=-2.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.
1
-2
0
x
y
问题(1)解方程0.5x+1=0，
得x=-2.
所对应的（ ）为何值？
实质上这可以通过解方程0.5x+1=0,得出x=-2.因此，这两个问题实际上是同一个问题.
问题(2)就是要考虑当函数y=0.5x+1的值为（ ）时
自变量x
0
作出函数y=0.5x+1的图象.
从图象上看：
探究新知
思考
由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？
探究新知
由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致.
由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
探究新知
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
x为何值y= ax+b
的值为0
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
确定直线y= ax+b
与x轴交点的横坐标
从数的角度看
从形的角度看
探究新知
一次函数与一元一次方程的关系
以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程3x－2=0 当x为何值时,
y=3x－2的值为0
2 解方程8x+3=0
3 当x为何值时,
y= -7x+2的值为0
4 解方程 3x-2=8x+3
当x为何值时,y=8x+3的值为0
解方程-7x+2=0
当x为何值时, y=-5x-5的值为0
巩固练习
例 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17,
解得 x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
探究新知
素养考点 1
利用一次函数、方程及图象解答问题
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5,
由2x+5=17 得 2x－12=0,
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
O
x
y
6
－12
y=2x－12
探究新知
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5,
由右图可以看出当y =17时，x=6.
y=2x+5
x
y
O
6
17
5
－2.5
探究新知
1.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8.
2.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( )
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
-2
-2
-2
-2
-2
A
B
C
D
B
x=-4；
x=-8.
巩固练习
解:
变式训练
知识点1 单个一次函数图象的应用
（第1题）
1.如图，某公司市场营销部的个人收入与其
每月的销售量成一次函数关系。由图中给出
的信息，预测营销人员销售2万件时的个人收
入是( )
B
A.3 100元 B.13 000元
C.12 900元 D.28 000元
返回
（第2题）
2.由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下
降。如图所示的是某水库蓄水量 （万立方米）
与干旱时间 （天）之间的关系图，请你根据此图
填空：
（1）水库原蓄水量是_______万立方米，持续干
旱10天后，蓄水量为_____万立方米；
1 000
800
（2）水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，则持续
干旱____天后，将发出严重干旱预报。按此规律，持续干旱____天时，
水库的水将干涸。
30
50
返回
3. ［2024陕西中考］ 我国新能源汽车快速健康发展，续
航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往 市，他驾车
从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了
后，从 市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶
的过程中，剩余电量与行驶路程 之间的关系如图所示。
（1）求与 之间的关系式；
解：设与之间的关系式为，将代入，得 ，再
将代入，解得，所以与 之间的关系式
为 。
（2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从 市这一高
速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少。
解：当时，， 。
答：该车的剩余电量占“满电量”的 。
返回
知识点2 一次函数与一元一次方程
4.［2025西安铁一中期中］一次函数
，为常数且 的图象如图所示，
则关于的方程 的解为( )
A
A. B. C. D.
返回
5.一元一次方程的解是,则函数的图象与 轴
的交点坐标是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与
轴、轴分别交于点， ，请根据函数图象回答下列问题：
（1）点的坐标是______，点 的坐标是______；
（2）由函数图象可知，当时， 的值是___；
2
（3）当时，求 的值。
解：当时， ,
解得 。
返回
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y= kx+b
中y=0时x的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！