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第4章 一元一次方程
4.1 等式与方程
第1课时 等式
1.下列各式中，是等式的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.若，则 等于( )
D
A.15 B.16 C.23 D.24
返回
3.如果 ，则下列等式不一定成立的是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.［2025盐城亭湖区月考］下列变形中，不正确的是( )
D
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
返回
5.如果，那么 ______．
返回
6.（1）列等式表示“比的3倍大5的数等于 的4倍”为_____________;
（2）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同向行驶，客车的
行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车经过 到达B
地，卡车比客车晚到．根据题意列出关于 的等式为______________
___;
（3）在地球表面以下，每下降温度就上升约 ．假设地表温度
是，某矿井的温度是，设该矿井在地表以下约为 处，则
可列等式为_______________;
（4）某校组织学生研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；
租用5辆，还空10个座位．设该客车的载客量为 人，可列等式为______
_____________．
返回
7.如果，那么成立时 应满足的条件是______．
返回
8.（24分） 利用等式的基本性质将下列等式化为
（ 为常数）的形式：
（1） ；
解：两边同时减去3，得 .
（2） ；
解：两边同时除以3，得 .
（3） ；
解：两边同时减去3，得 ，
两边同时除以，得 .
（4） ；
解：两边同时除以，得 .
（5） ；
解：两边同时减去3，得 ，
两边同时除以，得 .
（6） .
解：两边同时减去1，得 ，
两边同时除以，得 .
返回
9. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清
酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛（十斗为一斛），得
酒五斗，问清、醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，
一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒
各几斗？如果设清酒 斗，那么可列等式为( )
A
A. B.
C. D.
返回
10.若等式根据等式的基本性质变形得到，则, 满
足的条件是( )
C
A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.无法确定
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11.已知，利用等式的基本性质可求得 的值，
继而求得 的值是_____.
返回
12.［2025南京期末］已知多项式与 是恒等的，
则 ___.
0
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13.若，则 ____.
返回
14.（6分）已知等式： ，李明同学是这样解的：
等式两边都加5，得；等式两边都除以，得 ，所以此等式
不成立.
李明同学的解题过程是否正确？若正确，指出每一步的理由；若不正确，
指出错在哪里并改正.
解：李明同学的解题过程中的第一步是正确的，运用了等式的基本性质
1；第二步是错误的，因为此时不能确定 的值是不是0，所以等式的两
边同时除以 ，不符合等式的基本性质2.
第二步应改为：等式的两边都减，得，即 .
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15.（10分） 观察下列两个等式： ，
.给出定义如下：我们称使等式 成
立的有理数对为“同心有理数对”.如：数对， 都是“同心
有理数对”.
（1）数对， 中，是“同心有理数对”的是______；
（2）若是“同心有理数对”，求 的值；
解：因为 是“同心有理数对”，
所以 .
所以 .
（3）若是“同心有理数对”，则 ____（填“是”或“不是”）
“同心有理数对”说明理由.
是
解：理由如下：因为 是“同心有理数对”，
所以 .
因为 ，
,
所以 .
所以 是“同心有理数对”.
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第4章 一元一次方程
4.1 等式与方程
第2课时 方程
1.下列各式中是方程的是( )
D
A. B. C. D.
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2.下列方程中，解为 的方程是( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），
大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9
天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设
经过 天相遇，则下列方程正确的是( )
A
A. B. C. D.
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4.在；；； 中，等
式有________，方程有______．（填序号）
②③④
②④
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5.语句“的3倍比的 大7”用方程表示为____________．
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6.若单项式与是同类项，则可以得到关于 的方程为
_______________．
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7.已知是方程的解，则 ___.
3
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8.（8分）根据下列问题，设未知数，列出方程：
（1）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，
小明考了68分，那么小明答对了多少道题？
解：设小明答对了道题，则答错或不答的题有 道，由题意,得
.
（2）甲班有学生50人，乙班有学生36人，要使甲、乙两班人数相等，
应如何调动？
解：设甲班调动人去乙班，则甲班现在有 人，
乙班现在有 人，
由题意,得 .
返回
9.（8分） 小张去水果市场购买苹果和橘子，每千克
苹果要比每千克橘子贵12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等，
设橘子的单价为 元.
（1）根据题意列出方程；
解：根据题意,得 .
（2）在，， 中，哪一个是（1）中所列方程的解？
解：把代入方程两边，左边，右边 ，
所以等号的左右两边不相等，
所以 不是方程的解；
把代入方程两边，左边，右边 ，
所以等号的左右两边不相等，
所以 不是方程的解；
把代入方程两边，左边，右边 ，
所以等号的左右两边相等，
所以 是方程的解.
返回
10. 用火柴棒按如图方式搭小鱼，设所搭小鱼的条数为
，共用了182根火柴棒．由题意得所列方程为( )
B
A. B. C. D.
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11.如果要由方程得到 ，需要满足的条件是
________.
返回
12.若关于的方程的解为，则关于 的方程
的解为 ___.
2
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13.（8分） 一快递员需要在规定时间内开车将快递送到
某地，若快递员开车每分钟行驶，就早到 ；若快递员开
车每分钟行驶，就要迟到 ．试求出规定时间及快递员所行
驶的总路程．然然和涵涵列出的方程如下：
然然：；涵涵： .
（1）然然所列方程中的 表示什么？
解：规定时间.
（2）涵涵所列方程中的 表示什么？
解：快递员所行驶的总路程.
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14.（8分） 观察下列关于 的方程及其解的特征：
的解为;的解为; 的解
为 ;….
根据观察得到的规律，解答下列问题：
（1）方程 的解为______;
（2）猜想方程 的解，并验证；
解：方程的解为 .
验证：当时，方程左边 ,右边
,
左边右边，所以该方程的解为 .
（3）直接写出按此规律排列的第2 025个方程：____________________
____.
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第4章 一元一次方程
4.2 一元一次方程及其解法
第1课时 一元一次方程
1. 下列各式中，是一元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.［2025淮安月考］下列一元一次方程的解是 的是( )
C
A. B. C. D.
返回
3.下列变形正确的是( )
B
A.由，得到
B.由，得到
C.由，得到
D.由，得到
返回
4.［2025南通海门区月考］已知是关于的方程 的
解，则 的值为____．
返回
5.请说明下列方程是怎样变形的：
（1）将方程的两边_________，得到 ，根据是_________
________；
（2）将方程的两边_________，得到 ，根据是_________
________；
（3）将方程的两边_________，得到 ，根据是__________
________；
（4）将方程的两边_______，得到 ，根据是____________
______．
都加上5
等式的基
本性质1
都减去6
等式的基
本性质1
都除以4
等式的基
本性质2
都乘2
等式的基本
性质2
返回
6.（24分） 利用等式的基本性质解下列方程：
（1） ；
解：两边同时加上6，得 .
（2） ；
解：两边同时除以，得 .
（3） ；
解：两边同时减去3，得 ，
两边同时除以，得 .
（4） ；
解：两边同时减去2，得 ，
两边同时乘，得 .
（5） ；
解：两边同时减去8，得 ，
两边同时除以4，得 .
（6） .
解：两边同时减去3，得 ，
两边同时乘，得 .
返回
7.已知下列方程：；； ；
；； ．其中一元一次方程的个数是
( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
返回
8.已知为常数，且无论取何值，关于的方程 的解
总是，则 的值为( )
D
A. B.1 C. D.2
返回
9.已知方程是关于的一元一次方程，则 ____．
返回
10.如图，天平处于平衡状态，若每个物体的质量为 ，则每个物体
的质量为____ .
10
返回
11.［2025徐州期末］小红在解关于的方程： 时，误
将方程中的“”看成了“3”，求得方程的解为 ，则原方程的解为
________.
返回
12.一系列方程，第1个方程是，解为 ；第2个方程是
，解为；第3个方程是，解为 ；…按此规
律，第10个方程是____________，解为_________.
返回
13.（8分）一名同学在解方程时，因看错了 的符号而得
方程的解为，试求 的值并正确地解方程.
解：根据题意，把代入方程，得
，解得 ，
所以原方程为 ，
解得.所以，方程的解是 .
返回
14.（12分）把几个不同的数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：
，2， 我们称之为集合，其中的数称为集合的元素．如果一个集合
满足：当有理数是集合的元素时，有理数 也必是这个集合的元素，
这样的集合我们称为“好的集合”．例如集合， 就是一个“好的集合”.
（1）请你判断集合，，，2，，5， 是不是“好的集合”.
解：若，则，不在集合， 内，所以
， 不是“好的集合”；
因为，， ，
所以，2，，5， 是“好的集合”.
（2）写出只含有一个元素的“好的集合”.
解：根据“好的集合”的定义可知 ，
所以 .
所以只含有一个元素的“好的集合”为 .
（3）如果，，1，6，，是一个“好的集合”，求 的值.
解：因为，，1，6，， 是一个“好的集合”，
且， ，
所以，解得 .
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第4章 一元一次方程
4.2 一元一次方程及其解法
第2课时 解一元一次方程——移项
1.方程 的解是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［2025扬州模拟］解方程 时，移项正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.［2025南通通州区月考］下列选项正确的是( )
D
A.由，得
B.由，得
C.由，得
D.由，得
返回
4.当时，代数式的值为5，则字母 的值为( )
C
A.0 B.1 C.2 D.
返回
5.解方程时，移项将其变形为 的依据是
_________________．
等式的基本性质1
返回
6.（1）方程 的解是______；
（2）方程 的解是_ _______．
返回
7.当____时，代数式的值与代数式 的值相等．
返回
8.已知是关于的方程的解，则 ___．
9
返回
9.（24分） 解下列方程：
（1） ；
解：移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2） ；
解：移项、合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（3） ；
解：移项、合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（4） ；
解：合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（5） ；
解：移项、合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（6） .
解：移项、合并同类项，得，系数化为1，得 .
返回
10.已知，，当时， 的值是( )
B
A.3 B. C. D.
返回
11.整式的值随的取值不同而不同，下表是当 取不同值时对
应的整式值，则关于的方程 的解为( )
0 1 2
4 0
A
A. B. C. D.
返回
12.已知，则关于的方程
的解是________.
返回
13.已知关于的方程无解，则 ____.
返回
14. 《九章算术》一书中记载了一道题：今有共买鸡，
人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？题意是：
有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文
钱，就少16文钱．则买鸡的人数为___，鸡的价钱为______.
9
70文
返回
15.（6分）当为何值时，关于的方程 的解是方程
的解的 ？
解：由方程，得 .
由方程，得 .
根据题意，得，解得 .
返回
16.（8分） 我们规定：若关于的一元一次方程 的
解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程 的解为
，而，则方程 为“和解方程”.
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求 的值；
解：由方程，得.因为方程 是“和解方程”，所以
，解得 .
（2）已知关于的一元一次方程 是“和解方程”，并且它
的解是，求， 的值.
解：因为关于的一元一次方程 是“和解方程”，并且它的
解是 ，
所以，且 ，
解得， .
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第4章 一元一次方程
4.2 一元一次方程及其解法
第3课时 解一元一次方程——去括号
1.一元一次方程 的解是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.［2025南京玄武区模拟］解方程 时，去括号
的结果正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.当____时，代数式与的差是 .
返回
4.若是方程的解，则 的值为____.
返回
5.已知关于的方程与 有相同的解，
则 ____．
返回
6.小华同学在解方程( ) 时，把括号内的数看成了该数的
相反数，解得，则该方程的正确解为 ________．
返回
7.（24分） 解下列方程：
（1） ；
解：去括号，得，移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（2） ；
解：去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（3） ；
解：去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（4） ；
解：去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（5） ；
解：去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（6） .
解：去括号，得 ，
移项、合并同类项，得，系数化为1，得 .
返回
8.（8分）已知， ，解答下列问题：
（1）当时，求 的值.
解：将，代入 ，得
，去括号，得 ，
移项，得，合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
（2）当取何值时，的值比 的值大3？
解：根据题意可知 ，
将，代入 ，得
，去括号，得 ，
移项，得，合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
返回
9. 定义：若，则称与是关于 的关联
数．例如：若，则称与是关于2的关联数；若 与
是关于3的关联数，则 的值是( )
A
A. B. C.3 D.6
返回
10.［2025常州新北区期末］将四个数，，， 排成两行、两列，两
边各加一条竖直线记成．若定义 ，则
中 的值为( )
D
A.10 B.8 C.6 D.5
返回
11. 若关于的方程 的解是正
整数，则整数 的值为_________.
0，1或3
返回
12.若关于的一元一次方程的解为 ，则关于
的一元一次方程的解为 ___.
1
返回
13.（6分）在做解方程练习时，有一个方程“”中的 没
印清晰，小聪问老师，老师只说：“ 是一个有理数，该方程的解与当
时代数式 的值相同．”聪明的小聪很快补
上了这个常数．这个常数是多少？
解： ，
当时，，所以 .
把代入 中，得
，所以 ，即这个常数是7.
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14.（8分） 先阅读下列解题过程，然后解答问题.
解方程： .
解：当时，原方程可化为，解得 ；当
时，原方程可化为，解得 ．所以原方程的
解是或 .
（1）解方程： .
解：当时，原方程可化为，解得 ；当
时，原方程可化为，解得 .所以原
方程的解是或 .
（2）解关于的方程： .
解：①当 时，原方程无解；
②当时，原方程可化为，解得 ；
③当 时，
若，则原方程可化为，解得 ；
若，则原方程可化为，解得
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第4章 一元一次方程
4.2 一元一次方程及其解法
第4课时 解一元一次方程——去分母
1.解方程 ，去分母时，应该给方程两边同时乘( )
C
A.6 B.8 C.12 D.7
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2.四名同学用接力的方式解方程： ，约定每人只能看到
前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出
方程的解．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
D
A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丁 D.乙和丙
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3.如果与互为相反数，那么 ( )
A
A. B.10 C. D.
返回
4.方程 的解是______．
返回
5.当___时，代数式 ．
5
返回
6.若关于的一元一次方程的解是，则 的值是___．
1
返回
7.（24分） 解下列方程：
（1） ；
解：去分母，得 ，
去括号，得，移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（2） ；
解：去分母，得 ，
去括号，得，移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（3） ；
解：去分母，得 ，
去括号，得，移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（4） ；
解：去分母，得 ，
去括号，得，移项，得 ，
合并同类项，得 ；
（5） ；
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，移项，得
，
合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（6） .
解：去分母，得 ，去括号，得
，移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 .
返回
8.［2025扬州广陵区模拟］如果字母，， 表示互不相等的有理数，
且满足 ，那么下列变形正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
9.如果关于的方程与的解相同，那么 的值是
( )
D
A.7 B. C.3.5 D.
返回
10.整式，为常数，的值随 的取值不同而不同，下
表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程 的解
是______.
0 2
0
返回
11.规定一种新的运算：，则* 的解是______.
返回
12.（16分） 解下列方程：
（1） ；
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2） ；
解：去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 ；
（3） ；
解：原方程变形，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（4） .
解：原方程变形，得 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 .
返回
13.（8分）小明是七（2）班的学生，他在将方程 去分母时，
由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，请你帮他求出 的
值和方程正确的解.
解：由题意得，是方程的解，把 代
入方程 ，
得，解得 .
所以原方程为 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得，系数化为1，得 ，
所以的值为1，方程正确的解是 .
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第4章 一元一次方程
4.3 用一元一次方程解决问题
第2课时 销售问题、行程问题
1. 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑，乙每秒跑 ，
甲让乙先跑，设 秒后甲可追上乙，则下列四个方程中不正确的是
( )
B
A. B. C. D.
返回
2. 某种商品的进价为18元，标价为 元，由于该商品积
压，商店准备按标价的8折销售，可保证利润达到 ，则标价为
( )
B
A.26元 B.27元 C.28元 D.29元
返回
3.某商品标价100元，现在打6折出售仍可获利 ，则这件商品的进价
是____元.
48
返回
4.一条船顺流航行，每小时行驶20千米；逆流航行，每小时行驶16千
米．若水的流速与船在静水中的速度都是不变的，则船在静水中的速度
为____千米/小时．
18
返回
5.由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，
将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价
是_____元．
300
返回
6.（8分）甲、乙两车分别从相距的、 两地相向而行.
（1）两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提
前出发，则甲车出发后 两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少.
解：设乙车的速度是，则甲车的速度是 ，依题意，得
，解得 ，
.
答：甲车的速度是，乙车的速度是 .
（2）若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过
多长时间两车相距 .
解：设经过两车相距 ，依题意，得
或 ，
所以或 .
答：经过或两车相距 .
返回
7.（8分）［2025杭州月考］某校准备组织教师观看电影，由张主任负
责买票，票价每张30元，据悉买团体票可以优惠，40人以上的团体票有
两种优惠方案可选择（注：教师超过40人）：
方案一：全体人员可打8折；
方案二：若打9折，有6人可以免票.
（1）若有教师50人，则应该选择哪种方案？
解：选择方案一所需费用为 （元）,
选择方案二所需费用为 （元）.
因为 ，
所以若有教师50人，则应该选择方案二.
（2）张主任购票时发现，无论选择哪种方案付的钱是一样的，你知道
该校有多少名教师吗？（列方程解题）
解：设该校有 名教师，根据题意，得
，解得 .
答：该校有54名教师.
返回
8.从甲地到乙地，先下山然后走平路，李华骑自行车从甲地以每小时
的速度下山，再以每小时 的速度通过平地，到乙地用了2
小时；他回来时以每小时 的速度上山，平地的速度仍为来时的速
度，回到甲地用了两个半小时，则甲、乙两地的距离为____ ．
28
返回
9.（12分）小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒
跑6米.
（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
解：设秒后两人相遇，则小彬跑了米，小明跑了 米，根据题意，
得，解得 .
答：10秒后两人相遇.
（2）如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人
同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？
解：设秒后小明能追上小彬，则小明跑了米，小彬跑了 米，根据
题意，得，解得 .
答：两人同时同向起跑，5秒后小明能追上小彬.
（3）如果他们都站在四百米环形跑道的起点处，两人同时同向起跑，
几分钟后小明追上小彬？（均列方程求解）
解：设 秒后小明追上小彬，
根据题意，得，解得 .
200秒 分钟.
答： 分钟后小明追上小彬.
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10.（12分）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件的售价是60
元，利润是20元；乙种商品每件的进价是50元，售价是80元.
（1）每件甲种商品的进价为____元，每件乙种商品的利润率为______；
40
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2 100元，
求购进甲种商品多少件；
解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品 件，
由题意，得 ，
解得 .
答：购进甲种商品40件.
（3）在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于或等于450元 不优惠
超过450元但不超过600元 按售价打九折
超过600元 其中不超过600元的部分打八二折，超
过600元的部分打三折
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华
在该商场购买乙种商品多少件.
解：设小华打折前一次性购物总金额为 元，
①当 时，
由题意，得，解得 （件）.
②当 时，
由题意，得 ，
解得 （件）.
综上可得，小华在该商场购买乙种商品7件或8件.
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第4章 一元一次方程
阶段测试（4.1~4.2）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1.方程 的解是( )
B
A. B. C. D.
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2.[2025扬州邗江区模拟]下列等式变形正确的是( )
D
A.由得 B.由得
C.由得 D.由得
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3.解方程 ，去分母后正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.已知为常数，且无论取何值，关于的方程 的解
总是，则 的值为( )
D
A. B.2 C. D.4
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5.[2025南京鼓楼区期末]当的取值不同时，整式（其中， 是常
数）的值也不同，具体情况如表所示.则关于的方程 的解为
( )
0 1
4 2 0
D
A. B. C. D.
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二、填空题（每小题5分，共25分）
6.代数式的值与互为倒数，则 的值为____．
返回
7.若方程与关于的方程的解相同，则
____．
返回
8.已知关于的一元一次方程的解是 ，则
的值为___．
0
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9.小明同学在解关于的方程时，把 处的数字看错了，
解得，则该同学把 看成了___．
7
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10.[2025镇江京口区期末]对于两个不相等的有理数， ，我们规定符号
，表示，两数中较小的数，例如， ．按照
这个规定，方程， 的解为________.
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三、解答题（共50分）
11.（20分） 解方程：
（1） ；
解： ，
，
，
；
（2） ；
解： ，
，
，
，
；
（3） ；
解： ，
，
，
，
，
；
（4） .
解： ，
方程可化为 ，
，
，
，
，
.
返回
12.（10分）已知方程是关于 的一元一次方程.
（1）求 的值；
解：由题意得且 ，
解得 .
（2）若上述方程①的解比关于的方程 的解小2，
求 的值.
解：当时，方程①为 ，
解得 .
因为方程①的解比方程②的解小2，
所以方程②的解为 ，
将代入方程②，得，解得 ；
当时，方程①为 ，
解得 .
因为方程①的解比方程②的解小2，
所以方程②的解为 ，
将代入方程②，得 ，
解得 .
综上，或 .
返回
13.（10分）[2025无锡梁溪区月考]小明在解关于的方程
时，由于粗心大意，误将抄成，由此求得方程的解为 .
（1）求 的值；
解：把代入方程 ，得
，即，解得 .
（2）求出该方程正确的解.
解：把代入方程 ，得
，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
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14.（10分）定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个
方程互为“优雅方程”．例如：和 互为“优雅方程”.
（1）判断：____（填“是”或“不是”） 的
“优雅方程”；
是
（2）若方程与关于的方程 互为
“优雅方程”，求 的值；
解： ，
，
，
.
，
，
，
，
，
因为方程与关于的方程 互为“优雅
方程”，
所以，解得 .
（3）若两个关于的方程（为正整数）与
（为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的， 的值.
解：，， .
，， .
因为关于的方程与 互为“优雅方程”，所以
，即 ，
因为为正整数， 为负整数，
所以，或， 或
，或， .
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第4章 一元一次方程
阶段测试（4.3）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载
了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，
第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田
有 亩，可列方程为( )
B
A. B.
C. D.
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2.一商家进行促销活动，某商品的优惠措施是“第二件商品半价”．现购
买2件该商品，相当于这2件商品共打了( )
D
A.5 折 B.5.5折 C.7折 D.7.5折
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3.［2025南京鼓楼区开学考］爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4
岁．当你像我这么大时，我就79岁了．”现在爸爸的年龄是( )
B
A.32岁 B.54岁 C.28岁 D.58岁
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4.某市出租车收费标准为起步价6元， 后每千米1.8元．某人坐出租
车后付款27.6元，则此人乘车的路程为( )
D
A. B. C. D.
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5.［2025南通崇川区月考］商店某次卖出两件商品，一件赚了 ，另
一件赔了 ，售价都是135元/件，则该商店( )
C
A.不赔不赚 B.赚18元
C.赔18元 D.无法判断是赔是赚
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二、填空题（每小题6分，共30分）
6.整理一批图书，由一人完成需要．现计划由一部分人先整理 ，
然后增加4人与他们一起整理 ，完成这项工作．若工作效率相同，则
先安排了___人．
2
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7.一个五位数左边三位数是右边两位数的6倍，若把右边的两位数移到
前面，则所得新五位数比原五位数的2倍少 ，原来的五位数是
_______．
16227
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8.甲、乙两车同时从两地相对开出，4小时后在距离中点30千米处相遇，
甲、乙两车的速度比是 ，则两地相距_____千米．
220
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9.某商店销售一批服装，一段时间后降价促销，利润率降低了 ，降价
前销售16件与降价后销售18件的销售额相同，降价前的利润率是______．
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10.［2025扬州邗江区月考］某服装店推出如下优惠方案：①一次性购物
不超过100元不享受优惠；②一次性购物超过100元但不超过300元一律9
折；③一次性购物超过300元一律8折．小李两次购物分别付款85元，252
元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，他应付款__________元.
292或320
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三、解答题（共45分）
11.（15分）［2024陕西］星期天，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫
除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需 ；若爸爸单独
完成，需 ．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，
接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了
，求这次小峰打扫了多长时间.
解：设这次小峰打扫了，则爸爸打扫了 ，
根据题意，得，解得 .
答：这次小峰打扫了 .
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12.（15分）为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培
养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，
点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价如下表：
购票张数 1至40 41至80 80以上
每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元
该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数
超过30，但不足40.
（1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1 572元,求七（2）
班学生的人数；
解：设七（1）班有名学生，则七（2）班有 名学生，根据题
意，得 ，
解得，所以 .
答：七（2）班有44名学生.
（2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比
赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并
指出最省钱的方案.
解：方案1：以班为单位单独购票，所需费用为
（元）；
方案2：两个班联合购买正好张数的票，所需费用为
（元）；
方案3：两个班联合购买81张票，所需费用为
（元）.因为 ，
所以最省钱的方案为两个班联合购买81张票.
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13.（15分） 某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式
电价计量标准，标准如下：①用电不超过100千瓦时的，每千瓦时收费
0.5元；②用电超过100千瓦时的，超过部分每千瓦时收费0.8元.
（1）小明家2月用电86千瓦时，应缴费____元；3月份用电140千瓦时，
应缴费____元.
43
82
（2）小明家4月的电费为90元，则他家4月份用了多少千瓦时电？
解：设小明家4月用了 千瓦时电，
因为（元）元，所以 .
根据题意，得，解得 .
答：小明家4月用了150千瓦时电.
（3）小明家5月和6月共用电260千瓦时，共缴费154元，并且6月的用电
量超过5月的用电量，那么他家5、6月各用了多少千瓦时电？
解：设小明家5月用了千瓦时电，则6月用了 千瓦时电.
当时， ，
解得 ，
；
当 时，
，
方程无解，舍去.
答：小明家5月用了80千瓦时电，6月用了180千瓦时电.
返回(共23张PPT)
第4章 一元一次方程
章末回顾与整合提升
考点1 四个概念
概念1 等式
1.下列各式中，是等式的是( )
C
A. B. C. D.
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概念2 方程
2.下列各式中，是方程的是( )
C
A. B. C. D.
返回
概念3 一元一次方程
3.下列方程中，是一元一次方程的是( )
D
A. B. C. D.
返回
概念4 方程的解
4.下列方程中，解是 的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
考点2 一个性质—— 等式的基本性质
5.下列说法正确的是( )
C
A.如果，那么 B.如果，那么
C.如果，那么 D.如果，那么
返回
考点3 一种解法—— 一元一次方程的解法
6.（16分） 解方程：
（1） ；
解：去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
（2） ;
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
（3） ；
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
（4） .
解：方程可化为 ，
即 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
返回
考点4 一种应用—— 一元一次方程的应用
7.（8分） 2025年第九届哈尔滨亚洲冬季运动会在黑
龙江省哈尔滨市举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场热销．某
商店现用9 600元购进两种毛绒玩具一共100个，其中一个“滨滨”毛绒玩
具的进价为90元，一个“妮妮”毛绒玩具的进价为100元.
（1）求购进“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具各多少个.
解：设购进“滨滨”毛绒玩具个，则购进“妮妮”毛绒玩具 个，
根据题意，得，解得 ，
则 .
答：购进“滨滨”毛绒玩具40个，购进“妮妮”毛绒玩具60个.
（2）在销售过程中“滨滨”“妮妮”毛绒玩具的标价分别为130元/个、150
元/个．当“滨滨”“妮妮”各卖出 个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”
和“妮妮”毛绒玩具均按标价的八折出售．若购进的吉祥物毛绒玩具全部
销售后利润刚好是3 440元，求 的值.
解：根据题意，得
，
解得 .
返回
考点5 三个技巧
技巧1 设辅助未知数
8.（6分）某校举行选拔赛，淘汰总参加人数的 ，已知选拔赛分数线比
全部参赛学生的平均分少2分，比被选中的学生的平均分少11分，并等
于被淘汰学生平均分的2倍，求该选拔赛的分数线.
解：设该选拔赛的分数线为 分，
则全部参赛学生的平均分为 分，被选中的学生的平均分为
分，被淘汰的学生的平均分为 分，
设被淘汰的学生的人数为（为正整数），因为淘汰总参加人数的 ，
所以被选中的学生的人数为，总参加人数为 ，根据题意，得
，即 ,
解得 .
所以该选拔赛的分数线为50分.
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技巧2 画图分析数量关系
9.（6分）某班有学生45名，要选择两人作为班干部，结果有40人赞成
甲当班干部，有37人赞成乙当班干部，对甲、乙两人都不赞成的人数是
都赞成人数的 ，那么对甲、乙两人都赞成的人数是多少？
解：设对甲、乙两人都赞成的人数是，则都不赞成的人数是 ，根据
题意可得关系图如图所示，则 ，
解得 .
答：对甲、乙两人都赞成的人数是36.
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技巧3 列表分析数量关系
10.（8分）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备扩建一块运动场
地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下.
信息一：
工程队 每天施工费用（单位：元）
甲 3 600
乙 2 200
信息二：甲工程队3天的施工面积比乙工程队4天的施工面积多 .
（1）求 的值；
解：根据题意，得 ，
解得 .
所以 的值为600.
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继
续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积为 ．该段时间
内体育中心需要支付多少施工费用？
解：设甲工程队单独施工天，则乙工程队单独施工 天，
根据题意，得 ，
解得 .
（元）.
答：该段时间内体育中心需要支付56 800元施工费用.
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考点6 三种思想
思想1 整体思想
11.（6分）解方程： .
解：设，则原方程可变形为 ，
移项、合并同类项，得，即 ，
解得 .
返回
思想2 分类讨论思想
12.（6分）解关于的方程： .
解：移项、合并同类项，得 .
当，即时，解得 ；
当，，即，时， 为任意实数；
当，，即， 时，方程无解.
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思想3 数形结合思想
13.（12分）［2025海安月考］已知在数轴上， 两个点对应的数分别
是，，且满足．点 为数轴上的一动点，其对
应的数为 .
（1）填空：____， ___；
3
（2）数轴上是否存在点，使点到点， 的距离之和为6？若存在，
请求出 的值；若不存在，请说明理由；
解：存在.因为， ，
所以点，表示的数分别为 ,3，
当点在点，之间时， （不合题意）；
当点在点的左侧时， ，
解得 ；
当点在点的右侧时， ，
解得 .
综上所述，的值为 或4.
（3）当点从原点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点 以每秒3个
单位长度的速度向左运动，点 以每秒5个单位长度的速度向左运动．设
运动时间为秒，求当为何值时，点到点， 的距离相等.
解：秒后点，，表示的数分别为，， ，
当点在点，之间时，要使点到点， 距离相等，则
，解得 ；
当点在点，右侧时，要使点到点，的距离相等，则点， 重
合，即
，解得 .
综上，当或时，点到点， 的距离相等.
返回
