(共19张PPT)
第6章 平面图形的初步认识
6.2 角
第2课时 补角、余角
1.［2025南京玄武区月考］将一副三角板按下列位置摆放，其中 与
一定互余的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，点在直线 上，
，那么下列说法错误的是
( )
D
A.与相等 B.与 互余
C.与互补 D.与 互余
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3.（1）已知 ，那么的余角等于_____， 的补角等于______;
（2）已知 的补角是，则 的余角的度数是________．
返回
4. 一个角的补角比它大 ，则这个角的余角为____ ．
40
返回
5.（1）已知与互余，与互余，则与 的关系是________，
理由是________________；
（2）已知与互补，与互补，则与 的关系是_________，
理由是________________.
同角的余角相等
同角的补角相等
返回
（第6题）
6. 如图是某地球仪的示意图，,, 分别
是赤道平面、地轴、黄道平面（地球公转轨道平面），它
们交于点 ，我们知道地球仪的地球是倾斜的，地球仪的
地球姿态是公转时的姿态，地球公转时，地轴并不垂直于
黄道平面，所以地球是倾斜着进行公转的，就产生了黄赤
交角，其度数为 ，地球仪上地轴的倾斜角度与黄赤交角
是互余的，则地球仪上地轴的倾斜角 等于________．
返回
7.（6分） 一个角的余角与这个角的补角的和比平角的
多 ，求这个角的度数.
解：设这个角的度数为，则它的余角为，补角为 ，
则 ，解得 .
所以这个角的度数为 .
返回
8.（8分）如图，已知 .
（1）试画出 的一个余角（用表示）和 的一个补角
（用 表示）；
解：如图①，图②所示，， 即为所求.
（2）若，则______ ，_______ .
57.45
147.45
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9.若 与 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子中：
； ； ； ,正确的
是( )
B
A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④
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（第10题）
10.如图，将一副三角板重叠放在一起，
，直角顶点重合于
点．若 ，则 的度数
为( )
A
A. B. C. D.
返回
11.已知与互补，且 ，则 ______.
返回
12.［2025无锡新吴区月考］如图，是直线， ，
则图中与互余的角是_______________，与 互补的角是
______________.
，
，
（第12题）
返回
13.（8分）已知 .
（1）如图①，若 ， ，求 的度数；
解：因为 ， ，
所以 .
因为， ，
所以 .
因为 ，
所以 .
（2）如图②，指出 的补角并说明理由.
解：的补角是 .理由：因为
，所以是 的补角.
返回
14.（8分） 如果两个角
的差的绝对值等于 ，那么就称这两个角互
为反余角，其中一个角叫作另一个角的反余
角．例如： ， ，
（1）如图，为直线上一点， , 的反余
角是_______， 的反余角是_______________；
和
，则和互为反余角，其中是的反余角，
也是 的反余角.
（2）若一个角的反余角是它的补角的 ，求这个角的度数.
解：设这个角的度数为 ，
若这个角是锐角，则它的反余角为 ，
由题意，得，解得 ；
若这个角是钝角，则它的反余角为 ，
由题意，得，解得 .
综上所述，这个角的度数为 或 .
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第6章 平面图形的初步认识
6.2 角
第3课时 角的大小比较
1.如图所示， 等于( )
D
（第1题）
A. B. C. D.
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（第2题）
2.［2025盐城亭湖区月考］如图，正方形网格中有
和 ，如果每个小正方形的边长都为1，那
么 与 的大小关系为( )
A
A. B. C. D.无法确定
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3.已知射线在内部，下列说法不能确定射线是 的平分
线的是( )
A
A. B.
C. D.
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4.如图，点在直线上，射线平分，若 ，则
______．
（第4题）
返回
5.如图， ， ，则 ______．
（第5题）
返回
6. 在同一平面内， ， ，则
的度数为____________．
或
返回
7.（6分） 如图， ，
，平分，求和 的度数.
解：因为 ，平分 ，
所以 .
因为 ，所以.
返回
8.（6分） 如图，已知 和
，利用直尺和圆规作一个角，
使它等于 ．
解：作，在 内部
作，如图， 即为
所求.
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9.如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合
放置，则 ， ， 三个角的数量关系为( )
C
A. B.
C. D.
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10.如图①是的纸片，平分，如图②，沿 对折
成（与重合），从点引一条射线，使 ，
再沿把角剪开，若剪开后得到的3个角中最大的一个角为 ，则
______.
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11.已知 ，是的平分线， ， 是
的平分线，则 的度数为___________.
或
返回
12.（10分）已知，射线在的内部，射线是 靠
近的三等分线，射线是靠近 的三等分线.
（1）如图，若 ，平分 .
①补全图形；
解：依题意补全图形如图.
②填空： 的度数为_____；
（2）探求和 的数量关系.
[答案] 因为射线是靠近的三等分线，射线是 靠近
的三等分线，
所以， ，
所以，即和的数量关系为 .
返回
13.（8分） 已知是过点的一条射线，， 分别
平分， .
（1）如图①，如果射线在的内部， ，那么
_____；
（2）如图②，如果射线在的内部， ，那么
_____；
（3）如果射线在的外部， ，请借助图③探究
的度数.
解：分两种情况：
①如图①，
因为，分别平分， ，
所以， ，所以
，所以
；
②如图②，
因为，分别平分，，所以 ，
，
所以 ，
所以 .
综上所述，的度数为 或 .
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第6章 平面图形的初步认识
6.3 相交线
第1课时 对顶角
1. 下列各图中，与 是对顶角的为( )
B
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.［2024日照］如图，直线，相交于点 ．若
， ，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.小豆同学周末去香山踏青，看到了一座
色彩鲜艳的高塔——琉璃万寿塔．为了测
量古塔底部的 的度数，小豆设计了
如下测量方案：作，的延长线 ，
，量出的度数，从而得到
的度数．这个测量方案的依据是________
_________________．
两直线
相交，对顶角相等
返回
4.如图，直线和直线相交于点，若 ，则 的
度数是______．
（第4题）
返回
5.如图，直线，，相交于点，则 ______．
（第5题）
返回
6.（6分）如图，直线，相交于点 ，
，平分 ，若
，求 的度数.
解：因为 ， ，
所以 .因为 ，所以 .
所以 .
因为平分，所以 .
返回
7.（8分）［2025南京秦淮区期末］如图，直线 ，
相交于点，已知 ，
.
（1）求 的度数；
解：设，则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
则 ，所以 .
（2）若平分，与 相等吗？为什么？
解：相等.理由：因为 ，所以 .因为 平分
，所以 ，所以 .
返回
（第8题）
8.［2025常州武进区期末］将两根长方形木条 ,
按如图所示放置，固定木条，转动木条 ，
若减小 ，则下列说法正确的是( )
C
A.减小 B.增大
C.增大 D.和 的和不变
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（第9题）
9.如图，直线,相交于点，平分，
平分．若的度数为 ．则
________．（用含 的代数式表示）
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（第10题）
10.［2025泰州海陵区模拟］如图，直线, 相交
于点．已知 ，把 分成两个角，
且，将射线绕点 逆时针旋转
到，当 时， 的
度数是____________.
或
返回
11.（8分）如图，直线与相交于点，射线在 的内部，
.
（1）如图①，当 时，请写出与 互余的角，并说明理由；
解：与互余的角为 .理由：
因为， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
即与 互为余角.
（2）如图②，若平分，求 的度数.
解：因为平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
即 .
返回
12.（8分） 如图①，已知射线在 内，若满足
，则称射线为与 的“互补线”.
（1）如图②，已知点是直线 上一点，射线
,在直线同侧，且射线平分 ．试
说明：射线为与 的“互补线”；
解：因为射线平分 ，所以
.
因为 ，所以 ，
所以射线为与 的“互补线”.
（2）如图③，已知直线,相交于点，射线为与 的
“互补线”，若 ，求 的度数.
解：因为射线为与 的“互补线”，
所以 .
又因为 ，
所以 .
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以
，
所以 .
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第6章 平面图形的初步认识
6.3 相交线
第2课时 垂直
1.［2025扬州一模］过直线外的点画直线 的垂线，下列各图中，三角
板摆放的位置正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，已知直线与直线相交于点 ，下列条件
中不能说明 的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
（第3题）
3.［2024北京］如图，直线和相交于点 ，
，若 ，则 的大小为
( )
B
A. B. C. D.
返回
4.［2025宿迁期末］在同一平面内，直线，，则直线
与 重合，理由是_____________________________________________
_______．
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直
返回
5.（8分） 如图，为直线 上一
点，平分，于点 .
（1）若 ，求 的度数；
解：因为 ，平分，所以
， ，
所以 .
（2）试判断是否平分 ，并说明理由.
解：平分 ,理由如下：
因为平分，所以 .
因为于点，所以 ，
所以 ， ，
所以，所以平分 .
返回
6.（8分）利用网格仅用无刻度直尺按照要求完成作图.
（1）过点作射线的垂线，垂足为点 ；
解：如图，直线 即为所求.
（2）过点作射线的垂线，交射线于点 .
解：如图，直线 即为所求.
返回
（第7题）
7.甲,乙,丙共同完成这样一道题目：“直线，
相交于点，平分，，垂足为
（如图所示）．若 ，请用含 的代数式
表示，， 中任意两个角的度数．”
甲的结果是 ， ；乙
D
A.甲对，乙错 B.甲和乙都错 C.乙和丙都对 D.乙对，丙错
的结果是 ，； 丙的结果是
，． 下列判断正确的是( )
返回
8.如图，直线，相交于点，平分， 为平面上一点，且
，若 ，则 ____________.
或
（第8题）
返回
（第9题）
9. 如图，为了探清一口深井的底部情况，在井
口放置一面平面镜可改变光路，此时 ，当太
阳光线与地面所成夹角 时，要使太阳
光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整
平面镜与地面的夹角 _____．
返回
10.如图，已知直线，相交于点，平分， .
（第10题）
（1）如果 ，则 ______，
_____；
（2）如果，则
_________（用含 的代数式表示）；
（3）图中与 互余的角有_____________.
,
返回
11.（12分） 如图，点 在直线
上，点，与点，分别在直线 两侧，且
， .
（1）若平分，求 的度数；
解：因为平分 ，
所以 .
因为 ，所以
.
（2）在（1）的条件下，平分，过点作射线 ，求
的度数；
解：当在 下方时，如图①，
因为平分， ，
所以 .
因为，所以 ，
所以 ，
所以 .
当在 上方时，如图②，
因为平分， ，
所以 .
因为，所以 .
因为 ，
，
所以 .
综上，的度数为 或 .
（3）若在内部作一条射线，若 ，
，试判断与 的数量关系.
解：如图③,设 ，则 ，
所以.
因为，所以 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
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第6章 平面图形的初步认识
6.4 平行线
第4课时 平行线的性质
（第1题）
1.[2024重庆]如图，， ，则 的度
数是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.[2025扬州邢江区期末]如图，下列判断中错误的是( )
C
（第2题）
A.因为，所以
B.因为，所以
C.因为，所以
D.因为，所以
返回
3.如图,
（第3题）
（1）若，则 ____（__________________
_______）；
两直线平行，同位
角相等
（2）若，则 ____（__________________
_______）；
两直线平行，内错
角相等
（3）若，则____ （________
___________________）.（括号内填依据）
两直线
平行，同旁内角互补
返回
4.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知 ，则 的度数为
_____.
（第4题）
返回
5.（8分）如图，直线分别与直线， 相交于
点，，平分，若 ，且
.
（1）直线与 平行吗？为什么？
解：直线与 平行，理由：如图，
因为， ，
所以 ，
所以 .
（2）求 的度数.
解：因为，所以 .
又因为平分，所以 ，
所以 ，所以 .
返回
6.（8分）[2025泰州模拟]已知：如图， ，
.
（1）判断与 的位置关系，并说明理由；
解：.理由如下：因为 ，所以
，
所以.因为 ，
所以 ，所以 .
（2）若 ， 求 的度数.
解：因为,， ,
所以 , .
因为 ,所以 .
所以 .
返回
（第7题）
7.如图，已知，则，， 三者之
间的关系是( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第8题）
8.[2025泰州姜堰区模拟]光线在不同介质中的
传播速度是不同的，因此当光线从水中射向
空气时，要发生折射，由于折射率相同，所
以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.
如图，两条平行光线由水中射入空气中，直
线与水面平行， ，则
的度数为_____．
返回
9.[2025连云港期末]如图①，已知长方形纸片，将纸片沿 折叠
后，点，分别落在，的位置，再沿 折叠成图②，若
，则____ ．
72
（第9题）
返回
10.（8分）如图，已知，在 上，
于点， .
（1）与 相等吗？为什么？
解：相等.理由：因为 ，
所以，所以 .
（2）试求出 的度数.
解：因为，所以 ，
因为， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
即 .
返回
11.（12分）[2025徐州模拟]如图，已知点，在直线上，点 在线段
上，与交于点，， .
（1）与 平行吗？为什么？
解：平行.理由：因为，所以 .
（2）试判断与 之间的数量关系，并说明理由.
解： .
理由：因为，所以 ，
又因为，所以 ，
所以，所以 .
（3）若 ， ，求 的度数.
解：因为 ， ，
所以 .
又因为，所以 .
又因为，所以 ，
所以 .
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第6章 平面图形的初步认识
阶段测试（6.1~6.2）
一、选择题（每小题6分，共30分）
1.若，则 补角的大小是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［2025盐城亭湖区月考］下列语句中正确的是( )
D
A.画直线
B.延长射线到
C.画射线
D.延长线段到，使得
返回
（第3题）
3.如图，表示 的其他方法中，不正确的是
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.［2025南通崇川区期末］如图，已知为直线
上一点，平分， ，
，则 的度数为( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第5题）
5.如图，将直角三角板的直角顶点 放在直线
上（点，在异侧），射线 平分
．若，则 的度数为
( )
D
A. B. C. D.
返回
二、填空题（每小题6分，共30分）
6.____ ________ ．
34
22
12
返回
7.［2025苏州期末］已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个
角的度数为_____．
返回
8.将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，理由是____________
_______.
两点确定一
条直线
返回
9.如图，点，在线段上，点为的中点， ，
，则___ ．
（第9题）
3
返回
10.如图①，在长方形中，点在上，且 ，分别以
，为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中 ，
则 的度数为_____.
（第10题）
返回
三、解答题（共40分）
11.（10分）如图，在同一平面内有四个点，，， ，请按要求完成
下列问题.
（1）作射线 ；
解：如图所示：
（2）作直线，与射线相交于点 ；
解：如图所示：
（3）分别连接， ；
解：如图所示：
（4）我们容易判断出线段与 的数量关系是______________，
理由是____________________.
两点之间，线段最短
返回
12.（10分）［2025扬州广陵区月考］如图，已知点为线段 上一
点，，，，分别是， 的中点．求：
（1）求 的长度；
解：由线段中点的性质，得 .
（2）求 的长度；
解：由线段的和差，得 ，
由线段中点的性质，得 ，
由线段的和差，得 .
（3）若在直线上，且，求 的长度.
解：当在点的右侧时，
，
当在点的左侧时，
，
所以的长度为或 .
返回
13.（10分）如图，是直线上的一点，
是直角，平分 .
（1）若 ，求 的度数；
解：因为是直角， ，
所以 ，
所以 .
因为平分，所以，
所以
.
（2）若 ，求的度数（用含 的代数式表示）；
解：因为是直角， .
所以 ，
所以 .
因为平分 ，
所以 ，
所以 .
（3）在（1）的条件下，的内部有一射线，射线将
分为的两部分，则 的度数为___________.
或
返回
14.（10分）［2025苏州工业园区月考］点在直线上，射线 在直
线上方， .
（1）如图①，求 的度数；
解：设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）如图②，点在直线上方，与互余， 平分
，求 的度数；
解：因为与 互余，
所以 ，
所以 .因为
平分 ，
所以 ，
所以 .
（3）在（2）的条件下，点，在直线下方，平分 ，若
与互补，求 的度数.
解：①如图①，因为平分 ，
所以 ，
因为与 互补，所以
，
设 ，则 ，因为
，
，
所以，解得 ，
所以 ；
②如图②，因为平分 ，所以
.
因为与 互补，所以
，
所以 ，所以点，， 共
线，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以.
综上，的度数为 或 .
返回(共20张PPT)
第6章 平面图形的初步认识
阶段测试（6.3~6.4）
一、选择题（每小题6分，共30分）
（第1题）
1.如图，，，那么点 到直线
的距离是指( )
D
A.线段的长 B.线段 的长
C.线段的长 D.线段 的长
返回
（第2题）
2.如图，直线，相交于点 ，若
， ，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.[2025宿迁宿豫区模拟]如图，下列结论中错误的是
( )
C
A.与是同旁内角 B.与 是内错角
C.与是内错角 D.与 是同位角
返回
（第4题）
4.如图，若， ，则 的度数是
( )
A
A. B. C. D.
返回
5.如图，在四边形中，连接 ，下列判断正确的是( )
D
（第5题）
A.若，则
B.若，则
C.若 ，则
D.若， ，则
返回
二、填空题（每小题6分，共30分）
6.[2025南京期末]如图，在跳远比赛中，裁判员将皮尺的起始端固定在
点处，拉紧皮尺，使皮尺，垂足为，则线段 的长度就是运
动员所跳的距离．这一做法运用的数学依据是______________________
_______________________________.
直线外一点与直线上各
点连接的所有线段中，垂线段最短
（第6题）
返回
（第7题）
7.[2025盐城期末]如图，直线,相交于 ，且
，则 的度数为_____．
返回
（第8题）
8.如图，，为平角，若平分 ，
则_____ ．
135
返回
（第9题）
9.[2025苏州工业园区模拟]如图，直线 ，将一
直角三角形的直角顶点置于直线上，若 ，
则_____ ．
117
返回
（第10题）
10.一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点
，重合，若固定三角板 ，改变三角板
的位置（其中点 的位置始终不变），当
____________时， .
或
返回
三、解答题（共40分）
11.（12分）[2025徐州泉山区期末]如图，直线
，相交于点， .
（1）若，判断与 的位置关系，并
说明理由；
解：.理由如下：因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为，所以 ，
即 ，所以 .
（2）若，求 的度数.
解：由（1）知 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 .
返回
12.（12分）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角板，仅用直尺画图.
（1）过点，画的平行线， 为格点；
解：如图.（点 位置不唯一）
（2）过点，画的垂线， 为格点；
解：如图.
（3）过点，画的垂线， 为格点；
解：如图.
（4）请直接写出、 的位置关系.
解： .
返回
13.（16分）[2025淮安淮阴区期末]如图，，，在上，
在上，， ，是 的平分线.
（1）与 平行吗？请说明理由；
解：，理由如下：因为 ，
所以 ．又因为 ，
所以．所以 .
（2）试说明 ；
解：因为 ，
所以 ，
所以 .
因为是 的平分线，
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
（3）试说明是 的平分线.
解：因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
所以是 的平分线.
返回(共35张PPT)
第6章 平面图形的初步认识
章末回顾与整合提升
考点1 四组概念
概念1 直线、射线、线段
（第1题）
1.如图，是过点 的直线，则图中有一个端
点是点 的线段有___条，它们分别是线段
____________________，图中的射线有___条，
它们分别是射线_________.
4
，，，
2
，
返回
概念2 角
2.如图，能用一个大写字母表示的角有_______，可用三个大写字母表
示的角是_____________________________________（写三个）；以
为顶点的角是_____________.
,
,,（此空答案不唯一）
,
（第2题）
返回
概念3 同位角、内错角、同旁内角
3.[2025宿迁宿豫区模拟]如图，的同位角是____， 的同位角是___，
的内错角是_________， 的同旁内角是____.
和
（第3题）
返回
概念4 多边形
4.从六边形的一个顶点出发，可以画条对角线，它们将六边形分成
个三角形，则 的值为( )
C
A.5 B.6 C.7 D.8
返回
5.[2025常州新北区期末]如图，在中，点，分别在， 上，
点为延长线上的一点，若的外角 ，
，则 _____.
（第5题）
返回
考点2 三个作图
作图1 线段与角的尺规作图
6.（8分）[2025苏州吴江区月考]根据下列要求作图：（不写作法，保留
作图痕迹）
（1）如图①，已知线段，， ，用圆规和直尺画一条线段，使它等于
；
解：如图①，
线段 即为所求.
（2）如图②，已知，，求作，使 .
解：如图②，
即为所求.
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作图2 垂线的作图
7.（12分）如图所示，火车站、码头分别位于
，两点，直线和 分别表示河流与铁路.
（1）从火车站到码头怎样走最近？画图并说明
理由.
解：如图所示：
沿 走最近，理由：两点之间，线段最短.
（2）从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由.
解：如图所示：
沿 走最近，理由：垂线段最短.
（3）从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由.
解：如图所示：
沿 走最近，理由：垂线段最短.
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作图3 平行的作图
8.（12分）[2025连云港连云区月考]如图，是
外一点.
（1）过点画的平行线，交于点 ；
解：如图，直线 即为所求.
（2）过点画的平行线，交的反向延长线于点 ；
解：如图，直线 即为所求.
（3）量出，，， 的度数．你有什么发现？
解： ， ， ， ，
发现：如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补.
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考点3 两种计算
计算1 线段的计算
9.（8分）如图，已知线段，延长到点，使得 ，反
向延长到点，使 .
（1）求线段 的长；
解：因为， ，
所以，所以 ，
因为，所以 ，
所以 .
（2）若为的中点，为线段上一点，且，求线段
的长.
解：因为为的中点，所以 ，
因为，所以 .
当点在，之间时， ；
当点在，之间时， .
所以 的长为1或3.
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计算2 角的计算
10.____ ________；_______ ．
34
22
12
108.36
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11.钟表在9时30分时，它的时针与分针所夹的角是______.
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12.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大 ，则这个角的度数是
_____.
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13.（12分）点是直线上一点，是直角，平分 .
（1）①如图①，若 ，求 的度数；
解：因为 ， ，
所以 .
因为平分 ，
所以 ，
所以 .
②如图②，若 ，直接写出的度数（用含 的式子表示）；
解： ；
（2）将图①中的绕点 按顺时针方向旋转至图②所示的位置．探
究与 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由.
[答案] ，理由如下：
因为 ，
OE平分 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
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考点4 一种说理——根据基本事实说理
14.“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是_____
______________.
两点
之间,线段最短
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15.国庆节前，某绿化公司在公园的入口两边摆放时令花卉，小明观察
到工人们先在两端各确定一点，并拉绳固定，再沿绳子规范地摆放中间
的花，工人们这样操作，可用学过的知识解释为__________________.
两点确定一条直线
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考点5 一个判定——平行线的判定
16.[2025南京鼓楼区期末]下列图形中，由，能得到 的
是( )
C
A. B. C. D.
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17.（8分）如图，在三角形中，点， 在边
上，点在边上，点在边上，与
的延长线交于点，， .
（1）判断与 的位置关系，并说明理由；
解：.理由如下：因为 ，
所以，所以，因为 ，
所以 ，所以 .
（2）若 ，且 ，求 的度数.
解：由（1）得 ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为，所以，所以 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
返回
考点6 一个性质——平行线的性质
18.[2024陕西]如图，，， ，则 的度数为
( )
B
（第18题）
A. B. C. D.
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19.[2024连云港]如图，直线，直线， ，则
____ .
30
（第19题）
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20. 凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜．如图，一束平行于
主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 的光线交
于点，点为焦点，若 ， ，则 的度数是
______.
（第20题）
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21.（8分）[2025泰州海陵区期末]如图，点在
上，点在上，与交于点，且 .
（1）若，试说明： .
解：因为， ，
所以，所以 ，
所以，所以 .
（2）若 ， ，求 的度数.
解：因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
因为，所以，所以 .
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考点7 两个思想
思想1 分类讨论思想
22.已知 ， ，
，则 的度数是_________________
______.
或 或
或
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思想2 方程思想
23.[2025南京秦淮区月考]如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比
另一个角的4倍少 ，那么这两个角的度数分别为_________________
___________.
， 或，
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24.（6分）如图，在两条笔直且平行的景观道，上分别放置，
两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒 的速度旋转至边 便
立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒 的速度旋
转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线 先旋转4秒，
光线才开始旋转，当光线 旋转多少秒时，这两束光线平行？
解：设光线的旋转时间为秒，当 时，
因为，所以 .
因为，所以 .
所以 .
所以．所以 .
当时，光线由 处返回，
所以 .
所以 .
因为，所以 .
因为 ，
所以 .
所以 .
所以 .
所以 .
综上，当光线 旋转6秒或43.5秒时，这两束光线平行.
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第6章 平面图形的初步认识
专题训练11 线段与角中的动态问题
类型1 线段中的动点问题
1.（10分）［2025南京江浦区期末］，是数轴上的两点（点在点
的右侧），点表示的数为，，点 为数轴上的一个动点，其
对应的数为 .
（1）数轴上点 表示的数是___.
3
（2）若，求 的值.
解：由题意知点对应的数为 ，
①当点在点左侧时， ，不合题意，舍去；
②当点位于， 两点之间时，
因为，所以，所以 ；
③当点位于点右侧时，因为 ，
所以，所以 ，
综上，或 .
（3）若点以每秒2个单位长度的速度从原点向右运动，同时点 以每秒
1个单位长度的速度向左运动，点 以每秒3个单位长度的速度向右运动，
设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间 的
变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出 的值.
解： 的值不随时间变化而变化.
秒后，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为
，所以
.
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2.（10分）［2025苏州期末］
【发现猜想】
（1）如图①，已知线段上有一点，点为的中点， ，
，则 的长度为____.
10
【探索归纳】
（2）如图①，已知线段上有一点，点为的中点， ，
，猜想的长度（用含、 的代数式表示），并说明理由.
解：猜想 ，理由：
因为，，点为 的中点，
所以 .
【问题解决】
（3）如图②，已知数轴上有一点表示的数为，点的右侧有三点 ,
,，，，．若点 以每秒2个单位长度的速度
向右运动，点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点 以每秒1个单
位长度的速度向左运动，三个点同时运动，当点运动到 点时，三个
点都停止运动．设运动的时间为秒，试求当为何值时，,, 中的一
点是以另外两点为端点的线段的中点？
解：因为点表示的数是，，， ，
所以在数轴上点表示的数是5，点表示的数是21，点 表示的数是17，
由题意可知，点运动秒以后在数轴上表示的数为，点运动 秒
以后在数轴上表示的数为，点运动 秒以后在数轴上表示的数
为 ，
又因为点运动到 点时，三个点都停止运动，
此时，即 ，
所以的取值范围为 .
①当点是线段的中点时，，所以；
②当点是线段的中点时， ，
所以 ；
③当点是线段的中点时， ，
所以 .
答：当为或或8时，，， 中的一点是以另外两点为端点的线段
的中点.
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类型2 与角有关的旋转问题
3.（6分）如图①，已知点在直线上，射线，分别在直线
的上、下两侧且 ，是 的平分线.
（1）若 ，则的度数为____ .
35
（2）如图②，在（1）的条件下，射线从出发绕点以每秒 的
速度逆时针旋转，同一时刻，射线从出发绕点以每秒 的速度
顺时针旋转，记旋转时间为秒．当 时，求旋转时
间 的值.
解：当旋转时间为秒时， ，
，根据题意得 ，
解得 .
答：当时，旋转时间 的值为11.
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4.（12分）［2025连云港期末］将
一副直角三角板， ，按如
图①放置，其中与 重合，
， .
（1）如图①，点在线段的延长线上，求 的度数.
解：因为 ， ，
所以 ，
所以 .
（2）将三角板从图①位置开始绕点逆时针旋转，， 分别为
， 的平分线.
①如图②，当旋转至的内部时，求 的度数；
[答案] 因为，分别为， 的平分线，
所以， ，
所以
.
②当旋转至的外部时，直接写出 的度数.
[答案] 的度数为 或 .点拨：当旋转至 的外
部时，分两种情况：
（Ⅰ）如图①，
因为，分别为， 的平分线，
所以， ，
所以
；
（Ⅱ）如图②，
因为，分别为， 的平分线，
所以， ，
所以
.
综上所述，的度数为 或 .
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