12.1.1认识函数 课件（共25张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 12.1.1认识函数 课件（共25张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-09 16:51:32 | ||
图片预览
文档简介
(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.1.1 认识函数
副标题：探索变量关系，理解函数本质
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境导入与学习目标
情境导入：在现实生活中，存在着许多相互依赖的变量关系。比如，汽车行驶的路程随着时间的变化而变化，气温随着时间的变化而变化，购买商品的总价随着数量的变化而变化。这些变化关系中蕴含着怎样的数学规律呢？这就是我们今天要学习的函数。
学习目标：
理解变量、常量的概念，能识别问题中的变量和常量。
掌握函数的定义，理解函数中两个变量之间的对应关系。
能判断两个变量之间是否存在函数关系。
了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法）。
幻灯片 3：变量与常量
变量的定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量。
常量的定义：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量。
实例分析：
汽车以 60 千米 / 小时的速度行驶，行驶的路程 s（千米）与行驶时间 t（小时）的关系为 s = 60t。在这个变化过程中，s 和 t 是变量，60 是常量。
圆的面积 S 与半径 r 的关系为 S = πr 。在这个变化过程中，S 和 r 是变量，π 是常量。
购买单价为 5 元的笔记本，购买的总价 y（元）与数量 x（本）的关系为 y = 5x。在这个变化过程中，y 和 x 是变量，5 是常量。
注意事项：变量和常量是相对的，在不同的变化过程中，一个量可能是变量，也可能是常量。
幻灯片 4：函数的概念
函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。
对函数定义的理解：
存在两个变量：x 和 y。
对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，即 “一对一” 或 “多对一” 的对应关系，不能出现 “一对多” 的情况。
实例判断：
在 s = 60t 中，对于 t 的每一个确定的值，s 都有唯一确定的值与之对应，所以 s 是 t 的函数，t 是自变量。
在 y = 5x 中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，所以 y 是 x 的函数，x 是自变量。
对于关系式 y = x，当 x = 4 时，y = 2 或 y = -2，即 y 的值不唯一，所以 y 不是 x 的函数。
幻灯片 5：函数的三要素
自变量的取值范围：自变量 x 可以取值的范围叫做自变量的取值范围。确定自变量的取值范围时，要考虑实际意义和数学意义。
实例：在 y = 5x 中，x 表示购买笔记本的数量，所以 x 的取值范围是 x 为非负整数；在 y = x + 3 中，x 可以取任意实数。
函数值：对于自变量 x 的一个确定的值 a，函数 y 相应的取值叫做当 x = a 时的函数值，记作 y = f (a)。
实例：对于函数 y = 2x + 1，当 x = 3 时，函数值 y = 2×3 + 1 = 7，即 f (3) = 7。
对应关系：自变量 x 与函数 y 之间的关系，通常用解析式、表格或图象来表示。
幻灯片 6：函数的表示方法（一）—— 列表法
定义：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做列表法。
实例：某城市一周的日平均气温如下表所示，表格中清晰地展示了时间 x（天）与日平均气温 y（℃）之间的函数关系。
时间 x（天）
1
2
3
4
5
6
7
气温 y（℃）
20
22
19
25
23
21
18
优点：能直接看出自变量和对应的函数值，简单明了。
缺点：只能列出部分自变量的值，不能反映函数的整体变化规律。
幻灯片 7：函数的表示方法（二）—— 解析式法
定义：用数学式子表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析式法，也称为关系式法。
实例：
路程 s 与时间 t 的关系：s = vt（v 为速度，常量）。
正方形的面积 S 与边长 a 的关系：S = a 。
一次函数的一般形式：y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0）。
优点：能准确地反映函数的变化规律，便于进行理论分析和计算。
缺点：不是所有的函数关系都能用解析式表示，且对于一些复杂的解析式，理解和计算可能较困难。
幻灯片 8：函数的表示方法（三）—— 图象法
定义：用图象来表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做图象法。
绘制步骤：
列表：列出自变量 x 与对应的函数值 y 的一些对应值。
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的值为横坐标，对应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点。
连线：用平滑的曲线（或直线）把所描出的点连接起来，得到函数的图象。
实例：一次函数 y = 2x + 1 的图象是一条直线，通过列表、描点、连线可以画出该函数的图象。
优点：能直观地反映函数的变化趋势，便于观察函数的增减性、最值等特征。
缺点：图象上读取的函数值是近似值，不够精确。
幻灯片 9：典型例题解析（基础应用）
例题 1：指出下列变化过程中的变量和常量。
（1）三角形的面积 S 与底边长 a 的关系为 S = \(\frac{1}{2}\)ah（h 为三角形的高，且 h 为定值）。
解：变量是 S 和 a，常量是\(\frac{1}{2}\)和 h。
（2）购买单价为 8 元的钢笔，总价 y（元）与购买数量 x（支）的关系为 y = 8x。
解：变量是 y 和 x，常量是 8。
例题 2：判断下列关系式中，y 是否是 x 的函数。
（1）y = 3x - 1；（2）y = x；（3）y = ±\(\sqrt{x}\)。
解：（1）对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，所以 y 是 x 的函数。（2）当 x 取一个正值时，y 有两个值与之对应，所以 y 不是 x 的函数。（3）当 x 取一个正值时，y 有两个值与之对应，所以 y 不是 x 的函数。
例题 3：对于函数 y = 2x - 3，当 x = 2 时，求函数值 y；当 y = 5 时，求自变量 x 的值。
解：当 x = 2 时，y = 2×2 - 3 = 1；当 y = 5 时，2x - 3 = 5，解得 x = 4。
幻灯片 10：典型例题解析（能力提升）
例题 4：求下列函数中自变量 x 的取值范围。
（1）y = 2x + 5；（2）y = \(\frac{1}{x - 1}\)；（3）y = \(\sqrt{x - 2}\)。
解：（1）x 可以取任意实数。（2）分母不能为 0，即 x - 1 ≠ 0，解得 x ≠ 1，所以自变量 x 的取值范围是 x ≠ 1。（3）被开方数是非负数，即 x - 2 ≥ 0，解得 x ≥ 2，所以自变量 x 的取值范围是 x ≥ 2。
例题 5：某商店销售一种文具，每件售价为 10 元，每天可销售 20 件。若售价每降低 1 元，每天可多销售 5 件。设售价降低 x 元，每天的销售量为 y 件，写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围。
解：根据题意，售价降低 x 元后，每天多销售 5x 件，所以 y = 20 + 5x。因为售价不能低于成本（假设成本忽略不计，售价降低的金额不能使售价为负数），所以 x ≥ 0，且 10 - x ≥ 0，即 x ≤ 10，所以自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 10。
幻灯片 11：常见错误分析与规避
错误类型 1：混淆变量和常量，不能正确识别变化过程中的变量和常量。
规避方法：在分析问题时，明确变化过程，看哪些量的数值在发生变化，哪些量的数值保持不变，变化的量是变量，不变的量是常量。
错误类型 2：对函数定义中 “唯一确定” 的理解不透彻，误认为只要有两个变量就是函数关系。
规避方法：牢记函数定义的核心是 “对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应”，判断时要检查是否满足这一条件，避免出现 “一对多” 的情况。
错误类型 3：确定自变量取值范围时，忽略实际意义，只考虑数学表达式的限制。
规避方法：在实际问题中，自变量的取值范围不仅要使函数表达式有意义，还要符合实际情况，如数量不能为负数、时间不能为负数等。
错误类型 4：求函数值或自变量的值时，计算错误。
规避方法：代入数值时要仔细核对，计算过程要认真，确保结果准确。
幻灯片 12：课堂总结与作业布置
课堂总结：
变量是变化过程中数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量。
函数的定义：在一个变化过程中，对于自变量 x 的每一个确定的值，函数 y 都有唯一确定的值与之对应。
函数的三要素包括自变量的取值范围、函数值和对应关系。
函数有三种表示方法：列表法、解析式法和图象法，各有优缺点。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，识别变量和常量，判断是否为函数关系，求函数值和自变量取值范围。
提升作业：根据实际问题列出函数关系式，并确定自变量的取值范围。
拓展作业：观察生活中的一个变化过程，找出其中的变量，尝试用列表法或解析式法表示它们之间的函数关系。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.1.1认识函数
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解常量与变量的意义，能正确分辨出自变量与因变量；
2.初步了解自变量与函数的意义，能写出简单的函数表达式；
3.通过观察、分析生活中两个变量的运动变化过程，培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力；
4.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神.
观察思考
你还记得乌鸦喝水的故事吗？你能从中发现什么？
图片中涉及哪几个量？它们之间有什么不同呢？
思考
水量
石子数量
水面高度
水面高度，石子数量在
水量固定
改变
不变
水面随着石子数量的增多而升高
现实生活中常常需要研究变化的量之间的关系.
用热气球探测高空气象，设热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升.它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表：
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
合作探究
当t=0 min时
h为1800 m
当t=1 min时
h为1830 m
当t=2 min时
h为1860 m
当t=3 min时
h为1890 m
(1)这个问题中，涉及哪几个量？
(2)观察上表，热气球在升空过程中平均每分上升多少米？
(3)你能求出上升后3 min和6 min时热气球到达的海拔高度吗？
热气球原先所在的高度1800 m
热气球升空的时间t、升空的高度h
30 m
合作探究
你能总结出h与t的关系吗？
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
1 min上升：30 m
4 min上升：30 m×4
3 min上升：30 m×3
2 min上升：30 m×2
t min上升：
30t m
h=1800+30t
想一想刚才热气球在升空过程中哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
h=1800+30t
想一想
原先所在的高度1800 m
上升的平均速度30 m/min
升空的高度h
升空的时间t
不变的量
变化的量
归纳
我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量.
变量和常量
原先所在的高度1800 m
上升的平均速度30 m/min
升空的高度h
升空的时间t
不变的量
变化的量
常量
变量
判断常量和变量的方法：
(1)看它是否在同一个变化过程中；
(2)看它在这个变化过程中的取值是否改变.
你知道如何判断常量和变量吗？
热气球升空的高度h与时间t，这两个变量之间有什么关系吗？
h=1800+30t
h随t的变化而变化.且任给变量t的一个值，就可以相应地得到变量h的一个确定的值.
如：t=3时，h=1890；t=6时，h=1980 …
我们把t叫作自变量.
自我发生变化的量.
思考
思考
S市某日自动测温仪记下的用电负荷曲线如图所示.
时间t/h
O
1 2 3 4 5 6 7 8
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
负荷y/×10 兆瓦
(1)这个问题中，涉及哪些变量？哪个是自变量？
(2)给出这天中的某一时刻，如4.5 h、20 h，能找到这一时刻的负荷y(×10 兆瓦)是多少吗？找到的值是唯一确定的吗？
两个变量：时间、负荷；
时间是自变量.
y=10
y=16
唯一确定
1 兆瓦=1 000 000瓦
思考
S市某日自动测温仪记下的用电负荷曲线如图所示.
(3)这一天的用电高峰、用电低估时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？
下午13:30是用电高峰，负荷是18×103兆瓦；
凌晨4:30是用电低谷，负荷是10×103兆瓦.
y=10
用电低谷
用电高峰
时间t/h
O
1 2 3 4 5 6 7 8
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
负荷y/×10 兆瓦
请同学们举出生活中的实际问题，并说明在你所举问题中的常量、变量、自变量各是什么？
交流
归纳
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值的范围内的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
如果x=a时，y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
函数的概念注意把握：
变化过程；
两个变量x与y；
对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应.
1
2
3
典型例题
【例】汽车在行驶的过程中，制动后由于惯性的作用仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动距离.某型号的汽车在路面上的制动距离s m与车速v km/h之间有下列经验公式： .
(1)式中哪些量是常量，哪些量是变量？哪个量是自变量？
(2)当制动时车速v分别是40 km/h，60 km/h时，相应的制动距离s分别是多少米(结果保留一位小数)？
解：(1) 是常量，s和v是变量，车速v是自变量.
(2) 当v=40 km/h时， (m) ；
当v=60 km/h时， (m).
知识点1 常量与变量
1. “白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩
大，水波的周长与半径的关系式为 ，则其中的自
变量是( )
A
A. 半径 B. 周长 C. 2 D.
返回
2. 某辆速度为 的汽车从甲地开往相
距的乙地，全程所用的时间为 ，在这个变化过程
中，下列说法正确的是( )
A
A. 是常量 B. 是常量 C. 是常量 D. 无法判断
返回
知识点2 函数的定义
3. 下列图象中，不是 的函数的是( )
B
A. B. C. D.
返回
4. 下列两个变量，不是函数关系的是( )
B
A. 正方形的面积与边长之间的关系
B. 一个正数的平方根与这个正数之间的关系
C. 圆的面积与圆的周长之间的关系
D. 速度一定时，汽车行驶的路程与行驶时间之间的关系
返回
5. ［2025南京外国语学校月考］有下列式子：
;;; .
其中，是 的函数的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】在中，当时，，即对于 的每一
个可取的值，不是唯一的值与之对应，所以②中不是 的
函数.其余三个都满足函数定义，故选C.
返回
知识点3 函数的自变量
6. 一个容器中装有一定质量的糖，向容器中加入水，随着水
量的增加，糖水的浓度将降低，这个问题中自变量是( )
D
A. 糖水的浓度 B. 糖水的质量
C. 糖的质量 D. 水量
返回
易错点 对函数定义中“唯一确定的值与它对应”理解不
透彻而致错
7. 下列关于变量,的关系,其中不是 的函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
判断变量和常量的方法
①看它是否在同一个变化过程中；
②看它在这个变化过程中的取值是否改变.
变量与函数
变量与常量的概念
我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量.
自变量、函数、函数值的概念
在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：12.1.1 认识函数
副标题：探索变量关系，理解函数本质
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境导入与学习目标
情境导入：在现实生活中，存在着许多相互依赖的变量关系。比如，汽车行驶的路程随着时间的变化而变化，气温随着时间的变化而变化，购买商品的总价随着数量的变化而变化。这些变化关系中蕴含着怎样的数学规律呢？这就是我们今天要学习的函数。
学习目标：
理解变量、常量的概念，能识别问题中的变量和常量。
掌握函数的定义，理解函数中两个变量之间的对应关系。
能判断两个变量之间是否存在函数关系。
了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法）。
幻灯片 3：变量与常量
变量的定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量。
常量的定义：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量。
实例分析：
汽车以 60 千米 / 小时的速度行驶，行驶的路程 s（千米）与行驶时间 t（小时）的关系为 s = 60t。在这个变化过程中，s 和 t 是变量，60 是常量。
圆的面积 S 与半径 r 的关系为 S = πr 。在这个变化过程中，S 和 r 是变量，π 是常量。
购买单价为 5 元的笔记本，购买的总价 y（元）与数量 x（本）的关系为 y = 5x。在这个变化过程中，y 和 x 是变量，5 是常量。
注意事项：变量和常量是相对的，在不同的变化过程中，一个量可能是变量，也可能是常量。
幻灯片 4：函数的概念
函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。
对函数定义的理解：
存在两个变量：x 和 y。
对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，即 “一对一” 或 “多对一” 的对应关系，不能出现 “一对多” 的情况。
实例判断：
在 s = 60t 中，对于 t 的每一个确定的值，s 都有唯一确定的值与之对应，所以 s 是 t 的函数，t 是自变量。
在 y = 5x 中，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，所以 y 是 x 的函数，x 是自变量。
对于关系式 y = x，当 x = 4 时，y = 2 或 y = -2，即 y 的值不唯一，所以 y 不是 x 的函数。
幻灯片 5：函数的三要素
自变量的取值范围：自变量 x 可以取值的范围叫做自变量的取值范围。确定自变量的取值范围时，要考虑实际意义和数学意义。
实例：在 y = 5x 中，x 表示购买笔记本的数量，所以 x 的取值范围是 x 为非负整数；在 y = x + 3 中，x 可以取任意实数。
函数值：对于自变量 x 的一个确定的值 a，函数 y 相应的取值叫做当 x = a 时的函数值，记作 y = f (a)。
实例：对于函数 y = 2x + 1，当 x = 3 时，函数值 y = 2×3 + 1 = 7，即 f (3) = 7。
对应关系：自变量 x 与函数 y 之间的关系，通常用解析式、表格或图象来表示。
幻灯片 6：函数的表示方法（一）—— 列表法
定义：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做列表法。
实例：某城市一周的日平均气温如下表所示，表格中清晰地展示了时间 x（天）与日平均气温 y（℃）之间的函数关系。
时间 x（天）
1
2
3
4
5
6
7
气温 y（℃）
20
22
19
25
23
21
18
优点：能直接看出自变量和对应的函数值，简单明了。
缺点：只能列出部分自变量的值，不能反映函数的整体变化规律。
幻灯片 7：函数的表示方法（二）—— 解析式法
定义：用数学式子表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析式法，也称为关系式法。
实例：
路程 s 与时间 t 的关系：s = vt（v 为速度，常量）。
正方形的面积 S 与边长 a 的关系：S = a 。
一次函数的一般形式：y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0）。
优点：能准确地反映函数的变化规律，便于进行理论分析和计算。
缺点：不是所有的函数关系都能用解析式表示，且对于一些复杂的解析式，理解和计算可能较困难。
幻灯片 8：函数的表示方法（三）—— 图象法
定义：用图象来表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做图象法。
绘制步骤：
列表：列出自变量 x 与对应的函数值 y 的一些对应值。
描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的值为横坐标，对应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点。
连线：用平滑的曲线（或直线）把所描出的点连接起来，得到函数的图象。
实例：一次函数 y = 2x + 1 的图象是一条直线，通过列表、描点、连线可以画出该函数的图象。
优点：能直观地反映函数的变化趋势，便于观察函数的增减性、最值等特征。
缺点：图象上读取的函数值是近似值，不够精确。
幻灯片 9：典型例题解析（基础应用）
例题 1：指出下列变化过程中的变量和常量。
（1）三角形的面积 S 与底边长 a 的关系为 S = \(\frac{1}{2}\)ah（h 为三角形的高，且 h 为定值）。
解：变量是 S 和 a，常量是\(\frac{1}{2}\)和 h。
（2）购买单价为 8 元的钢笔，总价 y（元）与购买数量 x（支）的关系为 y = 8x。
解：变量是 y 和 x，常量是 8。
例题 2：判断下列关系式中，y 是否是 x 的函数。
（1）y = 3x - 1；（2）y = x；（3）y = ±\(\sqrt{x}\)。
解：（1）对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，所以 y 是 x 的函数。（2）当 x 取一个正值时，y 有两个值与之对应，所以 y 不是 x 的函数。（3）当 x 取一个正值时，y 有两个值与之对应，所以 y 不是 x 的函数。
例题 3：对于函数 y = 2x - 3，当 x = 2 时，求函数值 y；当 y = 5 时，求自变量 x 的值。
解：当 x = 2 时，y = 2×2 - 3 = 1；当 y = 5 时，2x - 3 = 5，解得 x = 4。
幻灯片 10：典型例题解析（能力提升）
例题 4：求下列函数中自变量 x 的取值范围。
（1）y = 2x + 5；（2）y = \(\frac{1}{x - 1}\)；（3）y = \(\sqrt{x - 2}\)。
解：（1）x 可以取任意实数。（2）分母不能为 0，即 x - 1 ≠ 0，解得 x ≠ 1，所以自变量 x 的取值范围是 x ≠ 1。（3）被开方数是非负数，即 x - 2 ≥ 0，解得 x ≥ 2，所以自变量 x 的取值范围是 x ≥ 2。
例题 5：某商店销售一种文具，每件售价为 10 元，每天可销售 20 件。若售价每降低 1 元，每天可多销售 5 件。设售价降低 x 元，每天的销售量为 y 件，写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围。
解：根据题意，售价降低 x 元后，每天多销售 5x 件，所以 y = 20 + 5x。因为售价不能低于成本（假设成本忽略不计，售价降低的金额不能使售价为负数），所以 x ≥ 0，且 10 - x ≥ 0，即 x ≤ 10，所以自变量 x 的取值范围是 0 ≤ x ≤ 10。
幻灯片 11：常见错误分析与规避
错误类型 1：混淆变量和常量，不能正确识别变化过程中的变量和常量。
规避方法：在分析问题时，明确变化过程，看哪些量的数值在发生变化，哪些量的数值保持不变，变化的量是变量，不变的量是常量。
错误类型 2：对函数定义中 “唯一确定” 的理解不透彻，误认为只要有两个变量就是函数关系。
规避方法：牢记函数定义的核心是 “对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应”，判断时要检查是否满足这一条件，避免出现 “一对多” 的情况。
错误类型 3：确定自变量取值范围时，忽略实际意义，只考虑数学表达式的限制。
规避方法：在实际问题中，自变量的取值范围不仅要使函数表达式有意义，还要符合实际情况，如数量不能为负数、时间不能为负数等。
错误类型 4：求函数值或自变量的值时，计算错误。
规避方法：代入数值时要仔细核对，计算过程要认真，确保结果准确。
幻灯片 12：课堂总结与作业布置
课堂总结：
变量是变化过程中数值发生变化的量，常量是数值始终不变的量。
函数的定义：在一个变化过程中，对于自变量 x 的每一个确定的值，函数 y 都有唯一确定的值与之对应。
函数的三要素包括自变量的取值范围、函数值和对应关系。
函数有三种表示方法：列表法、解析式法和图象法，各有优缺点。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，识别变量和常量，判断是否为函数关系，求函数值和自变量取值范围。
提升作业：根据实际问题列出函数关系式，并确定自变量的取值范围。
拓展作业：观察生活中的一个变化过程，找出其中的变量，尝试用列表法或解析式法表示它们之间的函数关系。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.1.1认识函数
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解常量与变量的意义，能正确分辨出自变量与因变量；
2.初步了解自变量与函数的意义，能写出简单的函数表达式；
3.通过观察、分析生活中两个变量的运动变化过程，培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力；
4.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神.
观察思考
你还记得乌鸦喝水的故事吗？你能从中发现什么？
图片中涉及哪几个量？它们之间有什么不同呢？
思考
水量
石子数量
水面高度
水面高度，石子数量在
水量固定
改变
不变
水面随着石子数量的增多而升高
现实生活中常常需要研究变化的量之间的关系.
用热气球探测高空气象，设热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升.它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表：
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
合作探究
当t=0 min时
h为1800 m
当t=1 min时
h为1830 m
当t=2 min时
h为1860 m
当t=3 min时
h为1890 m
(1)这个问题中，涉及哪几个量？
(2)观察上表，热气球在升空过程中平均每分上升多少米？
(3)你能求出上升后3 min和6 min时热气球到达的海拔高度吗？
热气球原先所在的高度1800 m
热气球升空的时间t、升空的高度h
30 m
合作探究
你能总结出h与t的关系吗？
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
1 min上升：30 m
4 min上升：30 m×4
3 min上升：30 m×3
2 min上升：30 m×2
t min上升：
30t m
h=1800+30t
想一想刚才热气球在升空过程中哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 …
海拔高度h/m 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
h=1800+30t
想一想
原先所在的高度1800 m
上升的平均速度30 m/min
升空的高度h
升空的时间t
不变的量
变化的量
归纳
我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量.
变量和常量
原先所在的高度1800 m
上升的平均速度30 m/min
升空的高度h
升空的时间t
不变的量
变化的量
常量
变量
判断常量和变量的方法：
(1)看它是否在同一个变化过程中；
(2)看它在这个变化过程中的取值是否改变.
你知道如何判断常量和变量吗？
热气球升空的高度h与时间t，这两个变量之间有什么关系吗？
h=1800+30t
h随t的变化而变化.且任给变量t的一个值，就可以相应地得到变量h的一个确定的值.
如：t=3时，h=1890；t=6时，h=1980 …
我们把t叫作自变量.
自我发生变化的量.
思考
思考
S市某日自动测温仪记下的用电负荷曲线如图所示.
时间t/h
O
1 2 3 4 5 6 7 8
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
负荷y/×10 兆瓦
(1)这个问题中，涉及哪些变量？哪个是自变量？
(2)给出这天中的某一时刻，如4.5 h、20 h，能找到这一时刻的负荷y(×10 兆瓦)是多少吗？找到的值是唯一确定的吗？
两个变量：时间、负荷；
时间是自变量.
y=10
y=16
唯一确定
1 兆瓦=1 000 000瓦
思考
S市某日自动测温仪记下的用电负荷曲线如图所示.
(3)这一天的用电高峰、用电低估时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？
下午13:30是用电高峰，负荷是18×103兆瓦；
凌晨4:30是用电低谷，负荷是10×103兆瓦.
y=10
用电低谷
用电高峰
时间t/h
O
1 2 3 4 5 6 7 8
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
负荷y/×10 兆瓦
请同学们举出生活中的实际问题，并说明在你所举问题中的常量、变量、自变量各是什么？
交流
归纳
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值的范围内的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
如果x=a时，y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
函数的概念注意把握：
变化过程；
两个变量x与y；
对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应.
1
2
3
典型例题
【例】汽车在行驶的过程中，制动后由于惯性的作用仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动距离.某型号的汽车在路面上的制动距离s m与车速v km/h之间有下列经验公式： .
(1)式中哪些量是常量，哪些量是变量？哪个量是自变量？
(2)当制动时车速v分别是40 km/h，60 km/h时，相应的制动距离s分别是多少米(结果保留一位小数)？
解：(1) 是常量，s和v是变量，车速v是自变量.
(2) 当v=40 km/h时， (m) ；
当v=60 km/h时， (m).
知识点1 常量与变量
1. “白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩
大，水波的周长与半径的关系式为 ，则其中的自
变量是( )
A
A. 半径 B. 周长 C. 2 D.
返回
2. 某辆速度为 的汽车从甲地开往相
距的乙地，全程所用的时间为 ，在这个变化过程
中，下列说法正确的是( )
A
A. 是常量 B. 是常量 C. 是常量 D. 无法判断
返回
知识点2 函数的定义
3. 下列图象中，不是 的函数的是( )
B
A. B. C. D.
返回
4. 下列两个变量，不是函数关系的是( )
B
A. 正方形的面积与边长之间的关系
B. 一个正数的平方根与这个正数之间的关系
C. 圆的面积与圆的周长之间的关系
D. 速度一定时，汽车行驶的路程与行驶时间之间的关系
返回
5. ［2025南京外国语学校月考］有下列式子：
;;; .
其中，是 的函数的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】在中，当时，，即对于 的每一
个可取的值，不是唯一的值与之对应，所以②中不是 的
函数.其余三个都满足函数定义，故选C.
返回
知识点3 函数的自变量
6. 一个容器中装有一定质量的糖，向容器中加入水，随着水
量的增加，糖水的浓度将降低，这个问题中自变量是( )
D
A. 糖水的浓度 B. 糖水的质量
C. 糖的质量 D. 水量
返回
易错点 对函数定义中“唯一确定的值与它对应”理解不
透彻而致错
7. 下列关于变量,的关系,其中不是 的函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
判断变量和常量的方法
①看它是否在同一个变化过程中；
②看它在这个变化过程中的取值是否改变.
变量与函数
变量与常量的概念
我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量.
自变量、函数、函数值的概念
在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！