12.2.1正比例函数的图象与性质 课件（共35张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.2.1 正比例函数的图象与性质
副标题：探究正比例关系，解析图象规律
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了函数的图象法，知道函数图象能直观展示函数的变化趋势。前面还学习了一次函数的概念，而正比例函数是一次函数的特殊形式。本节课将专门研究正比例函数的图象与性质。
情境引入：汽车以匀速行驶时，路程与时间的关系为 s = vt（v 为速度，恒定）；购买单价一定的商品时，总价与数量的关系为 y = kx（k 为单价，恒定）。这些关系都可以用正比例函数表示，它们的图象有什么特点？又有哪些性质呢？
学习目标：
理解正比例函数的定义，能识别正比例函数。
掌握正比例函数图象的绘制方法，明确其图象特征。
熟练掌握正比例函数的性质，包括增减性等。
能运用正比例函数的图象与性质解决实际问题。
幻灯片 3：正比例函数的定义
定义：一般地，形如 y = kx（k 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。
理解要点：
解析式必须是 y = kx 的形式，右边是关于 x 的一次单项式。
比例系数 k 是常数且 k ≠ 0，若 k = 0，则函数变为 y = 0，不是正比例函数。
自变量 x 的次数是 1，且不含常数项。
实例判断：
y = 2x 是正比例函数，比例系数 k = 2。
y = -3x 是正比例函数，比例系数 k = -3。
y = 5x + 1 不是正比例函数，因为含有常数项 1。
y = x 不是正比例函数，因为自变量 x 的次数是 2。
y = 0 不是正比例函数，因为 k = 0。
幻灯片 4：正比例函数图象的绘制
绘制步骤：
列表：在自变量 x 的取值范围内选取一些有代表性的值，通常包括 0、正整数、负整数等，计算出对应的函数值 y = kx。
实例：绘制 y = 2x 的图象，列表如下：
x
-2
-1
0
1
2
y
-4
-2
0
2
4
绘制 y = -2x 的图象，列表如下：
x
-2
-1
0
1
2
y
4
2
0
-2
-4
描点：在平面直角坐标系中，以列表中的 x 值为横坐标，y 值为纵坐标，描出相应的点（x，y）。
连线：用平滑的直线将描出的点连接起来。
图示：分别展示 y = 2x 和 y = -2x 的图象绘制过程，从列表到描点再到连线。
幻灯片 5：正比例函数的图象特征
图象形状：正比例函数 y = kx（k ≠ 0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们把这条直线叫做正比例函数的图象，也称为直线 y = kx。
与 k 值的关系：
当 k > 0 时，直线 y = kx 经过第一、三象限。
实例：y = 2x 的图象经过第一、三象限。
当 k < 0 时，直线 y = kx 经过第二、四象限。
实例：y = -2x 的图象经过第二、四象限。
特殊点：无论 k 取何非零值，正比例函数的图象必过原点（0，0），因为当 x = 0 时，y = k×0 = 0。
简便绘制方法：由于两点确定一条直线，且正比例函数图象过原点，所以绘制其图象时，只需再确定一个点即可。通常选取点（1，k），因为当 x = 1 时，y = k，连接原点（0，0）和点（1，k）就可得到正比例函数的图象。
幻灯片 6：正比例函数的性质 —— 增减性
性质内容：
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大。即 x 的值越大，对应的 y 值越大；x 的值越小，对应的 y 值越小。此时直线从左到右是上升的。
实例：对于 y = 2x，当 x 从 - 2 增大到 2 时，y 从 - 4 增大到 4，直线从左到右上升。
当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小。即 x 的值越大，对应的 y 值越小；x 的值越小，对应的 y 值越大。此时直线从左到右是下降的。
实例：对于 y = -2x，当 x 从 - 2 增大到 2 时，y 从 4 减小到 - 4，直线从左到右下降。
几何意义：k 的正负决定了直线的倾斜方向，k 的绝对值大小决定了直线的倾斜程度（|k | 越大，直线越陡）。
实例：y = 3x 和 y = 2x 的 k 都大于 0，且 3 > 2，所以 y = 3x 的图象比 y = 2x 的图象更陡；y = -3x 和 y = -2x 的 k 都小于 0，且 |-3| > |-2|，所以 y = -3x 的图象比 y = -2x 的图象更陡。
幻灯片 7：正比例函数的性质总结
图象特征：
形状：过原点的直线。
位置：k > 0 时，过第一、三象限；k < 0 时，过第二、四象限。
增减性：
k > 0：y 随 x 的增大而增大，直线从左到右上升。
k < 0：y 随 x 的增大而减小，直线从左到右下降。
比例系数的意义：k 不仅决定了直线的位置和增减性，还表示当 x 每增加 1 个单位时，y 的变化量（k > 0 时增加 k 个单位，k < 0 时减少 | k | 个单位）。
对称性：正比例函数的图象关于原点对称，即若点（x，y）在图象上，则点（-x，-y）也在图象上。
幻灯片 8：典型例题解析（定义与图象绘制）
例题 1：下列函数中，哪些是正比例函数？并指出其比例系数。
（1）y = 5x；（2）y = -3x；（3）y = 2x + 1；（4）y = \(\frac{1}{2}\)x；（5）y = 0x。
解：（1）是正比例函数，比例系数为 5；（2）是正比例函数，比例系数为 - 3；（3）不是，因为含有常数项；（4）是正比例函数，比例系数为\(\frac{1}{2}\)；（5）不是，因为 k = 0。
例题 2：画出正比例函数 y = 3x 和 y = -\(\frac{1}{2}\)x 的图象。
解：①绘制 y = 3x 的图象：
列表：
x
0
1
y
0
3
描点：（0，0）、（1，3）。
连线：过这两点画直线。
②绘制 y = -\(\frac{1}{2}\)x 的图象：
列表：
x
0
2
y
0
-1
描点：（0，0）、（2，-1）。
连线：过这两点画直线。
幻灯片 9：典型例题解析（性质应用）
例题 3：已知正比例函数 y = (m - 1) x，
（1）若函数图象经过第一、三象限，求 m 的取值范围。
（2）若 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。
解：（1）因为函数图象经过第一、三象限，所以比例系数 k > 0，即 m - 1 > 0，解得 m > 1。（2）因为 y 随 x 的增大而减小，所以 k < 0，即 m - 1 < 0，解得 m < 1。
例题 4：已知正比例函数 y = kx 的图象经过点（2，-4），
（1）求 k 的值。
（2）判断点（-3，6）是否在该函数的图象上。
解：（1）将点（2，-4）代入 y = kx 得，-4 = 2k，解得 k = -2。（2）由（1）知函数解析式为 y = -2x，当 x = -3 时，y = -2×(-3) = 6，所以点（-3，6）在该函数的图象上。
例题 5：比较正比例函数 y = 2x 和 y = 5x 的函数值大小关系：
（1）当 x > 0 时，y = 2x 与 y = 5x 的函数值哪个大？
（2）当 x < 0 时，y = 2x 与 y = 5x 的函数值哪个大？
解：（1）因为 2 > 0，5 > 0，且 5 > 2，当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大，所以 y = 5x 的函数值大于 y = 2x 的函数值。（2）当 x <0 时，x 的值为负，5> 2，所以 5x < 2x（负数绝对值大的反而小），即 y = 2x 的函数值大于 y = 5x 的函数值。
幻灯片 10：典型例题解析（实际应用）
例题 6：一辆汽车在平直的公路上以恒定速度行驶，行驶路程 s（千米）与行驶时间 t（小时）的关系是正比例函数，且 t = 2 小时时，s = 120 千米。
（1）求 s 与 t 之间的函数解析式。
（2）画出该函数的图象。
（3）根据图象回答，汽车行驶 3 小时的路程是多少？行驶多少小时路程为 180 千米？
解：（1）设 s = kt，将 t = 2，s = 120 代入得 120 = 2k，解得 k = 60，所以函数解析式为 s = 60t（t ≥ 0）。（2）图象是过原点（0，0）和（1，60）的射线（t ≥ 0 部分）。（3）由图象可知，t = 3 时，s = 180 千米；s = 180 千米时，t = 3 小时。
例题 7：已知正比例函数 y = kx 的图象上有两点 A（x ，y ）和 B（x ，y ），当 x y ，求 k 的取值范围，并判断该函数图象经过哪些象限。
解：因为当 x y ，说明 y 随 x 的增大而减小，所以 k < 0。此时函数图象经过第二、四象限。
幻灯片 11：常见错误分析与规避
错误类型 1：对正比例函数定义理解不清，误将含有常数项或自变量次数不为 1 的函数当作正比例函数。
规避方法：牢记正比例函数的解析式必须是 y = kx（k ≠ 0）的形式，右边是关于 x 的一次单项式，不含常数项，自变量次数为 1，比例系数 k 不为 0。
错误类型 2：绘制正比例函数图象时，未明确图象是直线，或未利用过原点的特征，选取过多不必要的点。
规避方法：知道正比例函数图象是过原点的直线，绘制时只需确定除原点外的一个点，连接两点即可，无需选取过多点。
错误类型 3：混淆 k 的正负对函数增减性和图象所在象限的影响，如认为 k < 0 时函数图象经过第一、三象限。
规避方法：通过实例和图象记忆，k > 0 时图象过第一、三象限，y 随 x 增大而增大；k <0 时图象过第二、四象限，y 随 x 增大而减小，可结合口诀 “正一三增，负二四减” 辅助记忆。
错误类型 4：已知函数图象经过某点求 k 值时，代入坐标计算错误。
规避方法：将点的坐标（x，y）代入函数解析式 y = kx，得到关于 k 的方程，解方程时仔细计算，确保结果正确。
幻灯片 12：课堂总结与作业布置
课堂总结：
正比例函数的定义：y = kx（k ≠ 0），k 为比例系数。
图象特征：是过原点的直线，k > 0 时过第一、三象限，k < 0 时过第二、四象限。
性质：k > 0 时 y 随 x 增大而增大，直线上升；k < 0 时 y 随 x 增大而减小，直线下降。
绘制图象：利用两点确定一条直线，选取原点和（1，k）两点连线。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，判断正比例函数，绘制图象，利用性质解决简单问题。
提升作业：已知正比例函数图象经过某点求解析式，根据增减性求参数取值范围。
拓展作业：结合生活中的正比例关系实例（如速度一定时路程与时间的关系），建立正比例函数模型，绘制图象并分析其性质在实际中的意义。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
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12.2.1正比例函数的图象与性质
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会画正比例函数的图象，了解正比例函数的图象是直线，在画图过程中体会两点可以确定一条直线.
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题.
3.体会“数形结合”的数形思想方法.
4.结合描点作图，培养认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯.
回顾
以前我们学习了方程，一元一次方程、二元一次方程；不等式、一元一次不等式的内容.
我们在学习函数这个概念以后，也要学习一些具体的函数，今天我们要学习的是一次函数.
顾名思义，你能根据一次函数这个名字，类比一元一次方程、一元一次不等式的概念举出一些一次函数的例子吗？
上节课我们遇到过这样的函数：
h=30t+1800 ； Q= 25t+300 ； y=2x ； y= 2x ；s=80t.
思考
这些函数有什么共同特点？
思路提示
1.在这些函数式中，表示函数的自变量的式子，是关于自变量的几次式？
2.都可以写成什么形式？
1
思考
1
h=30t+1800 ； Q= 25t+300 ； y=2x ； y= 2x ；s=80t.
1
1
1
不难看出：
这些函数的表达式都是关
于自变量的一次式.
可以写成：
y=kx+b的形式.
一般地，形如
y=kx+b(k、b为常数，
且k≠0)的函数叫作
一次函数.
一次函数
一次函数y = k x + b(k、b为常数，且k≠0)
观察
可以看成 ：
常数 k 与自变量的 乘积 与常
数b的 和 的形式.
结构特征：
① k≠0；
②自变量x的次数是1；
③常数项b为任意实数.
这个函数表达式在形式上具有怎样的结构特征呢？
观察
一次函数y = k x + b(k、b为常数，且k≠0)
=
变量
变量
y
k
x
+
b
(k≠0)
x
y
k
b
常数
常数
可以看成 ：
常数 k 与自变量的 乘积 与常
数b的 和 的形式.
结构特征：
① k≠0；
②自变量x的次数是1；
③常数项b为任意实数.
比例系数
k≠0，那b呢？
思考
一次函数y=kx＋b
b=0
如前面的：
y=kx (k为常数，且k≠0)
y = 2 x ； y = 2 x ； s =80 t.
正比例
y
x
y
x
s
t
正比例
正比例
唯一
对应
函数
唯一
对应
唯一
对应
函数
函数
正比例函数
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的
函数叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
归纳
正比例函数与一次函数
正比例函数是一次函数的特殊情形.
可见：
正比例函数
一次函数
一定
不一定
探究
下面，来研究正比例函数的图象与性质.
前面画过函数y=2x，y= 2x及另外一些正比例函数的图象.
y
y 2x
y=x
y 2x
探究
y
y 2x
y=x
y 2x
正比例函数y=kx(k为常
● 由此可见：
数，且k≠0)的图象是一条经
过原点的直线.
2. 通常我们把正比例函数
的图象叫作直线y=kx.
探究
两点确定一条直线，所以？
画正比例函数的图象，只要先描出两点，再过这两点画直线，
就可以了.一般取(0，0)和(1，k)两点.
画一画
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： ，y=x ，y=3x .
y
y 3x
y x
y=
x
…
0
0
0
1
…
1
3
…
…
…
…
…
…
0
列表：
y 3x
y=x
y=
操作
探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质.
探究
y
y 3x
y=x
y=
性质
y
探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质.
探究
y 3x
y=x
y=
函数图象经过第
一、三象限；
性质
y
探究正比例函数 y = k x ( k>0 ) 的性质.
探究
y 3x
y=x
y=
图象自左至右上
升 ，即y随x的增
大而增大.
函数图象经过第
一、三象限；
性质
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
画一画
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象： ，y= x ，y= 3x .
操作
y 3x
y x
y=
x
…
0
0
0
1
…
1
3
…
…
…
…
…
…
0
列表：
y
y 3x
y x
y=
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
y
y 3x
y x
y=
性质
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
y
y 3x
y x
y=
函数图象经过第
二、四象限；
性质
探究
探究正比例函数 y = k x ( k<0 ) 的性质.
y
y 3x
y x
y=
图象自左至右下
降 ，即y随x的增
大而减小.
函数图象经过第
二、四象限；
性质
第一、三象限
第二、四象限
图象自左至右上升，
即y随x的增大而增大
图象自左至右下降，
即y随x的增大而减小
k＞0
k＜0
归纳
探究
y
y= x
y 3 x
y x
y=
y 3 x
y=
它能告诉我们，函数的图象的倾斜程度.
k的符号决定了直线的倾斜方向(经过的象限) ，但 k 能告诉
我们的可不仅仅是这些，接下来咱们就说说 k 的另一大功用.
y
1
探究
y 3 x
y 1 x
y=
y 3 x
y= x
y=
k>0时：
k越大，倾斜
程度越大，即
图象越接近于
y轴.
k<0时：
k越小，倾斜
程度越大，即
图象越接近于
y轴.
|k|越大，倾斜程度就越大； |k|越小，倾斜程度就越小.
典型例题
(1) y= x 4 ； (2) y=5x 6 ； (3) y= ； (4) y= .
一次函数
①能够变形转化为：
y=kx+b(k≠0)的形式；
②自变量x的次数是1.
正比例函数
①能够变形转化为：
y=kx (k≠0)的形式；
②自变量x的次数是1.
【例1】下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
典型例题
【例2】 已知正比例函数y=mx的图象经过点(m，4)，且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：
∵正比例函数y=mx的图象经过点(,
∴，解得
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴，故m= 2.
知识点1 一次函数的概念
1. 下列函数中，不是一次函数的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. ［2025六安校级联考］已知函数 是一
次函数，则 的值为( )
A
A. B. 1 C. D. 2
返回
知识点2 正比例函数的概念
3. 下列函数中，是正比例函数的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
4. 下列说法中正确的是( )
D
A. 一次函数是正比例函数
B. 正比例函数不是一次函数
C. 不是正比例函数就不是一次函数
D. 不是一次函数就不是正比例函数
返回
知识点3 正比例函数的图象和性质
5. ［2024德阳］正比例函数
的图象如图所示，则 的值
可能是( )
A
A. B. C. D.
返回
6. 正比例函数中，随 的增大而增大，则直线
经过( )
C
A. 第一、三象限 B. 第二、三象限
C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
返回
正比例函数
性质：
k＞0时，图象经过第一、三象限，从左至右上升，y随x的增大而增大;k＜0时，图象经过第二、四象限，从左至右下降，y随x的增大而减小.
一次函数与正比例函数定义
一般地，形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的函数叫作一次函数.
形如y=kx (k为常数，且k≠0)的函数叫作正比例函数.
正比例函数图象
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线.
根据两点确定一条直线，一般选(0，0)和(1，k).
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！