12.2.2一次函数的图象与性质 课件（共27张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.2.2 一次函数的图象与性质
副标题：解析线性关系，把握图象规律
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了正比例函数的图象与性质，知道正比例函数是特殊的一次函数。本节课将全面探究一次函数的图象与性质，看看它与正比例函数有哪些联系与区别。
情境引入：生活中，很多变量关系可以用一次函数表示。比如，打车费用 y（元）与行驶里程 x（千米）的关系为 y = 2x + 3（起步价 3 元，每千米 2 元）；手机套餐费用 y（元）与通话时间 x（分钟）的关系为 y = 0.1x + 58（月租 58 元，每分钟 0.1 元）。这些一次函数的图象和性质是怎样的呢？
学习目标：
理解一次函数的定义，能区分一次函数与正比例函数。
掌握一次函数图象的绘制方法，明确其图象特征。
探究 k 和 b 的值对一次函数图象位置的影响。
熟练掌握一次函数的性质，能运用性质解决问题。
幻灯片 3：一次函数的定义
定义：一般地，形如 y = kx + b（k、b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。其中 k 叫做比例系数，b 叫做常数项。
与正比例函数的关系：
当 b = 0 时，一次函数 y = kx + b 就变成了正比例函数 y = kx，所以正比例函数是特殊的一次函数。
一次函数包含正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
实例判断：
y = 3x + 2 是一次函数，k = 3，b = 2。
y = -x - 5 是一次函数，k = -1，b = -5。
y = 2x 是一次函数（也是正比例函数），k = 2，b = 0。
y = x + 1 不是一次函数，因为自变量 x 的次数是 2。
y = \(\frac{1}{x}\) + 3 不是一次函数，因为自变量 x 在分母中。
幻灯片 4：一次函数图象的绘制
绘制步骤：
列表：在自变量 x 的取值范围内选取一些值，计算出对应的函数值 y = kx + b。
实例：绘制 y = 2x + 1 的图象，列表如下：
x
-2
-1
0
1
2
y
-3
-1
1
3
5
绘制 y = -x + 2 的图象，列表如下：
x
-2
-1
0
1
2
y
4
3
2
1
0
描点：在平面直角坐标系中，描出点（x，y）。
连线：用平滑的直线连接各点。
简便绘制方法：
一次函数的图象是一条直线，根据 “两点确定一条直线”，只需确定两个点即可绘制图象。
通常选取与坐标轴的交点：
与 y 轴的交点：令 x = 0，得 y = b，即点（0，b）。
与 x 轴的交点：令 y = 0，得 x = -\(\frac{b}{k}\)，即点（-\(\frac{b}{k}\)，0）。
实例：绘制 y = 2x + 1 的图象，取（0，1）和（-0.5，0）两点连线。
幻灯片 5：一次函数的图象特征
图象形状：一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图象是一条直线，称为直线 y = kx + b。
与正比例函数图象的关系：
一次函数 y = kx + b 的图象可以看作是由正比例函数 y = kx 的图象平移得到的。
当 b > 0 时，向上平移 b 个单位长度；当 b < 0 时，向下平移 | b | 个单位长度。
实例：y = 2x + 3 的图象是 y = 2x 的图象向上平移 3 个单位；y = 2x - 1 的图象是 y = 2x 的图象向下平移 1 个单位。
与坐标轴的交点：
与 y 轴交于点（0，b），b 是图象与 y 轴交点的纵坐标，称为 “截距”。
与 x 轴交于点（-\(\frac{b}{k}\)，0）（当 k ≠ 0 时）。
幻灯片 6：k 和 b 对一次函数图象位置的影响（一）——k 的作用
k 的正负决定直线的倾斜方向：
当 k > 0 时，直线从左到右上升（与正比例函数 y = kx 的倾斜方向一致）。
当 k < 0 时，直线从左到右下降（与正比例函数 y = kx 的倾斜方向一致）。
k 的绝对值决定直线的倾斜程度：
|k | 越大，直线越陡；|k | 越小，直线越平缓。
实例：y = 3x + 1 比 y = 2x + 1 更陡；y = -3x + 1 比 y = -2x + 1 更陡。
平行关系：
若两条直线的 k 值相等，则它们互相平行（倾斜方向和程度相同）。
实例：y = 2x + 1 与 y = 2x - 3 的 k 值都是 2，所以两直线平行。
幻灯片 7：k 和 b 对一次函数图象位置的影响（二）——b 的作用
b 的正负决定直线与 y 轴交点的位置：
当 b > 0 时，直线与 y 轴交于正半轴（x 轴上方）。
当 b = 0 时，直线过原点（正比例函数）。
当 b < 0 时，直线与 y 轴交于负半轴（x 轴下方）。
k 和 b 共同决定直线经过的象限：
当 k > 0，b > 0 时：直线经过第一、二、三象限。
实例：y = 2x + 1 经过第一、二、三象限。
当 k > 0，b < 0 时：直线经过第一、三、四象限。
实例：y = 2x - 1 经过第一、三、四象限。
当 k <0，b> 0 时：直线经过第一、二、四象限。
实例：y = -2x + 1 经过第一、二、四象限。
当 k < 0，b < 0 时：直线经过第二、三、四象限。
实例：y = -2x - 1 经过第二、三、四象限。
图示：用坐标系图示直观展示四种情况下直线经过的象限。
幻灯片 8：一次函数的性质 —— 增减性
性质内容：
当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大。即 x 越大，y 越大；x 越小，y 越小。
实例：对于 y = 2x + 1，x 从 - 2 增大到 2 时，y 从 - 3 增大到 5，y 随 x 增大而增大。
当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小。即 x 越大，y 越小；x 越小，y 越大。
实例：对于 y = -x + 2，x 从 - 2 增大到 2 时，y 从 4 减小到 0，y 随 x 增大而减小。
与 k 值的关系：一次函数的增减性完全由 k 值决定，与 b 值无关。
无论 b 是正数、负数还是 0，只要 k > 0，y 就随 x 增大而增大；只要 k < 0，y 就随 x 增大而减小。
对比正比例函数：一次函数与正比例函数的增减性规律相同，因为它们的增减性都由 k 值决定。
幻灯片 9：典型例题解析（定义与图象绘制）
例题 1：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y = -x + 4；（2）y = \(\frac{1}{2}\)x；（3）y = 2x ；（4）y = 3 - x。
解：（1）是一次函数，k = -1，b = 4；（2）是一次函数，也是正比例函数，k = \(\frac{1}{2}\)，b = 0；（3）不是一次函数；（4）是一次函数，k = -1，b = 3。
例题 2：画出一次函数 y = -2x + 4 的图象，并指出它与坐标轴的交点坐标。
解：①列表：
x
0
2
y
4
0
②描点：（0，4）、（2，0）。
③连线：过两点画直线。
与 y 轴交点为（0，4），与 x 轴交点为（2，0）。
幻灯片 10：典型例题解析（k 和 b 的影响）
例题 3：已知一次函数 y = (m - 2) x + m + 1，
（1）若函数图象经过第一、二、三象限，求 m 的取值范围。
（2）若 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。
解：（1）图象经过第一、二、三象限需满足\(\begin{cases} m - 2 > 0 \\ m + 1 > 0 \end{cases}\)，解得\(\begin{cases} m > 2 \\ m > -1 \end{cases}\)，所以 m > 2。（2）y 随 x 增大而减小需满足 m - 2 < 0，解得 m < 2。
例题 4：已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点（0，3）和（1，5），
（1）求 k 和 b 的值。
（2）判断该函数图象经过哪些象限。
解：（1）将（0，3）代入得 b = 3；将（1，5）代入 y = kx + 3 得 5 = k + 3，解得 k = 2。（2）k = 2 > 0，b = 3 > 0，所以图象经过第一、二、三象限。
幻灯片 11：典型例题解析（性质应用与实际问题）
例题 5：已知一次函数 y = -x + 5，
（1）当 x = 3 时，求 y 的值；当 y = 0 时，求 x 的值。
（2）当 x 为何值时，y > 0？
解：（1）x = 3 时，y = -3 + 5 = 2；y = 0 时，-x + 5 = 0，解得 x = 5。（2）y > 0 即 - x + 5 > 0，解得 x < 5。
例题 6：某书店销售一种教辅书，每本进价为 10 元，售价为 y（元）与销售数量 x（本）的关系是一次函数，当 x = 10 时，y = 15；x = 20 时，y = 14。
（1）求 y 与 x 之间的函数解析式。
（2）当销售数量为 50 本时，售价是多少元？
解：（1）设 y = kx + b，将（10，15）和（20，14）代入得\(\begin{cases} 10k + b = 15 \\ 20k + b = 14 \end{cases}\)，解得\(\begin{cases} k = -0.1 \\ b = 16 \end{cases}\)，所以 y = -0.1x + 16。（2）x = 50 时，y = -0.1×50 + 16 = 11 元。
幻灯片 12：常见错误分析与规避
错误类型 1：混淆一次函数与正比例函数的关系，认为正比例函数不是一次函数。
规避方法：明确正比例函数是一次函数当 b = 0 时的特殊情况，一次函数包含正比例函数。
错误类型 2：绘制一次函数图象时，选取的点过多或未利用与坐标轴交点的简便方法。
规避方法：利用 “两点确定一条直线”，优先选取与 y 轴交点（0，b）和与 x 轴交点（-\(\frac{b}{k}\)，0），快速绘制图象。
错误类型 3：判断直线经过的象限时，忽略 k 或 b 的影响，如 k > 0、b < 0 时误认为经过第二象限。
规避方法：牢记 k 和 b 共同决定象限的规律，结合图象记忆：k > 0 时直线必过第一、三象限，k < 0 时必过第二、四象限，再根据 b 的正负判断是否过第二或第四象限。
错误类型 4：认为 b 值影响一次函数的增减性，或将增减性与 k 的正负记反。
规避方法：明确增减性只由 k 决定，k > 0 时 y 随 x 增大而增大，k < 0 时 y 随 x 增大而减小，与 b 无关。
幻灯片 13：课堂总结与作业布置
课堂总结：
一次函数定义：y = kx + b（k ≠ 0），正比例函数是 b = 0 的特例。
图象特征：是一条直线，可由正比例函数图象平移得到，与坐标轴交于（0，b）和（-\(\frac{b}{k}\)，0）。
k 和 b 的作用：k 决定倾斜方向和增减性，b 决定与 y 轴交点位置，二者共同决定象限。
性质：k > 0 时 y 随 x 增大而增大，k < 0 时 y 随 x 增大而减小。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，判断一次函数，绘制图象，判断象限和增减性。
提升作业：已知一次函数图象经过两点求解析式，根据象限或增减性求参数取值范围。
拓展作业：结合生活中的一次函数实例（如打车费用、手机套餐），建立模型并分析图象与性质的实际意义。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
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12.2.2一次函数的图象与性质
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.认识一次函数，掌握一次函数解析式的特点及系数的取值范围.
2.通过让学生类比对正比例函数的探究，画出一次函数.
解析式y=kx(k≠0) k>0 k<0
图象
性质
上节课我们学习了正比例函数的图象与性质：
x
o
y
1
k
k<0
x
o
y
1
k
回顾
y 随x 的增大而增大
y 随x 的增大而减小
当b≠0时，它的图象又是什么？
探究
下面，我们用具体例子来说明.
例2 画一次函数y=2x+3的图象.
解 ：为了便于对比，列出一次函数y=2x+3与正比例函数y=2x
的x与y的对应值表：
x … 2 1 0 1 2 …
y=2x … …
y=2x+3 … …
4
4+
2
2+
0
0+
2
2+
4+
4
3
3
3
3
3
通过填表你能发现这两个函数之间有什么关系吗？
x … 2 1 0 1 2 …
y=2x … …
y=2x+3 … …
探究
4
4+
2
2+
0
0+
2
2+
4+
4
3
3
3
3
3
对于自变量x的同一个
值，一次函数y=2x+3
的函数值比函数y=2x
函数值总大3个单位.
探究
反映在函数图象上是：
对于自变量x的同一个值，一次函数y=2x+3的函数值比函数y=2x函数值总大3个单位.
图象
也就是说：对于相同的横坐标，一次函数y=2x+3的图象上点的纵坐标要比正比例函数y=2x图象上点的纵坐标大3.
操作
现在请你描点、连线，看它们的图象有什么关系？
y=2x
y=2x+3
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2
3
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7
一次函数y=2x+3的
图象是平行于直线
y=2x的一条直线.
由此可见
向上平移
3个单位
x
O
y
重合
思考
你们知道它们为什么会平行吗？
请你们再在同一直角坐标系中画出y=2x 3的图象，看看会
是什么情况？
y=2x
y=2x+3
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7
+3
y=2x 3
都是直线，互相平行
x
O
y
它们的解析式有什么共同特点？
函数自变量x前面的比例系数 k 相等.
思考
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y=2x+3
y=2x
y=2x 3
由此可见
解析式y=kx+b(k≠0)中
的k决定这条直线的
倾斜程度.
当两个函数的k值相同
、b值不同时，它们的
图象平行.
x
O
y
归纳
一次函数图象
一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象
是平行于直线y=kx的一条直线，因此，我们
以后把一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)
的图象叫作直线y=kx+b.
★说明
思考
y=k×0+b=b
直线y=kx+b的图象经过(0，b)这一点，
且这个点是y=kx+b的图象与y轴的交点，
我们把b叫做直线y=kx+b在y轴上的截
距，简称截距.
我们知道k决定直线的倾斜程度，那么b又代表什么呢？当x=0
时，y的值是多少？
思考
截距可正可负，也可以是0.
截距不同，图象与y轴的交点位置就不同.
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2
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y=2x+3
y=2x
y=2x 3
截距是3
截距是0
截距是 3
截距可以是0或者负值吗？
x
O
y
请你指一指这三条直线的截距是多少呢？
思考
我们知道y=2x+3的图象可以由y=2x的图象向上平移3个单位长
度得到， y=2x 3的图象也与y=2x的图象平行，是否也可以由它平
移得到呢？
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y=2x+3
y=2x
y=2x 3
向下平移3个单位
x
O
y
重合
思考
我们知道y=2x+3的图象可以由y=2x的图象向上平移3个单位长
度得到， y=2x 3的图象也与y=2x的图象平行，是否也可以由它平
移得到呢？
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y=2x+3
y=2x
y=2x 3
直线y=kx+b(k，b为常
数，且k≠0)可以看作
直线y=kx平移|b|个单
位长度而得到.
由此可见
x
O
y
思考
知道了平移的距离，平移的方向由什么确定呢？怎样确定呢？
小组合作
根据前边作出的3个函数图象之间的关系来考虑.
思考
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y=2x+3
y=2x
y=2x 3
向下平移3个单位
向上平移3个单位
b>0时，将直线y=kx
向上平移b个单位；
b<0时，将直线y=kx
向下平移 b个单位.
由此可得
x
O
y
知道了平移的距离，平移的方向由什么确定呢？怎样确定呢？
解：
典型例题
【例1】画出直线 ，并求它的截距.
列表
x 0 3
y 2 0
y=x 2
x
O
y
1
2
3
4
1
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3
1
1
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5
3
4
2
故它的截距是 2.
随堂练习
练习1. 填空
把直线y=x向上平移2个单位，所得直线是函数 的
图象；
(2) 把函数y= 2x+3的图象向 平移 个单位，可以得到函数y= 2x的图象；
y=x+2
下
3
知识点1 一次函数的图象
1. 下列各点在函数 图象上的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 轴
的交点坐标为( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次
函数与
（其中，，，， 为常数）
的图象分别为直线， .下列结论正确的
是( )
A
A. B.
C. D.
返回
4.函数的图象经过点，则 ___.
1
返回
知识点2 一次函数图象的平移
5. 在平面直角坐标系中,将函数 的图象向上平移1个单
位长度,所得直线的函数表达式为( )
A
A. B.
C. D.
返回
6. 将直线 向上平移2个单位长度,相当于( )
B
A. 向左平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度
C. 向右平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度
返回
7. 在平面直角坐标系中，将正比例函数 的图象向右
平移3个单位长度得到一次函数 的图象，
则该一次函数的表达式为( )
B
A. B.
C. D.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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