12.2.3一次函数表达式的求法 课件（共26张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.2.3 一次函数表达式的求法
副标题：运用待定系数，确定函数关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了一次函数的定义、图象与性质，知道一次函数的表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。当 k 和 b 的值确定后，一次函数的表达式也就确定了。那么如何根据已知条件求出 k 和 b 的值，进而确定一次函数的表达式呢？
情境引入：某商店售卖文具，已知购买 2 支钢笔花费 16 元，购买 5 支钢笔花费 34 元。若购买钢笔的总价 y（元）与数量 x（支）的关系是一次函数，如何求出这个一次函数的表达式？这就需要学习一次函数表达式的求法。
学习目标：
理解求一次函数表达式的基本思路，掌握待定系数法。
能根据图象信息、点的坐标等已知条件求出一次函数的表达式。
能运用一次函数表达式解决实际问题中的函数关系确定问题。
幻灯片 3：求一次函数表达式的基本思路
表达式形式：一次函数的一般表达式为 y = kx + b（k ≠ 0），其中 k 和 b 是待定系数。
核心思路：要确定一次函数的表达式，只需确定 k 和 b 的值。因为有两个待定系数，所以需要两个独立的条件，通过建立关于 k 和 b 的方程组，求解方程组得到 k 和 b 的值，进而确定函数表达式。
常用条件类型：
已知函数图象经过两个点的坐标。
已知函数图象与坐标轴的交点坐标。
已知函数的某些性质（如增减性、经过的象限）结合一个点的坐标。
实际问题中两个变量的对应关系。
幻灯片 4：待定系数法求一次函数表达式的步骤
步骤 1：设表达式：设所求的一次函数表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
步骤 2：找条件：根据题目所给的已知条件，找到两个能反映 x 和 y 对应关系的点的坐标（x ，y ）和（x ，y ）。
步骤 3：列方程组：将两个点的坐标分别代入所设表达式，得到关于 k 和 b 的二元一次方程组：\(
\begin{cases}
y = kx + b \\
y = kx + b
\end{cases}
\)
步骤 4：解方程组：解这个二元一次方程组，求出 k 和 b 的值。
步骤 5：写表达式：将求出的 k 和 b 的值代入所设表达式，得到所求的一次函数表达式。
口诀记忆：“设表达式，找两点，列方程组，求系数，写表达式”。
幻灯片 5：已知两点坐标求表达式
例题 1：已知一次函数的图象经过点（1，3）和（-2，-3），求这个一次函数的表达式。
解：①设该一次函数的表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②将点（1，3）和（-2，-3）代入表达式得：\(
\begin{cases}
3 = k 1 + b \\
-3 = k (-2) + b
\end{cases}
\)
③解方程组：用第一个方程减去第二个方程得 3 - (-3) = k + b - (-2k + b)，即 6 = 3k，解得 k = 2。将 k = 2 代入第一个方程得 3 = 2 + b，解得 b = 1。
④所以该一次函数的表达式为 y = 2x + 1。
例题 2：一次函数的图象经过点（0，5）和（2，1），求其表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b。
②代入点（0，5）得 5 = b；代入点（2，1）得 1 = 2k + b。
③将 b = 5 代入第二个方程得 1 = 2k + 5，解得 k = -2。
④表达式为 y = -2x + 5。
幻灯片 6：已知图象与坐标轴交点求表达式
原理：一次函数 y = kx + b 与 y 轴交于点（0，b），与 x 轴交于点（-\(\frac{b}{k}\)，0）。若已知这两个交点坐标，可直接代入表达式求解 k 和 b。
例题 3：一次函数的图象与 y 轴交于点（0，-3），与 x 轴交于点（2，0），求该一次函数的表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b。
②因为与 y 轴交于（0，-3），所以 b = -3。
③将点（2，0）和 b = -3 代入表达式得 0 = 2k - 3，解得 k = \(\frac{3}{2}\)。
④表达式为 y = \(\frac{3}{2}\)x - 3。
例题 4：一次函数的图象与 x 轴交于点（-1，0），与 y 轴交于点（0，4），求其表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b，由与 y 轴交点得 b = 4。
②代入点（-1，0）得 0 = -k + 4，解得 k = 4。
③表达式为 y = 4x + 4。
幻灯片 7：结合函数性质求表达式
例题 5：已知一次函数 y = kx + b（k ≠ 0），y 随 x 的增大而减小，且图象经过点（1，2）和（-1，6），求该函数的表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b。
②代入两点坐标得：\(
\begin{cases}
2 = k + b \\
6 = -k + b
\end{cases}
\)
③解方程组：两式相加得 8 = 2b，b = 4；代入第一式得 k = -2。
④因为 k = -2 < 0，满足 y 随 x 增大而减小的条件，所以表达式为 y = -2x + 4。
例题 6：一次函数的图象经过第一、二、四象限，且经过点（2，-1），与 y 轴交于点（0，3），求其表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b，由与 y 轴交点得 b = 3。
②代入点（2，-1）得 - 1 = 2k + 3，解得 k = -2。
③k = -2 <0，b = 3> 0，图象经过第一、二、四象限，符合条件，表达式为 y = -2x + 3。
幻灯片 8：实际问题中求一次函数表达式
例题 7：某快递公司为客户运送物品，收费标准如下：起步价（3 千克以内）10 元，超过 3 千克的部分，每千克收费 2 元。设运送物品的重量为 x 千克（x ≥ 3），费用为 y 元，求 y 与 x 之间的一次函数表达式。
解：①当 x ≥ 3 时，费用由起步价和超出部分费用组成，设表达式为 y = kx + b。
②当 x = 3 时，y = 10，代入得 10 = 3k + b。
③超出 3 千克后，每增加 1 千克费用增加 2 元，所以 k = 2。
④将 k = 2 代入 10 = 3×2 + b 得 b = 4。
⑤所以表达式为 y = 2x + 4（x ≥ 3）。
例题 8：某商店销售某种商品，已知当销售数量为 10 件时，利润为 200 元；销售数量为 20 件时，利润为 300 元。若利润 y（元）与销售数量 x（件）的关系是一次函数，求该函数表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b。
②代入（10，200）和（20，300）得：\(
\begin{cases}
200 = 10k + b \\
300 = 20k + b
\end{cases}
\)
③解得 k = 10，b = 100，表达式为 y = 10x + 100。
幻灯片 9：正比例函数表达式的求法
原理：正比例函数是特殊的一次函数（b = 0），表达式为 y = kx（k ≠ 0），只需一个点的坐标即可求出 k 的值。
步骤：
设表达式为 y = kx（k ≠ 0）。
将已知点的坐标（x，y）代入表达式得 y = kx。
解方程求出 k 的值。
写出正比例函数表达式。
例题 9：已知正比例函数的图象经过点（-2，4），求该正比例函数的表达式。
解：①设表达式为 y = kx。
②代入点（-2，4）得 4 = -2k，解得 k = -2。
③表达式为 y = -2x。
幻灯片 10：典型例题解析（综合应用）
例题 10：如图，一次函数的图象经过 A（-1，3）和 B（2，-3）两点，
（1）求该一次函数的表达式。
（2）求该函数图象与 x 轴的交点坐标。
解：（1）设表达式为 y = kx + b，代入两点得：\(
\begin{cases}
3 = -k + b \\
-3 = 2k + b
\end{cases}
\)
解得 k = -2，b = 1，表达式为 y = -2x + 1。
（2）令 y = 0，得 - 2x + 1 = 0，x = \(\frac{1}{2}\)，与 x 轴交点为（\(\frac{1}{2}\)，0）。
例题 11：一次函数 y = kx + b 的图象与正比例函数 y = 2x 的图象平行，且经过点（1，-1），求该一次函数的表达式。
解：①因为两直线平行，所以 k = 2。
②设表达式为 y = 2x + b，代入点（1，-1）得 - 1 = 2×1 + b，解得 b = -3。
③表达式为 y = 2x - 3。
幻灯片 11：常见错误分析与规避
错误类型 1：设表达式时遗漏 k ≠ 0 的条件，或正比例函数设成了一次函数的一般形式。
规避方法：明确一次函数表达式为 y = kx + b（k ≠ 0），正比例函数为 y = kx（k ≠ 0），根据函数类型正确设表达式，注意 k 不能为 0。
错误类型 2：已知条件不足时强行求解，或条件错误使用，如只用一个点的坐标求一次函数表达式。
规避方法：牢记一次函数有两个待定系数，需要两个独立条件，确保所找条件的正确性和完整性。
错误类型 3：代入点的坐标时出错，或将 x 和 y 的值颠倒代入。
规避方法：代入坐标时仔细核对，明确点（x，y）中 x 是自变量值，y 是函数值，代入表达式时 x 对应 k 的系数，y 是等式左边的值。
错误类型 4：解方程组时计算错误，导致 k 和 b 的值不正确。
规避方法：解方程组时认真计算，可通过代入检验的方法验证结果是否正确，即将求出的 k 和 b 代入原方程组，看是否满足两个方程。
幻灯片 12：课堂总结与作业布置
课堂总结：
求一次函数表达式的核心方法是待定系数法，步骤为设、找、列、解、写。
需根据已知条件找到两个独立的点的坐标，建立方程组求解 k 和 b。
正比例函数只需一个点的坐标即可求出表达式。
实际问题中需先分析变量关系，确定是一次函数后再按步骤求解。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，根据两点坐标求一次函数表达式，根据图象信息求表达式。
提升作业：结合函数性质求表达式，解决实际问题中的函数表达式确定问题。
拓展作业：某物体沿直线运动，其路程 s（米）与时间 t（秒）的关系是一次函数，已知 t = 2 秒时 s = 10 米，t = 5 秒时 s = 25 米，求 s 与 t 的函数表达式，并求出 t = 8 秒时的路程。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
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12.2.3一次函数表达式的求法
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解并掌握一次函数的性质.
2.经历绘制一次函数图象的过程，类比对正比例函数的探究过程来研究一次函数的性质.
3.通过让学生类比对正比例函数性质的探究，归纳出一次函数的性质，提高类比、概括能力.
探究
我们在正比例函数的学习中，由函数解析式y=kx(k为
常数，且k≠0)得到了它的哪些性质？
k > 0
k < 0
y随x的增大而增大，图象经过第一、三象限.
y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限.
一次函数是否也有这种性质呢？
x … 0 1 …
y=3x+1 … …
y=2x 3 … …
y= 3x 1 … …
y= 2x+3 … …
操作
画出一次函数y=3x+1，y=2x 3，y= 3x 1， y= 2x+3的图象.
4
1
1
3
4
y=3x+1
x
O
y
y=2x 3
1
3
1
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
y= 3x 1
y= 2x+3
观察
y=3x+1
x
O
y
y=2x 3
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
y= 3x 1
y= 2x+3
由它们联想：一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，
k的正负性对函数图象有什么影响？
思考
y=3x+1
x
O
y
y=2x 3
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
y= 3x 1
y= 2x+3
● 发现：
1. 当k>0时，y随x的增大而增大，
图象自左至右上升，经过的象
限中必有第一、三象限；
2. 当k<0时，y随x的增大而减小，
图象自左至右下降，经过的象
限中必有第二、四象限.
思考
x
O
y
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
b的正负对一次函数y=kx+b的图象有什么影响呢？
y=3x+1
y=2x 3
y= 2x+3
y= 3x 1
● 发现：
1. 当b>0时，图象与y轴的
正半轴相交；
思考
x
O
y
1
2
3
4
1
2
3
1
1
2
3
4
5
3
4
2
b的正负对一次函数y=kx+b的图象有什么影响呢？
y=2x 3
y= 3x 1
● 发现：
1. 当b>0时，图象与y轴的
正半轴相交；
2.当b<0时，图象与y轴的
负半轴相交.
思考
那么k，b的正负情况结合在一起，它们的正负与图象经过的
象限有什么关系呢？
直线y=kx+b
经过的象限
k > 0
k < 0
b >0
b =0
b <0
第一、二、三
象限
第一、二、四
象限
第一、三
象限
第二、四
象限
第一、三、四
象限
第二、三、四
象限
归纳
一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0) k、b符号 图象特征 大致图象 经过象限 性质
k＞0 b＞0
b＝0 b＜0 从左至右上升，交点在y轴
正半轴.
从左至右上升，交点在原点.
从左至右上升，交点在y轴
负半轴.
x
y
O
x
y
O
x
y
O
第一、二、三象限
第一、三象限
第一、三、四象限
y随x的增大而增大
归纳
一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0) k、b符号 图象特征 大致图象 经过象限 性质
k＜0 b＞0
b＝0 b＜0 从左至右下降，交点在y轴
正半轴.
从左至右下降，交点在原点.
从左至右下降，交点在y轴
负半轴.
第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
y随x的增大而减小
x
y
O
x
y
O
x
y
O
典型例题
【例1】已知一次函数 y=(1 2m)x+m 1，求满足条件的m的值：
(1) 函数值y 随x的增大而增大；
(2)函数图象与y 轴的负半轴相交；
(3)函数的图象过第二、三、四象限.
解：
k>0
(1)由题意得1 2m>0，解得m<.
k≠0，b<0
(2)由题意得1 2m≠0且m 1<0，即m<1，m≠.
k<0，b<0
(3)由题意得1 2m<0且m 1<0，解得知识点1 用待定系数法求一次函数的表达式
（第1题）
1. ［2025六安校级期末］一次函数
的图象如图所示，则这个函数的
表达式为( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 象棋起源于中国，
中国象棋文化历史悠久.如图所示是某
次对弈的残图，如果建立平面直角坐
标系，使棋子“帅”位于点 的
位置，则在同一坐标系下，图象经过
A
A. B.
C. D.
棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为( )
返回
知识点2 利用图象变换求一次函数的表达式
3. 若三点，，在同一直线上，则 的值等于
( )
C
A. B. 0 C. 3 D. 4
返回
4. 生物学研究表明，某种蛇在一定生长
阶段，其体长是尾长 的一次函数，部分数据如下
表所示，则与 之间的关系式为( )
尾长 6 8 10
体长 45.5 60.5 75.5
A
A. B.
C. D.
返回
5. 在弹性限度内，弹簧的长度 是所挂物
体质量的一次函数.一根弹簧不挂物体时长 ，当
所挂物体的质量为时，弹簧长 .当所挂物体的质量
为时，弹簧的长度为____ .
15
【点拨】设与的函数表达式为 ，由题意，
得解得故与 之间的表达式为
，所以当时， .
返回
6. 一次函数的图象经过点，每当 增加1个
单位长度时， 增加3个单位长度，则此函数图象向上平移2
个单位长度得到的图象对应的函数表达式是( )
D
A. B.
C. D.
返回
7. ［2025西安高新一中月考］在平面直角坐标系中有两条直
线，，直线所对应的函数表达式为 ，如果将
坐标纸折叠，使与重合，此时点与点 也重合，
则直线 所对应的函数表达式为( )
C
A. B.
C. D.
返回
8. 已知两个一次函数, 的图象相互平行，它们的部分自变
量与相应的函数值如下表：
0 2
5 3
1
则 的值是( )
C
A. B. C. D. 1
【点拨】根据题意可得， ，所以
，，所以的图象经过点， ，
设，则解得 所以
，当时，，解得 ，即
，故选C.
返回
9. ［2025西安经开区月考］如图，直线
与轴交于点，直线 经过
点，与直线交于点，且与
轴交于点，在上存在一点 ，使三角形
的面积是三角形面积的，则点 的
坐标为( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
一次函数的图象与性质
一次函数的图象与性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！