12.2.4待定系数法确定一次函数 课件（共28张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
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| 名称 | 12.2.4待定系数法确定一次函数 课件（共28张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:17:54 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.2.4 待定系数法确定一次函数
副标题：精准定位系数，建立函数模型
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与主题引入
复习回顾：上节课学习了一次函数表达式的求法，其中核心方法是待定系数法。本节课将专门深入探究待定系数法在确定一次函数中的具体应用，进一步巩固和深化这一重要方法。
主题引入：在数学中，当我们知道函数的类型却不知道具体表达式时，待定系数法就像一把钥匙，能帮助我们通过已知条件 “解锁” 函数的表达式。对于一次函数而言，如何运用待定系数法准确确定其表达式呢？这就是本节课的重点。
学习目标：
深刻理解待定系数法的定义和核心思想。
熟练运用待定系数法的完整步骤确定一次函数的表达式。
能针对不同类型的已知条件（如点的坐标、图象特征、函数性质等）灵活应用待定系数法。
体会待定系数法在建立函数模型解决实际问题中的作用。
幻灯片 3：待定系数法的定义与核心思想
定义：待定系数法是一种求函数表达式的方法，它先设出函数的一般形式（含待定系数），再根据已知条件列出关于待定系数的方程（组），解出待定系数的值，从而确定函数表达式。
核心思想：“先设后求”，即先假设函数的表达式形式，再利用已知条件求出表达式中的未知系数。
对于一次函数：一次函数的一般形式为 y = kx + b（k ≠ 0），其中 k 和 b 是待定系数。由于有两个待定系数，因此需要两个独立的已知条件才能确定 k 和 b 的值，这体现了 “方程思想” 在函数中的应用。
图示：用流程图展示待定系数法的核心流程：设表达式→列方程（组）→解方程（组）→得表达式。
幻灯片 4：待定系数法确定一次函数的完整步骤
步骤 1：设 —— 确定函数类型，设出表达式
根据题目信息判断函数为一次函数，设其表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。特别地，若已知是正比例函数，则设为 y = kx（k ≠ 0）。
注意事项：必须明确标注 k ≠ 0，这是一次函数的重要特征。
步骤 2：找 —— 分析已知条件，提取关键信息
从题目中找出能反映函数关系的已知条件，这些条件通常表现为：
函数图象经过的点的坐标（x ，y ）、（x ，y ）。
函数图象与坐标轴的交点坐标。
函数的增减性、经过的象限等性质。
实际问题中变量的对应关系数据。
步骤 3：列 —— 代入已知条件，列出方程（组）
将找到的已知条件代入所设的一次函数表达式中，得到关于待定系数 k 和 b 的方程（组）。
若已知两个点的坐标，代入后可得到二元一次方程组；若结合函数性质和一个点的坐标，也可列出相应方程。
步骤 4：解 —— 求解方程（组），得到系数值
运用解二元一次方程组的方法（如代入消元法、加减消元法）求解所列出的方程（组），求出 k 和 b 的值。
求解后可进行检验，将 k 和 b 的值代入原方程（组），看是否满足方程。
步骤 5：写 —— 代入系数值，写出函数表达式
将求出的 k 和 b 的值代入所设的表达式中，得到完整的一次函数表达式，并根据题目要求注明自变量的取值范围（若有实际意义限制）。
口诀记忆：“一设二找三列四解五写”。
幻灯片 5：已知两点坐标确定一次函数（基础应用）
例题 1：已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1），用待定系数法确定该一次函数的表达式。
解：①设该一次函数的表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②已知函数图象经过（2，5）和（-1，-1），将两点坐标代入表达式得：\(
\begin{cases}
5 = 2k + b \\
-1 = -k + b
\end{cases}
\)
③解方程组：用第一个方程减去第二个方程得 5 - (-1) = 2k + b - (-k + b)，即 6 = 3k，解得 k = 2。将 k = 2 代入第二个方程得 - 1 = -2 + b，解得 b = 1。
④所以该一次函数的表达式为 y = 2x + 1。
例题 2：一次函数的图象经过点（0，-2）和（3，4），求其表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②代入（0，-2）得 b = -2；代入（3，4）得 4 = 3k - 2。
③解得 k = 2。
④表达式为 y = 2x - 2。
总结：已知两点坐标是应用待定系数法最直接的情况，代入后列二元一次方程组求解即可。
幻灯片 6：已知图象特征确定一次函数
例题 3：一次函数的图象与 y 轴交于点（0，4），且与正比例函数 y = 2x 的图象平行，求该一次函数的表达式。
解：①设该一次函数的表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②因为一次函数图象与 y 轴交于（0，4），所以 b = 4。
③又因为两直线平行，所以 k = 2（平行直线的 k 值相等）。
④所以该一次函数的表达式为 y = 2x + 4。
例题 4：一次函数的图象经过第一、三、四象限，且经过点（1，-1），与 x 轴交于点（3，0），求其表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②代入点（1，-1）和（3，0）得：\(
\begin{cases}
-1 = k + b \\
0 = 3k + b
\end{cases}
\)
③解得 k = \(\frac{1}{2}\)，b = -\(\frac{3}{2}\)。
④验证：k = \(\frac{1}{2}\) > 0，b = -\(\frac{3}{2}\) < 0，图象经过第一、三、四象限，符合条件，表达式为 y = \(\frac{1}{2}\)x - \(\frac{3}{2}\)。
幻灯片 7：结合函数性质确定一次函数
例题 5：已知一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）中，y 随 x 的增大而增大，且图象经过点（-2，1）和（m，5），其中 m = 2，求该函数的表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②因为 y 随 x 的增大而增大，所以 k > 0。
③将点（-2，1）和（2，5）代入表达式得：\(
\begin{cases}
1 = -2k + b \\
5 = 2k + b
\end{cases}
\)
④解得 k = 1，b = 3，满足 k > 0 的条件。
⑤表达式为 y = x + 3。
例题 6：一次函数的图象经过点（4，2），且当 x = 1 时，y = 5，判断该函数的增减性。
解：①设表达式为 y = kx + b，代入两点得：\(
\begin{cases}
2 = 4k + b \\
5 = k + b
\end{cases}
\)
②解得 k = -1，b = 6，表达式为 y = -x + 6。
③因为 k = -1 < 0，所以 y 随 x 的增大而减小。
幻灯片 8：实际问题中用待定系数法确定一次函数
例题 7：某工厂生产一种产品，已知生产 x 件产品的成本 y（元）与 x 之间的关系是一次函数。当生产 10 件时，成本为 300 元；生产 20 件时，成本为 500 元。求 y 与 x 之间的函数表达式，并求出生产 30 件时的成本。
解：①设 y 与 x 的函数表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②代入（10，300）和（20，500）得：\(
\begin{cases}
300 = 10k + b \\
500 = 20k + b
\end{cases}
\)
③解得 k = 20，b = 100，表达式为 y = 20x + 100。
④当 x = 30 时，y = 20×30 + 100 = 700 元，即生产 30 件时的成本为 700 元。
例题 8：某城市的出租车收费 y（元）与行驶路程 x（千米）的关系是一次函数，起步价（行驶路程不超过 3 千米）为 8 元，当行驶 6 千米时，收费为 14 元。求 y 与 x（x ≥ 3）之间的函数表达式。
解：①设当 x ≥ 3 时，表达式为 y = kx + b。
②当 x = 3 时，y = 8，代入得 8 = 3k + b；当 x = 6 时，y = 14，代入得 14 = 6k + b。
③解得 k = 2，b = 2，表达式为 y = 2x + 2（x ≥ 3）。
幻灯片 9：正比例函数与一次函数待定系数法的对比
相同点：
都属于待定系数法的应用，核心思想都是 “设、列、解、写”。
都需要根据已知条件建立关于系数的方程。
不同点：
表达式形式：正比例函数为 y = kx（k ≠ 0），只有一个待定系数 k；一次函数为 y = kx + b（k ≠ 0），有两个待定系数 k 和 b。
所需条件：正比例函数只需一个独立的已知条件（如一个点的坐标）即可确定 k；一次函数需要两个独立的已知条件才能确定 k 和 b。
应用场景：正比例函数适用于变量成正比例关系的情况；一次函数适用于更广泛的线性关系情况，包含正比例函数。
实例对比：
正比例函数：已知图象经过（2，4），设 y = kx，得 4 = 2k，k = 2，表达式 y = 2x。
一次函数：已知图象经过（2，4）和（3，7），设 y = kx + b，得方程组求出 k = 3，b = -2，表达式 y = 3x - 2。
幻灯片 10：典型例题解析（综合提升）
例题 9：一次函数的图象经过点（-3，0），且与 y 轴交于点（0，-2），
（1）求该一次函数的表达式。
（2）若该函数图象与另一个一次函数 y = 2x + 1 的图象相交于点 P，求点 P 的坐标。
解：（1）设表达式为 y = kx + b，代入（-3，0）和（0，-2）得：\(
\begin{cases}
0 = -3k + b \\
-2 = b
\end{cases}
\)
解得 k = -\(\frac{2}{3}\)，b = -2，表达式为 y = -\(\frac{2}{3}\)x - 2。
（2）联立方程\(\begin{cases} y = -\frac{2}{3}x - 2 \\ y = 2x + 1 \end{cases}\)，解得 x = -\(\frac{9}{8}\)，y = -\(\frac{5}{4}\)，点 P 坐标为（-\(\frac{9}{8}\)，-\(\frac{5}{4}\)）。
例题 10：已知一次函数 y = kx + b 的图象与直线 y = -x + 3 平行，且与直线 y = 2x - 1 的交点在 y 轴上，求该一次函数的表达式。
解：①因为两直线平行，所以 k = -1。
②直线 y = 2x - 1 与 y 轴交点为（0，-1），所以该一次函数经过（0，-1）。
③设表达式为 y = -x + b，代入（0，-1）得 b = -1，表达式为 y = -x - 1。
幻灯片 11：常见错误深度剖析与规避策略
错误类型 1：设表达式时未明确 k ≠ 0，或在正比例函数中误加常数项 b。
规避策略：强化对一次函数和正比例函数定义的理解，设表达式时严格按照定义书写，一次函数标注 k ≠ 0，正比例函数不添加常数项。
错误类型 2：已知条件分析不全面，导致条件不足或错误使用条件，如将实际问题中的分段点忽略。
规避策略：仔细阅读题目，全面提取已知条件，特别是实际问题中要注意变量的取值范围和分段情况，确保条件的完整性和正确性。
错误类型 3：代入点的坐标时计算失误，如符号错误、数值代入错误等。
规避策略：代入坐标时放慢速度，认真核对 x 和 y 的值，代入后再次检查表达式左右两边是否对应，避免因粗心导致的计算错误。
错误类型 4：解方程组时方法不当或计算错误，导致 k 和 b 的值错误。
规避策略：熟练掌握解二元一次方程组的方法，解题过程中步骤清晰，解出后将 k 和 b 的值代入原方程组进行检验，确保结果正确。
幻灯片 12：课堂总结与作业布置
课堂总结：
待定系数法是确定一次函数表达式的核心方法，步骤为设、找、列、解、写。
关键是根据已知条件列出关于 k 和 b 的方程组，求解后得到函数表达式。
针对不同类型的条件（点的坐标、图象特征、函数性质、实际问题）需灵活应用该方法。
正比例函数是一次函数的特例，待定系数法应用时条件数量不同。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，运用待定系数法根据不同条件求一次函数表达式。
提升作业：结合函数的图象、性质等综合条件确定一次函数表达式，并解决相关问题。
拓展作业：在生活中寻找一个存在一次函数关系的实际问题，收集两组变量对应数据，用待定系数法确定函数表达式，并预测某一变量的值。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.4待定系数法确定一次函数
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用待定系数法确定一次函数的解析式.
2.了解两个条件确定一次函数，一个条件确定正比例函数.
3.经历确定一次函数的解析式的过程，体验数形结合，具体感知数形结合思想在一次函数中的应用.
4.通过让学生经历先设出函数表达式，根据题意列出方程再求解的过程，带领学生学习待定系数法，激发学生探索、总结数学方法的兴趣.
回顾
前面我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象？
“两点法”
y= x+2
y= x+2
反过来，如果知道一条直线经过两个已知点，能否确定这条直线的表达式呢？
思考
如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当x=5时，y=2.写出函数表达式并画出它的图象.
思考
解：
因为y是x的一次函数，设其表达式为y=kx+b
(k≠0).
关键：
根据已知条件确定表达式y=kx+b中的系数k和b的值.
∵当x=4时，y=5；
当x=5时，y=2；
∴(4，5)与(5，2)
这两点的坐标必
适合解析式.
由题意得，
4k+b=5，
5k+b=2.
解方程组得
k= 3，
b=17.
所以函数表达式为 y= 3x+17.
如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当x=5时，y=2.写出函数表达式并画出它的图象.
思考
解：
关键：
根据已知条件确定表达式y=kx+b中的系数k和b的值.
∵当x=4时，y=5；
当x=5时，y=2；
∴(4，5)与(5，2)
这两点的坐标必
适合解析式.
O
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
y
(4，5)
(5，2)
图象如下图中的直线：
问题：
思考
给两点可以确定一次函数的解析式，一点可以吗？
更多点呢？
从几何角度来看：
一点不够，因为两点确定一条直线.
两个及以上都可以，但是两点足够.
从代数角度来看：
一次函数的解析式中含有k，b两个
待定系数，因此需要两个点的坐标，列两个方程，即
得二元一次方程组.
归纳
待定系数法
(k，b是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于k，b
定义：
这里，先设所求的一次函数表达式为y=kx+b
的方程组，求得k，b的值.这种确定表达式中系数的方法
叫作待定系数法.
归纳
你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？
(1)
设：
设一次函数的一般形式 ；
(2)
代：
将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解
(3)
解：
解二元一次方程组得k，b；
(4)
写：
把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
y=kx+b(k≠0)
析式，组成关于系数k，b的 方程组；
二元一次
归纳
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点
(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
画出
选取
解出
选取
从数到形
从形到数
通过前面的学习，我们知道了函数解析式和图象可以相互转化.
数形结合
数学的基本思想方法：
典型例题
【例1】已知某一次函数的图象经过点A(5，0)，B(1，4).求这个一次函数的表达式.
解：
设这个一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).
所以这个一次函数的表达式为y= x+5.
把A(5，0)，B(1，4)代入表达式，得：
5k+b=0，
k+b=4.
解方程组得
k= 1，
b=5.
审题关键：
利用待定系数法，通过设、代、解、写四个步骤求出.
设
代
解
写
解：
典型例题
【例2】一次函数的图象经过点P( 2，3)，且与直线y= x
平行.求这个函数的表达式.
解析式y=kx+b(k≠0)中的k决定这条直线的倾斜程度.
当两个函数的k值相同、b值不同时，它们的图象平行.
设函数表达式为y=kx+b(k≠0).
由题意可得：k= ，∴y= x+b
又∵直线y= x+b过点P( 2，3)，
∴3= ( 2)+b ，解得b=2.
即y= x+2.
（第1题）
1.［2024资阳］小王前往距家2 000米的公司
参会，先以 （米/分）的速度步行一段时间
后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距
会议开始还有14分，小王离家的路程
5
（单位：米）与离家的时间 （单位：分）之间的函数图象如
图所示.若小王全程以 （米/分）的速度步行，则他到达时
距会议开始还有___分.
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2. 如图①，在测浮力的实
验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上
方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，
弹簧测力计的示数 与铁块下降的高
度 之间的关系如图②所示，则以
下说法正确的是 ( )
C
A. 当铁块下降 时，此时铁块在水里
B. 当时，与 之间的函数表达式为
C. 当弹簧测力计的示数为时，铁块底面距离水底
D. 当铁块下降高度为时，弹簧测力计的示数是
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3. 西递宏村位于安徽省黄山市黟县，是
世界文化遗产，也是国家 级旅游景区.刘师傅驾车从家到西
递宏村游玩，汽车出发前油箱中有油 ，行驶若干小时后，
途中在加油站加油若干升.刘师傅出发后，油箱中剩余油量
与行驶时间 之间的关系如图所示，则下列说法不正
确的是 ( )
D
（第3题）
A. 点表示的实际意义是汽车行驶 后，油箱
中剩余油量为
B. 刘师傅驾车途中在加油站加油
C. 加油前油箱中剩余油量与行驶时间 之间的
函数关系式为
D. 若家距目的地 ，汽车行驶的平均速度
为 ，则油箱中的油足够汽车到达目的地
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4. ［2024淄博］某日，甲、乙两人相约在一
条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速
出发，甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友，
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 ；②甲
出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ，
B两地之间的距离是 .其中正确的结论有 ( )
B
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
驻足交流 后，继续以原速步行前进；
乙因故比甲晚出发 ，跑步到达B地后立
刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.
下图表示甲、乙两人之间的距离 与甲出
发的时间 之间的函数关系，那么以下
结论：
【点拨】由题图可知，当 时，
，即甲出发 时，甲、乙两人
第一次相遇，乙的锻炼用时为
.故①正确；
由题图可知，当时，取得最大值 ，即甲出发
时，两人之间的距离达到最大值 .故②正确；
因为两人第一次相遇时，甲用时，乙用时 ，
所以乙的速度是甲的速度的2倍.
设甲的速度为 ，则乙的速度为
.
由题图，得 .解
得 .
所以甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲
出发后 .故③错误；
A,B两地之间的距离为
.
故④正确.故选B.
返回
5.兄妹俩放学后沿图①中的马路从学校出发,到书吧看书后回
家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书
吧前的速度为200米/分，图②中的图象分别表示两人离学校
的路程（米）与哥哥离开学校的时间 （分）的函数关系.
（1）求哥哥的速度.
【解】哥哥的速度为 （米/分） .
（2）已知妹妹比哥哥迟2分到书吧.
①图中 的值为___.
【点拨】因为妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
所以妹妹从出发到书吧所用时间为 （分）.
因为妹妹比哥哥迟2分到书吧，所以 .
②妹妹在书吧待了10分后回家,速度是哥哥的1.6倍,能否在哥
哥到家前追上哥哥 若能，求追上时兄妹俩离家还有多远;若
不能,请说明理由．
能，由（1）可知哥哥的速度为100米/分,
所以设所在直线的表达式为，将 的
坐标代入得，解得.所以 所在
直线的表达式为 .
当时， .
因为回家时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，所以妹妹的速度是
160米/分.所以设妹妹回家时与 对应的函数表达式为
，根据题意得的坐标为.将
的坐标代入,得 ，解得
,所以 .
令,解得 ,
所以妹妹能在哥哥到家前追上哥哥，
此时哥哥离学校的路程为
（米）.
兄妹俩离家还有 （米）.
返回
用待定系数法求一次函数解析式的步骤
①设:设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；
②代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的二元一次方程组；
③解：解二元一次方程组得k，b；
④写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
待
定系数法
待定系数法定义
先设所求的一次函数表达式为y=kx+b(k，b是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于k，b的方程组，求得k，b的值.这种确定表达式中系数的方法叫作待定系数法.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：12.2.4 待定系数法确定一次函数
副标题：精准定位系数，建立函数模型
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与主题引入
复习回顾：上节课学习了一次函数表达式的求法，其中核心方法是待定系数法。本节课将专门深入探究待定系数法在确定一次函数中的具体应用，进一步巩固和深化这一重要方法。
主题引入：在数学中，当我们知道函数的类型却不知道具体表达式时，待定系数法就像一把钥匙，能帮助我们通过已知条件 “解锁” 函数的表达式。对于一次函数而言，如何运用待定系数法准确确定其表达式呢？这就是本节课的重点。
学习目标：
深刻理解待定系数法的定义和核心思想。
熟练运用待定系数法的完整步骤确定一次函数的表达式。
能针对不同类型的已知条件（如点的坐标、图象特征、函数性质等）灵活应用待定系数法。
体会待定系数法在建立函数模型解决实际问题中的作用。
幻灯片 3：待定系数法的定义与核心思想
定义：待定系数法是一种求函数表达式的方法，它先设出函数的一般形式（含待定系数），再根据已知条件列出关于待定系数的方程（组），解出待定系数的值，从而确定函数表达式。
核心思想：“先设后求”，即先假设函数的表达式形式，再利用已知条件求出表达式中的未知系数。
对于一次函数：一次函数的一般形式为 y = kx + b（k ≠ 0），其中 k 和 b 是待定系数。由于有两个待定系数，因此需要两个独立的已知条件才能确定 k 和 b 的值，这体现了 “方程思想” 在函数中的应用。
图示：用流程图展示待定系数法的核心流程：设表达式→列方程（组）→解方程（组）→得表达式。
幻灯片 4：待定系数法确定一次函数的完整步骤
步骤 1：设 —— 确定函数类型，设出表达式
根据题目信息判断函数为一次函数，设其表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。特别地，若已知是正比例函数，则设为 y = kx（k ≠ 0）。
注意事项：必须明确标注 k ≠ 0，这是一次函数的重要特征。
步骤 2：找 —— 分析已知条件，提取关键信息
从题目中找出能反映函数关系的已知条件，这些条件通常表现为：
函数图象经过的点的坐标（x ，y ）、（x ，y ）。
函数图象与坐标轴的交点坐标。
函数的增减性、经过的象限等性质。
实际问题中变量的对应关系数据。
步骤 3：列 —— 代入已知条件，列出方程（组）
将找到的已知条件代入所设的一次函数表达式中，得到关于待定系数 k 和 b 的方程（组）。
若已知两个点的坐标，代入后可得到二元一次方程组；若结合函数性质和一个点的坐标，也可列出相应方程。
步骤 4：解 —— 求解方程（组），得到系数值
运用解二元一次方程组的方法（如代入消元法、加减消元法）求解所列出的方程（组），求出 k 和 b 的值。
求解后可进行检验，将 k 和 b 的值代入原方程（组），看是否满足方程。
步骤 5：写 —— 代入系数值，写出函数表达式
将求出的 k 和 b 的值代入所设的表达式中，得到完整的一次函数表达式，并根据题目要求注明自变量的取值范围（若有实际意义限制）。
口诀记忆：“一设二找三列四解五写”。
幻灯片 5：已知两点坐标确定一次函数（基础应用）
例题 1：已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1），用待定系数法确定该一次函数的表达式。
解：①设该一次函数的表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②已知函数图象经过（2，5）和（-1，-1），将两点坐标代入表达式得：\(
\begin{cases}
5 = 2k + b \\
-1 = -k + b
\end{cases}
\)
③解方程组：用第一个方程减去第二个方程得 5 - (-1) = 2k + b - (-k + b)，即 6 = 3k，解得 k = 2。将 k = 2 代入第二个方程得 - 1 = -2 + b，解得 b = 1。
④所以该一次函数的表达式为 y = 2x + 1。
例题 2：一次函数的图象经过点（0，-2）和（3，4），求其表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②代入（0，-2）得 b = -2；代入（3，4）得 4 = 3k - 2。
③解得 k = 2。
④表达式为 y = 2x - 2。
总结：已知两点坐标是应用待定系数法最直接的情况，代入后列二元一次方程组求解即可。
幻灯片 6：已知图象特征确定一次函数
例题 3：一次函数的图象与 y 轴交于点（0，4），且与正比例函数 y = 2x 的图象平行，求该一次函数的表达式。
解：①设该一次函数的表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②因为一次函数图象与 y 轴交于（0，4），所以 b = 4。
③又因为两直线平行，所以 k = 2（平行直线的 k 值相等）。
④所以该一次函数的表达式为 y = 2x + 4。
例题 4：一次函数的图象经过第一、三、四象限，且经过点（1，-1），与 x 轴交于点（3，0），求其表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②代入点（1，-1）和（3，0）得：\(
\begin{cases}
-1 = k + b \\
0 = 3k + b
\end{cases}
\)
③解得 k = \(\frac{1}{2}\)，b = -\(\frac{3}{2}\)。
④验证：k = \(\frac{1}{2}\) > 0，b = -\(\frac{3}{2}\) < 0，图象经过第一、三、四象限，符合条件，表达式为 y = \(\frac{1}{2}\)x - \(\frac{3}{2}\)。
幻灯片 7：结合函数性质确定一次函数
例题 5：已知一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）中，y 随 x 的增大而增大，且图象经过点（-2，1）和（m，5），其中 m = 2，求该函数的表达式。
解：①设表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②因为 y 随 x 的增大而增大，所以 k > 0。
③将点（-2，1）和（2，5）代入表达式得：\(
\begin{cases}
1 = -2k + b \\
5 = 2k + b
\end{cases}
\)
④解得 k = 1，b = 3，满足 k > 0 的条件。
⑤表达式为 y = x + 3。
例题 6：一次函数的图象经过点（4，2），且当 x = 1 时，y = 5，判断该函数的增减性。
解：①设表达式为 y = kx + b，代入两点得：\(
\begin{cases}
2 = 4k + b \\
5 = k + b
\end{cases}
\)
②解得 k = -1，b = 6，表达式为 y = -x + 6。
③因为 k = -1 < 0，所以 y 随 x 的增大而减小。
幻灯片 8：实际问题中用待定系数法确定一次函数
例题 7：某工厂生产一种产品，已知生产 x 件产品的成本 y（元）与 x 之间的关系是一次函数。当生产 10 件时，成本为 300 元；生产 20 件时，成本为 500 元。求 y 与 x 之间的函数表达式，并求出生产 30 件时的成本。
解：①设 y 与 x 的函数表达式为 y = kx + b（k ≠ 0）。
②代入（10，300）和（20，500）得：\(
\begin{cases}
300 = 10k + b \\
500 = 20k + b
\end{cases}
\)
③解得 k = 20，b = 100，表达式为 y = 20x + 100。
④当 x = 30 时，y = 20×30 + 100 = 700 元，即生产 30 件时的成本为 700 元。
例题 8：某城市的出租车收费 y（元）与行驶路程 x（千米）的关系是一次函数，起步价（行驶路程不超过 3 千米）为 8 元，当行驶 6 千米时，收费为 14 元。求 y 与 x（x ≥ 3）之间的函数表达式。
解：①设当 x ≥ 3 时，表达式为 y = kx + b。
②当 x = 3 时，y = 8，代入得 8 = 3k + b；当 x = 6 时，y = 14，代入得 14 = 6k + b。
③解得 k = 2，b = 2，表达式为 y = 2x + 2（x ≥ 3）。
幻灯片 9：正比例函数与一次函数待定系数法的对比
相同点：
都属于待定系数法的应用，核心思想都是 “设、列、解、写”。
都需要根据已知条件建立关于系数的方程。
不同点：
表达式形式：正比例函数为 y = kx（k ≠ 0），只有一个待定系数 k；一次函数为 y = kx + b（k ≠ 0），有两个待定系数 k 和 b。
所需条件：正比例函数只需一个独立的已知条件（如一个点的坐标）即可确定 k；一次函数需要两个独立的已知条件才能确定 k 和 b。
应用场景：正比例函数适用于变量成正比例关系的情况；一次函数适用于更广泛的线性关系情况，包含正比例函数。
实例对比：
正比例函数：已知图象经过（2，4），设 y = kx，得 4 = 2k，k = 2，表达式 y = 2x。
一次函数：已知图象经过（2，4）和（3，7），设 y = kx + b，得方程组求出 k = 3，b = -2，表达式 y = 3x - 2。
幻灯片 10：典型例题解析（综合提升）
例题 9：一次函数的图象经过点（-3，0），且与 y 轴交于点（0，-2），
（1）求该一次函数的表达式。
（2）若该函数图象与另一个一次函数 y = 2x + 1 的图象相交于点 P，求点 P 的坐标。
解：（1）设表达式为 y = kx + b，代入（-3，0）和（0，-2）得：\(
\begin{cases}
0 = -3k + b \\
-2 = b
\end{cases}
\)
解得 k = -\(\frac{2}{3}\)，b = -2，表达式为 y = -\(\frac{2}{3}\)x - 2。
（2）联立方程\(\begin{cases} y = -\frac{2}{3}x - 2 \\ y = 2x + 1 \end{cases}\)，解得 x = -\(\frac{9}{8}\)，y = -\(\frac{5}{4}\)，点 P 坐标为（-\(\frac{9}{8}\)，-\(\frac{5}{4}\)）。
例题 10：已知一次函数 y = kx + b 的图象与直线 y = -x + 3 平行，且与直线 y = 2x - 1 的交点在 y 轴上，求该一次函数的表达式。
解：①因为两直线平行，所以 k = -1。
②直线 y = 2x - 1 与 y 轴交点为（0，-1），所以该一次函数经过（0，-1）。
③设表达式为 y = -x + b，代入（0，-1）得 b = -1，表达式为 y = -x - 1。
幻灯片 11：常见错误深度剖析与规避策略
错误类型 1：设表达式时未明确 k ≠ 0，或在正比例函数中误加常数项 b。
规避策略：强化对一次函数和正比例函数定义的理解，设表达式时严格按照定义书写，一次函数标注 k ≠ 0，正比例函数不添加常数项。
错误类型 2：已知条件分析不全面，导致条件不足或错误使用条件，如将实际问题中的分段点忽略。
规避策略：仔细阅读题目，全面提取已知条件，特别是实际问题中要注意变量的取值范围和分段情况，确保条件的完整性和正确性。
错误类型 3：代入点的坐标时计算失误，如符号错误、数值代入错误等。
规避策略：代入坐标时放慢速度，认真核对 x 和 y 的值，代入后再次检查表达式左右两边是否对应，避免因粗心导致的计算错误。
错误类型 4：解方程组时方法不当或计算错误，导致 k 和 b 的值错误。
规避策略：熟练掌握解二元一次方程组的方法，解题过程中步骤清晰，解出后将 k 和 b 的值代入原方程组进行检验，确保结果正确。
幻灯片 12：课堂总结与作业布置
课堂总结：
待定系数法是确定一次函数表达式的核心方法，步骤为设、找、列、解、写。
关键是根据已知条件列出关于 k 和 b 的方程组，求解后得到函数表达式。
针对不同类型的条件（点的坐标、图象特征、函数性质、实际问题）需灵活应用该方法。
正比例函数是一次函数的特例，待定系数法应用时条件数量不同。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，运用待定系数法根据不同条件求一次函数表达式。
提升作业：结合函数的图象、性质等综合条件确定一次函数表达式，并解决相关问题。
拓展作业：在生活中寻找一个存在一次函数关系的实际问题，收集两组变量对应数据，用待定系数法确定函数表达式，并预测某一变量的值。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.4待定系数法确定一次函数
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用待定系数法确定一次函数的解析式.
2.了解两个条件确定一次函数，一个条件确定正比例函数.
3.经历确定一次函数的解析式的过程，体验数形结合，具体感知数形结合思想在一次函数中的应用.
4.通过让学生经历先设出函数表达式，根据题意列出方程再求解的过程，带领学生学习待定系数法，激发学生探索、总结数学方法的兴趣.
回顾
前面我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象？
“两点法”
y= x+2
y= x+2
反过来，如果知道一条直线经过两个已知点，能否确定这条直线的表达式呢？
思考
如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当x=5时，y=2.写出函数表达式并画出它的图象.
思考
解：
因为y是x的一次函数，设其表达式为y=kx+b
(k≠0).
关键：
根据已知条件确定表达式y=kx+b中的系数k和b的值.
∵当x=4时，y=5；
当x=5时，y=2；
∴(4，5)与(5，2)
这两点的坐标必
适合解析式.
由题意得，
4k+b=5，
5k+b=2.
解方程组得
k= 3，
b=17.
所以函数表达式为 y= 3x+17.
如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5；当x=5时，y=2.写出函数表达式并画出它的图象.
思考
解：
关键：
根据已知条件确定表达式y=kx+b中的系数k和b的值.
∵当x=4时，y=5；
当x=5时，y=2；
∴(4，5)与(5，2)
这两点的坐标必
适合解析式.
O
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
y
(4，5)
(5，2)
图象如下图中的直线：
问题：
思考
给两点可以确定一次函数的解析式，一点可以吗？
更多点呢？
从几何角度来看：
一点不够，因为两点确定一条直线.
两个及以上都可以，但是两点足够.
从代数角度来看：
一次函数的解析式中含有k，b两个
待定系数，因此需要两个点的坐标，列两个方程，即
得二元一次方程组.
归纳
待定系数法
(k，b是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于k，b
定义：
这里，先设所求的一次函数表达式为y=kx+b
的方程组，求得k，b的值.这种确定表达式中系数的方法
叫作待定系数法.
归纳
你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？
(1)
设：
设一次函数的一般形式 ；
(2)
代：
将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解
(3)
解：
解二元一次方程组得k，b；
(4)
写：
把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
y=kx+b(k≠0)
析式，组成关于系数k，b的 方程组；
二元一次
归纳
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点
(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象直线l
画出
选取
解出
选取
从数到形
从形到数
通过前面的学习，我们知道了函数解析式和图象可以相互转化.
数形结合
数学的基本思想方法：
典型例题
【例1】已知某一次函数的图象经过点A(5，0)，B(1，4).求这个一次函数的表达式.
解：
设这个一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).
所以这个一次函数的表达式为y= x+5.
把A(5，0)，B(1，4)代入表达式，得：
5k+b=0，
k+b=4.
解方程组得
k= 1，
b=5.
审题关键：
利用待定系数法，通过设、代、解、写四个步骤求出.
设
代
解
写
解：
典型例题
【例2】一次函数的图象经过点P( 2，3)，且与直线y= x
平行.求这个函数的表达式.
解析式y=kx+b(k≠0)中的k决定这条直线的倾斜程度.
当两个函数的k值相同、b值不同时，它们的图象平行.
设函数表达式为y=kx+b(k≠0).
由题意可得：k= ，∴y= x+b
又∵直线y= x+b过点P( 2，3)，
∴3= ( 2)+b ，解得b=2.
即y= x+2.
（第1题）
1.［2024资阳］小王前往距家2 000米的公司
参会，先以 （米/分）的速度步行一段时间
后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距
会议开始还有14分，小王离家的路程
5
（单位：米）与离家的时间 （单位：分）之间的函数图象如
图所示.若小王全程以 （米/分）的速度步行，则他到达时
距会议开始还有___分.
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2. 如图①，在测浮力的实
验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上
方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，
弹簧测力计的示数 与铁块下降的高
度 之间的关系如图②所示，则以
下说法正确的是 ( )
C
A. 当铁块下降 时，此时铁块在水里
B. 当时，与 之间的函数表达式为
C. 当弹簧测力计的示数为时，铁块底面距离水底
D. 当铁块下降高度为时，弹簧测力计的示数是
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3. 西递宏村位于安徽省黄山市黟县，是
世界文化遗产，也是国家 级旅游景区.刘师傅驾车从家到西
递宏村游玩，汽车出发前油箱中有油 ，行驶若干小时后，
途中在加油站加油若干升.刘师傅出发后，油箱中剩余油量
与行驶时间 之间的关系如图所示，则下列说法不正
确的是 ( )
D
（第3题）
A. 点表示的实际意义是汽车行驶 后，油箱
中剩余油量为
B. 刘师傅驾车途中在加油站加油
C. 加油前油箱中剩余油量与行驶时间 之间的
函数关系式为
D. 若家距目的地 ，汽车行驶的平均速度
为 ，则油箱中的油足够汽车到达目的地
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4. ［2024淄博］某日，甲、乙两人相约在一
条笔直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速
出发，甲健步走向B地.途中偶遇一位朋友，
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为 ；②甲
出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值 ；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后； ，
B两地之间的距离是 .其中正确的结论有 ( )
B
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
驻足交流 后，继续以原速步行前进；
乙因故比甲晚出发 ，跑步到达B地后立
刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇.
下图表示甲、乙两人之间的距离 与甲出
发的时间 之间的函数关系，那么以下
结论：
【点拨】由题图可知，当 时，
，即甲出发 时，甲、乙两人
第一次相遇，乙的锻炼用时为
.故①正确；
由题图可知，当时，取得最大值 ，即甲出发
时，两人之间的距离达到最大值 .故②正确；
因为两人第一次相遇时，甲用时，乙用时 ，
所以乙的速度是甲的速度的2倍.
设甲的速度为 ，则乙的速度为
.
由题图，得 .解
得 .
所以甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲
出发后 .故③错误；
A,B两地之间的距离为
.
故④正确.故选B.
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5.兄妹俩放学后沿图①中的马路从学校出发,到书吧看书后回
家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书
吧前的速度为200米/分，图②中的图象分别表示两人离学校
的路程（米）与哥哥离开学校的时间 （分）的函数关系.
（1）求哥哥的速度.
【解】哥哥的速度为 （米/分） .
（2）已知妹妹比哥哥迟2分到书吧.
①图中 的值为___.
【点拨】因为妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
所以妹妹从出发到书吧所用时间为 （分）.
因为妹妹比哥哥迟2分到书吧，所以 .
②妹妹在书吧待了10分后回家,速度是哥哥的1.6倍,能否在哥
哥到家前追上哥哥 若能，求追上时兄妹俩离家还有多远;若
不能,请说明理由．
能，由（1）可知哥哥的速度为100米/分,
所以设所在直线的表达式为，将 的
坐标代入得，解得.所以 所在
直线的表达式为 .
当时， .
因为回家时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，所以妹妹的速度是
160米/分.所以设妹妹回家时与 对应的函数表达式为
，根据题意得的坐标为.将
的坐标代入,得 ，解得
,所以 .
令,解得 ,
所以妹妹能在哥哥到家前追上哥哥，
此时哥哥离学校的路程为
（米）.
兄妹俩离家还有 （米）.
返回
用待定系数法求一次函数解析式的步骤
①设:设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；
②代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的二元一次方程组；
③解：解二元一次方程组得k，b；
④写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
待
定系数法
待定系数法定义
先设所求的一次函数表达式为y=kx+b(k，b是待确定的系数)，再根据已知条件列出关于k，b的方程组，求得k，b的值.这种确定表达式中系数的方法叫作待定系数法.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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