12.2.5分段函数 课件（共25张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 12.2.5分段函数 课件（共25张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:17:39 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.2.5 分段函数
副标题：剖析分段特征，掌握分段应用
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入与学习目标
情境引入：生活中许多变量关系并非由单一函数表达式全程描述。比如，出租车计费时，3 千米内是起步价，超过 3 千米后按另一种标准计费；手机流量套餐费用，在套餐内和超出套餐部分的计费方式不同。这些在不同取值范围内用不同表达式表示的函数就是分段函数。
学习目标：
理解分段函数的定义和基本特征，能识别分段函数。
掌握分段函数的表达式书写方法，能根据条件写出分段函数的表达式。
学会绘制分段函数的图象，能从图象中读取信息。
能运用分段函数解决实际生活中的相关问题。
幻灯片 3：分段函数的定义与特征
定义：在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，函数有着不同的对应关系（即不同的表达式），这样的函数叫做分段函数。
基本特征：
分段性：函数表达式随自变量的取值范围变化而变化，不同区间对应不同表达式。
整体性：尽管表达式分段，但它们共同构成一个完整的函数，共享同一个函数名称。
定义域：各分段的自变量取值范围不重叠且合并后覆盖整个函数的定义域，边界点通常只属于一个区间（或通过特殊标注明确归属）。
实例展示：
出租车计费函数：设行驶路程为 x 千米，费用为 y 元，表达式为\(y=\begin{cases}8 & (0 < x \leq 3) \\ 8 + 2(x - 3) & (x > 3)\end{cases}\)。
绝对值函数：\(y=|x|=\begin{cases}x & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0)\end{cases}\)，这是最典型的分段函数。
幻灯片 4：分段函数的表达式书写
书写格式：分段函数的表达式需用大括号 “\(\begin{cases}\end{cases}\)” 将各分段表达式括起来，每个表达式后注明对应的自变量取值范围，格式如下：\(
y=\begin{cases}
f_1(x) & (x \in D_1) \\
f_2(x) & (x \in D_2) \\
\vdots \\
f_n(x) & (x \in D_n)
\end{cases}
\)
其中\(D_1, D_2, \dots, D_n\)是自变量 x 的不同取值范围，且\(D_1 \cup D_2 \cup \dots \cup D_n\)为函数的定义域，\(D_i \cap D_j = \varnothing\)（\(i \neq j\)）。
书写要求：
各分段表达式需明确对应自变量的取值范围，范围表述要准确（使用不等式、区间等形式）。
取值范围不能遗漏或重复，确保自变量的每一个值都能对应唯一的函数表达式。
函数名称统一，各分段表达式共同组成一个函数。
实例书写：某公园门票收费标准为：1.2 米以下儿童免费，1.2 米至 1.5 米儿童半价（15 元），1.5 米以上成人全价（30 元）。设身高为 h 米，门票费用为 y 元，则分段函数表达式为：\(
y=\begin{cases}
0 & (h < 1.2) \\
15 & (1.2 \leq h \leq 1.5) \\
30 & (h > 1.5)
\end{cases}
\)
幻灯片 5：分段函数的图象绘制
绘制步骤：
确定分段区间：明确各分段表达式对应的自变量取值范围，划分区间。
分段绘制图象：在每个区间内，根据对应的函数表达式绘制图象（一次函数对应直线段，正比例函数对应过原点的直线段等）。
标注边界点：对于区间的边界点，若该点包含在区间内，用实心点标注；若不包含，用空心点标注，确保图象的准确性。
整合图象：将各分段图象组合起来，形成完整的分段函数图象。
实例绘制：绘制绝对值函数\(y=|x|\)的图象：
当\(x \geq 0\)时，\(y = x\)，在区间\([0, +\infty)\)内绘制过原点的射线（起点为实心点（0，0））。
当\(x < 0\)时，\(y = -x\)，在区间\((-\infty, 0)\)内绘制过原点的射线（起点为空心点（0，0），但因 x=0 时 y=0 在另一分段已包含，整体图象在原点处连续）。
整合后图象为过原点的 “V” 形折线。
注意事项：绘制时需注意各分段图象的衔接是否自然，边界点的虚实标注是否正确，避免出现重叠或断裂错误。
幻灯片 6：分段函数的求值与分析
函数求值步骤：
确定所求自变量 x 的值属于哪个分段区间。
选择该区间对应的函数表达式。
将 x 的值代入所选表达式，计算出对应的函数值 y。
实例求值：对于分段函数\(y=\begin{cases}2x + 1 & (x \leq 1) \\ x^2 & (x > 1)\end{cases}\)，求：
当\(x = 0\)时，\(x \leq 1\)，代入\(y = 2x + 1\)得\(y = 1\)。
当\(x = 2\)时，\(x > 1\)，代入\(y = x^2\)得\(y = 4\)。
当\(x = 1\)时，\(x \leq 1\)，代入\(y = 2x + 1\)得\(y = 3\)。
函数分析：通过分段函数的表达式或图象，可分析函数在不同区间的增减性、最值等性质。
实例：上述分段函数在\(x \leq 1\)时，\(y = 2x + 1\)是增函数（k = 2 > 0）；在\(x > 1\)时，\(y = x^2\)也是增函数，且在 x=1 处函数值连续（3 与 1 =1 不连续，此处仅为举例说明分析方法）。
幻灯片 7：实际问题中的分段函数（一）—— 计费问题
例题 1：某城市居民用水收费标准如下：每户每月用水量不超过 10 吨时，每吨收费 2 元；超过 10 吨的部分，每吨收费 3 元。设每月用水量为 x 吨，水费为 y 元，
（1）写出 y 与 x 之间的分段函数表达式。
（2）计算当 x = 8 吨和 x = 15 吨时的水费。
解：（1）当\(0 \leq x \leq 10\)时，\(y = 2x\)；当\(x > 10\)时，\(y = 2 10 + 3(x - 10) = 3x - 10\)，所以分段函数为：\(
y=\begin{cases}
2x & (0 \leq x \leq 10) \\
3x - 10 & (x > 10)
\end{cases}
\)
（2）x = 8 吨时，\(y = 2 8 = 16\)元；x = 15 吨时，\(y = 3 15 - 10 = 35\)元。
例题 2：某通讯公司手机话费收费标准：每月基本月租费 20 元，包含 100 分钟通话时长，超过 100 分钟的部分，每分钟收费 0.2 元。设每月通话时长为 t 分钟，话费为 y 元，写出 y 与 t 之间的分段函数表达式。
解：当\(0 \leq t \leq 100\)时，\(y = 20\)；当\(t > 100\)时，\(y = 20 + 0.2(t - 100) = 0.2t\)，分段函数为：\(
y=\begin{cases}
20 & (0 \leq t \leq 100) \\
0.2t & (t > 100)
\end{cases}
\)
幻灯片 8：实际问题中的分段函数（二）—— 行程与工程问题
例题 3：一辆汽车从 A 地出发前往 B 地，前 1 小时以 60 千米 / 小时的速度行驶，之后以 80 千米 / 小时的速度行驶直至到达 B 地。设行驶时间为 t 小时，行驶路程为 s 千米，
（1）若 A、B 两地相距 220 千米，写出 s 与 t 之间的分段函数表达式（并注明 t 的取值范围）。
（2）求汽车行驶 2 小时的路程。
解：（1）前 1 小时行驶路程：\(60 1 = 60\)千米，剩余路程：\(220 - 60 = 160\)千米，剩余时间：\(160 ·80 = 2\)小时，总时间为\(1 + 2 = 3\)小时。当\(0 \leq t \leq 1\)时，\(s = 60t\)；当\(1 < t \leq 3\)时，\(s = 60 + 80(t - 1) = 80t - 20\)，分段函数为：\(
s=\begin{cases}
60t & (0 \leq t \leq 1) \\
80t - 20 & (1 < t \leq 3)
\end{cases}
\)
（2）t = 2 小时时，\(s = 80 2 - 20 = 140\)千米。
例题 4：某工程队修建一条公路，前 3 天每天修建 200 米，之后因增加设备，每天修建 300 米，设修建时间为 x 天，修建总长度为 y 米，写出 y 与 x 之间的分段函数表达式（x ≥ 0）。
解：当\(0 \leq x \leq 3\)时，\(y = 200x\)；当\(x > 3\)时，\(y = 200 3 + 300(x - 3) = 300x - 300\)，分段函数为：\(
y=\begin{cases}
200x & (0 \leq x \leq 3) \\
300x - 300 & (x > 3)
\end{cases}
\)
幻灯片 9：分段函数中的待定系数法
应用场景：当分段函数的各分段表达式形式已知（如均为一次函数），但系数未知时，可通过已知条件（如关键点的函数值）确定系数，即分段运用待定系数法。
步骤：
设出各分段函数的表达式（含待定系数）。
根据已知条件（如边界点的函数值、特殊点的坐标等）列出关于待定系数的方程（组）。
解方程（组）求出待定系数的值。
写出完整的分段函数表达式。
例题 5：已知分段函数\(y=\begin{cases}kx + b & (x \leq 2) \\ mx + n & (x > 2)\end{cases}\)是一次函数分段组成，且图象经过点（0，3）、（2，7）和（4，11），求该分段函数的表达式。
解：①当\(x \leq 2\)时，图象过（0，3）和（2，7），代入\(y = kx + b\)得：\(
\begin{cases}
3 = b \\
7 = 2k + b
\end{cases}
\)
解得\(k = 2\)，\(b = 3\)，即\(y = 2x + 3\)（\(x \leq 2\)）。
②当\(x > 2\)时，图象过（2，7）和（4，11），代入\(y = mx + n\)得：\(
\begin{cases}
7 = 2m + n \\
11 = 4m + n
\end{cases}
\)
解得\(m = 2\)，\(n = 3\)，即\(y = 2x + 3\)（\(x > 2\)）。
③该分段函数实际为连续的一次函数\(y = 2x + 3\)（此例说明分段函数可能在分段后表达式一致）。
例题 6：分段函数在\(x \leq 1\)时为正比例函数，过点（1，2）；在\(x > 1\)时为一次函数，过点（2，5）和（3，7），求该分段函数表达式。
解：①\(x \leq 1\)时，设\(y = kx\)，代入（1，2）得\(k = 2\)，即\(y = 2x\)（\(x \leq 1\)）。
②\(x > 1\)时，设\(y = mx + n\)，代入（2，5）和（3，7）得：\(
\begin{cases}
5 = 2m + n \\
7 = 3m + n
\end{cases}
\)
解得\(m = 2\)，\(n = 1\)，即\(y = 2x + 1\)（\(x > 1\)）。
③分段函数为\(y=\begin{cases}2x & (x \leq 1) \\ 2x + 1 & (x > 1)\end{cases}\)。
幻灯片 10：常见错误分析与规避
错误类型 1：书写分段函数表达式时，自变量取值范围重叠或遗漏，导致函数定义不明确。
规避方法：书写前仔细划分自变量的取值区间，确保各区间既不重叠也不遗漏，边界点归属清晰（通常用 “≤”“≥” 标注包含边界，用 “<”“>” 标注不包含）。
错误类型 2：绘制分段函数图象时，边界点标注错误（实心点与空心点混淆），或分段图象衔接不当。
规避方法：绘制前明确各区间是否包含边界点，包含则用实心点，不包含则用空心点；绘制后检查各分段图象在边界点处是否按定义衔接。
错误类型 3：求分段函数值时，未判断自变量所属区间，误用表达式计算。
规避方法：求值前先确定自变量 x 的值落在哪个区间，再选择对应的表达式代入计算，避免 “张冠李戴”。
错误类型 4：实际问题中忽略分段函数的定义域限制，表达式未注明自变量取值范围。
规避方法：在实际问题中，分段函数的自变量通常有实际意义限制（如时间、数量非负），需在表达式后明确标注各分段的取值范围，确保函数的合理性。
幻灯片 11：课堂总结与作业布置
课堂总结：
分段函数是在不同自变量取值范围内用不同表达式表示的函数，具有分段性和整体性。
表达式书写需用大括号整合各分段，注明对应取值范围，确保区间不重叠、不遗漏。
图象绘制需分段进行，正确标注边界点的虚实，
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.5分段函数
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解简单的分段函数，并能运用分段函数求函数值的问题.
2.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.
3.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，加深对分段函数概念、图象的认识，提高分析、解决问题的能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
回顾
我们上节课学习了待定系数法，你还记得利用待定系数法确
定函数表达式的一般步骤吗？
设：设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；
代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的二元一次方程组；
解：解二元一次方程组得k，b；
写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
1
2
3
4
今天我们就用它来解决一些实际问题.
典型例题
【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m ，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m 时，
超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水
x m ，应缴水费y元.
〔1〕给出y与x之间的函数表达式；
用水时以8m3为界，分成两段，收费标准不一样：
当x≤8时，每立方米收费(1+0.3)元；
当x＞8时，超过部分每立方米收费(1.5+1.2)元.
分析
典型例题
〔1〕给出y与x之间的函数表达式；
解：y与x之间的函数表达式为：
y =
( 1+ 0.3 ) x = 1.3x (0≤x≤8)
( 1.5+ 1.2 ) ( x 8 ) + 1.3 8 = 2.7x 11.2 (x＞8)
叫做分段函数.
注意：①它是一个函数
②要写明自变量取值范围
正比例函数
一次函数
【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m ，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m 时，
超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水
x m ，应缴水费y元.
典型例题
〔2〕画出上述函数图象；
函数表达式：
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
x 0 8
y=1.3x 0 10.4
列表：
x 8 16
y=2.7x 11.2 10.4 32
描点、连线
x/m3
y/元
如图，函数图象是一段折线.
函数表达式：
典型例题
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
然后代入该段的解析式求值.
解：当x = 5 m3 时，y = 1.3 5 = 6.5 (元)
当x = 10 m3 时，y = 2.7 10 11.2 = 15.8 (元)
即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，
该户应缴水费15.8元.
〔3〕当该市一户某月的用水量为x=5m3或x=10m3时，求其应缴的水费；
〔4〕该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量.
典型例题
函数表达式：
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
把对应y的值代入函数解析式
y=26.6
解：∵y = 26.6 ＞ 1.3 8 ，
可见该户这月用水超过8m3，
因此 2.7x 11.2 = 26.6 ，解方程得x =14.
即该户本月用水量为14m3.
5.兄妹俩放学后沿图①中的马路从学校出发,到书吧看书后回
家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书
吧前的速度为200米/分，图②中的图象分别表示两人离学校
的路程（米）与哥哥离开学校的时间 （分）的函数关系.
（1）求哥哥的速度.
【解】哥哥的速度为 （米/分） .
（2）已知妹妹比哥哥迟2分到书吧.
①图中 的值为___.
【点拨】因为妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
所以妹妹从出发到书吧所用时间为 （分）.
因为妹妹比哥哥迟2分到书吧，所以 .
②妹妹在书吧待了10分后回家,速度是哥哥的1.6倍,能否在哥
哥到家前追上哥哥 若能，求追上时兄妹俩离家还有多远;若
不能,请说明理由．
能，由（1）可知哥哥的速度为100米/分,
所以设所在直线的表达式为，将 的
坐标代入得，解得.所以 所在
直线的表达式为 .
当时， .
因为回家时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，所以妹妹的速度是
160米/分.所以设妹妹回家时与 对应的函数表达式为
，根据题意得的坐标为.将
的坐标代入,得 ，解得
,所以 .
令,解得 ,
所以妹妹能在哥哥到家前追上哥哥，
此时哥哥离学校的路程为
（米）.
兄妹俩离家还有 （米）.
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6. 在某市创建“经济品牌特色品牌”政策的
影响下．每到傍晚,市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤
店的海鲜串和肉串非常畅销,店主从食品加工厂批发以上两种
产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为 元/支,肉串的成本
为 元/支;两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与总成本如下
表所示（成本包括进价和其他费用）:
次数 数量/支 总成本/元
海鲜串 肉串 第一次 3 000 4 000 17 000
第二次 4 000 3 000 18 000
针对旅游团消费,店主决定每次消费海鲜串不超过200支时,每
支售价5元;超过200支时，不超过200支的部分按原价，超过
200支的部分打八折,每支肉串的售价为3.5元.
（1）求， 的值;
【解】 根据表格可得 解得
所以的值为3, 的值为2.
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海
鲜串和肉串共1 000支,且海鲜串不超过400支.在本次消费中，
设该旅游团消费海鲜串支,店主获得海鲜串的总利润为 元，
求与的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;
【解】 当 时,店主获得海鲜串的总利润
;
当 时,店主获得海鲜串的总利润
;
所以
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200
支,店主决定给该旅游团更多优惠：对每支肉串降价
元,但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不
低于海鲜串的总利润，求 的最大值.
【解】 设降价后获得肉串的总利润为元,令 .
根据题意得 ,
因为 ,
所以 .
所以 ,
因为，所以 ，
所以随的增大而减小，所以当时， 的值最小，
.由
题意可得，所以 ，
即，解得 ,
所以 的最大值是0.5.
返回
归纳
分段函数：
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同
注意：
〔1〕书写解析式时要用大括号将几个式子括起来；
〔2〕每个式子后面标明自变量的取值范围；
〔3〕临界点要根据实际情况写在其中一个自变量的范围内.
的形式，这样的函数称为分段函数.
分段函数
分段函数求值
〔1〕先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
〔2〕代入该段的解析式求值.
分段函数：
〔1〕定义：
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不 同的形式，这样的函数称为分段函数.
〔2〕图象：
画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数的图象.
〔3〕注意：
它是一个函数；要写明自变量取值范围.
由分段函数的图象确定解析式的方法
〔1〕定类型〔2〕设函数式〔3〕列方程(组)〔4〕下结论
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：12.2.5 分段函数
副标题：剖析分段特征，掌握分段应用
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入与学习目标
情境引入：生活中许多变量关系并非由单一函数表达式全程描述。比如，出租车计费时，3 千米内是起步价，超过 3 千米后按另一种标准计费；手机流量套餐费用，在套餐内和超出套餐部分的计费方式不同。这些在不同取值范围内用不同表达式表示的函数就是分段函数。
学习目标：
理解分段函数的定义和基本特征，能识别分段函数。
掌握分段函数的表达式书写方法，能根据条件写出分段函数的表达式。
学会绘制分段函数的图象，能从图象中读取信息。
能运用分段函数解决实际生活中的相关问题。
幻灯片 3：分段函数的定义与特征
定义：在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，函数有着不同的对应关系（即不同的表达式），这样的函数叫做分段函数。
基本特征：
分段性：函数表达式随自变量的取值范围变化而变化，不同区间对应不同表达式。
整体性：尽管表达式分段，但它们共同构成一个完整的函数，共享同一个函数名称。
定义域：各分段的自变量取值范围不重叠且合并后覆盖整个函数的定义域，边界点通常只属于一个区间（或通过特殊标注明确归属）。
实例展示：
出租车计费函数：设行驶路程为 x 千米，费用为 y 元，表达式为\(y=\begin{cases}8 & (0 < x \leq 3) \\ 8 + 2(x - 3) & (x > 3)\end{cases}\)。
绝对值函数：\(y=|x|=\begin{cases}x & (x \geq 0) \\ -x & (x < 0)\end{cases}\)，这是最典型的分段函数。
幻灯片 4：分段函数的表达式书写
书写格式：分段函数的表达式需用大括号 “\(\begin{cases}\end{cases}\)” 将各分段表达式括起来，每个表达式后注明对应的自变量取值范围，格式如下：\(
y=\begin{cases}
f_1(x) & (x \in D_1) \\
f_2(x) & (x \in D_2) \\
\vdots \\
f_n(x) & (x \in D_n)
\end{cases}
\)
其中\(D_1, D_2, \dots, D_n\)是自变量 x 的不同取值范围，且\(D_1 \cup D_2 \cup \dots \cup D_n\)为函数的定义域，\(D_i \cap D_j = \varnothing\)（\(i \neq j\)）。
书写要求：
各分段表达式需明确对应自变量的取值范围，范围表述要准确（使用不等式、区间等形式）。
取值范围不能遗漏或重复，确保自变量的每一个值都能对应唯一的函数表达式。
函数名称统一，各分段表达式共同组成一个函数。
实例书写：某公园门票收费标准为：1.2 米以下儿童免费，1.2 米至 1.5 米儿童半价（15 元），1.5 米以上成人全价（30 元）。设身高为 h 米，门票费用为 y 元，则分段函数表达式为：\(
y=\begin{cases}
0 & (h < 1.2) \\
15 & (1.2 \leq h \leq 1.5) \\
30 & (h > 1.5)
\end{cases}
\)
幻灯片 5：分段函数的图象绘制
绘制步骤：
确定分段区间：明确各分段表达式对应的自变量取值范围，划分区间。
分段绘制图象：在每个区间内，根据对应的函数表达式绘制图象（一次函数对应直线段，正比例函数对应过原点的直线段等）。
标注边界点：对于区间的边界点，若该点包含在区间内，用实心点标注；若不包含，用空心点标注，确保图象的准确性。
整合图象：将各分段图象组合起来，形成完整的分段函数图象。
实例绘制：绘制绝对值函数\(y=|x|\)的图象：
当\(x \geq 0\)时，\(y = x\)，在区间\([0, +\infty)\)内绘制过原点的射线（起点为实心点（0，0））。
当\(x < 0\)时，\(y = -x\)，在区间\((-\infty, 0)\)内绘制过原点的射线（起点为空心点（0，0），但因 x=0 时 y=0 在另一分段已包含，整体图象在原点处连续）。
整合后图象为过原点的 “V” 形折线。
注意事项：绘制时需注意各分段图象的衔接是否自然，边界点的虚实标注是否正确，避免出现重叠或断裂错误。
幻灯片 6：分段函数的求值与分析
函数求值步骤：
确定所求自变量 x 的值属于哪个分段区间。
选择该区间对应的函数表达式。
将 x 的值代入所选表达式，计算出对应的函数值 y。
实例求值：对于分段函数\(y=\begin{cases}2x + 1 & (x \leq 1) \\ x^2 & (x > 1)\end{cases}\)，求：
当\(x = 0\)时，\(x \leq 1\)，代入\(y = 2x + 1\)得\(y = 1\)。
当\(x = 2\)时，\(x > 1\)，代入\(y = x^2\)得\(y = 4\)。
当\(x = 1\)时，\(x \leq 1\)，代入\(y = 2x + 1\)得\(y = 3\)。
函数分析：通过分段函数的表达式或图象，可分析函数在不同区间的增减性、最值等性质。
实例：上述分段函数在\(x \leq 1\)时，\(y = 2x + 1\)是增函数（k = 2 > 0）；在\(x > 1\)时，\(y = x^2\)也是增函数，且在 x=1 处函数值连续（3 与 1 =1 不连续，此处仅为举例说明分析方法）。
幻灯片 7：实际问题中的分段函数（一）—— 计费问题
例题 1：某城市居民用水收费标准如下：每户每月用水量不超过 10 吨时，每吨收费 2 元；超过 10 吨的部分，每吨收费 3 元。设每月用水量为 x 吨，水费为 y 元，
（1）写出 y 与 x 之间的分段函数表达式。
（2）计算当 x = 8 吨和 x = 15 吨时的水费。
解：（1）当\(0 \leq x \leq 10\)时，\(y = 2x\)；当\(x > 10\)时，\(y = 2 10 + 3(x - 10) = 3x - 10\)，所以分段函数为：\(
y=\begin{cases}
2x & (0 \leq x \leq 10) \\
3x - 10 & (x > 10)
\end{cases}
\)
（2）x = 8 吨时，\(y = 2 8 = 16\)元；x = 15 吨时，\(y = 3 15 - 10 = 35\)元。
例题 2：某通讯公司手机话费收费标准：每月基本月租费 20 元，包含 100 分钟通话时长，超过 100 分钟的部分，每分钟收费 0.2 元。设每月通话时长为 t 分钟，话费为 y 元，写出 y 与 t 之间的分段函数表达式。
解：当\(0 \leq t \leq 100\)时，\(y = 20\)；当\(t > 100\)时，\(y = 20 + 0.2(t - 100) = 0.2t\)，分段函数为：\(
y=\begin{cases}
20 & (0 \leq t \leq 100) \\
0.2t & (t > 100)
\end{cases}
\)
幻灯片 8：实际问题中的分段函数（二）—— 行程与工程问题
例题 3：一辆汽车从 A 地出发前往 B 地，前 1 小时以 60 千米 / 小时的速度行驶，之后以 80 千米 / 小时的速度行驶直至到达 B 地。设行驶时间为 t 小时，行驶路程为 s 千米，
（1）若 A、B 两地相距 220 千米，写出 s 与 t 之间的分段函数表达式（并注明 t 的取值范围）。
（2）求汽车行驶 2 小时的路程。
解：（1）前 1 小时行驶路程：\(60 1 = 60\)千米，剩余路程：\(220 - 60 = 160\)千米，剩余时间：\(160 ·80 = 2\)小时，总时间为\(1 + 2 = 3\)小时。当\(0 \leq t \leq 1\)时，\(s = 60t\)；当\(1 < t \leq 3\)时，\(s = 60 + 80(t - 1) = 80t - 20\)，分段函数为：\(
s=\begin{cases}
60t & (0 \leq t \leq 1) \\
80t - 20 & (1 < t \leq 3)
\end{cases}
\)
（2）t = 2 小时时，\(s = 80 2 - 20 = 140\)千米。
例题 4：某工程队修建一条公路，前 3 天每天修建 200 米，之后因增加设备，每天修建 300 米，设修建时间为 x 天，修建总长度为 y 米，写出 y 与 x 之间的分段函数表达式（x ≥ 0）。
解：当\(0 \leq x \leq 3\)时，\(y = 200x\)；当\(x > 3\)时，\(y = 200 3 + 300(x - 3) = 300x - 300\)，分段函数为：\(
y=\begin{cases}
200x & (0 \leq x \leq 3) \\
300x - 300 & (x > 3)
\end{cases}
\)
幻灯片 9：分段函数中的待定系数法
应用场景：当分段函数的各分段表达式形式已知（如均为一次函数），但系数未知时，可通过已知条件（如关键点的函数值）确定系数，即分段运用待定系数法。
步骤：
设出各分段函数的表达式（含待定系数）。
根据已知条件（如边界点的函数值、特殊点的坐标等）列出关于待定系数的方程（组）。
解方程（组）求出待定系数的值。
写出完整的分段函数表达式。
例题 5：已知分段函数\(y=\begin{cases}kx + b & (x \leq 2) \\ mx + n & (x > 2)\end{cases}\)是一次函数分段组成，且图象经过点（0，3）、（2，7）和（4，11），求该分段函数的表达式。
解：①当\(x \leq 2\)时，图象过（0，3）和（2，7），代入\(y = kx + b\)得：\(
\begin{cases}
3 = b \\
7 = 2k + b
\end{cases}
\)
解得\(k = 2\)，\(b = 3\)，即\(y = 2x + 3\)（\(x \leq 2\)）。
②当\(x > 2\)时，图象过（2，7）和（4，11），代入\(y = mx + n\)得：\(
\begin{cases}
7 = 2m + n \\
11 = 4m + n
\end{cases}
\)
解得\(m = 2\)，\(n = 3\)，即\(y = 2x + 3\)（\(x > 2\)）。
③该分段函数实际为连续的一次函数\(y = 2x + 3\)（此例说明分段函数可能在分段后表达式一致）。
例题 6：分段函数在\(x \leq 1\)时为正比例函数，过点（1，2）；在\(x > 1\)时为一次函数，过点（2，5）和（3，7），求该分段函数表达式。
解：①\(x \leq 1\)时，设\(y = kx\)，代入（1，2）得\(k = 2\)，即\(y = 2x\)（\(x \leq 1\)）。
②\(x > 1\)时，设\(y = mx + n\)，代入（2，5）和（3，7）得：\(
\begin{cases}
5 = 2m + n \\
7 = 3m + n
\end{cases}
\)
解得\(m = 2\)，\(n = 1\)，即\(y = 2x + 1\)（\(x > 1\)）。
③分段函数为\(y=\begin{cases}2x & (x \leq 1) \\ 2x + 1 & (x > 1)\end{cases}\)。
幻灯片 10：常见错误分析与规避
错误类型 1：书写分段函数表达式时，自变量取值范围重叠或遗漏，导致函数定义不明确。
规避方法：书写前仔细划分自变量的取值区间，确保各区间既不重叠也不遗漏，边界点归属清晰（通常用 “≤”“≥” 标注包含边界，用 “<”“>” 标注不包含）。
错误类型 2：绘制分段函数图象时，边界点标注错误（实心点与空心点混淆），或分段图象衔接不当。
规避方法：绘制前明确各区间是否包含边界点，包含则用实心点，不包含则用空心点；绘制后检查各分段图象在边界点处是否按定义衔接。
错误类型 3：求分段函数值时，未判断自变量所属区间，误用表达式计算。
规避方法：求值前先确定自变量 x 的值落在哪个区间，再选择对应的表达式代入计算，避免 “张冠李戴”。
错误类型 4：实际问题中忽略分段函数的定义域限制，表达式未注明自变量取值范围。
规避方法：在实际问题中，分段函数的自变量通常有实际意义限制（如时间、数量非负），需在表达式后明确标注各分段的取值范围，确保函数的合理性。
幻灯片 11：课堂总结与作业布置
课堂总结：
分段函数是在不同自变量取值范围内用不同表达式表示的函数，具有分段性和整体性。
表达式书写需用大括号整合各分段，注明对应取值范围，确保区间不重叠、不遗漏。
图象绘制需分段进行，正确标注边界点的虚实，
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.5分段函数
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解简单的分段函数，并能运用分段函数求函数值的问题.
2.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.
3.经历在分析、思考的基础上，让学生通过观察、感悟分段函数的意义过程，加深对分段函数概念、图象的认识，提高分析、解决问题的能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
回顾
我们上节课学习了待定系数法，你还记得利用待定系数法确
定函数表达式的一般步骤吗？
设：设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ；
代：将图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成关于系数k，b的二元一次方程组；
解：解二元一次方程组得k，b；
写：把k，b代入所设解析式中，写出解析式.
1
2
3
4
今天我们就用它来解决一些实际问题.
典型例题
【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m ，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m 时，
超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水
x m ，应缴水费y元.
〔1〕给出y与x之间的函数表达式；
用水时以8m3为界，分成两段，收费标准不一样：
当x≤8时，每立方米收费(1+0.3)元；
当x＞8时，超过部分每立方米收费(1.5+1.2)元.
分析
典型例题
〔1〕给出y与x之间的函数表达式；
解：y与x之间的函数表达式为：
y =
( 1+ 0.3 ) x = 1.3x (0≤x≤8)
( 1.5+ 1.2 ) ( x 8 ) + 1.3 8 = 2.7x 11.2 (x＞8)
叫做分段函数.
注意：①它是一个函数
②要写明自变量取值范围
正比例函数
一次函数
【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m ，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m 时，
超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水
x m ，应缴水费y元.
典型例题
〔2〕画出上述函数图象；
函数表达式：
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
x 0 8
y=1.3x 0 10.4
列表：
x 8 16
y=2.7x 11.2 10.4 32
描点、连线
x/m3
y/元
如图，函数图象是一段折线.
函数表达式：
典型例题
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
然后代入该段的解析式求值.
解：当x = 5 m3 时，y = 1.3 5 = 6.5 (元)
当x = 10 m3 时，y = 2.7 10 11.2 = 15.8 (元)
即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，
该户应缴水费15.8元.
〔3〕当该市一户某月的用水量为x=5m3或x=10m3时，求其应缴的水费；
〔4〕该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量.
典型例题
函数表达式：
y =
1.3x (0≤x≤8)
2.7x 11.2 (x＞8)
把对应y的值代入函数解析式
y=26.6
解：∵y = 26.6 ＞ 1.3 8 ，
可见该户这月用水超过8m3，
因此 2.7x 11.2 = 26.6 ，解方程得x =14.
即该户本月用水量为14m3.
5.兄妹俩放学后沿图①中的马路从学校出发,到书吧看书后回
家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到书
吧前的速度为200米/分，图②中的图象分别表示两人离学校
的路程（米）与哥哥离开学校的时间 （分）的函数关系.
（1）求哥哥的速度.
【解】哥哥的速度为 （米/分） .
（2）已知妹妹比哥哥迟2分到书吧.
①图中 的值为___.
【点拨】因为妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分，
所以妹妹从出发到书吧所用时间为 （分）.
因为妹妹比哥哥迟2分到书吧，所以 .
②妹妹在书吧待了10分后回家,速度是哥哥的1.6倍,能否在哥
哥到家前追上哥哥 若能，求追上时兄妹俩离家还有多远;若
不能,请说明理由．
能，由（1）可知哥哥的速度为100米/分,
所以设所在直线的表达式为，将 的
坐标代入得，解得.所以 所在
直线的表达式为 .
当时， .
因为回家时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，所以妹妹的速度是
160米/分.所以设妹妹回家时与 对应的函数表达式为
，根据题意得的坐标为.将
的坐标代入,得 ，解得
,所以 .
令,解得 ,
所以妹妹能在哥哥到家前追上哥哥，
此时哥哥离学校的路程为
（米）.
兄妹俩离家还有 （米）.
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6. 在某市创建“经济品牌特色品牌”政策的
影响下．每到傍晚,市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤
店的海鲜串和肉串非常畅销,店主从食品加工厂批发以上两种
产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为 元/支,肉串的成本
为 元/支;两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与总成本如下
表所示（成本包括进价和其他费用）:
次数 数量/支 总成本/元
海鲜串 肉串 第一次 3 000 4 000 17 000
第二次 4 000 3 000 18 000
针对旅游团消费,店主决定每次消费海鲜串不超过200支时,每
支售价5元;超过200支时，不超过200支的部分按原价，超过
200支的部分打八折,每支肉串的售价为3.5元.
（1）求， 的值;
【解】 根据表格可得 解得
所以的值为3, 的值为2.
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海
鲜串和肉串共1 000支,且海鲜串不超过400支.在本次消费中，
设该旅游团消费海鲜串支,店主获得海鲜串的总利润为 元，
求与的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;
【解】 当 时,店主获得海鲜串的总利润
;
当 时,店主获得海鲜串的总利润
;
所以
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200
支,店主决定给该旅游团更多优惠：对每支肉串降价
元,但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不
低于海鲜串的总利润，求 的最大值.
【解】 设降价后获得肉串的总利润为元,令 .
根据题意得 ,
因为 ,
所以 .
所以 ,
因为，所以 ，
所以随的增大而减小，所以当时， 的值最小，
.由
题意可得，所以 ，
即，解得 ,
所以 的最大值是0.5.
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归纳
分段函数：
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同
注意：
〔1〕书写解析式时要用大括号将几个式子括起来；
〔2〕每个式子后面标明自变量的取值范围；
〔3〕临界点要根据实际情况写在其中一个自变量的范围内.
的形式，这样的函数称为分段函数.
分段函数
分段函数求值
〔1〕先确定要求值的自变量属于哪一段范围；
〔2〕代入该段的解析式求值.
分段函数：
〔1〕定义：
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不 同的形式，这样的函数称为分段函数.
〔2〕图象：
画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数的图象.
〔3〕注意：
它是一个函数；要写明自变量取值范围.
由分段函数的图象确定解析式的方法
〔1〕定类型〔2〕设函数式〔3〕列方程(组)〔4〕下结论
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！