12.2.6一次函数与方程、不等式 课件（共29张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 12.2.6一次函数与方程、不等式 课件（共29张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:17:21 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.2.6 一次函数与方程、不等式
副标题：数形结合，贯通函数与代数
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了一次函数的图象与性质、分段函数等知识。一次函数作为重要的数学模型，不仅能描述变量关系，还与一元一次方程、一元一次不等式有着密切的联系。本节课将探究它们之间的内在关联，实现 “数” 与 “形” 的结合。
情境引入：已知一次函数 y = 2x - 4，你能从图象中找到当 y = 0 时 x 的值吗？能看出当 y > 0 时 x 的取值范围吗？这些问题其实就是一次函数与方程、不等式的结合问题，解决它们能让我们更灵活地运用函数知识。
学习目标：
理解一次函数与一元一次方程的关系，能通过函数图象求解方程的解。
掌握一次函数与一元一次不等式的关系，会利用函数图象确定不等式的解集。
学会运用数形结合思想解决一次函数与方程、不等式的综合问题。
幻灯片 3：一次函数与一元一次方程的关系
核心关联：任何一个一元一次方程都可以转化为 ax + b = 0（a ≠ 0）的形式，而一次函数 y = ax + b（a ≠ 0）的图象与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax + b = 0 的解。
推理过程：
对于一次函数 y = ax + b，当 y = 0 时，函数表达式变为 ax + b = 0，这正是一元一次方程的标准形式。
从图象上看，y = 0 意味着函数图象上的点在 x 轴上，该点的横坐标 x 的值就是方程 ax + b = 0 的解。
实例说明：
一次函数 y = 2x - 6 的图象与 x 轴交于点（3，0），则方程 2x - 6 = 0 的解为 x = 3。
方程 3x + 9 = 0 可转化为一次函数 y = 3x + 9，其图象与 x 轴交于（-3，0），所以方程的解为 x = -3。
图示：在坐标系中绘制 y = ax + b 的图象，标注与 x 轴交点（x ，0），明确 x 是方程 ax + b = 0 的解。
幻灯片 4：利用一次函数图象解一元一次方程
步骤：
将一元一次方程化为 ax + b = 0（a ≠ 0）的形式。
构造对应的一次函数 y = ax + b。
绘制该一次函数的图象，找到图象与 x 轴的交点坐标（x ，0）。
交点的横坐标 x 即为方程 ax + b = 0 的解。
例题 1：利用函数图象解方程 3x - 6 = 0。
解：①构造一次函数 y = 3x - 6。
②绘制图象：该函数图象是过（0，-6）和（2，0）的直线。
③图象与 x 轴交于（2，0），所以方程 3x - 6 = 0 的解为 x = 2。
例题 2：利用函数图象解方程 - 2x + 4 = 0。
解：①构造函数 y = -2x + 4，图象过（0，4）和（2，0）。
②图象与 x 轴交点横坐标为 2，方程的解为 x = 2。
优势：通过图象直观呈现方程的解，体现数形结合的思想，尤其适合理解方程解的几何意义。
幻灯片 5：一次函数与一元一次不等式的关系（一）
核心关联：一元一次不等式 ax + b > 0（或 ax + b < 0）的解集，对应一次函数 y = ax + b 的图象在 x 轴上方（或下方）时，自变量 x 的取值范围。
推理过程：
对于一次函数 y = ax + b，y > 0 表示函数图象上的点在 x 轴上方，此时对应的 x 取值构成不等式 ax + b > 0 的解集。
y < 0 表示函数图象上的点在 x 轴下方，此时对应的 x 取值构成不等式 ax + b < 0 的解集。
实例说明：
一次函数 y = 2x - 4，当 y > 0 时，图象在 x 轴上方，对应的 x > 2，即不等式 2x - 4 > 0 的解集为 x > 2。
当 y < 0 时，图象在 x 轴下方，对应的 x < 2，即不等式 2x - 4 < 0 的解集为 x < 2。
图示：在坐标系中绘制 y = ax + b 的图象，标注 x 轴上方和下方的区域，对应标注 x 的取值范围。
幻灯片 6：一次函数与一元一次不等式的关系（二）
拓展关联：对于不等式 ax + b > cx + d（或 ax + b < cx + d），可构造一次函数 y = ax + b 和 y = cx + d，不等式的解集对应 y 的图象在 y 图象上方（或下方）时 x 的取值范围。
推理过程：
不等式 ax + b > cx + d 等价于 y > y ，即函数 y 的图象在 y 图象上方时 x 的取值范围。
同理，ax + b < cx + d 等价于 y < y ，对应 y 图象在 y 图象下方时 x 的取值范围。
实例说明：
不等式 2x + 1 > x - 2 可构造 y = 2x + 1 和 y = x - 2，两函数图象交点为（-3，-5），当 x > -3 时，y 的图象在 y 上方，所以解集为 x > -3。
图示：在同一坐标系中绘制 y 和 y 的图象，标注交点坐标，明确 y 在 y 上方（或下方）时 x 的取值范围。
幻灯片 7：利用一次函数图象解一元一次不等式
类型一：ax + b > 0（或 ax + b < 0）
步骤：
构造一次函数 y = ax + b。
绘制图象，找到与 x 轴的交点（x ，0）。
若 a > 0：y > 0 时 x > x ；y < 0 时 x < x 。
若 a <0：y> 0 时 x < x ；y < 0 时 x > x 。
例题 3：利用图象解不等式 2x - 3 > 0。
解：①构造 y = 2x - 3，图象与 x 轴交于（1.5，0），a = 2 > 0。
②y > 0 时图象在 x 轴上方，对应 x > 1.5，所以解集为 x > 1.5。
类型二：ax + b > cx + d（或 ax + b < cx + d）
步骤：
构造 y = ax + b 和 y = cx + d。
绘制图象，找到两图象的交点（x ，y ）。
观察 y 在 y 上方（或下方）时 x 的取值范围，即为不等式的解集。
例题 4：利用图象解不等式 - x + 2 > x - 4。
解：①构造 y = -x + 2 和 y = x - 4，交点为（3，-1）。
②当 x < 3 时，y 的图象在 y 上方，所以解集为 x < 3。
幻灯片 8：实际问题中的综合应用
例题 5：某商店销售 A 商品，成本为每件 20 元，售价 y（元）与销售量 x（件）的关系是一次函数，当 x = 10 时，y = 30；x = 20 时，y = 40。
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式。
（2）若每件商品的利润不低于 15 元，求销售量 x 的取值范围。
解：（1）设 y = kx + b，代入得\(\begin{cases}30 = 10k + b \\ 40 = 20k + b\end{cases}\)，解得 k = 1，b = 20，表达式为 y = x + 20。
（2）利润为 y - 20 = x + 20 - 20 = x，由 x ≥ 15，得销售量 x ≥ 15 件。
例题 6：甲、乙两家快递公司的收费标准如下：甲公司：首重 1 千克内 8 元，超过 1 千克的部分每千克 2 元；乙公司：首重 1 千克内 10 元，超过 1 千克的部分每千克 1.5 元。设快递重量为 x 千克（x ≥ 1），费用分别为 y 、y 元。
（1）写出 y 、y 与 x 之间的函数表达式。
（2）当 x 为何值时，选择甲公司更划算？
解：（1）y = 8 + 2 (x - 1) = 2x + 6；y = 10 + 1.5 (x - 1) = 1.5x + 8.5。
（2）令 y < y ，即 2x + 6 < 1.5x + 8.5，解得 x < 5。当 1 ≤ x < 5 时，甲公司更划算。
幻灯片 9：一次函数、方程与不等式的综合应用
例题 7：已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点（1，3）和（-1，1）。
（1）求该一次函数的表达式。
（2）求方程 kx + b = 0 的解。
（3）求不等式 kx + b > 2 的解集。
解：（1）代入两点得\(\begin{cases}3 = k + b \\ 1 = -k + b\end{cases}\)，解得 k = 1，b = 2，表达式为 y = x + 2。
（2）方程 x + 2 = 0 的解为 x = -2。
（3）不等式 x + 2 > 2 的解集为 x > 0。
例题 8：如图，一次函数 y = x + 1 与 y = mx + n 的图象交于点 P（1，2）。
（1）求方程 x + 1 = mx + n 的解。
（2）求不等式 x + 1 > mx + n 的解集。
解：（1）两函数交点横坐标为 1，所以方程的解为 x = 1。
（2）当 x > 1 时，y 的图象在 y 上方，所以解集为 x > 1。
幻灯片 10：常见错误分析与规避
错误类型 1：混淆一次函数与方程的对应关系，误认为函数图象与 y 轴的交点是方程的解。
规避方法：明确方程 ax + b = 0 的解是函数 y = ax + b 与 x 轴交点的横坐标，与 y 轴交点对应的是 x = 0 时的函数值，二者不可混淆。
错误类型 2：解不等式时，未结合 k 的正负判断函数的增减性，导致解集方向错误。
规避方法：解 ax + b > 0（或 <0）时，先确定 k = a 的正负，k> 0 时解集与交点横坐标的大小关系和不等式方向一致；k < 0 时则相反。
错误类型 3：处理两个一次函数比较的不等式时，未找到交点坐标或判断图象上下位置错误。
规避方法：先求出两函数的交点坐标，以此为分界点，在交点两侧分别观察哪个函数图象在上方，再确定 x 的取值范围。
错误类型 4：实际问题中忽略自变量的取值范围限制，导致解集不符合实际意义。
规避方法：在实际问题中，解出不等式的解集后，需结合自变量的实际意义（如非负、整数等）进行调整，确保结果合理。
幻灯片 11：课堂总结与作业布置
课堂总结：
一次函数 y = ax + b 与方程 ax + b = 0 的关系：方程的解是函数图象与 x 轴交点的横坐标。
一次函数与不等式的关系：ax + b > 0（或 < 0）的解集对应函数图象在 x 轴上方（或下方）时 x 的范围；两函数比较的不等式解集对应图象上下位置的 x 范围。
核心思想：数形结合，通过函数图象直观解决方程和不等式问题。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，利用函数图象解方程和不等式。
提升作业：已知一次函数表达式，求解相关方程、不等式，并结合图象说明理由。
拓展作业：某工厂生产某产品，成本函数为 y = 2x + 500，销售收入函数为 y = 5x，求盈利时的产量 x 范围（盈利即收入 > 成本），并用图象验证。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.6一次函数与方程、不等式
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.
2.能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，进一步发展数形结合的意识.
3.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系.
4.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，让学生体会数学的融会贯通，发现数学的美.
我们就从函数的角度看一下一元一次方程与一元一次不等式.
谁对呢？
视角不同，即使同一个东西看在眼里也是不同的.这次
情境引入
解：
探究1
一次函数与一元一次方程
问题1：(1)解方程2x+6=0；
(2)已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0？
(1) 2x+6=0
2x= 6
x= 3
(2) 当y=0时 ，即
2x+6=0
2x= 6
x= 3
思考①：这两个问题有什么关系？
从“函数值”的角度看：
求一元一次方程2x+6=0
的解，可转化为求一次
函数y=2x+6中y=0时x
的值.
x
y
y= 2x+6
探究
( 3，0)
思考②：方程2x+6=0的解(x= 3)与一次函数y=2x+6的图象又有什么关系？
从“函数图象”的角度看：
求一元一次方程2x+6=0
的解，就是求直线
y=2x+6与x轴交点的横坐
标.
我们知道任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0的形式，所以：
求一次函数y=kx+b
(k≠0)中y=0时，
x的值.
从“函数值”看
求kx+b=0的解
求直线y=kx+b与x轴
交点的横坐标.
从“函数图象”看
求kx+b=0的解
归纳
如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
思考
x
y
y= ax+b
A
B
函数y=ax+b 4
不一致！这可怎么办？
思考
x
y
y= ax+b
A
B
y
如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
从“函数图象”的角度
看：
解一元一次方程ax+b=4
在直线y=ax+b上，取
纵坐标为4的点，看它的
横坐标是多少.
思考
x
y
y= ax+b
A
B
y
如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
从“函数值”的角度看：
解一元一次方程ax+b=4
求一次函数y=ax+b中
y=4时，x的值.
x=3
归纳
你能把得到的结论推广到一般情况吗？
y=ax+b
求一次函数y=4x+5的函数值
为9时，自变量的值.
的解就是当函数 的函数值为 时的自变
一般地，一元一次方程ax+b=c(a、b、c为常数，a≠0)
量 的值.
如：
求4x+5=9的解
c
x
问题2：根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
探究2
一次函数与一元一次不等式
x
y
y= 2x+6
( 3，0)
不等式2x+6>0就是函数y=2x+6中函数值y>0.
直线y=2x+6在x轴上方的部分所有点的纵坐标都满足y>0，
即2x+6 ， 此时x .
故此时一元一次不等式 2x+6>0
的解集为 .
>0
> 3
x> 3
探究2
一次函数与一元一次不等式
x
y
y= 2x+6
( 3，0)
x> 3
同样地，不等式2x+6<0就
是函数y=2x+6中函数值
y<0，即直线y=2x+6在x轴
下方的部分.
故 2x+6<0的解集为 .
x 3
问题2：根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
探究
x
y
y= 2x+6
( 3，0)
在同一直角坐标系中作出直
线y=2，它与直线y=2x+6相交
于点 .
直线y=2x+6在直线y=2下方部
分的所有点的纵坐标都满足 ，即2x+6 .
横坐标都满足 .故不等
式2x+6 2的解集为 .
y= 2
( 2，2)
y 2
( 2，2)
2
x 2
x 2
你能利用图象说出一元一次不等式2x+6 2时的解集吗？
你能总结出利用图象求一元一次不等式kx+b c或kx+b c的解集方法吗？
〔1〕在同一直角坐标系中作出直线y= kx+b 和
直线y=c；
〔2〕直线y= kx+b在直线y=c下方的部分所对应的
x的取值范围就是一元一次不等式kx+b c 的解集；
直线y= kx+b在直线y=c上方的部分所对应的x的取
值范围就是一元一次不等式kx+b c 的解集.
归纳
我们知道任何一元一次不等式都可以转化为kx+b 0(或kx+b<0)的形式，所以：
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b在x轴
上方(或下方)的图象所
对应的x取值范围
从“函数图象”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
归纳
典型例题
【例】画出函数y= 3x+6的图象，结合图象：
〔1〕求方程 3x+6=0的解；
〔2〕求不等式 3x+6 0 和 3x+6 0的解集.
函数y= 3x+6与x轴交点的横坐标
解：
〔1〕如图所示，函数y= 3x+6图象
与x轴交点B的坐标是(2，0)，∴方
程 3x+6=0的解就是交点B的横坐
标x=2.
x
y
y= 3x+6
A(0，6)
B(2，0)
典型例题
【例1】画出函数y= 3x+6的图象，结合图象：
〔1〕求方程 3x+6=0的解；
〔2〕求不等式 3x+6 0 和 3x+6 0的解集.
x
y
y= 3x+6
x轴上方图象
x轴下方图象
〔2〕结合图象可知，y>0时x的取
值范围是x<2；y<0时x的取值范围
是x>2.
∴不等式 3x+6 0 的解集是x<2，
不等式 3x+6<0 的解集是x>2.
A(0，6)
B(2，0)
典型例题
【例2】画出函数y= 2x+3的图象，结合图象：求不等式组
3≤ 2x+3≤7的解集.
x
y
y= 2x+3
直线y= 2x+3在直线y= 3与y=7之间的部分所对应的x的取值范围
( 2，7)
(3， 3)
解：∵y= 2x+3，
∴当y= 3时，x=3；当y= 7时，
x= 2.
结合函数的图象，可得不等式组
3≤ 2x+3≤7的解集是 2≤x≤2.
随堂练习
1 . 画出一次函数y= 2x 6的图象，结合图象求：
x
y
y= 2x 6
〔1〕x 时，y=0；
〔2〕x 时，y>0；
〔3〕x 时，y<0；
〔4〕x 时，y>6.
= 3
< 3
> 3
< 6
随堂练习
2 . 直线y=ax+b(a≠0)过点A(0，2)，B(1，0)，则关于x的方程ax+b=0的解为( ).
A. x=0 B. x=2 C. x=1 D. x=3
所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定
出解即可．
【分析】
∵直线y=ax+b过B(1，0)，
∴方程ax+b=0的解是x=1，
故选：C．
C
随堂练习
3 .如图，一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)与正比例函数y=ax(a为常数，且a≠0)的图象相交于点P，则不等式kx+b ax的解集是 .
O
2
1
x
y
P
y=kx+b
y=ax
【解析】
解决此类问题一般不求函数的解析式，
而是根据不等式找到对应部分的图象，
进而确定自变量的取值范围.
不等式kx+b ax的解集
求一次函数
y=kx+b的图象在y=ax的上方时，所对
应的x的取值范围.
x 2
知识点1 一次函数与一元一次方程
（第1题）
1. ［2025西安新城区联考］如图，直线
过点和点 ，则方程
的解是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 已知方程的解是 ，下列各项中为函数
的图象的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［2024扬州］如图，已知一次函数
的图象分别与， 轴
交于，两点，若， ，
则关于的方程 的解为_____
____.
返回
知识点2 一次函数与一元一次不等式
4. ［2024广东］已知不等式的解集是 ，则一
次函数 的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
返回
5. 根据图象（如图），可得关于 的不等式
的解集是( )
D
A. B. C. D.
返回
一次函数与方程
、不等式
一次函数与一元一次方程的关系
一元一次方程ax+b=0的解
从“函数值”看
一次函数y=ax+b的函数值为0时x的值.
从“函数图象”看
直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标.
一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次方程ax+b 0(或 0)的解
从“函数值”看
从“函数图象”看
一次函数y=ax+b的函数值大(小)于 0时，
x的取值范围.
直线y=ax+b(a≠0)在x轴上(下)方的部分所
对应的x的取值范围.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：12.2.6 一次函数与方程、不等式
副标题：数形结合，贯通函数与代数
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了一次函数的图象与性质、分段函数等知识。一次函数作为重要的数学模型，不仅能描述变量关系，还与一元一次方程、一元一次不等式有着密切的联系。本节课将探究它们之间的内在关联，实现 “数” 与 “形” 的结合。
情境引入：已知一次函数 y = 2x - 4，你能从图象中找到当 y = 0 时 x 的值吗？能看出当 y > 0 时 x 的取值范围吗？这些问题其实就是一次函数与方程、不等式的结合问题，解决它们能让我们更灵活地运用函数知识。
学习目标：
理解一次函数与一元一次方程的关系，能通过函数图象求解方程的解。
掌握一次函数与一元一次不等式的关系，会利用函数图象确定不等式的解集。
学会运用数形结合思想解决一次函数与方程、不等式的综合问题。
幻灯片 3：一次函数与一元一次方程的关系
核心关联：任何一个一元一次方程都可以转化为 ax + b = 0（a ≠ 0）的形式，而一次函数 y = ax + b（a ≠ 0）的图象与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax + b = 0 的解。
推理过程：
对于一次函数 y = ax + b，当 y = 0 时，函数表达式变为 ax + b = 0，这正是一元一次方程的标准形式。
从图象上看，y = 0 意味着函数图象上的点在 x 轴上，该点的横坐标 x 的值就是方程 ax + b = 0 的解。
实例说明：
一次函数 y = 2x - 6 的图象与 x 轴交于点（3，0），则方程 2x - 6 = 0 的解为 x = 3。
方程 3x + 9 = 0 可转化为一次函数 y = 3x + 9，其图象与 x 轴交于（-3，0），所以方程的解为 x = -3。
图示：在坐标系中绘制 y = ax + b 的图象，标注与 x 轴交点（x ，0），明确 x 是方程 ax + b = 0 的解。
幻灯片 4：利用一次函数图象解一元一次方程
步骤：
将一元一次方程化为 ax + b = 0（a ≠ 0）的形式。
构造对应的一次函数 y = ax + b。
绘制该一次函数的图象，找到图象与 x 轴的交点坐标（x ，0）。
交点的横坐标 x 即为方程 ax + b = 0 的解。
例题 1：利用函数图象解方程 3x - 6 = 0。
解：①构造一次函数 y = 3x - 6。
②绘制图象：该函数图象是过（0，-6）和（2，0）的直线。
③图象与 x 轴交于（2，0），所以方程 3x - 6 = 0 的解为 x = 2。
例题 2：利用函数图象解方程 - 2x + 4 = 0。
解：①构造函数 y = -2x + 4，图象过（0，4）和（2，0）。
②图象与 x 轴交点横坐标为 2，方程的解为 x = 2。
优势：通过图象直观呈现方程的解，体现数形结合的思想，尤其适合理解方程解的几何意义。
幻灯片 5：一次函数与一元一次不等式的关系（一）
核心关联：一元一次不等式 ax + b > 0（或 ax + b < 0）的解集，对应一次函数 y = ax + b 的图象在 x 轴上方（或下方）时，自变量 x 的取值范围。
推理过程：
对于一次函数 y = ax + b，y > 0 表示函数图象上的点在 x 轴上方，此时对应的 x 取值构成不等式 ax + b > 0 的解集。
y < 0 表示函数图象上的点在 x 轴下方，此时对应的 x 取值构成不等式 ax + b < 0 的解集。
实例说明：
一次函数 y = 2x - 4，当 y > 0 时，图象在 x 轴上方，对应的 x > 2，即不等式 2x - 4 > 0 的解集为 x > 2。
当 y < 0 时，图象在 x 轴下方，对应的 x < 2，即不等式 2x - 4 < 0 的解集为 x < 2。
图示：在坐标系中绘制 y = ax + b 的图象，标注 x 轴上方和下方的区域，对应标注 x 的取值范围。
幻灯片 6：一次函数与一元一次不等式的关系（二）
拓展关联：对于不等式 ax + b > cx + d（或 ax + b < cx + d），可构造一次函数 y = ax + b 和 y = cx + d，不等式的解集对应 y 的图象在 y 图象上方（或下方）时 x 的取值范围。
推理过程：
不等式 ax + b > cx + d 等价于 y > y ，即函数 y 的图象在 y 图象上方时 x 的取值范围。
同理，ax + b < cx + d 等价于 y < y ，对应 y 图象在 y 图象下方时 x 的取值范围。
实例说明：
不等式 2x + 1 > x - 2 可构造 y = 2x + 1 和 y = x - 2，两函数图象交点为（-3，-5），当 x > -3 时，y 的图象在 y 上方，所以解集为 x > -3。
图示：在同一坐标系中绘制 y 和 y 的图象，标注交点坐标，明确 y 在 y 上方（或下方）时 x 的取值范围。
幻灯片 7：利用一次函数图象解一元一次不等式
类型一：ax + b > 0（或 ax + b < 0）
步骤：
构造一次函数 y = ax + b。
绘制图象，找到与 x 轴的交点（x ，0）。
若 a > 0：y > 0 时 x > x ；y < 0 时 x < x 。
若 a <0：y> 0 时 x < x ；y < 0 时 x > x 。
例题 3：利用图象解不等式 2x - 3 > 0。
解：①构造 y = 2x - 3，图象与 x 轴交于（1.5，0），a = 2 > 0。
②y > 0 时图象在 x 轴上方，对应 x > 1.5，所以解集为 x > 1.5。
类型二：ax + b > cx + d（或 ax + b < cx + d）
步骤：
构造 y = ax + b 和 y = cx + d。
绘制图象，找到两图象的交点（x ，y ）。
观察 y 在 y 上方（或下方）时 x 的取值范围，即为不等式的解集。
例题 4：利用图象解不等式 - x + 2 > x - 4。
解：①构造 y = -x + 2 和 y = x - 4，交点为（3，-1）。
②当 x < 3 时，y 的图象在 y 上方，所以解集为 x < 3。
幻灯片 8：实际问题中的综合应用
例题 5：某商店销售 A 商品，成本为每件 20 元，售价 y（元）与销售量 x（件）的关系是一次函数，当 x = 10 时，y = 30；x = 20 时，y = 40。
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式。
（2）若每件商品的利润不低于 15 元，求销售量 x 的取值范围。
解：（1）设 y = kx + b，代入得\(\begin{cases}30 = 10k + b \\ 40 = 20k + b\end{cases}\)，解得 k = 1，b = 20，表达式为 y = x + 20。
（2）利润为 y - 20 = x + 20 - 20 = x，由 x ≥ 15，得销售量 x ≥ 15 件。
例题 6：甲、乙两家快递公司的收费标准如下：甲公司：首重 1 千克内 8 元，超过 1 千克的部分每千克 2 元；乙公司：首重 1 千克内 10 元，超过 1 千克的部分每千克 1.5 元。设快递重量为 x 千克（x ≥ 1），费用分别为 y 、y 元。
（1）写出 y 、y 与 x 之间的函数表达式。
（2）当 x 为何值时，选择甲公司更划算？
解：（1）y = 8 + 2 (x - 1) = 2x + 6；y = 10 + 1.5 (x - 1) = 1.5x + 8.5。
（2）令 y < y ，即 2x + 6 < 1.5x + 8.5，解得 x < 5。当 1 ≤ x < 5 时，甲公司更划算。
幻灯片 9：一次函数、方程与不等式的综合应用
例题 7：已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点（1，3）和（-1，1）。
（1）求该一次函数的表达式。
（2）求方程 kx + b = 0 的解。
（3）求不等式 kx + b > 2 的解集。
解：（1）代入两点得\(\begin{cases}3 = k + b \\ 1 = -k + b\end{cases}\)，解得 k = 1，b = 2，表达式为 y = x + 2。
（2）方程 x + 2 = 0 的解为 x = -2。
（3）不等式 x + 2 > 2 的解集为 x > 0。
例题 8：如图，一次函数 y = x + 1 与 y = mx + n 的图象交于点 P（1，2）。
（1）求方程 x + 1 = mx + n 的解。
（2）求不等式 x + 1 > mx + n 的解集。
解：（1）两函数交点横坐标为 1，所以方程的解为 x = 1。
（2）当 x > 1 时，y 的图象在 y 上方，所以解集为 x > 1。
幻灯片 10：常见错误分析与规避
错误类型 1：混淆一次函数与方程的对应关系，误认为函数图象与 y 轴的交点是方程的解。
规避方法：明确方程 ax + b = 0 的解是函数 y = ax + b 与 x 轴交点的横坐标，与 y 轴交点对应的是 x = 0 时的函数值，二者不可混淆。
错误类型 2：解不等式时，未结合 k 的正负判断函数的增减性，导致解集方向错误。
规避方法：解 ax + b > 0（或 <0）时，先确定 k = a 的正负，k> 0 时解集与交点横坐标的大小关系和不等式方向一致；k < 0 时则相反。
错误类型 3：处理两个一次函数比较的不等式时，未找到交点坐标或判断图象上下位置错误。
规避方法：先求出两函数的交点坐标，以此为分界点，在交点两侧分别观察哪个函数图象在上方，再确定 x 的取值范围。
错误类型 4：实际问题中忽略自变量的取值范围限制，导致解集不符合实际意义。
规避方法：在实际问题中，解出不等式的解集后，需结合自变量的实际意义（如非负、整数等）进行调整，确保结果合理。
幻灯片 11：课堂总结与作业布置
课堂总结：
一次函数 y = ax + b 与方程 ax + b = 0 的关系：方程的解是函数图象与 x 轴交点的横坐标。
一次函数与不等式的关系：ax + b > 0（或 < 0）的解集对应函数图象在 x 轴上方（或下方）时 x 的范围；两函数比较的不等式解集对应图象上下位置的 x 范围。
核心思想：数形结合，通过函数图象直观解决方程和不等式问题。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，利用函数图象解方程和不等式。
提升作业：已知一次函数表达式，求解相关方程、不等式，并结合图象说明理由。
拓展作业：某工厂生产某产品，成本函数为 y = 2x + 500，销售收入函数为 y = 5x，求盈利时的产量 x 范围（盈利即收入 > 成本），并用图象验证。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.6一次函数与方程、不等式
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.
2.能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，进一步发展数形结合的意识.
3.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系.
4.通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，让学生体会数学的融会贯通，发现数学的美.
我们就从函数的角度看一下一元一次方程与一元一次不等式.
谁对呢？
视角不同，即使同一个东西看在眼里也是不同的.这次
情境引入
解：
探究1
一次函数与一元一次方程
问题1：(1)解方程2x+6=0；
(2)已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0？
(1) 2x+6=0
2x= 6
x= 3
(2) 当y=0时 ，即
2x+6=0
2x= 6
x= 3
思考①：这两个问题有什么关系？
从“函数值”的角度看：
求一元一次方程2x+6=0
的解，可转化为求一次
函数y=2x+6中y=0时x
的值.
x
y
y= 2x+6
探究
( 3，0)
思考②：方程2x+6=0的解(x= 3)与一次函数y=2x+6的图象又有什么关系？
从“函数图象”的角度看：
求一元一次方程2x+6=0
的解，就是求直线
y=2x+6与x轴交点的横坐
标.
我们知道任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0的形式，所以：
求一次函数y=kx+b
(k≠0)中y=0时，
x的值.
从“函数值”看
求kx+b=0的解
求直线y=kx+b与x轴
交点的横坐标.
从“函数图象”看
求kx+b=0的解
归纳
如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
思考
x
y
y= ax+b
A
B
函数y=ax+b 4
不一致！这可怎么办？
思考
x
y
y= ax+b
A
B
y
如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
从“函数图象”的角度
看：
解一元一次方程ax+b=4
在直线y=ax+b上，取
纵坐标为4的点，看它的
横坐标是多少.
思考
x
y
y= ax+b
A
B
y
如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的一元一次方程ax+b=4的解是 .
从“函数值”的角度看：
解一元一次方程ax+b=4
求一次函数y=ax+b中
y=4时，x的值.
x=3
归纳
你能把得到的结论推广到一般情况吗？
y=ax+b
求一次函数y=4x+5的函数值
为9时，自变量的值.
的解就是当函数 的函数值为 时的自变
一般地，一元一次方程ax+b=c(a、b、c为常数，a≠0)
量 的值.
如：
求4x+5=9的解
c
x
问题2：根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
探究2
一次函数与一元一次不等式
x
y
y= 2x+6
( 3，0)
不等式2x+6>0就是函数y=2x+6中函数值y>0.
直线y=2x+6在x轴上方的部分所有点的纵坐标都满足y>0，
即2x+6 ， 此时x .
故此时一元一次不等式 2x+6>0
的解集为 .
>0
> 3
x> 3
探究2
一次函数与一元一次不等式
x
y
y= 2x+6
( 3，0)
x> 3
同样地，不等式2x+6<0就
是函数y=2x+6中函数值
y<0，即直线y=2x+6在x轴
下方的部分.
故 2x+6<0的解集为 .
x 3
问题2：根据一次函数y=2x+6的图象，你能分别说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
探究
x
y
y= 2x+6
( 3，0)
在同一直角坐标系中作出直
线y=2，它与直线y=2x+6相交
于点 .
直线y=2x+6在直线y=2下方部
分的所有点的纵坐标都满足 ，即2x+6 .
横坐标都满足 .故不等
式2x+6 2的解集为 .
y= 2
( 2，2)
y 2
( 2，2)
2
x 2
x 2
你能利用图象说出一元一次不等式2x+6 2时的解集吗？
你能总结出利用图象求一元一次不等式kx+b c或kx+b c的解集方法吗？
〔1〕在同一直角坐标系中作出直线y= kx+b 和
直线y=c；
〔2〕直线y= kx+b在直线y=c下方的部分所对应的
x的取值范围就是一元一次不等式kx+b c 的解集；
直线y= kx+b在直线y=c上方的部分所对应的x的取
值范围就是一元一次不等式kx+b c 的解集.
归纳
我们知道任何一元一次不等式都可以转化为kx+b 0(或kx+b<0)的形式，所以：
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b在x轴
上方(或下方)的图象所
对应的x取值范围
从“函数图象”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
归纳
典型例题
【例】画出函数y= 3x+6的图象，结合图象：
〔1〕求方程 3x+6=0的解；
〔2〕求不等式 3x+6 0 和 3x+6 0的解集.
函数y= 3x+6与x轴交点的横坐标
解：
〔1〕如图所示，函数y= 3x+6图象
与x轴交点B的坐标是(2，0)，∴方
程 3x+6=0的解就是交点B的横坐
标x=2.
x
y
y= 3x+6
A(0，6)
B(2，0)
典型例题
【例1】画出函数y= 3x+6的图象，结合图象：
〔1〕求方程 3x+6=0的解；
〔2〕求不等式 3x+6 0 和 3x+6 0的解集.
x
y
y= 3x+6
x轴上方图象
x轴下方图象
〔2〕结合图象可知，y>0时x的取
值范围是x<2；y<0时x的取值范围
是x>2.
∴不等式 3x+6 0 的解集是x<2，
不等式 3x+6<0 的解集是x>2.
A(0，6)
B(2，0)
典型例题
【例2】画出函数y= 2x+3的图象，结合图象：求不等式组
3≤ 2x+3≤7的解集.
x
y
y= 2x+3
直线y= 2x+3在直线y= 3与y=7之间的部分所对应的x的取值范围
( 2，7)
(3， 3)
解：∵y= 2x+3，
∴当y= 3时，x=3；当y= 7时，
x= 2.
结合函数的图象，可得不等式组
3≤ 2x+3≤7的解集是 2≤x≤2.
随堂练习
1 . 画出一次函数y= 2x 6的图象，结合图象求：
x
y
y= 2x 6
〔1〕x 时，y=0；
〔2〕x 时，y>0；
〔3〕x 时，y<0；
〔4〕x 时，y>6.
= 3
< 3
> 3
< 6
随堂练习
2 . 直线y=ax+b(a≠0)过点A(0，2)，B(1，0)，则关于x的方程ax+b=0的解为( ).
A. x=0 B. x=2 C. x=1 D. x=3
所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定
出解即可．
【分析】
∵直线y=ax+b过B(1，0)，
∴方程ax+b=0的解是x=1，
故选：C．
C
随堂练习
3 .如图，一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)与正比例函数y=ax(a为常数，且a≠0)的图象相交于点P，则不等式kx+b ax的解集是 .
O
2
1
x
y
P
y=kx+b
y=ax
【解析】
解决此类问题一般不求函数的解析式，
而是根据不等式找到对应部分的图象，
进而确定自变量的取值范围.
不等式kx+b ax的解集
求一次函数
y=kx+b的图象在y=ax的上方时，所对
应的x的取值范围.
x 2
知识点1 一次函数与一元一次方程
（第1题）
1. ［2025西安新城区联考］如图，直线
过点和点 ，则方程
的解是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 已知方程的解是 ，下列各项中为函数
的图象的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［2024扬州］如图，已知一次函数
的图象分别与， 轴
交于，两点，若， ，
则关于的方程 的解为_____
____.
返回
知识点2 一次函数与一元一次不等式
4. ［2024广东］已知不等式的解集是 ，则一
次函数 的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
返回
5. 根据图象（如图），可得关于 的不等式
的解集是( )
D
A. B. C. D.
返回
一次函数与方程
、不等式
一次函数与一元一次方程的关系
一元一次方程ax+b=0的解
从“函数值”看
一次函数y=ax+b的函数值为0时x的值.
从“函数图象”看
直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标.
一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次方程ax+b 0(或 0)的解
从“函数值”看
从“函数图象”看
一次函数y=ax+b的函数值大(小)于 0时，
x的取值范围.
直线y=ax+b(a≠0)在x轴上(下)方的部分所
对应的x的取值范围.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！