12.3.1一次函数与二元一次方程 课件（共26张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 12.3.1一次函数与二元一次方程 课件（共26张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:16:25 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.3.1 一次函数与二元一次方程
副标题：跨界融合，探索函数与方程的桥梁
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了一次函数的图象与性质，以及一次函数与一元一次方程、不等式的关系。二元一次方程是初中代数的重要内容，它与一次函数之间也存在着紧密的联系。本节课将揭开一次函数与二元一次方程之间的神秘面纱，建立它们之间的桥梁。
情境引入：我们知道二元一次方程有无数组解，比如方程 x + y = 3，它的解可以是（0，3）、（1，2）、（2，1）等。如果将这些解看作平面直角坐标系中的点，你会发现它们有什么规律吗？这些点是否在同一条直线上？这其实就涉及到一次函数与二元一次方程的关系。
学习目标：
理解二元一次方程与一次函数的转化关系，能将二元一次方程化为一次函数的形式。
掌握二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标之间的对应关系。
学会利用一次函数图象解决二元一次方程的相关问题，体会数形结合思想。
幻灯片 3：二元一次方程与一次函数的转化
转化原理：任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数的形式。对于二元一次方程 ax + by + c = 0（a、b 不同时为 0），当 b ≠ 0 时，可通过移项、系数化为 1 等步骤转化为 y = kx + m 的形式，其中 k = -a/b，m = -c/b，此时它就表示一个一次函数。
转化步骤：
对于二元一次方程 ax + by + c = 0（b ≠ 0），将含有 y 的项留在左边，其他项移到右边，得到 by = -ax - c。
两边同时除以 b（b ≠ 0），得到 y = (-a/b) x - c/b，即转化为一次函数 y = kx + m 的形式。
实例转化：
二元一次方程 2x + 3y - 6 = 0，转化过程为：3y = -2x + 6，y = (-2/3) x + 2，对应一次函数 y = (-2/3) x + 2。
二元一次方程 x - y + 1 = 0，转化为 y = x + 1，对应一次函数 y = x + 1。
注意事项：当 b = 0 时，二元一次方程变为 ax + c = 0（a ≠ 0），此时它表示一条垂直于 x 轴的直线，不是一次函数（一次函数要求 k 存在且不为 0）。
幻灯片 4：二元一次方程的解与一次函数图象上的点
核心对应关系：二元一次方程的每一组解（x，y），都对应着其转化后的一次函数图象上的一个点的坐标；反之，一次函数图象上任意一点的坐标（x，y），都是其对应的二元一次方程的一组解。
推理过程：
设二元一次方程 ax + by + c = 0 转化为一次函数 y = kx + m，那么对于方程的任意一组解（x ，y ），都满足 ax + by + c = 0，即 y = kx + m，所以点（x ，y ）在一次函数 y = kx + m 的图象上。
反之，一次函数 y = kx + m 图象上的任意一点（x ，y ），都满足 y = kx + m，即 ax + by + c = 0，所以（x ，y ）是二元一次方程 ax + by + c = 0 的一组解。
实例说明：
二元一次方程 x + y = 3 转化为一次函数 y = -x + 3，方程的解（0，3）对应图象上的点（0，3），（1，2）对应点（1，2），图象上的点（3，0）对应方程的解（3，0）。
图示：在坐标系中绘制一次函数 y = -x + 3 的图象，标注出与二元一次方程 x + y = 3 的几组解对应的点，直观展示对应关系。
幻灯片 5：利用一次函数图象表示二元一次方程的解
原理：由于二元一次方程的解与对应一次函数图象上的点一一对应，所以二元一次方程的所有解组成的集合，就是其对应一次函数的图象（一条直线）。因此，一次函数的图象可以看作是二元一次方程所有解的几何表示。
意义：
从 “数” 的角度看，二元一次方程有无数组解；从 “形” 的角度看，这些解对应着一条直线上的所有点。
这种对应关系实现了 “数” 与 “形” 的结合，为解决二元一次方程的问题提供了新的方法。
实例展示：
二元一次方程 2x - y = 1 转化为一次函数 y = 2x - 1，该函数的图象是一条直线，直线上的所有点的坐标都是方程 2x - y = 1 的解，方程的所有解也都在这条直线上。
应用：可以通过绘制一次函数的图象，直观地找到二元一次方程的部分解，或判断一组数是否为方程的解（看点是否在直线上）。
幻灯片 6：求二元一次方程的特定解
类型一：已知一个未知数的值求另一个未知数的值
可直接代入方程求解，也可通过对应一次函数图象查找。
例题 1：对于二元一次方程 3x + 2y = 8，
（1）当 x = 2 时，求 y 的值。
（2）当 y = -1 时，求 x 的值。
解：①方程转化为 y = (-3/2) x + 4，当 x = 2 时，y = (-3/2)×2 + 4 = 1。
②当 y = -1 时，-1 = (-3/2) x + 4，解得 x = 10/3。
类型二：求正整数解
可结合一次函数图象，在第一象限内找直线上的整数点坐标。
例题 2：求二元一次方程 x + 2y = 5 的正整数解。
解：方程转化为 y = (-1/2) x + 5/2，绘制图象，在第一象限内 x、y 为正整数的点有（1，2）、（3，1），所以正整数解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)和\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}\)。
幻灯片 7：一次函数图象与二元一次方程的综合应用
例题 3：已知二元一次方程 2x - 3y = 6，
（1）将其转化为一次函数的形式。
（2）画出该一次函数的图象。
（3）利用图象找出当 y = 0 时 x 的值，并验证它是否是方程的解。
解：（1）转化为 y = (2/3) x - 2。
（2）图象过点（0，-2）和（3，0），绘制直线即可。
（3）由图象可知 y = 0 时 x = 3，代入方程 2×3 - 3×0 = 6，等式成立，是方程的解。
例题 4：判断点（2，1）是否是二元一次方程 3x - y = 5 的解，并用一次函数图象说明理由。
解：①将 x = 2，y = 1 代入方程，3×2 - 1 = 5，等式成立，所以是方程的解。
②方程转化为 y = 3x - 5，绘制图象，点（2，1）在该直线上，所以是方程的解。
幻灯片 8：二元一次方程与一次函数关系的拓展
多个二元一次方程与多条直线：不同的二元一次方程转化后对应不同的一次函数，它们的图象是不同的直线。
方程变形对函数的影响：二元一次方程经过移项、化简等变形后，转化的一次函数不变，因为变形后的方程与原方程同解。
实例：方程 2x + 4y = 8 化简为 x + 2y = 4，两者转化的一次函数都是 y = (-1/2) x + 2。
与二元一次方程组的联系铺垫：两个二元一次方程组成的方程组，对应的两条一次函数图象的交点坐标，就是方程组的解（下节课将详细学习）。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：将二元一次方程转化为一次函数时，移项或系数化为 1 过程中出现计算错误，导致函数表达式错误。
规避方法：转化过程中仔细计算，移项时注意符号变化，系数化为 1 时确保分子分母处理正确，转化后可代入原方程验证。
错误类型 2：混淆二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标的对应关系，误认为方程的解是直线与坐标轴的交点。
规避方法：明确方程的每一组解都对应直线上的一个点，不止是与坐标轴的交点，直线上所有点的坐标都是方程的解。
错误类型 3：求二元一次方程的特定解（如正整数解）时，遗漏部分解或找出的解不符合要求。
规避方法：结合一次函数图象，在相应范围内有序地寻找符合条件的点，找到后代入方程验证，确保解的正确性。
错误类型 4：当二元一次方程中 y 的系数为 0 时，错误地将其转化为一次函数。
规避方法：牢记一次函数的定义是 y = kx + b（k ≠ 0），当二元一次方程中 y 的系数为 0 时，无法转化为一次函数，它表示的是垂直于 x 轴的直线。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
二元一次方程与一次函数可相互转化，当二元一次方程中 y 的系数不为 0 时，可转化为一次函数 y = kx + b 的形式。
二元一次方程的每一组解对应一次函数图象上的一个点的坐标，反之亦然，一次函数图象是二元一次方程所有解的几何表示。
可利用一次函数图象解决二元一次方程的求解、验证解等问题，体现数形结合思想。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，将二元一次方程转化为一次函数，利用图象找方程的解。
提升作业：求二元一次方程的正整数解，并结合一次函数图象说明理由。
拓展作业：已知一次函数 y = 2x - 3，写出它对应的二元一次方程，并找出该方程的三组解，在坐标系中描出对应的点，观察它们是否在函数图象上。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.3.1一次函数与二元一次方程
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用等量代换，把二元一次方程转化成一次函数.
2.知道一次函数上的点对应二元一次方程的解.
3.能判断点的坐标是否为二元一次方程的解.
◎重点:二元一次方程和一次函数的相互关系.
◎难点:体会数学中的等价思想.
同学们，还记得等式的性质吗？对于二元一次方程3x＋5y＝8，能不能将其转化为y＝kx＋b的形式呢？这就是本节课要学习的一次函数与二元一次方程的关系.
一次函数与二元一次方程的关系
阅读教材本课时所有内容，解决下列问题.
直线上任意一个点的坐标与其所对应的二元一次方程的解有什么关系？
一次函数所在的直线上任意一点的坐标都是其对应的二元一次方程的解.
一次函数与二元一次方程的关系
学法指导:一次函数的一部分可以转化为一元一次方程或一元一次不等式，通过观察一次函数的图象可以得到转化后的方程与不等式的解；而一次函数与其对应的二元一次方程更多的是等价的关系，一次函数上所有的点对应的有序数对(x，y)都是其对应的二元一次方程的解.
1.下列有序实数对中，对应二元一次方程2x＋3y＝7的解的是( B )
A. (1，2) B.(2，1)
C.(－1，－2) D. (－2，－1)
B
2.已知x＝2是方程kx＋b＝0的解，则一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标为( A )
A.(2，0) B.(0，2)
C.(－2，0) D.(0，－2)
3.把二元一次方程2x－y－3＝0写成一次函数y＝ 2x－3 ；把一次函数y＝6－2x写成二元一次方程为 2x＋y＝6 .
A
2x－3
2x＋y＝6
一次函数与二元一次方程的转化
1.把方程x＋1＝4y＋化为y＝kx＋b的形式，正确的是
( B )
A.y＝x＋1 B.y＝x＋
C.y＝x＋1 D.y＝x＋
B
2.方程x＋y＝4的解有 无数 个，以方程x＋y＝4的解为坐标的点组成的图象与函数y＝－x的图象的位置关系是 平行 .
无数
平行
3.在直角坐标系中画出方程2x＋y－6＝0的图象l1和方程x－y－3＝0的图象l2，设l1与l2相交于点P，写出点P的坐标.
解:如图，交点P的坐标为(3，0).
【方法归纳交流】画二元一次方程的图象，其实质就是把二元一次方程化简成一次函数的形式，画出该一次函数的图象即可.
【变式训练】把二元一次方程5x＋y－2＝0的图象向上平移3个单位后，所得函数解析式是 y＝－5x＋5 .
y＝－5x＋5
4.已知二元一次方程3x－y－2＝0所在的直线，在平面直角坐标系中与两坐标轴交于两点A、B，O为坐标原点，求三角形AOB的面积.
解:因为3x－y－2＝0，所以y＝3x－2，所以A、B的坐标为(，0)，(0，－2)，
所以三角形AOB的面积是××2＝.
【变式训练】在平面直角坐标系中，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0，n)是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是
( B )
A.(0，) B.(0，)
C.(0，3) D.(0，4)
B
1.已知二元一次方程x＋y＝3与3x－y＝5有一组公共解那么一次函数y＝3－x与y＝3x－5的图象的交点坐标为
( B )
A.(1，2) B.(2，1)
C.(－1，2) D.(－2，1)
B
2.若函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，求a的值.
解:因为函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，所以令两方程中y＝0，即x＝a＝.
知识点 一次函数与二元一次方程的关系
1. 直线上每个点的坐标都是二元一次方程 的解的
直线是( )
C
A. B. C. D.
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2.若以二元一次方程的解为坐标的点 都
在函数的图象上，则常数 __.
【点拨】因为以二元一次方程 的解为坐标的
点都在函数 的图象上，所以
把②代入①，得 ，解得
.
返回
3.［2025芜湖镜湖区期中］已知和 都是方程
的解，则一次函数 的图象与坐标轴围
成的三角形的面积为__.
返回
易错点 混淆一次函数与二元一次方程的关系
4. 对于二元一次方程和一次函数 ，下列说法错误的是
( )
C
A. 二元一次方程 的解可以通过一次函数
的图象来直观体现
B. 一次函数 图象上任意一点的横、纵坐标代入二
元一次方程 中，等式一定成立
C. 当时，一次函数 的函数值与二元一次方
程中 的值相等，其他时候不相等
D. 二元一次方程 有无数组解，这些解对应的点
构成了一次函数 的图象
【点拨】A.二元一次方程的解与一次函数图象上的点一一对
应，所以方程的解可以通过一次函数
的图象来直观体现，故该选项正确 .因为一次函数图象上的
点的坐标就是其对应的二元一次方程的解，所以一次函数
图象上任意一点的横、纵坐标代入二元一次方程
中，等式一定成立，故该选项正确 .一次函数
与二元一次方程 始终对应，取任意相
同的值时，对应的值都相等，故该选项错误 .二元一次方
程 有无数组解，这些解对应的点都在一次函数
的图象上，即这些点构成了该一次函数的图象，
故该选项正确.
返回
5. 已知二元一次方程的一组解为 则下列
结论一定不正确的是( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：12.3.1 一次函数与二元一次方程
副标题：跨界融合，探索函数与方程的桥梁
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了一次函数的图象与性质，以及一次函数与一元一次方程、不等式的关系。二元一次方程是初中代数的重要内容，它与一次函数之间也存在着紧密的联系。本节课将揭开一次函数与二元一次方程之间的神秘面纱，建立它们之间的桥梁。
情境引入：我们知道二元一次方程有无数组解，比如方程 x + y = 3，它的解可以是（0，3）、（1，2）、（2，1）等。如果将这些解看作平面直角坐标系中的点，你会发现它们有什么规律吗？这些点是否在同一条直线上？这其实就涉及到一次函数与二元一次方程的关系。
学习目标：
理解二元一次方程与一次函数的转化关系，能将二元一次方程化为一次函数的形式。
掌握二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标之间的对应关系。
学会利用一次函数图象解决二元一次方程的相关问题，体会数形结合思想。
幻灯片 3：二元一次方程与一次函数的转化
转化原理：任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数的形式。对于二元一次方程 ax + by + c = 0（a、b 不同时为 0），当 b ≠ 0 时，可通过移项、系数化为 1 等步骤转化为 y = kx + m 的形式，其中 k = -a/b，m = -c/b，此时它就表示一个一次函数。
转化步骤：
对于二元一次方程 ax + by + c = 0（b ≠ 0），将含有 y 的项留在左边，其他项移到右边，得到 by = -ax - c。
两边同时除以 b（b ≠ 0），得到 y = (-a/b) x - c/b，即转化为一次函数 y = kx + m 的形式。
实例转化：
二元一次方程 2x + 3y - 6 = 0，转化过程为：3y = -2x + 6，y = (-2/3) x + 2，对应一次函数 y = (-2/3) x + 2。
二元一次方程 x - y + 1 = 0，转化为 y = x + 1，对应一次函数 y = x + 1。
注意事项：当 b = 0 时，二元一次方程变为 ax + c = 0（a ≠ 0），此时它表示一条垂直于 x 轴的直线，不是一次函数（一次函数要求 k 存在且不为 0）。
幻灯片 4：二元一次方程的解与一次函数图象上的点
核心对应关系：二元一次方程的每一组解（x，y），都对应着其转化后的一次函数图象上的一个点的坐标；反之，一次函数图象上任意一点的坐标（x，y），都是其对应的二元一次方程的一组解。
推理过程：
设二元一次方程 ax + by + c = 0 转化为一次函数 y = kx + m，那么对于方程的任意一组解（x ，y ），都满足 ax + by + c = 0，即 y = kx + m，所以点（x ，y ）在一次函数 y = kx + m 的图象上。
反之，一次函数 y = kx + m 图象上的任意一点（x ，y ），都满足 y = kx + m，即 ax + by + c = 0，所以（x ，y ）是二元一次方程 ax + by + c = 0 的一组解。
实例说明：
二元一次方程 x + y = 3 转化为一次函数 y = -x + 3，方程的解（0，3）对应图象上的点（0，3），（1，2）对应点（1，2），图象上的点（3，0）对应方程的解（3，0）。
图示：在坐标系中绘制一次函数 y = -x + 3 的图象，标注出与二元一次方程 x + y = 3 的几组解对应的点，直观展示对应关系。
幻灯片 5：利用一次函数图象表示二元一次方程的解
原理：由于二元一次方程的解与对应一次函数图象上的点一一对应，所以二元一次方程的所有解组成的集合，就是其对应一次函数的图象（一条直线）。因此，一次函数的图象可以看作是二元一次方程所有解的几何表示。
意义：
从 “数” 的角度看，二元一次方程有无数组解；从 “形” 的角度看，这些解对应着一条直线上的所有点。
这种对应关系实现了 “数” 与 “形” 的结合，为解决二元一次方程的问题提供了新的方法。
实例展示：
二元一次方程 2x - y = 1 转化为一次函数 y = 2x - 1，该函数的图象是一条直线，直线上的所有点的坐标都是方程 2x - y = 1 的解，方程的所有解也都在这条直线上。
应用：可以通过绘制一次函数的图象，直观地找到二元一次方程的部分解，或判断一组数是否为方程的解（看点是否在直线上）。
幻灯片 6：求二元一次方程的特定解
类型一：已知一个未知数的值求另一个未知数的值
可直接代入方程求解，也可通过对应一次函数图象查找。
例题 1：对于二元一次方程 3x + 2y = 8，
（1）当 x = 2 时，求 y 的值。
（2）当 y = -1 时，求 x 的值。
解：①方程转化为 y = (-3/2) x + 4，当 x = 2 时，y = (-3/2)×2 + 4 = 1。
②当 y = -1 时，-1 = (-3/2) x + 4，解得 x = 10/3。
类型二：求正整数解
可结合一次函数图象，在第一象限内找直线上的整数点坐标。
例题 2：求二元一次方程 x + 2y = 5 的正整数解。
解：方程转化为 y = (-1/2) x + 5/2，绘制图象，在第一象限内 x、y 为正整数的点有（1，2）、（3，1），所以正整数解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)和\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}\)。
幻灯片 7：一次函数图象与二元一次方程的综合应用
例题 3：已知二元一次方程 2x - 3y = 6，
（1）将其转化为一次函数的形式。
（2）画出该一次函数的图象。
（3）利用图象找出当 y = 0 时 x 的值，并验证它是否是方程的解。
解：（1）转化为 y = (2/3) x - 2。
（2）图象过点（0，-2）和（3，0），绘制直线即可。
（3）由图象可知 y = 0 时 x = 3，代入方程 2×3 - 3×0 = 6，等式成立，是方程的解。
例题 4：判断点（2，1）是否是二元一次方程 3x - y = 5 的解，并用一次函数图象说明理由。
解：①将 x = 2，y = 1 代入方程，3×2 - 1 = 5，等式成立，所以是方程的解。
②方程转化为 y = 3x - 5，绘制图象，点（2，1）在该直线上，所以是方程的解。
幻灯片 8：二元一次方程与一次函数关系的拓展
多个二元一次方程与多条直线：不同的二元一次方程转化后对应不同的一次函数，它们的图象是不同的直线。
方程变形对函数的影响：二元一次方程经过移项、化简等变形后，转化的一次函数不变，因为变形后的方程与原方程同解。
实例：方程 2x + 4y = 8 化简为 x + 2y = 4，两者转化的一次函数都是 y = (-1/2) x + 2。
与二元一次方程组的联系铺垫：两个二元一次方程组成的方程组，对应的两条一次函数图象的交点坐标，就是方程组的解（下节课将详细学习）。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：将二元一次方程转化为一次函数时，移项或系数化为 1 过程中出现计算错误，导致函数表达式错误。
规避方法：转化过程中仔细计算，移项时注意符号变化，系数化为 1 时确保分子分母处理正确，转化后可代入原方程验证。
错误类型 2：混淆二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标的对应关系，误认为方程的解是直线与坐标轴的交点。
规避方法：明确方程的每一组解都对应直线上的一个点，不止是与坐标轴的交点，直线上所有点的坐标都是方程的解。
错误类型 3：求二元一次方程的特定解（如正整数解）时，遗漏部分解或找出的解不符合要求。
规避方法：结合一次函数图象，在相应范围内有序地寻找符合条件的点，找到后代入方程验证，确保解的正确性。
错误类型 4：当二元一次方程中 y 的系数为 0 时，错误地将其转化为一次函数。
规避方法：牢记一次函数的定义是 y = kx + b（k ≠ 0），当二元一次方程中 y 的系数为 0 时，无法转化为一次函数，它表示的是垂直于 x 轴的直线。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
二元一次方程与一次函数可相互转化，当二元一次方程中 y 的系数不为 0 时，可转化为一次函数 y = kx + b 的形式。
二元一次方程的每一组解对应一次函数图象上的一个点的坐标，反之亦然，一次函数图象是二元一次方程所有解的几何表示。
可利用一次函数图象解决二元一次方程的求解、验证解等问题，体现数形结合思想。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，将二元一次方程转化为一次函数，利用图象找方程的解。
提升作业：求二元一次方程的正整数解，并结合一次函数图象说明理由。
拓展作业：已知一次函数 y = 2x - 3，写出它对应的二元一次方程，并找出该方程的三组解，在坐标系中描出对应的点，观察它们是否在函数图象上。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.3.1一次函数与二元一次方程
第12章 函数与一次函数
a
i
T
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j
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i
a
N
g
1.会用等量代换，把二元一次方程转化成一次函数.
2.知道一次函数上的点对应二元一次方程的解.
3.能判断点的坐标是否为二元一次方程的解.
◎重点:二元一次方程和一次函数的相互关系.
◎难点:体会数学中的等价思想.
同学们，还记得等式的性质吗？对于二元一次方程3x＋5y＝8，能不能将其转化为y＝kx＋b的形式呢？这就是本节课要学习的一次函数与二元一次方程的关系.
一次函数与二元一次方程的关系
阅读教材本课时所有内容，解决下列问题.
直线上任意一个点的坐标与其所对应的二元一次方程的解有什么关系？
一次函数所在的直线上任意一点的坐标都是其对应的二元一次方程的解.
一次函数与二元一次方程的关系
学法指导:一次函数的一部分可以转化为一元一次方程或一元一次不等式，通过观察一次函数的图象可以得到转化后的方程与不等式的解；而一次函数与其对应的二元一次方程更多的是等价的关系，一次函数上所有的点对应的有序数对(x，y)都是其对应的二元一次方程的解.
1.下列有序实数对中，对应二元一次方程2x＋3y＝7的解的是( B )
A. (1，2) B.(2，1)
C.(－1，－2) D. (－2，－1)
B
2.已知x＝2是方程kx＋b＝0的解，则一次函数y＝kx＋b与x轴的交点坐标为( A )
A.(2，0) B.(0，2)
C.(－2，0) D.(0，－2)
3.把二元一次方程2x－y－3＝0写成一次函数y＝ 2x－3 ；把一次函数y＝6－2x写成二元一次方程为 2x＋y＝6 .
A
2x－3
2x＋y＝6
一次函数与二元一次方程的转化
1.把方程x＋1＝4y＋化为y＝kx＋b的形式，正确的是
( B )
A.y＝x＋1 B.y＝x＋
C.y＝x＋1 D.y＝x＋
B
2.方程x＋y＝4的解有 无数 个，以方程x＋y＝4的解为坐标的点组成的图象与函数y＝－x的图象的位置关系是 平行 .
无数
平行
3.在直角坐标系中画出方程2x＋y－6＝0的图象l1和方程x－y－3＝0的图象l2，设l1与l2相交于点P，写出点P的坐标.
解:如图，交点P的坐标为(3，0).
【方法归纳交流】画二元一次方程的图象，其实质就是把二元一次方程化简成一次函数的形式，画出该一次函数的图象即可.
【变式训练】把二元一次方程5x＋y－2＝0的图象向上平移3个单位后，所得函数解析式是 y＝－5x＋5 .
y＝－5x＋5
4.已知二元一次方程3x－y－2＝0所在的直线，在平面直角坐标系中与两坐标轴交于两点A、B，O为坐标原点，求三角形AOB的面积.
解:因为3x－y－2＝0，所以y＝3x－2，所以A、B的坐标为(，0)，(0，－2)，
所以三角形AOB的面积是××2＝.
【变式训练】在平面直角坐标系中，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C(0，n)是y轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是
( B )
A.(0，) B.(0，)
C.(0，3) D.(0，4)
B
1.已知二元一次方程x＋y＝3与3x－y＝5有一组公共解那么一次函数y＝3－x与y＝3x－5的图象的交点坐标为
( B )
A.(1，2) B.(2，1)
C.(－1，2) D.(－2，1)
B
2.若函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，求a的值.
解:因为函数y＝－x＋a与y＝4x－1的图象交于x轴上一点，所以令两方程中y＝0，即x＝a＝.
知识点 一次函数与二元一次方程的关系
1. 直线上每个点的坐标都是二元一次方程 的解的
直线是( )
C
A. B. C. D.
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2.若以二元一次方程的解为坐标的点 都
在函数的图象上，则常数 __.
【点拨】因为以二元一次方程 的解为坐标的
点都在函数 的图象上，所以
把②代入①，得 ，解得
.
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3.［2025芜湖镜湖区期中］已知和 都是方程
的解，则一次函数 的图象与坐标轴围
成的三角形的面积为__.
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易错点 混淆一次函数与二元一次方程的关系
4. 对于二元一次方程和一次函数 ，下列说法错误的是
( )
C
A. 二元一次方程 的解可以通过一次函数
的图象来直观体现
B. 一次函数 图象上任意一点的横、纵坐标代入二
元一次方程 中，等式一定成立
C. 当时，一次函数 的函数值与二元一次方
程中 的值相等，其他时候不相等
D. 二元一次方程 有无数组解，这些解对应的点
构成了一次函数 的图象
【点拨】A.二元一次方程的解与一次函数图象上的点一一对
应，所以方程的解可以通过一次函数
的图象来直观体现，故该选项正确 .因为一次函数图象上的
点的坐标就是其对应的二元一次方程的解，所以一次函数
图象上任意一点的横、纵坐标代入二元一次方程
中，等式一定成立，故该选项正确 .一次函数
与二元一次方程 始终对应，取任意相
同的值时，对应的值都相等，故该选项错误 .二元一次方
程 有无数组解，这些解对应的点都在一次函数
的图象上，即这些点构成了该一次函数的图象，
故该选项正确.
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5. 已知二元一次方程的一组解为 则下列
结论一定不正确的是( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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