12.3.2一次函数与二元一次方程组 课件（共31张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 12.3.2一次函数与二元一次方程组 课件（共31张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:16:09 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.3.2 一次函数与二元一次方程组
副标题：以形助数，破解方程组的图象解法
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了一次函数与二元一次方程的关系，知道二元一次方程的解对应一次函数图象上的点。本节课将进一步探究一次函数与二元一次方程组的联系，学习如何利用一次函数图象解决二元一次方程组的求解问题。
情境引入：我们知道二元一次方程组的解是两个方程的公共解，从图象角度看，每个二元一次方程对应一条直线，那么两个方程的公共解是否对应两条直线的公共点呢？比如方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 1\end{cases}\)，它的解与对应两条直线的交点有什么关系？这就是本节课要解决的核心问题。
学习目标：
理解二元一次方程组与两个一次函数的对应关系，能将方程组转化为对应的一次函数。
掌握二元一次方程组的解与对应两条一次函数图象交点坐标的关系。
学会利用一次函数图象求二元一次方程组的解，体会数形结合思想的应用。
幻灯片 3：二元一次方程组与一次函数的对应关系
对应原理：一个二元一次方程组由两个二元一次方程组成，每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，因此二元一次方程组对应着两个一次函数。
转化过程：
对于二元一次方程组\(\begin{cases}a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0\end{cases}\)（\(b_1 0\)，\(b_2 0\)），
第一个方程转化为一次函数\(y = k_1x + m_1\)，其中\(k_1 = -a_1/b_1\)，\(m_1 = -c_1/b_1\)；
第二个方程转化为一次函数\(y = k_2x + m_2\)，其中\(k_2 = -a_2/b_2\)，\(m_2 = -c_2/b_2\)。
实例转化：
方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 1\end{cases}\)，
第一个方程转化为\(y = -x + 3\)；
第二个方程转化为\(y = x - 1\)。
图示：用流程图展示二元一次方程组到两个一次函数的转化过程，清晰呈现对应关系。
幻灯片 4：二元一次方程组的解与一次函数图象交点的关系
核心结论：二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图象交点的坐标；反之，两个一次函数图象交点的坐标就是它们所对应的二元一次方程组的解。
推理过程：
设方程组\(\begin{cases}a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0\end{cases}\)对应函数\(y = k_1x + m_1\)和\(y = k_2x + m_2\)。
方程组的解\((x_0, y_0)\)满足两个方程，即满足\(y_0 = k_1x_0 + m_1\)和\(y_0 = k_2x_0 + m_2\)，所以点\((x_0, y_0)\)是两函数图象的交点。
反之，两函数图象的交点\((x_0, y_0)\)满足两个函数表达式，即满足方程组的两个方程，所以是方程组的解。
实例说明：
方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 1\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)，对应函数\(y = -x + 3\)和\(y = x - 1\)的图象交点坐标为\((2, 1)\)。
图示：在坐标系中绘制两个一次函数的图象，标注交点坐标，与方程组的解对比，直观展示对应关系。
幻灯片 5：利用一次函数图象解二元一次方程组
步骤：
将方程组中的两个二元一次方程分别转化为一次函数的形式（\(y = kx + b\)）。
在同一平面直角坐标系中绘制这两个一次函数的图象。
找到两个图象的交点坐标\((x_0, y_0)\)。
交点坐标\((x_0, y_0)\)就是原二元一次方程组的解。
例题 1：利用图象解方程组\(\begin{cases}2x + y = 4 \\ x - y = -1\end{cases}\)。
解：①转化函数：第一个方程\(y = -2x + 4\)；第二个方程\(y = x + 1\)。
②绘制图象：\(y = -2x + 4\)过（0，4）和（2，0）；\(y = x + 1\)过（0，1）和（1，2）。
③找到交点：两图象交于点（1，2）。
④方程组的解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)。
验证方法：将交点坐标代入原方程组，若两个方程都成立，则解正确。
幻灯片 6：不同类型方程组的图象解法
类型一：有唯一解的方程组（两直线相交）
当两个一次函数的\(k\)值不同（\(k_1 k_2\)）时，两直线相交，有唯一交点，对应方程组有唯一解。
例题 2：解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 8 \\ x - y = 1\end{cases}\)。
解：转化为\(y = (-3/2)x + 4\)和\(y = x - 1\)，图象交点为（2，1），解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。
类型二：无解的方程组（两直线平行）
当两个一次函数的\(k\)值相同且\(b\)值不同（\(k_1 = k_2\)，\(b_1 b_2\)）时，两直线平行，无交点，对应方程组无解。
例题 3：解方程组\(\begin{cases}2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 5\end{cases}\)。
解：转化为\(y = -2x + 3\)和\(y = -2x + 2.5\)，两直线平行无交点，方程组无解。
类型三：有无数解的方程组（两直线重合）
当两个一次函数的\(k\)值相同且\(b\)值相同（\(k_1 = k_2\)，\(b_1 = b_2\)）时，两直线重合，有无数交点，对应方程组有无数解。
例题 4：解方程组\(\begin{cases}x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8\end{cases}\)。
解：转化为\(y = (-1/2)x + 2\)和\(y = (-1/2)x + 2\)，两直线重合，方程组有无数解。
幻灯片 7：一次函数图象法解方程组的优势与局限
优势：
直观形象：通过图象可以直接观察方程组解的情况（唯一解、无解、无数解）。
数形结合：将代数问题转化为几何问题，加深对知识内在联系的理解。
适合估算：对于复杂方程组，可通过图象快速估算解的大致范围。
局限：
精度不足：图象法得到的解通常是近似值，对于需要精确解的问题不够适用。
操作要求高：绘制图象时若不够准确，会导致交点坐标判断错误。
依赖工具：手工绘制图象耗时且易出错，复杂情况需借助绘图工具。
适用场景：适合理解方程组解的几何意义、判断解的情况，或对解进行初步估算，精确求解仍需结合代数方法。
幻灯片 8：实际问题中的综合应用
例题 5：某商场销售 A、B 两种商品，购买 3 件 A 商品和 2 件 B 商品共需 18 元，购买 2 件 A 商品和 3 件 B 商品共需 17 元。
（1）求 A、B 两种商品的单价。
（2）若用图象法求解，写出对应的一次函数并绘制图象。
解：（1）设 A 商品单价 x 元，B 商品单价 y 元，列方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 18 \\ 2x + 3y = 17\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 3\end{cases}\)。
（2）转化为\(y = (-3/2)x + 9\)和\(y = (-2/3)x + 17/3\)，图象交点为（4，3），与代数解法一致。
例题 6：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为 3km/h，乙的速度为 2km/h，A、B 两地相距 10km。设行走时间为 t 小时，两人距离 A 地的距离分别为 s 、s km。
（1）写出 s 、s 与 t 的函数表达式。
（2）利用图象求出两人相遇的时间和地点。
解：（1）s = 3t，s = 10 - 2t。
（2）绘制图象，交点为（2，6），即 t = 2 小时时相遇，距离 A 地 6km。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：将二元一次方程转化为一次函数时出现计算错误，导致图象绘制错误，进而交点判断错误。
规避方法：转化过程中仔细计算 k 和 b 的值，转化后代入原方程验证，确保函数表达式正确。
示例：方程 2x - y = 3 转化为 y = 2x - 3，而非 y = 2x + 3。
错误类型 2：绘制函数图象时不够准确，导致交点坐标判断偏差，尤其是非整数解的情况。
规避方法：绘制图象时选取关键 points（如与坐标轴交点），使用直尺规范作图，对于非整数解可结合代数方法验证。
错误类型 3：混淆方程组解的情况与直线位置关系，如误认为平行直线对应方程组有无数解。
规避方法：牢记 “k ≠ k →相交→唯一解；k = k 且 b ≠ b →平行→无解；k = k 且 b = b →重合→无数解” 的对应关系。
错误类型 4：过度依赖图象法求精确解，忽略其精度局限。
规避方法：明确图象法的适用场景，精确解需通过代数方法（代入消元法、加减消元法）求解，图象法可用于验证。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
二元一次方程组对应两个一次函数，方程组的解是两函数图象交点的坐标。
图象法解方程组的步骤：转化函数→绘制图象→找交点→得解。
方程组解的情况与直线位置关系对应：相交→唯一解，平行→无解，重合→无数解。
图象法直观但精度有限，需与代数方法结合使用。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，用图象法解二元一次方程组，并与代数方法对比。
提升作业：判断方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 10\end{cases}\)和\(\begin{cases}x - y = 1 \\ 2x - 2y = 3\end{cases}\)的解的情况，并用图象说明理由。
拓展作业：某工厂生产甲、乙两种产品，生产 1 件甲产品和 2 件乙产品需消耗原料 5kg，生产 2 件甲产品和 1 件乙产品需消耗原料 4kg，用图象法求生产 1 件甲产品和 1 件乙产品各消耗多少原料。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.3.2一次函数与二元一次方程组
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.知道一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组.
2.通过一次函数，了解二元一次方程组无解的情形.
3.会根据二元一次方程的系数判断二元一次方程组解的情况.
◎重点:用图象法解二元一次方程组.
◎难点:用函数的观点看待方程，利用函数解决问题.
两条直线可能相交，只有一个交点；可能平行，没有交点；可能重合，有无数个交点.上节课，我们知道一次函数上的点对应二元一次方程的解，那么，两个一次函数的交点坐标对应的是不是两个二元一次方程的公共解呢？
二元一次方程组的图象解法
阅读教材本课时“例1”~“例3”，解决下列问题.
用作图法来解一元二次方程组的步骤是怎样的？
(1)转化形式:把二元一次方程化为一次函数的形式；(2)画函数图象:在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并确定交点坐标；(3)写出方程组的解:两条直线的交点坐标就是方程组的解.
1. 一次函数与二元一次方程组的对应关系
二元一次方程组两个一次函数两条直线；
二元一次方程组的解两个一次函数值相等时的自变量值及函数值两条直线的交点坐标.
2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
(1)变函数：把方程组化为一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2；
(2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
(3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标；
(4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
学法指导:利用一次函数的图象求对应的二元一次方程组的解比较麻烦，事实上，我们通常都是利用解二元一次方程组来求两条直线的交点坐标.
二元一次方程组解的情况的判断
阅读教材本课时“思考”中的内容，解决下列问题.
1.明晰概念:一次函数图象(两条直线)位置有三种关系及对应解的情况:
(1)相交(有一个交点) 二元一次方程组有 唯一解 ；
(2)平行(无交点) 二元一次方程组 无解 ；
(3)重合(有无数个交点) 二元一次方程组有 无数个解 .
唯一解
无解
无数个
解
2.直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2(k1≠0，k2≠0)不同系数情况下的位置关系.
①k1≠k2 y1与y2相交；
② y1与y2相交于y轴上同一点(0，b1)或(0，b2)；
③ y1与y2平行；
④ y1与y2重合.
下面的二元一次方程组中方程无解的是( C )
A. B.
C. D.
C
用图象法解二次一次方程组
1.用图象法解方程组下图中正确的是( C )
A B
C
C D
【变式训练】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图)，则所解的二元一次方程组是( D )
D
A. B.
C. D.
2.如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的的二元一次方程组的解是 .
利用方程组求两直线交点
3.求直线y＝2x＋4与y＝－x＋1的交点坐标.
解:由题意，得方程组
解这个方程组，得即交点坐标为(－1，2).
【方法归纳交流】在利用解方程组求两条直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的交点坐标时，可直接消去y，得到k1x＋b1＝k2x＋b2.在求得的解中，自变量的值作为横坐标，函数值作为纵坐标，要防止坐标顺序错误.
【变式训练】有两条直线y＝ax＋b和y＝cx＋5，学生甲求得它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因看错c而求得它们的交点为(4，5)，求两条直线的表达式.
解:把(3，－2)代入y＝cx＋5，得c＝－.由点(4，5)和点(3，－2)都在函数y＝ax＋b上，所以有解得a＝7，b＝－23.所求的函数表达式为y＝7x－23和y＝－x＋5.
两直线的位置关系与方程组的解
4.一次函数y＝2x－1与y＝2x＋3的图象是两条 平行 (填“相交”或“平行”)的直线，因此方程组的解的情况是 无解 .
平行
无解
【变式训练】无论m为何实数，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4的交点不可能在( C )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
二元一次方程组的解与两直线l1：a1x＋b1y＝c1与l2：a2x＋b2y＝c2位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)：
从“数”看 从“形”看
≠ 方程组有唯一解 l1与l2相交
＝ ≠ 方程组无解 l1与l2平行
＝＝ 方程组有无数个解 l1与l2重合
1.当k＞时，直线kx－y＝k与直线ky＋x＝2k的交点在
( A )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
2.如图，直线l1:y1＝2x＋1与坐标轴交于A、C两点，直线l2:y2＝－x－2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P.求三角形APB的面积.
解:由题意得方程组
解得
所以点P坐标为(－1，－1)，
所以S三角形ABP＝＝.
知识点1 一次函数与二元一次方程组的关系
1. ［2025合肥三十八中学期中］已知直线 与直
线相交于点，则方程组
的解为( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. ［2025蚌埠蚌山区期中］一次函数 与
的图象如图所示，下列结论错误的是( )
A
A. 当时，
B. 当时，
C. 关于，的方程组
的解为
D.
【点拨】A.观察题图知，当 时，直线
在直线 的上方，
则 ，故选项A错误；B.观察题图知，
当时， ，故选项B正确；C.
关于，的方程组 的解是一
次函数与 图象的交点坐标，由题图
知，两直线交于点 ，
则方程组的解为 故选
项C正确；D.由题图知，两直线与 轴的交
点在轴的上方，即， ，所以
，故选项D正确；故选A.
返回
3.若方程组无解，则函数 的图
象不经过第____象限.
一
【点拨】因为方程组 无解，所以
,解得.则一次函数 的图象经过
第二、三、四象限，不经过第一象限.
返回
知识点2 利用一次函数判断二元一次方程组解的情况
4. 若直线与直线 有唯一交点，则
二元一次方程组 的解的情况是( )
B
A. 无解 B. 有唯一解
C. 有两组解 D. 有无数组解
返回
5.已知关于,的方程组当 _____时，方程组
有且只有一组解；当 _____时，方程组有无数组解.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：12.3.2 一次函数与二元一次方程组
副标题：以形助数，破解方程组的图象解法
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了一次函数与二元一次方程的关系，知道二元一次方程的解对应一次函数图象上的点。本节课将进一步探究一次函数与二元一次方程组的联系，学习如何利用一次函数图象解决二元一次方程组的求解问题。
情境引入：我们知道二元一次方程组的解是两个方程的公共解，从图象角度看，每个二元一次方程对应一条直线，那么两个方程的公共解是否对应两条直线的公共点呢？比如方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 1\end{cases}\)，它的解与对应两条直线的交点有什么关系？这就是本节课要解决的核心问题。
学习目标：
理解二元一次方程组与两个一次函数的对应关系，能将方程组转化为对应的一次函数。
掌握二元一次方程组的解与对应两条一次函数图象交点坐标的关系。
学会利用一次函数图象求二元一次方程组的解，体会数形结合思想的应用。
幻灯片 3：二元一次方程组与一次函数的对应关系
对应原理：一个二元一次方程组由两个二元一次方程组成，每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，因此二元一次方程组对应着两个一次函数。
转化过程：
对于二元一次方程组\(\begin{cases}a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0\end{cases}\)（\(b_1 0\)，\(b_2 0\)），
第一个方程转化为一次函数\(y = k_1x + m_1\)，其中\(k_1 = -a_1/b_1\)，\(m_1 = -c_1/b_1\)；
第二个方程转化为一次函数\(y = k_2x + m_2\)，其中\(k_2 = -a_2/b_2\)，\(m_2 = -c_2/b_2\)。
实例转化：
方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 1\end{cases}\)，
第一个方程转化为\(y = -x + 3\)；
第二个方程转化为\(y = x - 1\)。
图示：用流程图展示二元一次方程组到两个一次函数的转化过程，清晰呈现对应关系。
幻灯片 4：二元一次方程组的解与一次函数图象交点的关系
核心结论：二元一次方程组的解就是其对应的两个一次函数图象交点的坐标；反之，两个一次函数图象交点的坐标就是它们所对应的二元一次方程组的解。
推理过程：
设方程组\(\begin{cases}a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0\end{cases}\)对应函数\(y = k_1x + m_1\)和\(y = k_2x + m_2\)。
方程组的解\((x_0, y_0)\)满足两个方程，即满足\(y_0 = k_1x_0 + m_1\)和\(y_0 = k_2x_0 + m_2\)，所以点\((x_0, y_0)\)是两函数图象的交点。
反之，两函数图象的交点\((x_0, y_0)\)满足两个函数表达式，即满足方程组的两个方程，所以是方程组的解。
实例说明：
方程组\(\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 1\end{cases}\)的解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)，对应函数\(y = -x + 3\)和\(y = x - 1\)的图象交点坐标为\((2, 1)\)。
图示：在坐标系中绘制两个一次函数的图象，标注交点坐标，与方程组的解对比，直观展示对应关系。
幻灯片 5：利用一次函数图象解二元一次方程组
步骤：
将方程组中的两个二元一次方程分别转化为一次函数的形式（\(y = kx + b\)）。
在同一平面直角坐标系中绘制这两个一次函数的图象。
找到两个图象的交点坐标\((x_0, y_0)\)。
交点坐标\((x_0, y_0)\)就是原二元一次方程组的解。
例题 1：利用图象解方程组\(\begin{cases}2x + y = 4 \\ x - y = -1\end{cases}\)。
解：①转化函数：第一个方程\(y = -2x + 4\)；第二个方程\(y = x + 1\)。
②绘制图象：\(y = -2x + 4\)过（0，4）和（2，0）；\(y = x + 1\)过（0，1）和（1，2）。
③找到交点：两图象交于点（1，2）。
④方程组的解为\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)。
验证方法：将交点坐标代入原方程组，若两个方程都成立，则解正确。
幻灯片 6：不同类型方程组的图象解法
类型一：有唯一解的方程组（两直线相交）
当两个一次函数的\(k\)值不同（\(k_1 k_2\)）时，两直线相交，有唯一交点，对应方程组有唯一解。
例题 2：解方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 8 \\ x - y = 1\end{cases}\)。
解：转化为\(y = (-3/2)x + 4\)和\(y = x - 1\)，图象交点为（2，1），解为\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)。
类型二：无解的方程组（两直线平行）
当两个一次函数的\(k\)值相同且\(b\)值不同（\(k_1 = k_2\)，\(b_1 b_2\)）时，两直线平行，无交点，对应方程组无解。
例题 3：解方程组\(\begin{cases}2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 5\end{cases}\)。
解：转化为\(y = -2x + 3\)和\(y = -2x + 2.5\)，两直线平行无交点，方程组无解。
类型三：有无数解的方程组（两直线重合）
当两个一次函数的\(k\)值相同且\(b\)值相同（\(k_1 = k_2\)，\(b_1 = b_2\)）时，两直线重合，有无数交点，对应方程组有无数解。
例题 4：解方程组\(\begin{cases}x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8\end{cases}\)。
解：转化为\(y = (-1/2)x + 2\)和\(y = (-1/2)x + 2\)，两直线重合，方程组有无数解。
幻灯片 7：一次函数图象法解方程组的优势与局限
优势：
直观形象：通过图象可以直接观察方程组解的情况（唯一解、无解、无数解）。
数形结合：将代数问题转化为几何问题，加深对知识内在联系的理解。
适合估算：对于复杂方程组，可通过图象快速估算解的大致范围。
局限：
精度不足：图象法得到的解通常是近似值，对于需要精确解的问题不够适用。
操作要求高：绘制图象时若不够准确，会导致交点坐标判断错误。
依赖工具：手工绘制图象耗时且易出错，复杂情况需借助绘图工具。
适用场景：适合理解方程组解的几何意义、判断解的情况，或对解进行初步估算，精确求解仍需结合代数方法。
幻灯片 8：实际问题中的综合应用
例题 5：某商场销售 A、B 两种商品，购买 3 件 A 商品和 2 件 B 商品共需 18 元，购买 2 件 A 商品和 3 件 B 商品共需 17 元。
（1）求 A、B 两种商品的单价。
（2）若用图象法求解，写出对应的一次函数并绘制图象。
解：（1）设 A 商品单价 x 元，B 商品单价 y 元，列方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 18 \\ 2x + 3y = 17\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 3\end{cases}\)。
（2）转化为\(y = (-3/2)x + 9\)和\(y = (-2/3)x + 17/3\)，图象交点为（4，3），与代数解法一致。
例题 6：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为 3km/h，乙的速度为 2km/h，A、B 两地相距 10km。设行走时间为 t 小时，两人距离 A 地的距离分别为 s 、s km。
（1）写出 s 、s 与 t 的函数表达式。
（2）利用图象求出两人相遇的时间和地点。
解：（1）s = 3t，s = 10 - 2t。
（2）绘制图象，交点为（2，6），即 t = 2 小时时相遇，距离 A 地 6km。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：将二元一次方程转化为一次函数时出现计算错误，导致图象绘制错误，进而交点判断错误。
规避方法：转化过程中仔细计算 k 和 b 的值，转化后代入原方程验证，确保函数表达式正确。
示例：方程 2x - y = 3 转化为 y = 2x - 3，而非 y = 2x + 3。
错误类型 2：绘制函数图象时不够准确，导致交点坐标判断偏差，尤其是非整数解的情况。
规避方法：绘制图象时选取关键 points（如与坐标轴交点），使用直尺规范作图，对于非整数解可结合代数方法验证。
错误类型 3：混淆方程组解的情况与直线位置关系，如误认为平行直线对应方程组有无数解。
规避方法：牢记 “k ≠ k →相交→唯一解；k = k 且 b ≠ b →平行→无解；k = k 且 b = b →重合→无数解” 的对应关系。
错误类型 4：过度依赖图象法求精确解，忽略其精度局限。
规避方法：明确图象法的适用场景，精确解需通过代数方法（代入消元法、加减消元法）求解，图象法可用于验证。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
二元一次方程组对应两个一次函数，方程组的解是两函数图象交点的坐标。
图象法解方程组的步骤：转化函数→绘制图象→找交点→得解。
方程组解的情况与直线位置关系对应：相交→唯一解，平行→无解，重合→无数解。
图象法直观但精度有限，需与代数方法结合使用。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，用图象法解二元一次方程组，并与代数方法对比。
提升作业：判断方程组\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ 4x + 2y = 10\end{cases}\)和\(\begin{cases}x - y = 1 \\ 2x - 2y = 3\end{cases}\)的解的情况，并用图象说明理由。
拓展作业：某工厂生产甲、乙两种产品，生产 1 件甲产品和 2 件乙产品需消耗原料 5kg，生产 2 件甲产品和 1 件乙产品需消耗原料 4kg，用图象法求生产 1 件甲产品和 1 件乙产品各消耗多少原料。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.3.2一次函数与二元一次方程组
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.知道一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组.
2.通过一次函数，了解二元一次方程组无解的情形.
3.会根据二元一次方程的系数判断二元一次方程组解的情况.
◎重点:用图象法解二元一次方程组.
◎难点:用函数的观点看待方程，利用函数解决问题.
两条直线可能相交，只有一个交点；可能平行，没有交点；可能重合，有无数个交点.上节课，我们知道一次函数上的点对应二元一次方程的解，那么，两个一次函数的交点坐标对应的是不是两个二元一次方程的公共解呢？
二元一次方程组的图象解法
阅读教材本课时“例1”~“例3”，解决下列问题.
用作图法来解一元二次方程组的步骤是怎样的？
(1)转化形式:把二元一次方程化为一次函数的形式；(2)画函数图象:在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并确定交点坐标；(3)写出方程组的解:两条直线的交点坐标就是方程组的解.
1. 一次函数与二元一次方程组的对应关系
二元一次方程组两个一次函数两条直线；
二元一次方程组的解两个一次函数值相等时的自变量值及函数值两条直线的交点坐标.
2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
(1)变函数：把方程组化为一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2；
(2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
(3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标；
(4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
学法指导:利用一次函数的图象求对应的二元一次方程组的解比较麻烦，事实上，我们通常都是利用解二元一次方程组来求两条直线的交点坐标.
二元一次方程组解的情况的判断
阅读教材本课时“思考”中的内容，解决下列问题.
1.明晰概念:一次函数图象(两条直线)位置有三种关系及对应解的情况:
(1)相交(有一个交点) 二元一次方程组有 唯一解 ；
(2)平行(无交点) 二元一次方程组 无解 ；
(3)重合(有无数个交点) 二元一次方程组有 无数个解 .
唯一解
无解
无数个
解
2.直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2(k1≠0，k2≠0)不同系数情况下的位置关系.
①k1≠k2 y1与y2相交；
② y1与y2相交于y轴上同一点(0，b1)或(0，b2)；
③ y1与y2平行；
④ y1与y2重合.
下面的二元一次方程组中方程无解的是( C )
A. B.
C. D.
C
用图象法解二次一次方程组
1.用图象法解方程组下图中正确的是( C )
A B
C
C D
【变式训练】用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图)，则所解的二元一次方程组是( D )
D
A. B.
C. D.
2.如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的的二元一次方程组的解是 .
利用方程组求两直线交点
3.求直线y＝2x＋4与y＝－x＋1的交点坐标.
解:由题意，得方程组
解这个方程组，得即交点坐标为(－1，2).
【方法归纳交流】在利用解方程组求两条直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2的交点坐标时，可直接消去y，得到k1x＋b1＝k2x＋b2.在求得的解中，自变量的值作为横坐标，函数值作为纵坐标，要防止坐标顺序错误.
【变式训练】有两条直线y＝ax＋b和y＝cx＋5，学生甲求得它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因看错c而求得它们的交点为(4，5)，求两条直线的表达式.
解:把(3，－2)代入y＝cx＋5，得c＝－.由点(4，5)和点(3，－2)都在函数y＝ax＋b上，所以有解得a＝7，b＝－23.所求的函数表达式为y＝7x－23和y＝－x＋5.
两直线的位置关系与方程组的解
4.一次函数y＝2x－1与y＝2x＋3的图象是两条 平行 (填“相交”或“平行”)的直线，因此方程组的解的情况是 无解 .
平行
无解
【变式训练】无论m为何实数，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4的交点不可能在( C )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
二元一次方程组的解与两直线l1：a1x＋b1y＝c1与l2：a2x＋b2y＝c2位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)：
从“数”看 从“形”看
≠ 方程组有唯一解 l1与l2相交
＝ ≠ 方程组无解 l1与l2平行
＝＝ 方程组有无数个解 l1与l2重合
1.当k＞时，直线kx－y＝k与直线ky＋x＝2k的交点在
( A )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
2.如图，直线l1:y1＝2x＋1与坐标轴交于A、C两点，直线l2:y2＝－x－2与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P.求三角形APB的面积.
解:由题意得方程组
解得
所以点P坐标为(－1，－1)，
所以S三角形ABP＝＝.
知识点1 一次函数与二元一次方程组的关系
1. ［2025合肥三十八中学期中］已知直线 与直
线相交于点，则方程组
的解为( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. ［2025蚌埠蚌山区期中］一次函数 与
的图象如图所示，下列结论错误的是( )
A
A. 当时，
B. 当时，
C. 关于，的方程组
的解为
D.
【点拨】A.观察题图知，当 时，直线
在直线 的上方，
则 ，故选项A错误；B.观察题图知，
当时， ，故选项B正确；C.
关于，的方程组 的解是一
次函数与 图象的交点坐标，由题图
知，两直线交于点 ，
则方程组的解为 故选
项C正确；D.由题图知，两直线与 轴的交
点在轴的上方，即， ，所以
，故选项D正确；故选A.
返回
3.若方程组无解，则函数 的图
象不经过第____象限.
一
【点拨】因为方程组 无解，所以
,解得.则一次函数 的图象经过
第二、三、四象限，不经过第一象限.
返回
知识点2 利用一次函数判断二元一次方程组解的情况
4. 若直线与直线 有唯一交点，则
二元一次方程组 的解的情况是( )
B
A. 无解 B. 有唯一解
C. 有两组解 D. 有无数组解
返回
5.已知关于,的方程组当 _____时，方程组
有且只有一组解；当 _____时，方程组有无数组解.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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